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资本资产定价模型–或称CAPM–是一个计算资产或投资的预期回报率的金融模型。
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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Expected Utility
Standard microeconomics represents preferences using ordinal utility functions. An ordinal utility function $\Upsilon($.$) tells you that an agent is indifferent between x$ and $y$ if $\Upsilon(x)=\Upsilon(y)$ and prefers $x$ to $y$ if $\Upsilon(x)>\Upsilon(y)$. Any strictly increasing function of $\Upsilon($. will have the same properties, so the preferences expressed by $\Upsilon($.$) are the same as those$ expressed by $\Theta(\Upsilon()$.$) for any strictly increasing \Theta$. In other words, ordinal utility is invariant to monotonically increasing transformations. It defines indifference curves, but there is no way to label the curves so that they have meaningful values.
A cardinal utility function $\Psi($.$) is invariant to positive affine (increasing linear) trans-$ formations but not to nonlinear transformations. The preferences expressed by $\Psi($.$) are$ the same as those expressed by $a+b \Psi($.$) for any b>0$. In other words, cardinal utility has no natural units, but given a choice of units, the rate at which cardinal utility increases is meaningful.
Asset pricing theory relies heavily on von Neumann-Morgenstern utility theory, which says that choice over lotteries, satisfying certain axioms, implies maximization of the expectation of a cardinal utility function, defined over outcomes.
The content of von Neumann-Morgenstern utility theory is easiest to understand in a discrete-state example. Define states $s=1 \ldots S$, each of which is associated with an outcome $x_s$ in a set $X$. Probabilities $p_s$ of the different outcomes then define lotteries. When $S=3$, we can draw probabilities in two dimensions (since $p_3=1-p_1-p_2$ ). We get the so-called Machina triangle (Machina 1982), illustrated in Figure 1.1.
We define a compound lottery as one that determines which primitive lottery we are given. For example, a compound lottery $L$ might give us lottery $L^a$ with probability $\alpha$ and lottery $L^b$ with probability $(1-\alpha)$. Then $L$ has the same probabilities over the outcomes as $\alpha L^a+(1-\alpha) L^b$.
We define a preference ordering $\succeq$ over lotteries. A person is indifferent between lotteries $L^a$ and $L^b, L^a \sim L^b$, if and only if $L^a \succeq L^b$ and $L^b \succeq L^a$.
Next we apply two axioms of choice over lotteries.
Continuity axiom: For all $L^a, L^b, L^c$ s.t. $L^a \succeq L^b \succeq L^c$, there exists a scalar $\alpha \in[0,1]$ s.t.
$$
L^b \sim \alpha L^a+(1-\alpha) L^c .
$$
This axiom says that if three lotteries are (weakly) ranked in order of preference, it is always possible to find a compound lottery that mixes the highest-ranked and lowest-ranked lotteries in such a way that the economic agent is indifferent between this compound lottery and the middle-ranked lottery. The axiom implies the existence of a preference functional defined over lotteries, that is, an ordinal utility function for lotteries that enables us to draw indifference curves on the Machina triangle.
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk Aversion
We now assume the existence of a cardinal utility function and ask what it means to say that the agent whose preferences are represented by that utility function is risk averse. We also discuss the quantitative measurement of risk aversion.
To bring out the main ideas as simply as possible, we assume that the argument of the utility function is wealth. This is equivalent to working with a single consumption good in a static two-period model where all wealth is liquidated and consumed in the second period, after uncertainty is resolved. Later in the book we discuss richer models in which consumption takes place in many periods, and also some models with multiple consumption goods.
For simplicity we also work with weak inequalities and weak preference orderings throughout. The extension to strict inequalities and strong preference orderings is straightforward.
An important mathematical result, Jensen’s Inequality, can be used to link the concept of risk aversion to the concavity of the utility function. We start by defining concavity for a function $f$.
Definition. $f$ is concave if and only if, for all $\lambda \in[0,1]$ and values $a, b$,
$$
\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b) \leq f(\lambda a+(1-\lambda) b) .
$$
If $f$ is twice differentiable, then concavity implies that $f^{\prime \prime} \leq 0$. Figure $1.2$ illustrates a concave function.
Note that because the inequality is weak in the above definition, a linear function is concave. Strict concavity uses a strong inequality and excludes linear functions, but we proceed with the weak concept of concavity.
Now consider a random variable $\tilde{z}$. Jensen’s Inequality states that
$$
\mathrm{E} f(\bar{z}) \leq f(\mathrm{E} \bar{z})
$$
for all possible $\tilde{z}$ if and only if $f$ is concave.
波动率模型代考
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Expected Utility
标准微观经济学使用有序效用函数表示偏好。序数效用函数 $\Upsilon($.
)tellsyouthatanagentisindifferentbetween $x$ 和 $y$ 如果 $\Upsilon(x)=\Upsilon(y)$ 并且喜欢 $x$ 至 $y$ 如果
$\Upsilon(x)>\Upsilon(y)$. 的任何严格增函数 $\Upsilon($. 将具有相同的属性，因此表示的偏好 $\Upsilon$ (.) arethesameasthose 表示为 $\Theta(\Upsilon()$.) foranystrictlyincreasing $\Theta$. 换句话说，序数效用对于单调递增的变换是不变的。它 定义了无差异曲线，但无法标记曲线以使它们具有有意义的值。
基数效用函数 $\Psi($.$) isinvarianttopositiveaffine(increasinglinear)trans一编队，但不是非线$ 性变换。表达的偏好 $\Psi$ (.)are 与表达的相同 $a+b \Psi($.$) forany b>0$. 换句话说，基数效用没有自然单 位，但如果可以选择单位，基数效用的增长速度是有意义的。
资产定价理论在很大程度上依赖于 von Neumann-Morgenstern 效用理论，该理论认为，对彩票的选择满 足某些公理，意味着对基数效用函数的期望最大化，该函数定义为结果。
von Neumann-Morgenstern 效用理论的内容在一个离散状态的例子中最容易理解。定义状态 $s=1 \ldots S$ ，每一个都与一个结果相关联 $x_s$ 在一组 $X$. 概率 $p_s$ 不同的结果然后定义彩票。什么时候 $S=3$ ，我们可以绘制二维概率 (因为 $p_3=1-p_1-p_2$ ). 我们得到所谓的 Machina 三角形 (Machina 1982)，如图 $1.1$ 所示。
我们将复合彩票定义为决定我们获得哪种原始彩票的彩票。例如复合彩票 $L$ 可能会给我们彩票 $L^a$ 有概率 $\alpha$ 和彩票 $L^b$ 有概率 $(1-\alpha)$. 然后 $L$ 对结果的概率与 $\alpha L^a+(1-\alpha) L^b$.
我们定义一个偏好排序 在彩票上。一个人在彩票之间无动于䒾 $L^a$ 和 $L^b, L^a \sim L^b$, 当且仅当 $L^a \succeq L^b$ 和 $L^b \succeq L^a$.
接下来我们对彩票应用两个选择公理。
连续性公理：对于所有 $L^a, L^b, L^c$ 英石 $L^a \succeq L^b \succeq L^c$ ，存在一个标量 $\alpha \in[0,1]$ 英石
$$
L^b \sim \alpha L^a+(1-\alpha) L^c .
$$
这个公理说，如果三种彩票按偏好顺序（弱) 排序，总有可能找到一种复合彩票，它混合了排名最高的彩 票和排名最低的彩票，使得经济主体对这种复合彩票无动于市彩票和中等彩票。该公理意味着存在一个在 彩票上定义的偏好函数，即彩票的序数效用函数使我们能够在 Machina 三角形上绘制无差异曲线。
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我们现在假设存在基数效用函数，并询问说其偏好由该效用函数表示的代理人是风险厌恶的是什么意思。 我们还讨论了风险规避的定量测量。
为了尽可能简单地表达主要思想，我们假设效用函数的参数是财富。这相当于在静态双期模型中使用单一 消费品，在不确定性消除后，所有财富都在第二期清算和消费。在本书的后面，我们将讨论更丰富的消费 发生在多个时期的模型，以及一些具有多种消费品的模型。
为简单起见，我们还始终处理弱不等式和弱偏好排序。严格不等式和强偏好排序的扩展很简单。
一个重要的数学结果，詹森不等式，可以用来将风险厌恶的概念与效用函数的凹性联系起来。我们从定义 函数的凹性开始 $f$.
定义。 $f$ 是凹的当且仅当对于所有 $\lambda \in[0,1]$ 和价值观 $a, b$ ，
$$
\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b) \leq f(\lambda a+(1-\lambda) b) .
$$
如果 $f$ 是二次可微的，那么凹性意味着 $f^{\prime \prime} \leq 0$. 数字 $1.2$ 说明凹函数。
请注意，由于上述定义中的不等式是弱的，因此线性函数是凹的。严格凹性使用强不等式并排除线性函 数，但我们继续使用凹性的弱概念。
现在考虑一个随机变量 $\tilde{z}$. 詹森不等式指出
$$
\operatorname{E} f(\bar{z}) \leq f(\mathrm{E} \bar{z})
$$
对于所有可能的 $z$ 当且仅当 $f$ 是凹的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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