复杂网络代写

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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。

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我们提供的复杂网络complex network及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Multiple Lyapunov functions

To proceed, the notion of time dependent switching is introduced.
As a special kind of hybrid dynamic system, switched system has been studied for quite some time by researchers from applied mathematics, systems and control fields. Roughly speaking, a switched system is a dynamic system that consists of a number of subsystems and a switching rule that determines switches among these subsystems. Suppose the switched system is generated by the following family of subsystems
$$
\dot{x}(t)=f_{p}(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, p \in{1, \ldots, \kappa},
$$
together with a switching signal $\sigma(t):\left[t_{0},+\infty\right) \mapsto{1, \ldots, \kappa}$. Note that $\sigma(t)$ is a piecewise constant function that switches at the switching time instants $t_{1}, t_{2}, \ldots$, and is constant on the time interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$. In this book, we assume $\sigma(t)$ is right continuous, i.e., $\sigma(t)=\lim {\iota} t \sigma(\iota)$, and $\inf {k \in \mathbb{N}}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \geq \tau_{m}$ for some given positive scalar $\tau_{m}$ where inf represents the infimum. Please see Figure $2.2$ for an example. Thus the switched systems with time-dependent switching signal $\sigma(t)$ can be described by the equation
$$
\dot{x}(t)=f_{\sigma(t)}(t, x(t)) .
$$
According to Theorem 2.1, each subsystem has a unique solution over arbitrary interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, with arbitrary initial value $x\left(t_{k}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ if the function $f_{p}$, for each $p=1, \ldots, \kappa$, is globally Lipschitz in $x(t)$ uniformly over $t$. Thus the switched system (2.10) is well defined for arbitrary switching signal $\sigma(t)$ defined above and any given initial value $x\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Throughout this chapter, we assume that such a globally Lipschitz condition holds for the subsystems, and thus the well-definedness of the switched system is guaranteed. We further assume that $f_{p}\left(t, \mathbf{0}{n}\right)=\mathbf{0}{n}$ for each $p=1, \ldots, \kappa$. Thus, the zero vector is an equilibrium point of the switched system (2.10). Next, some stability notions for the zero equilibrium point of switched systems are introduced.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS WITH DIRECTED SWITCHING TOPOLOGIES

In the past decade, the consensus problem of general linear CNSs has received a lot of attention $[76,146,162,185,186,224]$. Specifically, the consensus problem of linear CNSs under a directed fixed communication topology has been addressed in $[76,224]$. In [162], the robust consensus of linear CNSs with additive perturbations of the transfer matrices of the nominal dynamics was studied. In [163] and a number of subsequent papers, the robust consensus was analyzed from the viewpoint of the $\mathcal{H}_{\infty}$ control theory. Among other relevant references, we mention [146] where, while assuming that the open loop systems are Lyapunov stable, the consensus problem of linear CNSs with undirected switching topologies has been investigated. In the situation where the CNS is equipped with a leader and the topology of the system belongs to the class of directed switching topologies, the consensus tracking problem has been studied in $[185,186]$. One feature of the results in these references is that the open loop agents’ dynamics do not have to be Lyapunov stable. Note that the presence of the leader in the CNSs considered in these references facilitate the derivations and the direct analyses of the consensus error system. However, when the open loop systems are not Lyapunov stable and/or there is no designated leader in the group, the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies remains challenging.

Motivated by the above discussion, this section aims to study the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies. Several aspects of the current study are worth mentioning. Firstly, some of the assumptions in the existing works are dismissed, e.g., the open loop dynamics of the agents do not have to be Lyapunov stable in this chapter. Furthermore, the CNSs under consideration are not required to have a leader. Compared with the consensus problems for linear CNSs with a designated leader, the point of difference here concerns the assumption on the system’s communication topology. In the previous work on the consensus tracking of linear CNSs such as [185], each possible augmented system graph was required to contain a directed spanning tree rooted at the leader. Compared with that work, the switching topologies in this section are allowed to have spanning trees rooted at different nodes. This is a significant relaxation of the previous conditions since it enables the system to be reconfigured if necessary (e.g., to allow different nodes to serve as the formation leader). This also has a potential to make the system more reliable.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Multiple Lyapunov functions

为了继续，引入时间相关切换的概念。
切换系统作为一种特殊的混合动力系统，已经被应用数学、系统和控制领域的研究人员研究了很长时间。粗略地 说，切换系统是一个动态系统，由若干子系统和决定这些子系统之间切换的切换规则组成。假设切换系统由以下子 系统族生成
$$
\dot{x}(t)=f_{p}(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, p \in 1, \ldots, \kappa
$$
连同一个开关信号 $\sigma(t):\left[t_{0},+\infty\right) \mapsto 1, \ldots, \kappa$. 注意 $\sigma(t)$ 是在切换时刻切换的分段常数函数 $t_{1}, t_{2}, \ldots$, 并且在 时间间隔上是常数 $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$ 在本书中，我们假设 $\sigma(t)$ 是右连续的，即， $\sigma(t)=\lim \iota \sigma(\iota)$ ，和 $\inf k \in \mathbb{N}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \geq \tau_{m}$ 对于一些给定的正标量 $\tau_{m}$ 其中 $\inf$ 表示下确界。请看图 $2.2$ 例如。因此具有时间相 关开关信号的开关系统 $\sigma(t)$ 可以用方程来描述
$$
\dot{x}(t)=f_{\sigma(t)}(t, x(t)) .
$$
根据定理 2.1，每个子系统在任意区间上都有唯一解 $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, 具有任意初始值 $x\left(t_{k}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ 如果 号是很好定义的 $\sigma(t)$ 上面定义的和任何给定的初始值 $x\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. 在本章中，我们假设这样的全局 Lipschitz 条件 适用于子系统，从而保证了切换系统的良好定义。我们进一步假设 $f_{p}(t, \mathbf{0} n)=\mathbf{0} n$ 对于每个 $p=1, \ldots, \kappa$. 因 此，零向量是切换系统 (2.10) 的平衡点。接下来，介绍了切换系统零平衡点的一些稳定性概念。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS WITH DIRECTED SWITCHING TOPOLOGIES

在过去十年中，一般线性中枢神经系统的共识问题受到了很多关注[76,146,162,185,186,224]. 具体来说，在有向固定通信拓扑下的线性 CNS 的共识问题已在[76,224]. 在 [162] 中，研究了线性 CNS 与标称动力学的传递矩阵的加性扰动的稳健共识。在 [163] 和随后的一些论文中，稳健的共识是从H∞控制理论。在其他相关参考文献中，我们提到了[146]，其中假设开环系统是 Lyapunov 稳定的，研究了具有无向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。在CNS配备leader且系统拓扑属于有向交换拓扑类的情况下，研究了共识跟踪问题[185,186]. 这些参考文献中结果的一个特点是开环代理的动力学不必是李雅普诺夫稳定的。请注意，在这些参考文献中考虑的 CNS 中领导者的存在促进了对共识错误系统的推导和直接分析。然而，当开环系统不是李雅普诺夫稳定和/或组中没有指定的领导者时，具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题仍然具有挑战性。

受上述讨论的启发，本节旨在研究具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。当前研究的几个方面值得一提。首先，现有工作中的一些假设被驳回，例如，在本章中，代理的开环动力学不必是 Lyapunov 稳定的。此外，正在考虑的 CNS 不需要有领导者。与具有指定领导者的线性 CNS 的共识问题相比，这里的不同之处在于对系统通信拓扑的假设。在之前关于线性 CNS 一致性跟踪的工作（如 [185]）中，每个可能的增强系统图都需要包含一个以领导者为根的有向生成树。与那部作品相比，本节中的交换拓扑允许具有植根于不同节点的生成树。这是对先前条件的显着放宽，因为它使系统能够在必要时重新配置（例如，允许不同的节点充当编队领导者）。这也有可能使系统更可靠。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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cs代写|复杂网络代写complex network代考|EXTENSIONS AND APPLICATIONS OF CNSS WITH SWITCHING TOPOLOGIES

In the above sections, we have surveyed some recent developments in the analysis and synthesis of CNSs with switching topologies, mainly focusing on the synchronization and consensus behaviors and comparison to complex networks and MASs’ scenarios. The above survey is by no means complete. However, it depicts the whole general framework of coordination control for CNSs with dynamic communication networks and lays the fundamental basis for other exciting and yet critical issues concerning CNSs with switching topologies. These extensions still deserve further study, although a variety of efficient tools have been successfully developed to solve various challenging problems in those active research fields. Next, we elaborate on several state-of-the-art extensions and applications of CNSs with dynamic topologies.

Resilience analysis and control of complex cyber-physical networks. Most of the units in various network infrastructures are cyber-physical systems in the Internet of Things era. One of the essential and significant features of the cyber-physical system is integrating and interacting with its physical and cyber layers. As a new generation of CNS, the complex cyber-physical network has received drastic attention in recent years. Specifically, the CNSs’ paradigm provides an excellent way to model various large-scale crucial infrastructure systems, such as power grid systems, transportation systems, water supply networks, and many others [4]. These systems all capture the basic features that large numbers of interconnected individuals through wired or wireless communication links, and many essential functions of these large-scale infrastructure systems fall under the purview of coordination of CNSs. Disruption of these critical networked infrastructures could be a real-world effect across an entire country and even further, significantly impacting public health and safety and leading to massive economic losses. The alarming historical events urgently remind us to seek solutions for maintaining certain functionality of CNSs against malicious cyberattacks (i.e., resilience or cybersecurity). It is critically essential to exploit security threats during the initial design and development phase.

Noteworthily, any successful cyber or physical attack mentioned above on complex cyber-physical networks may introduce undesired switching dynamics (e.g., loss of links due to DoS attacks or human-made physical damages) to the operation of these networks [194]. Inspired by the pioneering work [194], [168] further investigated the distributed observer-based cyber-security control of complex dynamical networks. This work considered the scenario that the communication channels for controllers and observers might both subject to malicious cyber attacks, which aim to block the information exchanges and result in disconnected topologies of the communication networks. New security control strategies are proposed, and an algorithm to properly select the feedback gain matrices and coupling strengths has been given. The asynchronous attacks in these two communication channels were explored in [169], where the attacks can be launched independently and may occur at different time intervals. Recently, [69] studied the distributed cooperative control for DC cyber-physical microgrids under communication delays and slow switching topologies would destruct the system’s transient behaviors at the switching time instants. The average switching dwell-time-dependent control conditions were given to ensure the exponential stability of the considered cyber-physical systems. For the event-triggered communication scenario, [26] studied the distributed consensus for general linear MASs subjected to DoS attacks. By the switched and time-delay system approaches, one constraint was provided to illustrate the convergence rate of consensus errors and uniform lower bound of non-attacking intervals of DoS attacks.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|ALGEBRAIC GRAPH THEORY

Suppose a CNS consists of $N$ nodes (agents) which interact with each other through a communication or sensing network or a combination of both. It is natural to model the interactions among the $N$ nodes (agents) by undirected or directed graphs. Without loss generality, the $N$ nodes can be labeled as node $1, \ldots, N$. Let $\mathcal{V}={1, \cdots, N}$ be the set of nodes. Then the directed graph is described by $(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, where the set of edges $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{V} \times \mathcal{V}$ represent the interactions among the $N$ nodes. For notational simplicity, the graph $(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ is denoted by $\mathcal{G}$. The edge $(j, i) \in \mathcal{E}$ if and only if node $i$ can receive the information from node $j$. When $(j, i) \in \mathcal{E}$, node $j$ is said to be a neighbor of node $i$. Denote by $\mathcal{N}{i}$ the set of neighbors of node $i$.

If there exists a sequence of distinct nodes $i{1}, \ldots, i_{m}$ such that $\left(i, i_{1}\right),\left(i_{1}, i_{2}\right), \ldots,\left(i_{m-1}, i_{m}\right),\left(i_{m}, k\right) \in \mathcal{E}$, then it is said that node $i$ has a directed path to node $k$, or node $k$ is reachable from node $i . \mathcal{G}$ is strongly connected if each node has at least one directed path to any other nodes. More generally, if there exists a node, called the root, which has at least one directed path to any other nodes, $\mathcal{G}$ is said to contain a directed spanning tree. Denote by $a_{i j}$ the weight of the edge $(j, i), i, j=1, \ldots, N$. It is assumed throughout this book that $a_{i j} \geq 0$, where $a_{i j}>0$ if and only if $(j, i) \in \mathcal{E}$, and $a_{i j}=0$, otherwise. In addition, it is assumed in this book that $a_{i i}=0$, that is, self-loop is forbidden. $\mathcal{G}$ is called an undirected graph if $(i, j) \in \mathcal{E}$ whenever $(j, i) \in \mathcal{E}$ and $a_{i j}=a_{j i}$. An undirected graph is connected if there exists at least one undirected path between each pair of distinct nodes. For undirected graphs, the existence of an undirected spanning tree is equivalent to being connected. However, for directed graphs, the existence of a directed spanning tree is a weaker condition than being strongly connected. Please see Figure $2.1$ for a directed graph which is not strongly connected but contains a directed spanning tree.

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|EXTENSIONS AND APPLICATIONS OF CNSS WITH SWITCHING TOPOLOGIES

在上述部分中，我们回顾了具有切换拓扑的 CNS 分析和综合的一些最新进展，主要关注同步和共识行为以及与复杂网络和 MAS 场景的比较。上述调查并不完整。然而，它描述了具有动态通信网络的 CNS 协调控制的整个一般框架，并为其他有关具有交换拓扑的 CNS 的令人兴奋但关键的问题奠定了基础。这些扩展仍然值得进一步研究，尽管已经成功开发了各种有效的工具来解决那些活跃的研究领域中的各种具有挑战性的问题。接下来，我们详细阐述了具有动态拓扑的 CNS 的几个最先进的扩展和应用。

复杂网络物理网络的弹性分析和控制。各种网络基础设施中的大部分单元都是物联网时代的信息物理系统。网络物理系统的基本和重要特征之一是与其物理层和网络层集成和交互。作为新一代的CNS，复杂的信息物理网络近年来受到了广泛关注。具体来说，CNS 的范式为模拟各种大型关键基础设施系统（如电网系统、交通系统、供水网络等）提供了一种极好的方法 [4]。这些系统都捕捉到大量通过有线或无线通信链路相互连接的个体的基本特征，这些大型基础设施系统的许多基本功能都属于 CNS 协调的范围。这些关键网络基础设施的中断可能会对整个国家产生现实影响，甚至会进一步严重影响公共健康和安全，并导致巨大的经济损失。令人震惊的历史事件紧急提醒我们寻求解决方案，以维护 CNS 的某些功能以抵御恶意网络攻击（即弹性或网络安全）。在初始设计和开发阶段利用安全威胁至关重要。严重影响公共健康和安全，并导致巨大的经济损失。令人震惊的历史事件紧急提醒我们寻求解决方案，以维护 CNS 的某些功能以抵御恶意网络攻击（即弹性或网络安全）。在初始设计和开发阶段利用安全威胁至关重要。严重影响公共健康和安全，并导致巨大的经济损失。令人震惊的历史事件紧急提醒我们寻求解决方案，以维护 CNS 的某些功能以抵御恶意网络攻击（即弹性或网络安全）。在初始设计和开发阶段利用安全威胁至关重要。

值得注意的是，上面提到的对复杂网络物理网络的任何成功的网络或物理攻击都可能会给这些网络的运行带来不希望的切换动态（例如，由于 DoS 攻击或人为物理损坏造成的链路丢失）[194]。受开创性工作 [194] 的启发，[168] 进一步研究了基于分布式观察者的复杂动态网络的网络安全控制。这项工作考虑了控制器和观察者的通信通道都可能受到恶意网络攻击的情况，这些攻击旨在阻止信息交换并导致通信网络的拓扑断开。提出了新的安全控制策略，并给出了正确选择反馈增益矩阵和耦合强度的算法。在[169]中探讨了这两个通信通道中的异步攻击，其中攻击可以独立发起并且可能在不同的时间间隔发生。最近，[69] 研究了直流信息物理微电网在通信延迟和慢切换拓扑下的分布式协同控制会破坏系统在切换时刻的瞬态行为。给出了平均切换停留时间相关的控制条件，以确保所考虑的信息物理系统的指数稳定性。对于事件触发的通信场景，[26] 研究了受到 DoS 攻击的一般线性 MAS 的分布式共识。通过切换和延时系统方法，

cs代写|复杂网络代写complex network代考|ALGEBRAIC GRAPH THEORY

假设一个 CNS 由 $N$ 通过通信或传感网络或两者的组合相互交互的节点 (代理)。模型之间的相互作用是很自然的 $N$ 通过无向或有向图的节点 (代理)。不失一般性， $N$ 节点可以标记为节点 $1, \ldots, N$. 让 $\mathcal{V}=1, \cdots, N$ 是节点的 集合。然后有向图描述为 $(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, 其中边的集合 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{V} \times \mathcal{V}$ 表示之间的相互作用 $N$ 节点。为符号简单起见，该图 $(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ 表示为 $\mathcal{G}$. 边缘 $(j, i) \in \mathcal{E}$ 当且仅当节点 $i$ 可以从节点接收信息 $j$. 什么时候 $(j, i) \in \mathcal{E}$ ，节点 $j$ 被称为节点的邻居 $i$. 表示为 $\mathcal{N} i$ 节点的邻居集合i.
如果存在一系列不同的节点 $i 1, \ldots, i_{m}$ 这样 $\left(i, i_{1}\right),\left(i_{1}, i_{2}\right), \ldots,\left(i_{m-1}, i_{m}\right),\left(i_{m}, k\right) \in \mathcal{E}$ ，则称该节点 $i$ 有一 个指向节点的路径 $k$, 或节点 $k$ 可从节点访问 $i . \mathcal{G}$ 如果每个节点至少有一条到任何其他节点的有向路径，则它是强连 接的。更一般地，如果存在一个称为根的节点，它至少有一条到任何其他节点的有向路径， $\mathcal{G}$ 据说包含有向生成 树。表示为 $a_{i j}$ 边缘的重量 $(j, i), i, j=1, \ldots, N$. 本书通篇假定 $a_{i j} \geq 0$ ，在哪里 $a_{i j}>0$ 当且仅当 $(j, i) \in \mathcal{E}$ ， 和 $a_{i j}=0$ ，否则。此外，本书假设 $a_{i i}=0$ ，即禁止自循环。 $\mathcal{G}$ 称为无向图，如果 $(i, j) \in \mathcal{E}$ 每当 $(j, i) \in \mathcal{E}$ 和 $a_{i j}=a_{j i}$. 如果每对不同的节点之间至少存在一条无向路径，则无向图是连通的。对于无向图，无向生成树的存在 相当于是连通的。然而，对于有向图，有向生成树的存在是比强连接更弱的条件。请看图 2 .1对于没有强连接但包 含有向生成树的有向图。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|DEFINITIONS OF SYNCHRONIZATION AND CONSENSUS

Before moving forward, the definition of consensus of MASs is given. Moreover, the synchronization of complex networks can be defined similarly.

Consider an MAS which consists of $N$ agents. Without loss of generality, we label the $N$ agents as agents $1, \ldots, N$, respectively. The dynamics of agent $i, i=1, \ldots, N$, are represented by
$$
\dot{x}{i}(t)=f\left(t, x{i}(t), u_{i}(t)\right),
$$
where $x_{i}(t) \in \mathbb{R}^{n}$ and $u_{i}(t) \in \mathbb{R}^{m}$ represent, respectively, the state and the control input, $f(\cdot, \cdot \cdot):\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \mapsto \mathbb{R}^{n}$ represents the nonlinear dynamics of agent i. A particular case is the general linear time-invariant MASs with the dynamics of agent $i$ are described by
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+B u_{i}(t), i=1, \ldots, N,
$$
where $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ represent, respectively, the state matrix and control input matrix. For convenience, throughout this book, we call MAS (1.1) to represent the MAS whose dynamics are described by (1.1).

Definition $1.1$ Consensus of the MAS (1.1) is said to be achieved if for arbitrary initial conditions $x_{i}\left(t_{0}\right), i=1, \ldots, N$,
$$
\lim {t \rightarrow \infty}\left|x{i}(t)-x_{j}(t)\right|=0, i, j=1, \ldots, N .
$$
The definition of consensus for MAS (1.1) given by Eq. (1.3) does not concern about the final consensus states. However, it is sometimes important to make the states of all agents in the considered MASs to finally converge to some predesigned trajectory, especially from the viewpoint of controlling various complex engineering systems. To ensure the states of all agents in MAS (1.1) converge to some desired states, a target system (may be virtual) is introduced to the network (1.1) as
$$
\dot{s}(t)=f(t, s(t))
$$
for some given initial value $s\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Under this scenario, we call agent $i$ whose dynamics are described by (1.1) the follower $i, i=1, \ldots, N$, and call the agent whose dynamics are described by (1.4) the leader.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|SYNCHRONIZATION OF COMPLEX NETWORKS WITH SWITCHING TOPOLOGIES

In the field of complex networks’ synchronization with switching topologies, a wide range of research has been recently focused on dealing with issues related to the switchings and their effects on synchronization.

There has been increasing recognition that each topology candidate’s properties and the switching strategy for topologies play essential roles in achieving synchronization for complex networks with switching topologies. The analytical approaches for synchronization of continuous- and discrete-time complex networks with switching topologies are generally different. Mathematically, the continuous-time complex network with switching topologies is a special kind of those with time-varying topology. However, it is preliminarily assumed in some existing works on synchronization of continuous-time network systems with time-varying topology that the connection links evolve continuously over time with a known bound for the changing rate [103] or with a time-varying Laplacian matrix being simultaneously diagonalizable [11]. Thus, the techniques developed in these works to solve synchronization problem of complex networks with special time-varying topology are generally hard to apply to that with switching topologies, especially to the case with directed switching topologies.

Specifically, averaging-based approaches were developed to analyze synchronization of continuous-time complex networks with fast switching topologies $[7,140]$ while multiple Lyapunov functions (MLFs)-based approaches were developed to analyze synchronization of continuous-time complex networks with slowly switching topologies (especially for the case with directed switching topologies) [190]. Furthermore, MLFLs-based approaches were usually employed to analyze synchronization of continuous-time complex networks with switching topologies under delayed or sampled-data coupling $[90,187]$. Common Lyapunov function (CLF)- and functional (CLFL)-based approaches are applicable only to some special continuous-time complex networks with switching topologies such as each possible topology candidate is undirected [222].

For discrete-time CNSs with switching topologies, global synchronization for nonautonomous linear complex networks with randomly switching topologies was studied in [200] by developing a kind of approaches from ergodicity theory for nonhomogeneous Markovian chains. A method based on the Hajnal diameter of infinite coupling matrices was proposed in [97] to analyze the local synchronizability of a class of discrete-time complex networks with directed switching topologies. Synchronization of discrete-time complex networks with undirected switching topologies and impulsive controller was studied in [73] by constructing MLFs. Globally almost sure synchronization for discrete-time complex networks with switching topologies was investigated in [51] by using the super-martingale convergence theorem. For more recent related works, one can refer to the survey.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|DEFINITIONS OF SYNCHRONIZATION AND CONSENSUS

在继续之前，给出了 MAS 共识的定义。此外，可以类似地定义复杂网络的同步。
考虑一个 MAS，它由 $N$ 代理。不失一般性，我们标记 $N$ 代理人作为代理人 $1, \ldots, N$ ，分别。代理的动态 $i, i=1, \ldots, N$, 表示为
$$
\dot{x} i(t)=f\left(t, x i(t), u_{i}(t)\right),
$$
在哪里 $x_{i}(t) \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $u_{i}(t) \in \mathbb{R}^{m}$ 分别表示状态和控制输入， $f(\cdot, \cdot \cdot):\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \mapsto \mathbb{R}^{n}$ 表示代 理 $\mathrm{i}$ 的非线性动力学。一个特例是具有代理动力学的一般线性时不变 MAS $i$ 被描述为
$$
\dot{x} i(t)=A x i(t)+B u_{i}(t), i=1, \ldots, N,
$$
在哪里 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 分别表示状态矩阵和控制输入矩阵。为方便起见，在整本书中，我们称 MAS (1.1) 来表示其动力学由 (1.1) 描述的 MAS。
定义1.1如果对于任意初始条件，则据说可以实现 MAS (1.1) 的共识 $x_{i}\left(t_{0}\right), i=1, \ldots, N$ ，
$$
\lim t \rightarrow \infty\left|x i(t)-x_{j}(t)\right|=0, i, j=1, \ldots, N .
$$
由方程式给出的 MAS (1.1) 共识的定义。(1.3) 不关心最终共识状态。然而，有时重要的是使所考虑的 MAS 中的所 有代理的状态最终收敛到某个预先设计的轨迹，特别是从控制各种复杂工程系统的角度来看。为了确保 MAS (1.1) 中所有代理的状态收敛到一些期望的状态，将目标系统 (可能是虚拟的) 引入网络 (1.1) 为
$$
\dot{s}(t)=f(t, s(t))
$$
对于一些给定的初始值 $s\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. 在这种情况下，我们称代理 $i$ 其动力学由 $(1.1)$ 跟随者描述 $i, i=1, \ldots, N$ ， 并调用由 (1.4) 描述动态的智能体为领导者。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|SYNCHRONIZATION OF COMPLEX NETWORKS WITH SWITCHING TOPOLOGIES

在复杂网络与交换拓扑的同步领域，最近广泛的研究集中在处理与交换相关的问题及其对同步的影响。

人们越来越认识到，每个拓扑候选的属性和拓扑的交换策略在实现具有交换拓扑的复杂网络的同步方面起着至关重要的作用。具有交换拓扑的连续和离散时间复杂网络同步的分析方法通常是不同的。在数学上，具有交换拓扑的连续时间复杂网络是具有时变拓扑的一种特殊网络。然而，在一些现有的关于具有时变拓扑的连续时间网络系统同步的工作中，初步假设连接链路随着时间的推移以已知的变化率[103]或时变拉普拉斯矩阵不断演变同时可对角化[11]。因此，

具体来说，开发了基于平均的方法来分析具有快速切换拓扑的连续时间复杂网络的同步[7,140]同时开发了多个基于 Lyapunov 函数 (MLF) 的方法来分析具有缓慢切换拓扑的连续时间复杂网络的同步（特别是对于有向切换拓扑的情况）[190]。此外，基于 MLFL 的方法通常用于分析具有切换拓扑的连续时间复杂网络在延迟或采样数据耦合下的同步[90,187]. 基于通用 Lyapunov 函数 (CLF) 和泛函 (CLFL) 的方法仅适用于一些具有切换拓扑的特殊连续时间复杂网络，例如每个可能的拓扑候选者都是无向的 [222]。

对于具有切换拓扑的离散时间CNS，在[200]中研究了具有随机切换拓扑的非自治线性复杂网络的全局同步，通过开发一种非齐次马尔可夫链的遍历性理论方法。在[97]中提出了一种基于无限耦合矩阵的Hajnal直径的方法来分析一类具有定向切换拓扑的离散时间复杂网络的局部同步性。[73] 通过构建 MLF 研究了具有无向开关拓扑和脉冲控制器的离散时间复杂网络的同步。在[51]中使用超鞅收敛定理研究了具有交换拓扑的离散时间复杂网络的全局几乎确定的同步。更多近期相关作品。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|directed switching topologies

This chapter studies the consensus tracking of CNSs with higher-order dynamics and directed switching topologies. This chapter begins by overviewing some previous works and by indicating our motivations. Section $6.2$ firstly studies the case with Lipschitz nonlinear dynamics and directed fixed topology. Then we extend the results to directed switching topologies with each topology contains a directed spanning tree. This section finally studies the case with directed switching topologies that frequently contain a directed spanning tree. Section $6.3$ studies the case with general linear dynamics and occasionally missing control inputs. This section presents some sufficient criteria for achieving consensus tracking. Moreover, the convergence rate is discussed. Finally, some simulations are given to validate the theoretical results.

In contrast to CNSs with first-order nonlinear dynamics, CNSs with second-order nonlinear dynamics are more interesting as it can describe a large class of real networked systems, including coupled pendulums [5] and coupled point-mass systems with or without nonlinear disturbances [165]. Leaderless consensus problem for CNSs with second-order nonlinear dynamics and a fixed weakly connected topology was investigated in [217]. In [137], the consensus tracking problem for CNSs with second-order nonlinear dynamics in the presence of a leader under an arbitrarily given directed topology was studied from pinning control approach. Furthermore, consensus tracking problem for CNSs with higher-order Lipschitz type agent dynamics and a fixed topology was studied in [79].

In the existing literature on the consensus tracking problem for CNSs with nonlinear dynamics, it is commonly assumed that the communication topology is fixed.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS TRACKING OF CNSS WITH HIGHER-ORDER NONLINEAR DYNAMICS

Consider a CNS consisting of a leader and $N$ followers, where the leader is labelled as agent 0 and the followers are labelled as agents $1, \ldots, N$. The dynamics of agent $i, i=0,1, \ldots, N$, are given by
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+C f\left(x_{i}(t), t\right)+B u_{i}(t),
$$
where $x_{i}(t) \in \mathbb{R}^{n}$ represent the states of agent $i, f(\cdot, \cdot): \mathbb{R}^{n} \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R}^{p}$ is a continuously differentiable vector-valued function representing the intrinsic nonlinear dynamics, $u_{i}(t) \in \mathbb{R}^{m}$ is the control input to be designed, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$, and $C \in \mathbb{R}^{n \times p}$ are constant real matrices. It is assumed that the matrix pair $(A, B)$ is stabilizable. In this section, it is assumed that the leader will not being affected by any followers, i.e. $u_{0}(t) \equiv \mathbf{0}{m}$ in CNS (6.1). Before moving on, the following assumption is made. Assumption 6.1 There exists a nonnegative constant $\varrho$, such that $$ |f(y, t)-f(z, t)| \leq \varrho|y-z|, \forall y, z \in \mathbb{R}^{n}, t \geq 0 $$ To achieve consensus tracking, the following distributed consensus tracking protocol is proposed for each follower $i$ : $$ u{i}(t)=\alpha F \sum_{j=0}^{N} a_{i j}(t)\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right), \quad i=1, \ldots, N,
$$
where $\alpha>0$ represents the coupling strength, $F \in \mathbb{R}^{m \times n}$ is the feedback gain matrix to be designed, and $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]_{(N+1) \times(N+1)}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}(t)$. Here, $\mathcal{G}(t)$ describes the underlying communication topology among the $N+1$ agents at time $t$.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for fixed topology containing a directed spanning tree

In this section, distributed consensus tracking is addressed for CNS (6.1) with a fixed communication topology containing a directed spanning tree.

Without loss of generality, let $\mathcal{G}(t)=\mathcal{G}$ for all $t \geq 0$ since the communication topology is assumed to be fixed in this subsection. To derive the main results, the following assumption is needed.

Assumption 6.2 The communication topology $\mathcal{G}$ contains a directed spanning tree with agent 0 (i.e. the leader) as the root.

Under Assumption 6.2, , the Laplacian matrix of directed graph $\mathcal{G}$ can be written as
$$
\mathcal{L}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P} & \overline{\mathcal{L}} \end{array}\right], \quad \overline{\mathcal{L}}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in N_{1}} a_{1 j} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 N} \
-a_{21} & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j} & \cdots & -a_{2 N} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1} & -a_{N 2} & \cdots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}
\end{array}\right]
$$
where $\mathbf{P}=-\left[a_{10}, \ldots, a_{N 0}\right]^{T}$. It can be thus obtained from Lemma $2.15$ that there exists a positive definite diagonal matrix $\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}$ such that $\overline{\mathcal{L}}^{T} \Phi+$ $\Phi \overline{\mathcal{L}}>0$. One such $\phi=\left[\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right]^{T}$ can be obtained by solving the matrix equation $\overline{\mathcal{L}}^{T} \phi=\mathbf{1}{N}$. Since $u{0}(t) \equiv \mathbf{0}{m}$, one has $$ \dot{x}{0}(t)=A x_{0}(t)+C f\left(x_{0}(t), t\right) .
$$
Furthermore, substituting (6.2) into (6.1) gives a closed-loop system:
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+C f\left(x_{i}(t), t\right)+\alpha B F \sum_{j=0}^{N} a_{i j}\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right), i=1, \ldots, N,
$$
where $\mathcal{A}=\left[a_{i j}\right]{(N+1) \times(N+1)}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}$. Define $e{i}(t)=x_{i}(t)-x_{0}(t), i=1, \ldots, N$, and $e(t)=\left[e_{1}^{T}(t), \ldots, e_{N}^{T}(t)\right]^{T}$. Based on the above analysis, one has the following error dynamical system:
$$
\dot{e}{i}(t)=A e{i}(t)+C\left(f\left(x_{i}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)-\alpha B F \sum_{j=1}^{N} \bar{l}{i j}(t) e{j}(t)
$$
Rewriting (6.5) into a compact form, one has
$$
\dot{e}(t)=\left(I_{N} \otimes A\right) e(t)+\left(I_{N} \otimes C\right) \tilde{f}(x(t), t)-\alpha(\overline{\mathcal{L}} \otimes B F) e(t)
$$

where $\tilde{f}(x(t), t)=\left[\left(f\left(x_{1}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)^{T}, \ldots,\left(f\left(x_{N}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)^{T}\right]^{T}$ and $x(t)=\left[x_{0}^{T}(t), x_{1}^{T}(t), \ldots, x_{N}^{T}(t)\right]^{T} .$

Before moving on, a multi-step design procedure is given for selecting the control parameters in protocol (6.2) under a fixed topology $\mathcal{G}$.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|directed switching topologies

本章研究具有高阶动态和定向切换拓扑的 CNS 的一致性跟踪。本章首先概述了一些以前的工作并指出了我们的动机。部分6.2首先研究了Lipschitz非线性动力学和有向固定拓扑的情况。然后我们将结果扩展到有向交换拓扑，每个拓扑都包含一个有向生成树。本节最后研究了经常包含有向生成树的有向交换拓扑的情况。部分6.3研究一般线性动力学和偶尔缺少控制输入的情况。本节介绍了实现共识跟踪的一些充分标准。此外，还讨论了收敛速度。最后，给出了一些模拟来验证理论结果。

与具有一阶非线性动力学的 CNS 相比，具有二阶非线性动力学的 CNS 更有趣，因为它可以描述一大类真实的网络系统，包括耦合摆 [5] 和有或没有非线性扰动的耦合点质量系统[165]。在 [217] 中研究了具有二阶非线性动力学和固定弱连接拓扑的 CNS 的无领导共识问题。在 [137] 中，从 pinning 控制方法研究了在任意给定的有向拓扑下存在领导者的情况下具有二阶非线性动力学的 CNS 的一致性跟踪问题。此外，在 [79] 中研究了具有高阶 Lipschitz 类型代理动力学和固定拓扑的 CNS 的共识跟踪问题。

在现有的关于具有非线性动力学的 CNS 的一致性跟踪问题的文献中，通常假设通信拓扑是固定的。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS TRACKING OF CNSS WITH HIGHER-ORDER NONLINEAR DYNAMICS

考虑一个由领导者和ñ追随者，其中领导者被标记为代理 0，追随者被标记为代理1,…,ñ. 代理的动态一世,一世=0,1,…,ñ, 由

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+CF(X一世(吨),吨)+乙在一世(吨),
在哪里X一世(吨)∈Rn代表代理的状态一世,F(⋅,⋅):Rn×[0,+∞)↦Rp是表示内在非线性动力学的连续可微向量值函数，在一世(吨)∈R米是要设计的控制输入，一个∈Rn×n,乙∈Rn×米， 和C∈Rn×p是常数实矩阵。假设矩阵对(一个,乙)是稳定的。在本节中，假设领导者不会受到任何追随者的影响，即在0(吨)≡0米在中枢神经系统（6.1）中。在继续之前，做出以下假设。假设 6.1 存在一个非负常数ϱ, 这样

|F(是,吨)−F(和,吨)|≤ϱ|是−和|,∀是,和∈Rn,吨≥0为了实现共识跟踪，为每个追随者提出了以下分布式共识跟踪协议一世 :

在一世(吨)=一个F∑j=0ñ一个一世j(吨)(Xj(吨)−X一世(吨)),一世=1,…,ñ,
在哪里一个>0表示耦合强度，F∈R米×n是要设计的反馈增益矩阵，并且一个(吨)=[一个一世j(吨)](ñ+1)×(ñ+1)是图的邻接矩阵G(吨). 这里，G(吨)描述了底层通信拓扑ñ+1当时的代理人吨.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for fixed topology containing a directed spanning tree

在本节中，针对具有包含有向生成树的固定通信拓扑的 CNS（6.1）解决分布式共识跟踪问题。

不失一般性，让G(吨)=G对所有人吨≥0因为在本小节中假设通信拓扑是固定的。为了得出主要结果，需要以下假设。

假设 6.2 通信拓扑G包含一个以代理 0（即领导者）为根的有向生成树。

在假设 6.2 下，有向图的拉普拉斯矩阵G可以写成

大号=[00ñ吨 磷大号¯],大号¯=[∑j∈ñ1一个1j−一个12⋯−一个1ñ −一个21∑j∈ñ2一个2j⋯−一个2ñ ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1−一个ñ2⋯∑j∈ññ一个ñj]
在哪里磷=−[一个10,…,一个ñ0]吨. 因此可以从引理得到2.15存在一个正定对角矩阵\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}这样大号¯吨披+ 披大号¯>0. 一个这样的φ=[φ1,…,φñ]吨可以通过求解矩阵方程得到大号¯吨φ=1ñ. 自从在0(吨)≡0米, 一个有

X˙0(吨)=一个X0(吨)+CF(X0(吨),吨).
此外，将 (6.2) 代入 (6.1) 得到一个闭环系统：

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+CF(X一世(吨),吨)+一个乙F∑j=0ñ一个一世j(Xj(吨)−X一世(吨)),一世=1,…,ñ,
在哪里一个=[一个一世j](ñ+1)×(ñ+1)是图的邻接矩阵G. 定义和一世(吨)=X一世(吨)−X0(吨),一世=1,…,ñ， 和和(吨)=[和1吨(吨),…,和ñ吨(吨)]吨. 综合以上分析，有如下误差动态系统：

和˙一世(吨)=一个和一世(吨)+C(F(X一世(吨),吨)−F(X0(吨),吨))−一个乙F∑j=1ñl¯一世j(吨)和j(吨)
将(6.5) 改写成紧凑形式，有

和˙(吨)=(我ñ⊗一个)和(吨)+(我ñ⊗C)F~(X(吨),吨)−一个(大号¯⊗乙F)和(吨)

在哪里F~(X(吨),吨)=[(F(X1(吨),吨)−F(X0(吨),吨))吨,…,(F(Xñ(吨),吨)−F(X0(吨),吨))吨]吨和X(吨)=[X0吨(吨),X1吨(吨),…,Xñ吨(吨)]吨.

在继续之前，给出了一个多步设计程序，用于在固定拓扑下选择协议（6.2）中的控制参数G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

Consider a CNS with Lorenz type dynamics which are given by
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+\beta x_{i}(t) B x_{i}(t)+\alpha \sum_{j=1}^{N} a_{i j}(t) H\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right),
$$
where
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
-(25 \gamma+10) & (25 \gamma+10) & 0 \
(28-35 \gamma) & (29 \gamma-1) & 0 \
0 & 0 & -\frac{(\gamma+8)}{3}
\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0
\end{array}\right] \text {, }
$$
$\beta=[1,0,0], \gamma \in[0,1]$ is a parameter, $\alpha>0$ represents the coupling strength among the agents, $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]{N \times N}$ is the adjacency matrix of the communication topology at time $t$, and $H \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ is the positive definite inner linking matrix, $i=1, \ldots, N$. Note that systems (5.33) will become the coupled Lorenz, Chen and Lü systems if $\gamma=0,1$, and $0.8$, respectively. By the definition of the Laplacian matrix for a graph, it follows from (5.33) that $$ \dot{x}{i}(t)=A x_{i}(t)+\beta x_{i}(t) B x_{i}(t)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) H x_{j}(t),
$$
where $L(t)=\left[l_{i j}(t)\right]{N \times N}$ is the Laplacian matrix of communication topology $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))$, $i=1, \ldots, N$. It is assumed in this section that $t{0}=0$.

The control goal here is to design some pinning controllers to some designed agents such that the states of all the agents in $(5.33)$ to converge to a common target trajectory $s(t)$ in the sense of $\lim {t \rightarrow \infty}\left|x{i}(t)-s(t)\right|=0$, for all $i=1, \ldots, N$, with
$$
\dot{s}(t)=A s(t)+\beta s(t) B s(t),
$$
with arbitrarily given initial value $s\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{3}$. Motivated by the works in $[74,136$, $205,216]$, pinning CNS (5.33) by using some linear controllers $-\alpha c_{i}(t) H\left(x_{i}(t)-s(t)\right)$ to agent $i$ leads to
$$
\begin{aligned}
\dot{x}{i}(t)=& A x{i}(t)+\beta x_{i}(t) B x_{i}(t) \
&-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) H x_{j}(t)-\alpha c_{i}(t) H\left(x_{i}(t)-s(t)\right)
\end{aligned}
$$
where $c_{i}(t) \in{0,1}$ and $c_{i}(t)=1$ if the agent $i$ of $(5.33)$ is pinned at time $t$.
Let $e_{i}(t)=x_{i}(t)-s(t), i=1, \ldots, N$, it thus follows from (5.37) that
$$
\begin{aligned}
\dot{e}{i}(t)=& A e{i}(t)+\beta x_{i}(t) B x_{i}(t)-\beta s(t) B s(t) \
&-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) H e_{j}(t)-\alpha c_{i}(t) H e_{i}(t)
\end{aligned}
$$

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for directed fixed communication topology

In this subsection, consensus tracking of CNS (5.33) with target trajectory given in (5.36) under a fixed communication topology is studied. Without loss of generality, let $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))=\mathcal{G}(\mathcal{A})$ for all $t \geq 0$. And we label the target as agent 0 .

Assumption 5.2 There exists at least one directed spanning tree rooted at agent 0 (i.e., the target) in the augmented communication topology $\mathcal{G}(\widetilde{\mathcal{A}})$.

It is clearly that Assumption $5.2$ will hold if all the agents $1, \ldots, N$ are pinned, i.e., $c_{i}(t)=1$, for all $i=1, \ldots, N$ and $t \geq 0$. However, it is more interesting to study how to make Assumption $5.2$ hold if only a small fraction of the agents in $\mathcal{G}(\mathcal{A})$ could be selected and pinned. To do this, the following algorithm is proposed to determine at least how many and what kinds of agents should be pinned such that Assumption $5.2$ holds.

Algorithm 5.2 Find the strongly connected components of $\mathcal{G}(\mathcal{A})$ by employing the Tarjan’s algorithm [157]. Note that the time complexity of this operation is $O(N+E)$, where $N$ and $E$ are, respectively, the numbers of agents and links of $\mathcal{G}(\mathcal{A}) .$ Suppose that there are $\omega$ strongly connected components in $\mathcal{G}(\mathcal{A})$, labeled as $W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{\omega}$. Set $m_{i}=0, i=1, \ldots, \omega$, and $h=1$. Then, execute the following steps
(1) Check whether there exists at least one agent $n_{k}$ belonging to $W_{h}$ which is reachable from an agent $n_{g}$ belonging to $W_{j}, j=1, \ldots, \omega, j \neq h$. If it holds, go to step (2); if it dose not hold, go to step (3).
(2) Check whether the following condition holds: $h<\omega$. If it holds, let $h=h+1$ and re-perform step (1); else stop.
(3) Arbitrarily selected one agent in $W_{h}$ and pinned, let $m_{h}=1$; Check whether the following condition holds: $h<\omega$. If it holds, let $h=h+1$ and re-perform step (1); else stop.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for directed switching communication topologies

The underlying topology of the CNS considered in this subsection is modeled by directed switching graphs. Let $\overline{\mathcal{G}}=\left{\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{1}\right), \ldots, \mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{\kappa}\right)\right}, \kappa \geq 2$, indicate the set of all possible directed communication topologies. Suppose that there exists an infinite sequence of uniformly bounded non-overlapping time intervals $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k \in \mathbb{N}$, with $t_{0}=0$, over which the interaction graph is fixed. The time sequence $t_{k}, k \in \mathbb{N}$ is then called the switching sequence, at which the interaction graph changes. Furthermore, introduce a switching signal $\sigma(t):[0,+\infty) \mapsto{1, \ldots, \kappa}$. Then, let $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{\sigma(t)}\right)$ be the communication topology of the CNS at time $t$. Note that $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{\sigma(t)}\right) \in \overline{\mathcal{G}}$, for all $t \geq 0$. The error dynamical system (5.39) can be rewritten as
$$
\begin{aligned}
\dot{e}{i}(t)=& A e{i}(t)+\beta x_{i}(t) B e_{i}(t)+\beta e_{i}(t) B s(t)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}^{\sigma(t)} H e_{j}(t) \
&-\alpha c_{i}(t) H e_{i}(t), i=1, \ldots, N,
\end{aligned}
$$
where $\mathcal{L}^{\sigma(t)}=\left[l_{i j}^{\sigma(t)}\right]{N \times N}$ is the Laplacian matrix of communication topology $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{\sigma(t)}\right)$. Throughout this section, the time derivatives of functions $e{i}(t)$ and $x_{i}(t)$ at any switching instant represent its right derivative.

Assumption 5.3 There exists at least one directed spanning tree rooted at agent 0 (i.e., the target) in the augmented communication topology $\mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{\sigma(t)}\right)$.

Remark 5.10 Applying Algorithm $5.2$ to each possible communication topology $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{i}\right), i=1, \ldots, \kappa$, one gets that Assumption $5.3$ will hold if the selected agents are pinned.

Similar to the last subsection, the Laplacian matrix of $\mathcal{G}\left(\tilde{\mathcal{A}}^{i}\right), i=1, \ldots, \kappa$, can be written as
$$
\begin{gathered}
\tilde{\mathcal{L}}^{i}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P}^{i} & \overline{\mathcal{L}}^{i} \end{array}\right], \ \overline{\mathcal{L}}^{i}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in N_{1}} a_{1 j}^{i} & -a_{12}^{i} & \cdots & -a_{1 N}^{i} \
-a_{21}^{i} & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j}^{i} & \cdots & -a_{2 N}^{i} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1}^{i} & -a_{N 2}^{i} & \cdots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}^{i}
\end{array}\right],
\end{gathered}
$$
where $\mathbf{P}^{i}=-\left[a_{10}^{i}, \cdots, a_{N 0}^{i}\right]^{T}$. with $a_{j 0}^{i}=c_{j}^{i}, j=1, \ldots, N$. Under Assumption 5.3, it can be got from Lemma $2.15$ that there exists a sequence of positive definite diagonal matrices $\Phi^{i}=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}^{i}, \ldots, \phi_{N}^{i}\right}$ such that $\left(\overline{\mathcal{L}}^{i}\right)^{T} \Phi^{i}+\Phi^{i} \overline{\mathcal{L}}^{i}>0$, where $\phi^{i}=$ $\left[\phi_{1}^{i}, \ldots, \phi_{N}^{i}\right]^{T}$ can be obtained by solving the matrix equation $\left(\overline{\mathcal{L}}^{i}\right)^{T} \phi^{i}=\mathbf{1}_{N}, i=$ $1, \ldots, \kappa$.

Based on the above analysis, one may get the following theorem which is the main result of this subsection.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

考虑具有 Lorenz 型动力学的 CNS，由下式给出

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+bX一世(吨)乙X一世(吨)+一个∑j=1ñ一个一世j(吨)H(Xj(吨)−X一世(吨)),
在哪里

一个=[−(25C+10)(25C+10)0 (28−35C)(29C−1)0 00−(C+8)3],乙=[000 00−1 010], 
b=[1,0,0],C∈[0,1]是一个参数，一个>0表示代理之间的耦合强度，一个(吨)=[一个一世j(吨)]ñ×ñ是通信拓扑在时间的邻接矩阵吨， 和H∈R3×3是正定内链接矩阵，一世=1,…,ñ. 请注意，系统 (5.33) 将成为耦合 Lorenz、Chen 和 Lü 系统，如果C=0,1， 和0.8， 分别。根据图的拉普拉斯矩阵的定义，从 (5.33) 可以得出

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+bX一世(吨)乙X一世(吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)HXj(吨),
在哪里大号(吨)=[l一世j(吨)]ñ×ñ是通信拓扑的拉普拉斯矩阵G(一个(吨)), 一世=1,…,ñ. 本节假设吨0=0.

这里的控制目标是为一些设计的代理设计一些固定控制器，使得所有代理的状态(5.33)收敛到一个共同的目标轨迹s(吨)在某种意义上林吨→∞|X一世(吨)−s(吨)|=0， 对全部一世=1,…,ñ， 和

s˙(吨)=一个s(吨)+bs(吨)乙s(吨),
具有任意给定的初始值s(吨0)∈R3. 受到作品的启发[74,136,205,216], 通过使用一些线性控制器固定 CNS (5.33)−一个C一世(吨)H(X一世(吨)−s(吨))代理一世导致

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+bX一世(吨)乙X一世(吨) −一个∑j=1ñl一世j(吨)HXj(吨)−一个C一世(吨)H(X一世(吨)−s(吨))
在哪里C一世(吨)∈0,1和C一世(吨)=1如果代理一世的(5.33)被固定在时间吨.
让和一世(吨)=X一世(吨)−s(吨),一世=1,…,ñ, 因此从 (5.37) 得出

和˙一世(吨)=一个和一世(吨)+bX一世(吨)乙X一世(吨)−bs(吨)乙s(吨) −一个∑j=1ñl一世j(吨)H和j(吨)−一个C一世(吨)H和一世(吨)

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for directed fixed communication topology

在本小节中，研究了在固定通信拓扑下使用（5.36）中给出的目标轨迹的 CNS（5.33）的一致性跟踪。不失一般性，让G(一个(吨))=G(一个)对所有人吨≥0. 我们将目标标记为代理 0 。

假设 5.2 增强通信拓扑中至少存在一棵以代理 0（即目标）为根的有向生成树G(一个~).

很明显，假设5.2如果所有代理都持有1,…,ñ被固定，即C一世(吨)=1， 对全部一世=1,…,ñ和吨≥0. 但是，更有趣的是研究如何进行假设5.2如果只有一小部分代理持有G(一个)可以选择和固定。为此，提出了以下算法来确定至少应该固定多少和什么样的代理，这样假设5.2持有。

算法 5.2 求强连通分量G(一个)通过采用 Tarjan 算法 [157]。注意这个操作的时间复杂度是○(ñ+和)， 在哪里ñ和和分别是代理的数量和链接的数量G(一个).假设有ω强连通分量G(一个)，标记为在1,在2,…,在ω. 放米一世=0,一世=1,…,ω， 和H=1. 然后，执行以下步骤
(1) 检查是否存在至少一个代理nķ属于在H可以从代理访问nG属于在j,j=1,…,ω,j≠H. 如果成立，则进行步骤（2）；如果不成立，转至步骤（3）。
(2) 检查下列条件是否成立：H<ω. 如果它成立，让H=H+1并重新执行步骤（1）；否则停止。
(3) 任意选择一名代理人在H并固定，让米H=1; 检查以下条件是否成立：H<ω. 如果它成立，让H=H+1并重新执行步骤（1）；否则停止。

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本小节中考虑的 CNS 的底层拓扑结构由有向开关图建模。让\overline{\mathcal{G}}=\left{\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{1}\right), \ldots, \mathcal{G}\left(\mathcal{A} ^{\kappa}\right)\right}, \kappa \geq 2\overline{\mathcal{G}}=\left{\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{1}\right), \ldots, \mathcal{G}\left(\mathcal{A} ^{\kappa}\right)\right}, \kappa \geq 2，表示所有可能的有向通信拓扑的集合。假设存在无限的均匀有界非重叠时间间隔序列[吨ķ,吨ķ+1),ķ∈ñ， 和吨0=0，其上的交互图是固定的。时间顺序吨ķ,ķ∈ñ然后称为切换序列，在该切换序列处交互图发生变化。此外，引入一个开关信号σ(吨):[0,+∞)↦1,…,ķ. 那么，让G(一个σ(吨))是当时 CNS 的通信拓扑吨. 注意G(一个σ(吨))∈G¯， 对全部吨≥0. 误差动态系统（5.39）可以重写为

和˙一世(吨)=一个和一世(吨)+bX一世(吨)乙和一世(吨)+b和一世(吨)乙s(吨)−一个∑j=1ñl一世jσ(吨)H和j(吨) −一个C一世(吨)H和一世(吨),一世=1,…,ñ,
在哪里大号σ(吨)=[l一世jσ(吨)]ñ×ñ是通信拓扑的拉普拉斯矩阵G(一个σ(吨)). 在本节中，函数的时间导数和一世(吨)和X一世(吨)在任何切换时刻代表它的右导数。

假设 5.3 增强通信拓扑中至少存在一棵以代理 0（即目标）为根的有向生成树G(一个~σ(吨)).

备注 5.10 应用算法5.2到每个可能的通信拓扑G(一个一世),一世=1,…,ķ，一个人得到那个假设5.3如果选定的代理被固定，将保持。

与上一小节类似，拉普拉斯矩阵G(一个~一世),一世=1,…,ķ, 可以写成

大号~一世=[00ñ吨 磷一世大号¯一世], 大号¯一世=[∑j∈ñ1一个1j一世−一个12一世⋯−一个1ñ一世 −一个21一世∑j∈ñ2一个2j一世⋯−一个2ñ一世 ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1一世−一个ñ2一世⋯∑j∈ññ一个ñj一世],
在哪里磷一世=−[一个10一世,⋯,一个ñ0一世]吨. 和一个j0一世=Cj一世,j=1,…,ñ. 在假设 5.3 下，可以从引理得到2.15存在一系列正定对角矩阵\Phi^{i}=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}^{i}, \ldots, \phi_{N}^{i}\right}\Phi^{i}=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}^{i}, \ldots, \phi_{N}^{i}\right}这样(大号¯一世)吨披一世+披一世大号¯一世>0， 在哪里φ一世= [φ1一世,…,φñ一世]吨可以通过求解矩阵方程得到(大号¯一世)吨φ一世=1ñ,一世= 1,…,ķ.

基于以上分析，可以得到以下定理，这是本小节的主要结果。

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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|dynamics and directed switching topologies

This chapter studies the consensus tracking of CNSs with first-order nonlinear dynamics and directed switching topologies. This chapter begins by overviewing some previous works and indicating our motivations. Section $5.2$ studies the case with Lipschitz type nonlinear dynamics without assuming that each possible network topology has a directed spanning tree. Specifically, this section proposes an algorithm for selecting the pinned nodes such that the graph contains a directed spanning tree. Section $5.3$ studies the case with Lorenz type nonlinear dynamics under directed fixed topology as well as directed switching topologies, where the Lorenz systems include the Chen and Lü systems. Finally, some simulations are given to validate the obtained theoretical results.

According to whether the final synchronization states depend on the initial value or not, synchronization in CNSs can be generally categorized into local synchronization [98, 102] and global synchronization [96]. Compared with the local synchronization, the global synchronization means that the network synchronization can be achieved under any given initial conditions, thus is more favorable in practical applications. In [96], a distance between the nodes’ states and the synchronization manifold was introduced, based on which a new methodology was proposed to investigate the global synchronization of coupled systems. Later, general algebraic connectivity was proposed in [218] to study the global synchronization as well as local synchronization problems in strongly connected networks. Global synchronization for coupled linear systems via state or output feedback control was studied in [224]. In $[179,204]$, global synchronization for a class of CNSs with sampling-data coupling was

addressed. For the case that the considered networks are not strongly connected or even do not contain any directed spanning tree, the pinning synchronization problem arises $[74,176,178,216]$. Pinning synchronization in scale-free and small-world complex networks were addressed in [178] and [176], respectively. Later, local and global pinning synchronization in random and scale-free networks were studied in [74]. It is worth noting that global synchronization is actually consensus tracking by regarding the target system in the network as a leader. In [216], pinning synchronization of undirected CNSs was further addressed. Without assuming the network topology is undirected or strongly connected, it was proved in [20] that a single controller can pin a coupled CNS to its homogeneous trajectory under some suitable conditions. Global pinning synchronization for a class of CNSs has been investigated in [66] under a $V$-stability framework. However, it is previously assumed in the aforementioned literature that each possible network topology contains a directed spanning tree with the leader being the root node. This indicates that each agent in the considered network can be influenced by the leader directly or indirectly. In some real cases, the aforementioned condition is hard or even impossible to verify.

Motivated by the aforementioned works on consensus tracking (i.e., global pinning synchronization) of CNSs, this chapter aims to solve the consensus tracking problem for a class of switched CNSs where some possible network topologies may not contain any directed spanning tree. By using a combined tool from $M$-matrix theory and stability analysis of switched systems, a new kind of topology-dependent MLFs for the switched networks is constructed. Theoretical analysis indicates that the consensus tracking in such a CNS can be achieved if some carefully selected nodes are pinned such that the network topology contains a directed spanning tree rooted at the target node frequently enough as the network evolves with time. Without causing any confusion, global pinning synchronization is referred as consensus tracking in the subsequent analysis in this chapter.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

Suppose that the considered CNS consists of $N$ nodes, the dynamics of agent $i$ are given by
$$
\dot{x}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)+\alpha \sum_{j=1}^{N} a_{i j}(t)\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right)
$$
where $x_{i}(t)=\left[x_{i 1}(t), \ldots, x_{i n}(t)\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n}$ for $i=1, \ldots, N$ represent the states of agent $i, \alpha>0$ is the coupling strength, and $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]{N \times N}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))$ at time $t$. Throughout this chapter, the derivatives of all functions at switching time points should be considered as their right-hand derivatives. According to the definition of Laplacian matrix for a graph, it follows from (5.1) that $$ \dot{x}{i}(t)=f\left(x_{i}(t), t\right)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) x_{j}(t),
$$
where $\mathcal{L}(t)=\left[l_{i j}(t)\right]_{N \times N}$ is the Laplacian matrix of graph $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))$.

The control goal in this section is to design pinning controllers for some appropriately selected agents in (5.2) such that the states of each agent in the considered network will approach $s(t)$ when $t$ approaches $+\infty$, i.e., $\lim {t \rightarrow \infty}\left|x{i}(t)-s(t)\right|=0$, for all $i=1, \ldots, N$ and arbitrarily given initial conditions, where
$$
\dot{s}(t)=f(s(t), t) .
$$
Here, $s(t)$ may be an equilibrium point, a periodic orbit, or even a chaotic orbit. Motivated by the works in [74], pinning network (5.2) by using linear controllers $-\alpha c_{i}(t)\left(x_{i}(t)-s(t)\right)$ to agent $i$ leads to
$$
\dot{x}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) x_{j}(t)-\alpha c_{i}(t)\left(x_{i}(t)-s(t)\right)
$$
where $c_{i}(t) \in{0,1}$ and $c_{i}(t)=1$ if and only if agent $i$ of (5.2) is pinned at time $t$.
Let $e_{i}(t)=x_{i}(t)-s(t), i=1, \ldots, N$. It thus follows from (5.4) that
$$
\dot{e}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)-f(s(t), t)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) e_{j}(t)-\alpha c_{i}(t) e_{i}(t)
$$
By taking the target system (5.3) as a virtual leader of the CNS under consideration, one may get the augmented network topology $\mathcal{G}(\widetilde{\mathcal{A}}(t))$ consisting of $N+1$ agents. Labeling the index of the virtual agent as 0 , the Laplacian matrix $\widetilde{L}(t)$ of the augmented network topology $\mathcal{G}(\widetilde{\mathcal{A}}(t))$ can be written as:
$$
\tilde{\mathcal{L}}(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P}(t) & \overline{\mathcal{L}}(t) \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(N+1) \times(N+1)} $$ $$ \overline{\mathcal{L}}(t)=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in \mathcal{N}{1}} a{1 j}(t) & -a_{12}(t) & \ldots & -a_{1 N}(t) \
-a_{21}(t) & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j}(t) & \ldots & -a_{2 N}(t) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1}(t) & -a_{N 2}(t) & \ldots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}(t)
\end{array}\right]
$$

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results

Based on the analysis in the last section, one has that, for each $s \in \mathcal{P}, \mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ contains a directed spanning tree rooted at agent 0 . Denote the Laplacian matrix of $\mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ by $\widetilde{\mathcal{L}}^{s}$. Without loss of generality, let
$$
\begin{gathered}
\tilde{\mathcal{L}}^{s}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P}^{s} & \overline{\mathcal{L}}^{s} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(N+1) \times(N+1)}, \ \overline{\mathcal{L}}^{s}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in \mathcal{N}{1}} a{1 j}^{s} & -a_{12}^{s} & \cdots & -a_{1 N}^{s} \
-a_{21}^{s} & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j}^{s} & \cdots & -a_{2 N}^{s} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1}^{s} & -a_{N 2}^{s} & \cdots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}^{s}
\end{array}\right],
\end{gathered}
$$
where $\mathbf{P}^{s}=-\left[a_{10}^{s}, \ldots, a_{N 0}^{s}\right]^{T}, a_{i 0}^{s}=c_{i}^{s}$, and $a_{i 0}^{s}=1$ if agent $i$ in graph $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{s}\right)$ is pinned, $i=1, \ldots, N$. According to the condition that, for each $s \in \mathcal{P}, \mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ contains a directed spanning tree, then $\overline{\mathcal{L}}^{s}$ is a nonsingular $M$-matrix. Then, by using Lemma $2.15$, we can get some positive definite matrices $\left(\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)} \overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}+\left(\overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{T} \bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)$ by letting $\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}$ with $\phi^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\left[\phi_{1}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right]^{T}$ satisfies $\left(\overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{T} \phi^{\sigma\left(\bar{t}{\mu}\right)}=\mathbf{1}{N} .$

For notational brevity, one may let
where $\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho}, \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \tilde{\lambda}{0}^{i}$ is the smallest eigenvalue of $\overline{\mathcal{L}}^{i}+$ $\left(\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{-1}\left(\overline{\mathcal{L}}^{i}\right)^{T} \bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}$. Furthermore, let
$$
\mu=\max {i \neq j, i, j \in \mathcal{P}} \frac{\phi{\max }^{i}}{\phi_{\min }^{j}},
$$
where $\phi_{\min }^{s}=\min {r=1, \ldots, N} \phi{r}^{s}, \phi_{\max }^{s}=\max {r=1, \ldots, N} \phi{r}^{s}$, for each $s \in \mathcal{P}$.
Based on the above analysis, one may get the following theorem which summarizes the main results of this section.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|dynamics and directed switching topologies

本章研究了具有一阶非线性动力学和有向开关拓扑的 CNS 的一致性跟踪。本章首先概述了一些以前的工作并指出了我们的动机。部分5.2研究了 Lipschitz 型非线性动力学的情况，而不假设每个可能的网络拓扑都有一个有向生成树。具体来说，本节提出了一种用于选择固定节点的算法，以使图包含有向生成树。部分5.3研究了有向固定拓扑和有向开关拓扑下洛伦兹型非线性动力学的情况，其中洛伦兹系统包括陈和吕系统。最后，给出了一些模拟来验证所获得的理论结果。

根据最终同步状态是否依赖于初始值，CNS 中的同步一般可分为局部同步 [98, 102] 和全局同步 [96]。与局部同步相比，全局同步意味着在任何给定的初始条件下都可以实现网络同步，在实际应用中更为有利。在[96]中，引入了节点状态和同步流形之间的距离，在此基础上提出了一种新的方法来研究耦合系统的全局同步。后来，在[218]中提出了通用代数连通性来研究强连通网络中的全局同步和局部同步问题。在[224]中研究了通过状态或输出反馈控制的耦合线性系统的全局同步。在[179,204]，具有采样数据耦合的一类 CNS 的全局同步是

解决。对于所考虑的网络不是强连接甚至不包含任何有向生成树的情况，就会出现锁定同步问题[74,176,178,216]. [178] 和 [176] 分别解决了无标度和小世界复杂网络中的钉扎同步问题。后来，在[74]中研究了随机和无标度网络中的局部和全局锁定同步。值得注意的是，全局同步实际上是以网络中的目标系统为领导者的共识跟踪。在 [216] 中，进一步解决了无向 CNS 的钉扎同步问题。在不假设网络拓扑是无向或强连接的情况下，[20] 证明了单个控制器可以在某些合适的条件下将耦合的 CNS 固定到其同质轨迹上。在 [66] 中研究了一类 CNS 的全局锁定同步。在-稳定性框架。然而，之前在上述文献中假设每个可能的网络拓扑都包含一个有向生成树，领导者是根节点。这表明所考虑网络中的每个代理都可以直接或间接地受到领导者的影响。在某些实际情况下，上述条件很难甚至无法验证。

受上述 CNS 共识跟踪（即全局锁定同步）工作的启发，本章旨在解决一类交换 CNS 的共识跟踪问题，其中一些可能的网络拓扑可能不包含任何有向生成树。通过使用来自的组合工具米矩阵理论和交换系统稳定性分析，构造了一种新的交换网络拓扑相关的MLF。理论分析表明，如果一些精心选择的节点被固定，使得网络拓扑包含一个以目标节点为根的有向生成树，随着网络随时间的发展而足够频繁，则可以在这种 CNS 中实现一致性跟踪。在不引起任何混淆的情况下，在本章后续分析中将全局 pinning 同步称为共识跟踪。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

假设所考虑的 CNS 包括ñ节点，代理的动态一世由

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)+一个∑j=1ñ一个一世j(吨)(Xj(吨)−X一世(吨))
在哪里X一世(吨)=[X一世1(吨),…,X一世n(吨)]吨∈Rn为了一世=1,…,ñ代表代理的状态一世,一个>0是耦合强度，并且一个(吨)=[一个一世j(吨)]ñ×ñ是图的邻接矩阵G(一个(吨))有时吨. 在本章中，所有函数在切换时间点的导数都应视为它们的右手导数。根据图的拉普拉斯矩阵的定义，由（5.1）式可得

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)Xj(吨),
在哪里大号(吨)=[l一世j(吨)]ñ×ñ是图的拉普拉斯矩阵G(一个(吨)).

The control goal in this section is to design pinning controllers for some appropriately selected agents in (5.2) such that the states of each agent in the considered network will approachs(吨)什么时候吨方法+∞， IE，林吨→∞|X一世(吨)−s(吨)|=0， 对全部一世=1,…,ñ并且任意给定初始条件，其中

s˙(吨)=F(s(吨),吨).
这里，s(吨)可能是一个平衡点，一个周期轨道，甚至是一个混沌轨道。受 [74] 中作品的启发，使用线性控制器固定网络（5.2）−一个C一世(吨)(X一世(吨)−s(吨))代理一世导致

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)Xj(吨)−一个C一世(吨)(X一世(吨)−s(吨))
在哪里C一世(吨)∈0,1和C一世(吨)=1当且仅当代理一世（5.2）的时间被固定吨.
让和一世(吨)=X一世(吨)−s(吨),一世=1,…,ñ. 因此，从 (5.4) 可以得出

和˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−F(s(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)和j(吨)−一个C一世(吨)和一世(吨)
通过将目标系统（5.3）作为所考虑的 CNS 的虚拟领导者，可以得到增强的网络拓扑G(一个~(吨))包含由…组成ñ+1代理。将虚拟代理的索引标记为 0 ，拉普拉斯矩阵大号~(吨)增强网络拓扑G(一个~(吨))可以写成：

大号~(吨)=[00ñ吨 磷(吨)大号¯(吨)]∈R(ñ+1)×(ñ+1)

大号¯(吨)=[∑j∈ñ1一个1j(吨)−一个12(吨)…−一个1ñ(吨) −一个21(吨)∑j∈ñ2一个2j(吨)…−一个2ñ(吨) ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1(吨)−一个ñ2(吨)…∑j∈ññ一个ñj(吨)]

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results

根据上一节的分析，对于每个s∈磷,G(一个~s)包含以代理 0 为根的有向生成树。表示拉普拉斯矩阵G(一个~s)经过大号~s. 不失一般性，让

大号~s=[00ñ吨 磷s大号¯s]∈R(ñ+1)×(ñ+1), 大号¯s=[∑j∈ñ1一个1js−一个12s⋯−一个1ñs −一个21s∑j∈ñ2一个2js⋯−一个2ñs ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1s−一个ñ2s⋯∑j∈ññ一个ñjs],
在哪里磷s=−[一个10s,…,一个ñ0s]吨,一个一世0s=C一世s， 和一个一世0s=1如果代理一世在图中G(一个s)被固定，一世=1,…,ñ. 根据条件，对于每个s∈磷,G(一个~s)包含有向生成树，则大号¯s是一个非奇异的米-矩阵。然后，通过使用引理2.15，我们可以得到一些正定矩阵(披¯σ(吨¯ρ)大号¯σ(吨¯ρ)+(大号¯σ(吨¯ρ))吨披¯σ(吨¯ρ))通过让\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{ t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{ t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}和φσ(吨¯ρ)=[φ1σ(吨¯ρ),…,φñσ(吨¯ρ)]吨满足(大号¯σ(吨¯ρ))吨φσ(吨¯μ)=1ñ.

为了符号简洁，可以让
where\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho} , \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \波浪号{\lambda}{0}^{i}\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho} , \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \波浪号{\lambda}{0}^{i}是的最小特征值大号¯一世+ (披¯σ(吨¯ρ))−1(大号¯一世)吨披¯σ(吨¯ρ). 此外，让

μ=最大限度一世≠j,一世,j∈磷φ最大限度一世φ分钟j,
在哪里φ分钟s=分钟r=1,…,ñφrs,φ最大限度s=最大限度r=1,…,ñφrs, 对于每个s∈磷.
基于以上分析，可以得到以下定理，概括了本节的主要结果。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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