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资本资产定价模型–或称CAPM–是一个计算资产或投资的预期回报率的金融模型。
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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Critiques of Expected Utility Theory
This famous paradox, due to Allais (1953), challenges the von Neumann-Morgenstern framework. Consider a set of lotteries, each of which involves drawing one ball from an urn containing 100 balls, labeled $0-99$. Table $1.1$ shows the monetary prizes that will be awarded for drawing each ball, in four different lotteries $L^a, L^b, M^a$, and $M^b$.
Lottery $L^a$ offers $\$ 50$ with certainty, while lottery $L^b$ offers an $89 \%$ chance of $\$ 50$, a $10 \%$ chance of $\$ 250$, and a $1 \%$ chance of receiving nothing. Many people, confronted with this choice, prefer $L^a$ to $L^b$ even though the expected winnings are higher for lottery $L^b$. Lottery $M^a$ offers an $11 \%$ chance of winning $\$ 50$ and an $89 \%$ chance of receiving nothing, while lottery $M^b$ offers a $10 \%$ chance of winning $\$ 250$ and a $90 \%$ chance of receiving nothing. Many people, confronted with this choice, prefer $M^b$ to $M^a$.
The challenge to utility theory is that choosing $L^a$ over $L^b$, while also choosing $M^b$ over $M^a$, violates the independence axiom. As the structure of the table makes clear, the only difference between $L^a$ and $L^b$ is in the balls labeled 0-10; the balls labeled 11-99 are identical in these two lotteries. This is also true for the pair $M^a$ and $M^b$. According to the independence axiom, the rewards for drawing balls 11-99 should then be irrelevant to the choices between $L^a$ and $L^b$, and $M^b$ and $M^a$. But if this is the case, then the two choices are the same because if one considers only balls $0-10, L^a$ has the same rewards as $M^a$, and $L^b$ has the same rewards as $M^b$.
There is a longstanding debate over the significance of this paradox. Either people are easily misled (but can be educated) or the independence axiom needs to be abandoned. Relaxing this axiom must be done carefully to avoid creating further paradoxes (Chew 1983, Dekel 1986, Gul 1991). ${ }^2$ Recent models of dynamic decision making, notably the Epstein and Zin $(1989,1991)$ preferences discussed in section 6.4, also relax the independence axiom in an intertemporal context, taking care to do so in a way that preserves time consistent decision making.
1.4.2 Rabin Critique
Matthew Rabin (2000) has criticized utility theory on the ground that it cannot explain observed aversion to small gambles without implying ridiculous aversion to large gambles. This follows from the fact that differentiable utility has second-order risk aversion.
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Comparing Risks
Earlier in this chapter we discussed the comparison of utility functions, concentrating on cases where two utility functions can be ranked in their risk aversion, with one turning down all lotteries that the other one turns down, regardless of the distribution of the risks. Now we perform a symmetric analysis, comparing the riskiness of two different distributions without making any assumptions on utility functions other than concavity.
In this subsection we consider two distributions that have the same mean. Informally, there are three natural ways to define the notion that one of these distributions is riskier than the other:
(1) All increasing and concave utility functions dislike the riskier distribution relative to the safer distribution.
(2) The riskier distribution has more weight in the tails than the safer distribution.
(3) The riskier distribution can be obtained from the safer distribution by adding noise to it.
The classic analysis of Rothschild and Stiglitz (1970) shows that these are all equivalent. Consider random variables $\widetilde{X}$ and $\widetilde{Y}$, which have the same expectation.
(1) $\widetilde{X}$ is weakly less risky than $\widetilde{Y}$ if no individual with an increasing concave utility function prefers $\tilde{Y}$ to $\tilde{X}$ :
$$
E[u(\widetilde{X})] \geq E[u(\widetilde{Y})]
$$
for all increasing concave $u$ (.). $\widetilde{X}$ is less risky than $\widetilde{Y}$ (without qualification) if it is weakly less risky than $\widetilde{Y}$ and there is some increasing concave $u($.$) which strictly$ prefers $\widetilde{X}$ to $\widetilde{Y}$.
Note that this is a partial ordering. It is not the case that for any $\widetilde{X}$ and $\widetilde{Y}$, either $\widetilde{X}$ is weakly less risky than $\widetilde{Y}$ or $\widetilde{Y}$ is weakly less risky than $\widetilde{X}$. We can get a complete ordering if we restrict attention to a smaller class of utility functions than the concave, such as the quadratic.
波动率模型代考
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Critiques of Expected Utility Theory
这个由 Allais (1953) 提出的著名悖论挑战了 von Neumann-Morgenstern 框架。考虑一组彩票，每张彩票都涉及从装有 100 个球的罐子中抽出一个球，标记为0−99. 桌子1.1显示在四种不同的彩票中绘制每个球将获得的货币奖励大号一个,大号b,米一个， 和米b.
彩票大号一个提供$50有把握，而彩票大号b提供一个89%的机会$50， 一个10%的机会$250, 和一个1%什么都得不到的机会。很多人面对这个选择，更喜欢大号一个至大号b即使彩票的预期奖金更高大号b. 彩票米一个提供一个11%获胜的机会$50和89%抽奖时什么也得不到的机会米b提供一个10%获胜的机会$250和一个90%什么都得不到的机会。很多人面对这个选择，更喜欢米b至米一个.
效用理论的挑战在于选择大号一个超过大号b，同时也选择米b超过米一个, 违反独立公理。正如表的结构清楚表明的那样，两者之间的唯一区别大号一个和大号b在标记为 0-10 的球中；在这两个彩票中标有 11-99 的球是相同的。这对情侣也是如此米一个和米b. 根据独立公理，绘制球 11-99 的奖励应该与以下选择无关大号一个和大号b， 和米b和米一个. 但如果是这种情况，那么这两个选择是相同的，因为如果只考虑球0−10,大号一个有相同的奖励米一个， 和大号b有相同的奖励米b.
关于这一悖论的重要性存在长期争论。要么人们很容易被误导（但可以被教育），要么需要放弃独立公理。必须谨慎地放宽这个公理，以避免产生更多的悖论（Chew 1983，Dekel 1986，Gul 1991）。2最新的动态决策模型，特别是 Epstein 和 Zin(1989,1991)6.4 节中讨论的偏好也在跨期环境中放宽了独立公理，注意以保持时间一致的决策制定的方式这样做。
1.4.2 Rabin 批判
Matthew Rabin (2000) 批评了效用理论，理由是它无法解释观察到的对小赌博的厌恶而不暗示对大赌博的荒谬厌恶。这是因为可微效用具有二阶风险规避这一事实。
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Comparing Risks
在本章的前面，我们讨论了效用函数的比较，重点讨论了两个效用函数可以根据其风险厌恶程度进行排序的情况，其中一个拒绝所有彩票，另一个拒绝，而不管风险的分布如何。现在我们进行对称分析，比较两种不同分布的风险，而不对除凹性以外的效用函数做任何假设。
在本小节中，我们考虑具有相同均值的两个分布。非正式地，有三种自然的方式来定义这些分布中的一个比另一个的风险更大的概念：
（1）所有递增和凹的效用函数都不喜欢相对于更安全的分布的风险更高的分布。
(2) 风险较高的分布比安全分布的尾部权重更大。
(3) 通过向安全分布中添加噪声，可以从更安全的分布中获得风险更高的分布。
罗斯柴尔德和斯蒂格利茨（1970）的经典分析表明，这些都是等价的。考虑随机变量X~和是~, 具有相同的期望。
(1)X~风险比是~如果没有一个具有递增的凹效用函数的人更喜欢是~至X~ :
和[在(X~)]≥和[在(是~)]
对于所有增加的凹在 (.). X~风险小于是~（没有资格）如果它的风险比是~并且有一些增加的凹面在(.)在H一世CH秒吨r一世C吨升是喜欢X~至是~.
请注意，这是部分排序。情况并非如此，对于任何X~和是~， 任何一个X~风险比是~或者是~风险比X~. 如果我们将注意力限制在比凹函数更小的一类效用函数上，例如二次函数，我们可以获得完整的排序。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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