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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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复分析代考_Complex function代考_Jensen’s Formula and an Introduction to Blaschke Products
In the previous chapter, we determined that the behavior of the zero set of a holomorphic function is essentially arbitrary: Except for the fact that the zeros cannot accumulate at any point of the domain of the function, they can otherwise be specified at will. The subject of the present chapter is, by contrast, a sequence of results which in effect control the behavior of the zeros when some hypotheses are imposed about the general behavior of the function. Roughly speaking, we might summarize these results as saying that, in order for a function to have a great many zeros, it must grow fairly fast at the boundary of its domain of definition.
One obvious instance to consider is the case of polynomial functions: To have more zeros is to have higher degree, which in turn implies faster growth at infinity. This last observation is really too simple to be interesting in terms of the general theory, but the spirit of the example has far-reaching implications.
The first situation that we shall investigate in detail concerns functions holomorphic on the unit disc. Later in the chapter, we shall also consider functions holomorphic on all of $\mathbb{C}$ (i.e., entire functions). Now we turn to the details.
Suppose that $g$ is a nowhere vanishing holomorphic function on a neighborhood of $\bar{D}(0,1)$. Then $\log |g|$ is harmonic and the mean value property gives that
$$
\log |g(0)|=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \log \left|g\left(e^{i \theta}\right)\right| d \theta .
$$
This formula gives quantitative information about the size of $g$ on $\partial D$ in terms of the size of $g$ at the point 0 and vice versa. Our first main goal in this section is to generalize the formula to a disc of any radius and to a function that has zeros.
First, we need means for manipulating the zeros of a holomorphic function on the disc. What we want is an analogue for the disc of the factors $(z-a)$ that are used when we study polynomials on $\mathbb{C}$. The necessary device is called the Blaschke factors:
If $a \in D(0,1)$, then we define the Blaschke factor
$$
B_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z} .
$$
[The Blaschke factors should look familiar because they appeared in a different guise as Möbius transformations in Sections $5.5$ and 6.2.]
复分析代考_Complex function代考_The Hadamard Gap Theorem
In this brief section we present a technique of Ostrowski for producing series which exhibit a phenomenon called “over-convergence” (to be defined below). It was discovered by J. Hadamard that these series produce holomorphic functions on the disc for which no $P \in \partial D$ is regular (in the sense of Section 8.3). The series are examples of what are called “gap series” (or “lacunary series”). These are series that are formed by deleting many terms from a series formed by a regular pattern. They have various uses in analysis. For instance, they can be used to construct continuous, nowhere differentiable functions (see Exercise 13).
Let us begin with a concrete example (cf. Exercise 21, Chapter 3). Consider the power series $\sum_n z^{2^n}$. This series converges absolutely and uniformly on compact subsets of the unit disc $D(0,1)$ since
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|z^{2^n}\right|<\sum_{n=1}^{\infty}\left|z^n\right|=\frac{1}{1-|z|}
$$
when $|z|<1$. Thus the power series defines a holomorphic function $F(z)$ on $D(0,1)$. We claim that no point of $\partial D$ is regular for $F$.
To see this, consider $F^{\prime}(r w)$ for $r \in(0,1)$ and $w$ such that $w^{2^N}=1$ for a fixed positive integer $N$. Now
$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(r w) &=\sum_{n=1}^{N-1} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1}+\sum_{n=N}^{\infty} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1} \
&=\sum_{n=1}^{N-1} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1}+\frac{1}{w} \sum_{n=N}^{\infty} 2^n \cdot r^{2^n-1} \cdot 1
\end{aligned}
$$
Thus
$$
\lim _{r \rightarrow 1^{-}}\left|F^{\prime}(r w)\right|=+\infty
$$
since, for $N$ fixed, the first sum is bounded while the second tends to $+\infty$ (each summand is positive real and tends to a limit greater than 1).
复分析代写
复分析代考_Complex function代考_Jensen’s Formula and an Introduction to Blaschke Products
在上一章中，我们确定了全纯函数的䨌集的行为本质上是任意的：除了零点不能在函数域的任何点上累积之外， 否则它们可以随意指定。相比之下，本章的主题是一系列结果，当对函数的一般行为施加一些假设时，这些结果 实际上控制了零点的行为。粗略地说，我们可以将这些结果总结为: 为了使一个函数具有大量零点，它必须在其 定义域的边界处增长得相当快。
一个明显的例子是多项式函数的情况：零点越多，次数越高，这反过来意味着无穷大的增长速度更快。就一般理 论而言，这最后的观察实在是太简单了以至于没有意义，但是这个例子的精神具有深远的影响。
我们要详细研究的第一种情况是单位圆盘上的全纯函数。在本章的后面，我们还将考虑在所有 $\mathbb{C}$ (即，完整的功 能)。现在我们转向细节。
假设 $g$ 是邻域上的无处消失的全纯函数 $\bar{D}(0,1)$. 然后 $l o g|g|$ 是调和的，平均值属性给出了
$$
\log |g(0)|=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \log \left|g\left(e^{i \theta}\right)\right| d \theta
$$
这个公式给出了关于大小的定量信息 $g$ 上 $\partial D$ 在大小方面 $g$ 在点 0，反之亦然。我们在本节中的第一个主要目标是 将公式推广到任何半径的圆盘和具有零的函数。
首先，我们需要在圆盘上操纵全纯函数的零点的方法。我们想要的是因子圆盘的类比 $(z-a)$ 当我们研究多项式 时使用的 $\mathbb{C}$. 必要的设备称为 Blaschke 因素:
如果 $a \in D(0,1)$, 然后我们定义 Blaschke 因子
$$
B_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a} z} .
$$
[Blaschke 因子应该看起来很熟悉，因为它们以不同的形式出现在截面中的 Möbius 变换中 5.5和 6.2.]
复分析代考_Complex function代考_The Hadamard Gap Theorem
在这个简短的部分中，我们介绍了 Ostrowski 用于制作系列的技术，该系列展示了一种称为”过度收敛”（定义如 下） 的现象。J. Hadamard 发现这些级数在圆盘上产生全纯函数，其中没有 $P \in \partial D$ 是规则的（在第 $8.3$ 节的 意义上）。该系列是所谓的”缺口系列” (或 “缺口系列”) 的示例。这些是通过从由规则模式形成的系列中删除许 多项而形成的系列。它们在分析中有多种用途。例如，它们可以用来构造连续的、无处可微的函数 (见习题 13) 。
让我们从一个具体的例子开始 (参见练习 21 ，第 3 章)。考虑幂级数 $\sum_n z^{2^n}$. 该级数绝对一致地收玫于单位圆 盘的坚子集 $D(0,1)$ 自从
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|z^{2^n}\right|<\sum_{n=1}^{\infty}\left|z^n\right|=\frac{1}{1-|z|}
$$
什么时候 $|z|<1$. 因此幂级数定义了一个全纯函数 $F(z)$ 上 $D(0,1)$. 我们声称没有任何意义 $\partial D$ 是常规的 $F$.
要看到这一点，请考虑 $F^{\prime}(r w)$ 为了 $r \in(0,1)$ 和 $w$ 这样 $w^{2^N}=1$ 对于一个固定的正整数 $N$. 现在
$$
F^{\prime}(r w)=\sum_{n=1}^{N-1} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1}+\sum_{n=N}^{\infty} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1} \quad=\sum_{n=1}^{N-1} 2^n r^{2^n-1} w^{2^n-1}+\frac{1}{w} \sum_{n=N}^{\infty} 2^n \cdot r^{2^n-1} \cdot 1
$$
因此
$$
\lim _{r \rightarrow 1^{-}}\left|F^{\prime}(r w)\right|=+\infty
$$
因此 $N$ 固定的，第一个和是有界的，而第二个趋向于 $+\infty$ (每个被加数都是正实数并且趋向于大于 1 的极 限）。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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