### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3021

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Wiener’s construction

This is also a series approach, but Wiener used the trigonometric functions $\left(e^{i n \pi t}\right){n \in Z}$ as orthonormal basis for $L^2[0,1]$. In this case we obtain Brownian motion on $[0,1]$ as a Wiener-Fourier series $$W(t, \omega):=\sum{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n \pi t)}{n} G_n(\omega),$$
where $\left(G_n\right){n \geqslant 0}$ are iid standard normal random variables. Lemma $3.1$ remains valid for (3.6) and shows that the series converges in $L^2$ and that the limit satisfies (B0)(R3); only the pronf that the limiting process is continunus, Theorem 3.3, needs some changes. Proof of the continuity of (3.6). Let $$W_N(t, \omega):=\sum{n=1}^N \frac{\sin (n \pi t)}{n} G_n(\omega) .$$
It is enough to show that $\left(W_{2^n}\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $L^2(\mathbb{P})$ uniformly for all $t \in[0,1]$. Set $$\Delta_j(t):=W{2^{j+1}}(t)-W_{2^j}(t)$$

Using $|\operatorname{Im} z| \leqslant|z|$ for $z \in \mathbb{C}$, we see
$$\left|\Delta_j(t)\right|^2=\left(\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{\sin (k \pi t)}{k} G_k\right)^2 \leqslant\left|\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{e^{i k \pi t}}{k} G_k\right|^2,$$
and since $|z|^2-z \bar{z}$ we get
\begin{aligned} \left|\Delta_j(t)\right|^2 & \leqslant \sum_{k=2^j+1} \sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{2^{i k \pi t} e^{-i \ell \pi t}}{k \ell} G_k G_{\ell} \ &=\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{G_k^2}{k^2}+2 \sum_{k=2^j+1} \sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{e^{i k \pi t} e^{-i \ell \pi t}}{k \ell} G_k G_{\ell} \ & \stackrel{m=k-\ell}{=} \sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{G_k^2}{k^2}+2 \sum_{m=1}^{2^j-1} \sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}-m} \frac{e^{i m \pi t}}{\ell(\ell+m)} G_{\ell} G_{\ell+m} \ & \leqslant \sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{G_k^2}{k^2}+2 \sum_{m=1}^{2^j-1}\left|\sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}-m} \frac{G_{\ell} G_{\ell+m}}{\ell(\ell+m)}\right| . \end{aligned}

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Donsker’s construction

Donsker’s invariance theorem shows that Brownian motion is a limit of linearly interpolated random walks – pretty much in the way we have started the discussion in Chapter 1 . As before, the difficult point is to prove the sample continuity of the limiting process.

Let, on a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}), \epsilon_n, n \geqslant 1$, be iid Bernoulli random variables such that $\mathbb{P}\left(\epsilon_1=1\right)=\mathbb{P}^2\left(\epsilon_1=-1\right)=\frac{1}{2}$. Then
$$S_n:=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$$
is a simple random walk. Interpolate linearly and apply Gaussian scaling
$$S^n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(S_{\lfloor n t\rfloor}-(n t-\lfloor n t\rfloor) \epsilon_{\lfloor n t\rfloor+1}\right), \quad t \in[0,1] .$$
In particular, $S^n\left(\frac{\dot{L}}{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} S_j$. If $j=j(n)$ and $j / n=s=$ const., the central limit theorem shows that $S^n\left(\frac{\dot{j}}{n}\right)=\sqrt{s} S_j / \sqrt{j} \stackrel{d}{\longrightarrow} \sqrt{s} G$ as $n \rightarrow \infty$ where $G$ is a standard normal random variable. Moreover, with $s=j / n$ and $t=k / n$, the increment $S^n(t)-S^n(s)=\left(S_k-S_j\right) / \sqrt{n}$ is independent of $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_j$, and therefore of all earlier increments of the same form. Moreover,
$$\mathbb{E}\left(S^n(t)-S^n(s)\right)=0 \quad \text { and } \quad \mathbb{V}\left(S^n(t)-S^n(s)\right)=\frac{k-j}{n}=t-s$$
in the limit we get a Gaussian increment with mean zero and variance $t-s$. Since independence and stationarity of the increments are distributional properties, they are inherited by the limiting process – which we will denote by $\left(B_t\right){t \in[0,1]}$. We have seen that $\left(B_q\right){q \in[0,1] \cap Q}$ would have the properties $(\mathrm{B} 0)-(\mathrm{B} 3)$ and it qualifies as a candidate for Brownian motion. If it had continuous sample paths, (B0)-(B3) would hold not only for rational times but for all $t \geqslant 0$. That the limit exists and is uniform in $t$ is the essence of Donsker’s invariance principle.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Wiener’s construction

$$W(t, \omega):=\sum n=1^{\infty} \frac{\sin (n \pi t)}{n} G_n(\omega),$$

$$W_N(t, \omega):=\sum n=1^N \frac{\sin (n \pi t)}{n} G_n(\omega) .$$

$$\Delta_j(t):=W 2^{j+1}(t)-W_{2^j}(t)$$

$$\left|\Delta_j(t)\right|^2=\left(\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{\sin (k \pi t)}{k} G_k\right)^2 \leqslant\left|\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{e^{i k \pi t}}{k} G_k\right|^2$$

$$\left|\Delta_j(t)\right|^2 \leqslant \sum_{k=2^j+1} \sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{2^{i k \pi t} e^{-i \ell \pi t}}{k \ell} G_k G_{\ell}=\sum_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{G_k^2}{k^2}+2 \sum_{k=2^j+1} \sum_{\ell=2^j+1}^{2^{j+1}} \frac{e^{i k \pi t} e^{-i \ell \pi t}}{k \ell} G_k G_{\ell} \stackrel{m=k-\ell}{=}$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Donsker’s construction

Donsker 的不变性定理表明，布朗运动是线性揷值随机游走的极限一一与我们在第 1 章开始讨论的方式非常相 似。和以前一样，难点是证明限制过程的样本连续性。

$$S_n:=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$$

$$S^n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(S_{\lfloor n t\rfloor}-(n t-\lfloor n t\rfloor) \epsilon_{\lfloor n t\rfloor+1}\right), \quad t \in[0,1] .$$

$$\mathbb{E}\left(S^n(t)-S^n(s)\right)=0 \quad \text { and } \quad \mathbb{V}\left(S^n(t)-S^n(s)\right)=\frac{k-j}{n}=t-s$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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