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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Elliptic functions
We now turn to the study of meromorphic functions on Riemann surfaces of genus 1 .
The only Riemann surface of genus 0 is the Riemann sphere $\mathbb{P}^1=\mathbb{C} \cup{\infty}$. (This is not obvious: we are saying that any abstract Riemann surface structure on the 2 -sphere ends up being isomorphic to the standard one. If you recall hat Riemann surface structures can be defined by gluing, you see why this is not a simple consequence of any definition). On $\mathbb{P}^1$, the meromorphic functions are rational, and those we understand quite explicitly; so it is natural to study tori next.
The tori we shall study are of the form $\mathbb{C} / L$, where $L \subset \mathbb{C}$ is a lattice – a free abelian subgroup for which the quotient is a topological torus. A less tautological definition is, viewing $\mathbb{C}$ as $\mathbb{R}^2$, that $L$ should be generated over $\mathbb{Z}$ by two vectors which are not parallel. Calling them $\omega_1$ and $\omega_2$, the conditions are
$$
\omega_1, \omega_2 \neq 0 \quad \text { and } \quad \frac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R} \text {. }
$$’
8.1 Exercise: Show, if $\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{R}$, that $\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2 \subset \mathbb{C}$ is either generated over $\mathbb{Z}$ by a single vector, or else its points are dense on a line. (The two cases correspond to $\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{Q}$ and $\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.)
By definition, a function $f$ is holomorphic on an open subset $U \subseteq \mathbb{C} / L$ iff $f \circ \pi$ is holomorphic on $\pi^{-1}(U) \subseteq \mathbb{C}$, where $\pi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} / L$ is the projection.
Note that a ‘fundamental domain’ for the action of $L$ on $\mathbb{C}$ is the ‘period parallelogram’ Strictly speaking, to represent each point only once, we should take the interior of the parallelogram, two open edges and a single vertex; but it is more sensible to view $\mathbb{C} / L$ as arising from the closed parallelogram by identifying opposite sides. The notion of holomorphicity is pictorially clear now, even at a boundary point $P$ – we require matching functions on the two halfneighbourhoods of $P$.
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Remark
8.2 Remark: Division by $\omega_1$ turns the period parallelogram into the form depicted in Fig. 8.2, with $\tau=\omega_2 / \omega_1 \notin \mathbb{R}$.
Another presentation of the Riemann surface $T=\mathbb{C} / L$ is then visibly as $\mathbb{C}^* / \mathbb{Z}$, where the abelian group $\mathbb{Z}$ is identified with the multiplicative subgroup of $\mathbb{C}^$ generated by $q=e^{\pi i \tau}$. We have a map $\exp : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^$ which descends to an isomorphism of Riemann surfaces, between $\mathbb{C} / L$ and $\mathbb{C}^* /\left{q^{\mathbb{Z}}\right}$
Returning to the $\mathbb{C} / L$ description, we see that functions on $T$ correspond to doubly periodic functions on $\mathbb{C}$, that is, functions satisfying
$$
f\left(u+\omega_1\right)=f\left(u+\omega_2\right)=f(u)
$$
for all $u \in \mathbb{C}$. For starters, we note the following:
8.3 Proposition: Any doubly periodic holomorphic function on $\mathbb{C}$ is constant.
First Proof: Global holomorphic functions on $\mathbb{C} / L$ are constant.
Second Proof: By Liouville’s theorem, bounded holomorphic functions on $\mathbb{C}$ are constant.
8.4 Definition: An elliptic function is a doubly periodic meromorphic function on $\mathbb{C}$.
Elliptic functions are thus meromorphic functions on a torus $\mathbb{C} / L$. The reason for the name is lost in the dawn of time. (Really, elliptic functions can be used to express the arc-length on the ellipse.)
Constructing the first example of an elliptic function takes some work. We shall in fact describe them all; but we must start with some generalities.
8.5 Theorem: Let $z_1, \ldots, z_n$ and $p_1, \ldots, p_m$ denote the zeroes and poles of a non-constant elliptic function $f$ in the period parallelogram, repeated according to multiplicity. Then:
(i) $m=n$,
(ii) $\sum_{k=1}^m \operatorname{Res}{p_k}(f)=0$, (iii) $\sum{k=1}^n z_k=\sum_{k=1}^m p_k(\bmod L)$.
黎曼曲面代考
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Elliptic functions
现在我们转向研究属1的黎曼曲面上的亚纯函数。
唯一的属0的黎曼曲面是黎曼球$\mathbb{P}^1=\mathbb{C} \cup{\infty}$。(这并不明显:我们说的是2球上的任何抽象黎曼表面结构最终都与标准黎曼表面结构同构。如果你回想一下黎曼表面结构可以通过粘合来定义，你就会明白为什么这不是任何定义的简单结果)。在$\mathbb{P}^1$上，亚纯函数是有理数，我们很清楚地理解;所以接下来自然要研究tori。
我们将研究的环面是$\mathbb{C} / L$的形式，其中$L \subset \mathbb{C}$是一个格——一个自由的阿贝尔子群，其商是一个拓扑环面。一个较少重复的定义是，将$\mathbb{C}$看作$\mathbb{R}^2$, $L$应该由两个不平行的向量在$\mathbb{Z}$上生成。将它们称为$\omega_1$和$\omega_2$，条件是
$$
\omega_1, \omega_2 \neq 0 \quad \text { and } \quad \frac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R} \text {. }
$$”
8.1练习:如果$\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{R}$，表示$\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2 \subset \mathbb{C}$是由单个向量在$\mathbb{Z}$上生成的，否则它的点在一条线上是密集的。(这两种情况对应于$\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{Q}$和$\omega_1 / \omega_2 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$。)
根据定义，函数$f$在开放子集$U \subseteq \mathbb{C} / L$上是全纯的，如果$f \circ \pi$在$\pi^{-1}(U) \subseteq \mathbb{C}$上是全纯的，其中$\pi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} / L$是投影。
请注意，$L$作用于$\mathbb{C}$的“基本域”是“周期平行四边形”严格来说，为了表示每个点一次，我们应该取平行四边形的内部，两条开放的边和一个顶点;但更明智的做法是，通过确定对边，将$\mathbb{C} / L$看作是由封闭的平行四边形产生的。现在全纯性的概念在图像上已经很清楚了，即使在边界点$P$ -我们需要在$P$的两个半邻域上匹配函数。
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Remark
8.2注:除以$\omega_1$，周期平行四边形得到图8.2所示的形式，其中有$\tau=\omega_2 / \omega_1 \notin \mathbb{R}$。
黎曼曲面$T=\mathbb{C} / L$的另一种表示形式可见为$\mathbb{C}^* / \mathbb{Z}$，其中阿贝尔群$\mathbb{Z}$与$q=e^{\pi i \tau}$生成的$\mathbb{C}^$的乘法子群相识别。我们有一个映射$\exp : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^$它下降到黎曼曲面的同构，在$\mathbb{C} / L$和 $\mathbb{C}^* /\left{q^{\mathbb{Z}}\right}$
回到$\mathbb{C} / L$描述，我们看到$T$上的函数对应于$\mathbb{C}$上的双周期函数，也就是说，函数满足
$$
f\left(u+\omega_1\right)=f\left(u+\omega_2\right)=f(u)
$$
对于所有$u \in \mathbb{C}$。对于初学者，我们注意到以下几点:
8.3命题:$\mathbb{C}$上的任何双周期全纯函数都是常数。
第一个证明:$\mathbb{C} / L$上的全局全纯函数是常数。
第二个证明:利用Liouville定理，$\mathbb{C}$上的有界全纯函数是常数。
8.4定义:椭圆函数是$\mathbb{C}$上的双周期亚纯函数。
因此椭圆函数是环面上的亚纯函数$\mathbb{C} / L$。这个名字的由来在时间的黎明中消失了。(实际上，椭圆函数可以用来表示椭圆上的弧长。)
构造椭圆函数的第一个例子需要做一些工作。事实上，我们将一一描述;但我们必须从一些概括性的东西开始。
8.5定理:设$z_1, \ldots, z_n$和$p_1, \ldots, p_m$为周期平行四边形中一个非常椭圆函数$f$的零点和极点，按多重重复。然后:
(i) $m=n$;
(ii) $\sum_{k=1}^m \operatorname{Res}{p_k}(f)=0$， (iii) $\sum{k=1}^n z_k=\sum_{k=1}^m p_k(\bmod L)$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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