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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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复分析代考_Complex function代考_Basic Concepts Concerning Infinite Sums and Products
If $f_1, f_2, \ldots$ are functions on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$, then we may study the convergence properties of
$$
\sum_{j=1}^{\infty} f_j
$$
from the point of view of the convergence of its partial sums. In particular, the normal convergence concept for sequences (Definition 6.5.1) is to be applied to series in the following way: The series converges normally if its sequence of partial sums
$$
S_N(z)=\sum_{j=1}^N f_j(z), N=1,2, \ldots
$$
converges normally in $U$. In case the functions $f_j$ are holomorphic, then the function
$$
f(z)=\sum_{j=1}^{\infty} f_j(z)
$$
will then be holomorphic because it is the normal limit of the $S_N$ ‘s (each of which is holomorphic).
There is a corresponding Cauchy condition for normal convergence of a series: The series
$$
\sum_{j=1}^{\infty} f_j(z)
$$
is said to be uniformly Cauchy on compact sets if for each compact $K \subseteq U$ and each $\epsilon>0$ there is an $N>0$ such that for all $L \geq M \geq N$ it holds that
$$
\left|\sum_{j=M}^L f_j(z)\right|<\epsilon \quad \text { for all } z \in K .
$$
[Notice that this is just a reformulation of the Cauchy condition of Definition $3.2 .8$ for the sequence of partial sums $S_N(z)$.] It is easy to see that a series that is uniformly Cauchy converges normally to its limit function.
Now we turn to products. One of the principal activities in complex analysis is to construct holomorphic or meromorphic functions with certain prescribed behavior. For some problems of this type, it turns out that infinite products are more useful than infinite sums. If, for instance, we want to construct a function which will vanish on a certain infinite set $\left{a_j\right}$, then we could hope to find a function $f_j$ which vanishes at $a_j$ for each $j$ and then multiply the $f_j$ ‘s together. This process requires that we make sense of the notion of “infinite product.”
复分析代考_Complex function代考_The Theorems of Weierstrass and Mittag-Leffler
In the previous section, we were able to construct holomorphic functions with prescribed zeros in $\mathbb{C}$ (Corollary 8.2.3). By modifying the ideas there, we can do this on any open set $U \subseteq \mathbb{C}$. That is one of the main things that we do in this section.
The only necessary condition that we know for a set $\left{a_j\right} \subseteq U$ to be the zero set of a function $f$ holomorphic on $U$ is that $\left{a_j\right}$ have no accumulation point in $U$. It is remarkable that this condition is also sufficient: That is the content of Weierstrass’s theorem.
Theorem 8.3.1 (Weierstrass). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be any open set. Let $a_1, a_2, \ldots$ be a finite or infinite sequence in $U$ (possibly with repetitions) which has no accumulation point in $U$. Then there exists a holomorphic function $f$ on $U$ whose zero set is precisely $\left{a_j\right}$ (counting multiplicities).
Proof. First observe that if $\left{a_j\right}$ is finite, then the required holomorphic function is given by the polynomial $p(z)=\prod_j\left(z-a_j\right)$. So we may assume that $\left{a_j\right}$ is infinite.
It simplifies the proof if we think of $U \subseteq \widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup{\infty}$ and apply a linear fractional transformation $z \mapsto 1 /(z-p)$ for some $p \in U$ that is not in the set where the function we are constructing is supposed to vanish. Then $\infty \in U$ and all the boundary points of $U$ are in the finite part of the plane. Thus the new setup is as follows:
(1) $\underset{\neq}{U \subset \mathbb{C}}$;
(2) $\widehat{\mathbb{C}} \backslash U$ is compact;
(3) $\left{a_j\right}_{j=1}^{\infty} \cup{\infty} \subseteq U$;
(4) ${\infty} \cap\left{a_j\right}=\emptyset$.
By hypothesis, the accumulation points of $\left{a_j\right}$ are all in $\partial U$. Hence any compact subset of $U$ contains only finitely many of the $a_j$ ‘s.
复分析代写
复分析代考_Complex function代考_Basic Concepts Concerning Infinite Sums and Products
如果 $f_1, f_2, \ldots$ 是开集上的函数 $U \subseteq \mathbb{C}$ ，那么我们可以研究的收敛性质
$$
\sum_{j=1}^{\infty} f_j
$$
从其部分和的收敛性来看。特别地，序列的正规收敛概念 (定义 6.5.1) 将按以下方式应用于级数：如果级数的 部分和序列正常收敛
$$
S_N(z)=\sum_{j=1}^N f_j(z), N=1,2, \ldots
$$
通常收敛于 $U$. 如果函数 $f_j$ 是全纯的，那么函数
$$
f(z)=\sum_{j=1}^{\infty} f_j(z)
$$
然后将是全纯的，因为它是 $S_N$ 的 (每个都是全纯的)。
级数正常收敛有相应的柯西条件: 级数
$$
\sum_{j=1}^{\infty} f_j(z)
$$
如果对于每个紧 $K \subseteq U$ 和每个 $\epsilon>0$ 有一个 $N>0$ 这样对于所有人 $L \geq M \geq N$ 它认为
$$
\left|\sum_{j=M}^L f_j(z)\right|<\epsilon \quad \text { for all } z \in K \text {. }
$$
[请注意，这只是定义的柯西条件的重新表述 $3.2 .8$ 对于部分和的序列 $S_N(z)$.] 很容易看出，一致柯西的级数通常 收敛到它的极限函数。
现在我们转向产品。复分析的主要活动之一是构造具有特定规定行为的全纯或亚纯函数。对于这类问题，事实证 明无限乘积比无限和更有用。例如，如果我们想构造一个在某个无限集上消失的函数 $\backslash$ 左 $\left{a_{-}\right.$j右 $}$, 那么我们希望 找到一个函数 $f_j$ 消失在 $a_j$ 每个 $j$ 然后乘以 $f_j$ 在一起了这个过程要求我们理解“无限产品”的概念。
复分析代考_Complex function代考_The Theorems of Weierstrass and Mittag-Leffler
在上一节中，我们能够构造具有指定零点的全纯函数 $\mathbb{C}$ (推论 8.2.3) 。通过修改那里的想法，我们可以在任何 开放集上这样做 $U \subseteq \mathbb{C}$. 这是我们在本节中要做的主要事情之一。 . 值得注意的是，这个条件也是充分的：这就是魏尔斯特拉斯定理的内容。
定理 8.3.1 (魏尔斯特拉斯) 。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是任何开集。让 $a_1, a_2, \ldots$ 是有限或无限序列 $U$ (可能有重复) 没有㽧 积点 $U$. 则存在全纯函数 $f$ 上 $U$ 其零集恰好是 $\backslash$ 左 ${a$$j\mathrm{右}}$ (计算多重性) 。
证明。首先观察如果 $\backslash$ 左{a_j右 $}$ 是有限的，则所需的全纯函数由多项式给出 $p(z)=\prod_j\left(z-a_j\right)$. 所以我们可 以假设 $\backslash$ 左{a_j右 $}$ 是无限的。
它简化了证明，如果我们想到 $U \subseteq \widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup \infty$ 并应用线性分数变换 $z \mapsto 1 /(z-p)$ 对于一些 $p \in U$ 那不在 我们正在构建的函数应该消失的集合中。然后 $\infty \in U$ 和所有的边界点 $U$ 都在平面的有限部分。因此，新的设置 如下：
(1) $U \subset \mathbb{C}$;
(2) $\widehat{\mathbb{C}} \backslash U^{\text {秝凑; }}$
(3) Ueft{{a_jright}__j=1}^{linfty} \cup{đinfty} \subseteq $U$;
(4) {{infty} \caplleft{a_jlright}=lemptyset.
根据假设，㽧积点为 $\backslash$ 左 $\left{a_2 j \backslash\right.$ 右 $}$ 都在 $\partial U$. 因此任何紧凑的子集 $U$ 只包含有限多的 $a_j$ 的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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