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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuity and Convergence of Nets

One can, of course, define convergence for sequences in topological spaces as for metric spaces.

Definition 3.2.1. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space. A sequence $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ in $X$ is said to converge to $x \in X$ if, for each $N \in \mathcal{N}_x$, there is $n_N \in \mathbb{N}$ such that $x_n \in N$ for all $n \geq n_N$.

This definition is perfectly fine, but if one attempts to prove analogues of results for convergent sequences in metric spaces, problems show up. Proposition 2.3.4, for example, is no longer true in general topological spaces.

Example 3.2.2. Let $X$ be an uncountable set equipped with the topology of Example 3.1.2(e); that is, the open sets are $\varnothing$ and those with a countable complement. Fix a point $x_0 \in X$. Then $X \backslash\left{x_0\right}$ is not closed, so that $\overline{X \backslash\left{x_0\right}}=X$ must hold. Let $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ be a sequence in $X \backslash\left{x_0\right}$, and let $U:=X \backslash\left{x_1, x_2, \ldots\right}$. Due to the nature of our topology, $U$ is open and thus is a neighborhood of $x_0$. However, $x_n \notin U$ for all $n \in \mathbb{N}$ by definition, so that $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ cannot converge to $x_0$.

A less contrived example for the failure of Proposition 2.3.4 in general topological spaces is given in Exercise 11 below.

So, how are we going to define continuity on arbitrary topological spaces? Of course, we could try it via sequences as for metric spaces, but in view of Example 3.2.2, we are likely to run into unexpected difficulties. Of the four equivalent conditions of Theorem 2.3.7, the fourth one doesn’t make any explicit reference to a metric. We thus use it as the definition of continuity.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness

Compactness for topological spaces is defined as in the metric situation.
Definition 3.3.1. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space, and let $S \subset X$. An open cover for $S$ is a collection $\mathcal{U}$ of open subsets of $X$ such that $S \subset \bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$.
Definition 3.3.2. A subset $K$ of a topological space $(X, \mathcal{T})$ is called compact if, for each open cover $\mathcal{U}$ of $K$, there are $U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$ such that $K \subset$ $U_1 \cup \cdots \cup U_n$.

Before we flesh out this definition with examples (nonmetrizable ones), we introduce yet another definition.

Definition 3.3.3. A topological space $(X, \mathcal{T})$ has the finite intersection property if, for any collection $\mathcal{F}$ of closed subsets of $X$ such that $\bigcap{F: F \in \mathcal{F}}=$ $\varnothing$, there are $F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$ such that $F_1 \cap \cdots \cap F_n=\varnothing$.
The following is straightforward (just pass to complements).
Proposition 3.3.4. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space. Then the following are equivalent.
(i) $X$ is compact.
(ii) $X$ has the finite intersection property.
The reason why we introduced the finite intersection property at all is that it is sometimes easier to verify than compactness.

Example 3.3.5. Let $R$ be a commutative ring with identity. We claim that $\operatorname{Spec}(R)$ has the finite intersection property (and thus is compact). Let $\mathcal{I}$ be a family of ideals of $R$ such that
$$
\bigcap{V(I): I \in \mathcal{I}}=V\left(\sum{I: I \in \mathcal{I}}\right)=\varnothing .
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuity and Convergence of Nets

当然，我们可以像定义度量空间一样，定义拓扑空间中序列的收敛性。

3.2.1.定义设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间。如果对于每一个$N \in \mathcal{N}x$，都有一个$n_N \in \mathbb{N}$使得对于所有$n \geq n_N$，都有一个$x_n \in N$，那么我们就说$X$中的一个序列$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$收敛到$x \in X$。

这个定义是完美的，但是如果有人试图证明度量空间中收敛序列的类似结果，问题就出现了。例如，命题2.3.4在一般拓扑空间中不再成立。

例3.2.2设$X$是一个不可数集合，具有例3.1.2(e)的拓扑结构;也就是说，开集是$\varnothing$和具有可数补集的开集。固定一个点$x_0 \in X$。那么$X \backslash\left{x_0\right}$是不闭合的，那么$\overline{X \backslash\left{x_0\right}}=X$一定要hold住。设$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$是$X \backslash\left{x_0\right}$中的一个序列，设$U:=X \backslash\left{x_1, x_2, \ldots\right}$。由于我们拓扑的性质，$U$是开放的，因此是$x_0$的邻域。但是，$x_n \notin U$对于所有$n \in \mathbb{N}$的定义，使得$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$不能收敛到$x_0$。

下面的练习11给出了命题2.3.4在一般拓扑空间中失败的一个不那么人为的例子。

那么，我们如何定义任意拓扑空间上的连续性呢?当然，我们也可以像度量空间那样通过序列来尝试，但是考虑到例3.2.2，我们很可能会遇到意想不到的困难。在定理2.3.7的四个等价条件中，第四个条件没有明确提到度规。因此我们用它作为连续性的定义。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness

拓扑空间的紧性定义为度量情况下的紧性。
3.3.1.定义设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间，设$S \subset X$。$S$的开放覆盖是$X$的开放子集的集合$\mathcal{U}$，例如$S \subset \bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$。
3.3.2.定义拓扑空间$(X, \mathcal{T})$的子集$K$被称为紧化，如果对于$K$的每个开盖$\mathcal{U}$，存在$U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$使得$K \subset$$U_1 \cup \cdots \cup U_n$。

在用示例(不可度量的示例)充实这个定义之前，我们先介绍另一个定义。

3.3.3.定义拓扑空间$(X, \mathcal{T})$具有有限交性质，如果对于$X$的闭子集的任何集合$\mathcal{F}$使得$\bigcap{F: F \in \mathcal{F}}=$$\varnothing$，存在$F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$使得$F_1 \cap \cdots \cap F_n=\varnothing$。
下面的代码很简单(只需传递给补语)。
提案3.3.4。设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间。那么下面是等价的。
(i) $X$是紧凑的。
(ii) $X$具有有限交性质。
我们引入有限交性质的原因是它有时比紧性更容易验证。

例3.3.5。设$R$是一个具有恒等的交换环。我们声明$\operatorname{Spec}(R)$具有有限交性质(因此是紧的)。让$\mathcal{I}$成为$R$的理想之家，这样
$$
\bigcap{V(I): I \in \mathcal{I}}=V\left(\sum{I: I \in \mathcal{I}}\right)=\varnothing .
$$

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness for Metric Spaces

The notion of compactness is one of the most crucial in all of topology (and one of the hardest to grasp).

Definition 2.5.1. Let $(X, d)$ be a metric space, and let $S \subset X$. An open cover for $S$ is a collection $\mathcal{U}$ of open subsets of $X$ such that $S \subset \cup{U: U \in \mathcal{U}}$.
Definition 2.5.2. A subset $K$ of a metric space $(X, d)$ is called compact if, for each open cover $\mathcal{U}$ of $K$, there are $U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$ such that $K \subset U_1 \cup$ $\cdots \cup U_n$.

Definition 2.5.2 is often worded as, “A set is compact if and only if each open cover has a finite subcover.”

Examples 2.5.3. (a) Let $(X, d)$ be a metric space, and let $S \subset X$ be finite; that is, $S=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$. Let $\mathcal{U}$ be an open cover of $X$. Then, for each $j=1, \ldots, n$, there is $U_j \in \mathcal{U}$ such that $x_j \in U_j$. It follows that $S \subset$ $U_1 \cup \cdots \cup U_n$. Hence, $S$ is compact.
(b) Let $(X, d)$ be a compact metric space, and let $\varnothing \neq K \subset X$ be compact. Fix $x_0 \in K$. Since $\left{B_r\left(x_0\right): r>0\right}$ is an open cover of $K$, there are $r_1, \ldots, r_n>0$ such that
$$
K \subset B_{r_1}\left(x_0\right) \cup \cdots \cup B_{r_n}\left(x_0\right) .
$$
With $R:=\max \left{r_1, \ldots, r_n\right}$, we see that $K \subset B_R\left(x_0\right)$, so that $\operatorname{diam}(K) \leq$ $2 R<\infty$. This means, for example, that any unbounded subset of $\mathbb{R}^n$ (or, more generally, of any normed space) cannot be compact. In particular, the only compact normed space is ${0}$.
(c) Let $X=(0,1)$ be equipped with the usual metric. For $r \in(0,1)$, let $U_r:=(r, 1)$. Then $\left{U_r: r \in(0,1)\right}$ is an open cover for $(0,1)$ which has no finite subcover.

Before we turn to more (and more interesting) examples of compact metric spaces, we establish a few hereditary properties.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces-Definitions and Examples

A topological space is supposed to be a set that has just enough structure to meaningfully speak of continuous functions on it. In view of Corollary 2.3.10, a reasonable approach would be to axiomatize the notion of an open set:
Definition 3.1.1. Let $X$ be a set. $A$ topology on $X$ is a subset $\mathcal{T}$ of $\mathfrak{P}(X)$ such that:
(a) $\varnothing, X \in \mathcal{T}$;
(b) If $\mathcal{U} \subset \mathcal{T}$ is arbitrary, then $\bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$ lies in $\mathcal{T}$;
(c) If $U_1, U_2 \in \mathcal{T}$, then $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$.
The sets in $\mathcal{T}$ are called open. A set together with a topology is called a topological space.

We often write $(X, \mathcal{T})$ for a topological space $X$ with topology $\mathcal{T}$; sometimes, if the topology is obvious or irrelevant, we may also simply write $X$.
Examples 3.1.2. (a) Let $(X, d)$ be a metric space, and let $\mathcal{T}$ denote the collection of all subsets of $X$ that are open in the sense of Definition 2.2.3. By Proposition 2.2.5, $\mathcal{T}$ is indeed a topology. It is clear that $\mathcal{T}$ does not depend on the particular metric $d$, but only on its equivalence class: any metric on $X$ equivalent to $d$ yields the same topology. Topological spaces of this type are called metrizable.
(b) Let $X$ be any set, and let $\mathcal{T}=\mathfrak{P}(X)$. This is just a special case of the first example: equip $X$ with the discrete metric. Such topological spaces are called discrete.
(c) Let $X$ be any set, and let $\mathcal{T}={\varnothing, X}$. Such topological spaces are called chaotic.
(d) Let $X$ be any set, and let $\mathcal{T}$ consist of $\varnothing$ and all subsets of $X$ with finite complement.
(e) Let $X$ be any set, and let $\mathcal{T}$ consist of $\varnothing$ and all subsets of $X$ with countable complement.
(f) Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space, and let $Y \subset X$. The relative topology on $Y$ (or the topology inherited from $X$ ) is the collection
$$
\left.\mathcal{T}\right|_Y:={Y \cap U: U \in \mathcal{T}}
$$
of subsets of $Y$. It is clearly a topology on $Y$. The space $\left(Y,\left.\mathcal{T}\right|_Y\right)$ is then called a subspace of $X$.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness for Metric Spaces

紧性的概念是所有拓扑中最重要的概念之一(也是最难掌握的概念之一)。

2.5.1.定义设$(X, d)$是度量空间，设$S \subset X$。$S$的开放覆盖是$X$的开放子集的集合$\mathcal{U}$，例如$S \subset \cup{U: U \in \mathcal{U}}$。
2.5.2.定义度量空间$(X, d)$的子集$K$被称为紧化，如果对于$K$的每个开盖$\mathcal{U}$，存在$U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$使得$K \subset U_1 \cup$$\cdots \cup U_n$。

定义2.5.2通常被表述为:“一个集合是紧的当且仅当每个开盖都有一个有限的子盖。”

例2.5.3。(a)设$(X, d)$为度量空间，$S \subset X$为有限空间;也就是$S=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$。让$\mathcal{U}$成为$X$的公开封面。然后，对于每个$j=1, \ldots, n$，有$U_j \in \mathcal{U}$使得$x_j \in U_j$。由此可知$S \subset$$U_1 \cup \cdots \cup U_n$。因此，$S$是紧凑的。
(b)设$(X, d)$为紧致度量空间，设$\varnothing \neq K \subset X$为紧致度量空间。修复$x_0 \in K$。因为$\left{B_r\left(x_0\right): r>0\right}$是$K$的公开封面，所以有$r_1, \ldots, r_n>0$
$$
K \subset B_{r_1}\left(x_0\right) \cup \cdots \cup B_{r_n}\left(x_0\right) .
$$
对于$R:=\max \left{r_1, \ldots, r_n\right}$，我们看到$K \subset B_R\left(x_0\right)$，所以是$\operatorname{diam}(K) \leq$$2 R<\infty$。这意味着，例如，$\mathbb{R}^n$的任何无界子集(或者更一般地说，任何赋范空间)都不能是紧的。特别地，唯一紧致赋范空间是${0}$。
(c)让$X=(0,1)$配备通常的公制。对于$r \in(0,1)$，让$U_r:=(r, 1)$。那么$\left{U_r: r \in(0,1)\right}$是$(0,1)$的开盖，它没有有限子盖。

在我们讨论更多(和更有趣的)紧化度量空间的例子之前，我们先建立一些遗传性质。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces-Definitions and Examples

一个拓扑空间应该是一个集合，它有足够的结构来有意义地谈论它上面的连续函数。根据推论2.3.10，一个合理的方法是公理化开集的概念:
3.1.1.定义设$X$为集合。$X$上的$A$拓扑是$\mathfrak{P}(X)$的一个子集$\mathcal{T}$，这样:
(a) $\varnothing, X \in \mathcal{T}$;
(b)如果$\mathcal{U} \subset \mathcal{T}$是任意的，那么$\bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$在$\mathcal{T}$;
(c)如果$U_1, U_2 \in \mathcal{T}$，那么$U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$。
$\mathcal{T}$中的集合称为open。一个集合和一个拓扑一起称为拓扑空间。

我们经常写信 $(X, \mathcal{T})$ 对于拓扑空间 $X$ 有拓扑结构 $\mathcal{T}$;有时，如果拓扑结构很明显或不相关，我们也可以简单地写 $X$．
例3.1.2。(a)让 $(X, d)$ 是一个度量空间，让 $\mathcal{T}$ 表示的所有子集的集合 $X$ 在定义2.2.3的意义上是开放的。根据提案2.2.5， $\mathcal{T}$ 确实是一个拓扑。很明显 $\mathcal{T}$ 不依赖于特定的度量 $d$，但只在它的等价类上:上的任何度规 $X$ 相当于 $d$ 产生相同的拓扑。这种类型的拓扑空间称为可度量的。
(b)让 $X$ 是任意集合，让 $\mathcal{T}=\mathfrak{P}(X)$． 这只是第一个例子的特例:装备 $X$ 用离散度规。这样的拓扑空间被称为离散的。
(c)让 $X$ 是任意集合，让 $\mathcal{T}={\varnothing, X}$． 这样的拓扑空间称为混沌空间。
(d)让 $X$ 是任意集合，让 $\mathcal{T}$ 包括 $\varnothing$ 的所有子集 $X$ 有限补。
(e)让 $X$ 是任意集合，让 $\mathcal{T}$ 包括 $\varnothing$ 的所有子集 $X$ 带有可数补语。
(f)让 $(X, \mathcal{T})$ 是一个拓扑空间，令 $Y \subset X$． 上的相对拓扑 $Y$ 的拓扑结构 $X$ )是集合
$$
\left.\mathcal{T}\right|_Y:={Y \cap U: U \in \mathcal{T}}
$$
的子集的 $Y$． 这显然是一个拓扑结构 $Y$． 空间 $\left(Y,\left.\mathcal{T}\right|_Y\right)$ 它是的子空间吗 $X$．

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Open and Closed Sets

We start with the definition of an open ball in a metric space:
Definition 2.2.1. Let $(X, d)$ be a metric space, let $x_0 \in X$, and let $r>0$. The open ball centered at $x_0$ with radius $r$ is defined as
$$
B_r\left(x_0\right):=\left{x \in X: d\left(x, x_0\right)<r\right} .
$$
Of course, in Euclidean 2- or 3-space, this definition coincides with the usual intuitive one. Nevertheless, even though open balls are defined with the intuitive notions of Euclidean space in mind, matters can turn out to be surprisingly counterintuitive:

Examples 2.2.2. (a) Let $(X, d)$ be a discrete metric space, let $x_0 \in X$, and let $r>0$. Then
$$
B_r\left(x_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
\left{x_0\right}, & r<1, \ X, & r \geq 1, \end{array}\right. $$ holds; that is, each open ball is a singleton subset or the whole space. (b) Let $(X, d)$ be any metric space, let $p \in X$, and let $d_p$ be the corresponding French railroad metric. To tell open balls in $(X, d)$ and $\left(X, d_p\right)$ apart, we write $B_r\left(x_0 ; d\right)$ and $B_r\left(x_0 ; d_p\right)$, respectively, for $x_0 \in X$ and $r>0$. Let $x_0 \in X$, and let $r>0$. Since, for $x \in X$ with $x \neq x_0$, we have
$$
d_p\left(x, x_0\right)=d(x, p)+d\left(p, x_0\right)<r \quad \Longleftrightarrow d(x, p)<r-d\left(p, x_0\right),
$$
the following dichotomy holds.
$$
B_r\left(x_0 ; d_p\right)=\left{\begin{array}{cl}
\left{x_0\right}, & \text { if } r \leq d\left(p, x_0\right), \
B_{r-d\left(p, x_0\right)}(p ; d) \cup\left{x_0\right}, & \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
Like the notion of an open ball, the notion of an open set extends from Euclidean space to arbitrary metric spaces.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convergence and Continuity

The notion of convergence in $\mathbb{R}^n$ carries over to metric spaces almost verbatim.

Definition 2.3.1. Let $(X, d)$ be a metric space. A sequence $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ in $X$ is said to converge to $x \in X$ if, for each $\epsilon>0$, there is $n\epsilon \in \mathbb{N}$ such that $d\left(x_n, x\right)<\epsilon$ for all $n \geq n_\epsilon$. We then say that $x$ is the limit of $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ and write $x=\lim {n \rightarrow \infty} x_n$ or $x_n \rightarrow x$.

It is straightforward to verify that a sequence $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ in a metric space converges to $x$ if and only if, for each $N \in \mathcal{N}_x$, there is $n_N \in \mathbb{N}$ such that $x_n \in N$ for all $n \geq n_N$.

Examples 2.3.2. (a) Let $(X, d)$ be a discrete metric space, and let $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ be a sequence in $X$ that converges to $x \in X$. Then there is $n_1 \in \mathbb{N}$ such that $d\left(x_n, x\right)<1$ for $n \geq n_1$; that is, $x_n=x$ for $n \geq n_1$. Hence, every convergent sequence in a discrete metric space is eventually constant. (b) Let $C([0,1], \mathbb{F})$ be equipped with the metric induced by $|\cdot|{\infty}$ (Example $2.1 .2(\mathrm{c}))$. We claim that a sequence $\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$ in $C([0,1], \mathbb{F})$ converges to $f \in C([0,1], \mathbb{F})$ with respect to that metric if and only if it converges (to $f$ ) uniformly on $[0,1]$. Suppose first that $\left|f_n-f\right|{\infty} \rightarrow 0$, and let $\epsilon>0$. Then there is $n_\epsilon \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right| \leq\left|f_n-f\right|_{\infty}<\epsilon \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right),
$$
so that $f_n \rightarrow f$ uniformly on $[0,1]$. Conversely, let $\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$ converge to $f$ uniformly on $[0,1]$, and let $\epsilon>0$. By the definition of uniform convergence, there is $n\epsilon \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right|<\frac{\epsilon}{2} \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right)
$$
and consequently,
$$
\left|f_n-f\right|_{\infty}=\sup \left{\left|f_n(t)-f(t)\right|: t \in[0,1]\right} \leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \quad\left(n \geq n_\epsilon\right) .
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Open and Closed Sets

我们从度量空间中空球的定义开始:
2.2.1.定义设$(X, d)$是一个度量空间，设$x_0 \in X$，设$r>0$。以$x_0$为中心，半径$r$的开球定义为
$$
B_r\left(x_0\right):=\left{x \in X: d\left(x, x_0\right)<r\right} .
$$
当然，在欧几里得2-或3-空间中，这个定义与通常直观的定义是一致的。然而，即使开放球是用欧几里得空间的直观概念来定义的，事情也可能出人意料地违反直觉:

例2.2.2。(a)设$(X, d)$为离散度量空间，设$x_0 \in X$，设$r>0$。然后
$$
B_r\left(x_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
\left{x_0\right}, & r<1, \ X, & r \geq 1, \end{array}\right. $$持有;也就是说，每个开放的球都是一个单独的子集或整个空间。(b)设$(X, d)$为任意公制空间，设$p \in X$，设$d_p$为相应的法国铁路公制。为了区分$(X, d)$和$\left(X, d_p\right)$中的开放式球，我们分别为$x_0 \in X$和$r>0$写$B_r\left(x_0 ; d\right)$和$B_r\left(x_0 ; d_p\right)$。让$x_0 \in X$，让$r>0$。因为，对于$x \in X$和$x \neq x_0$，我们有
$$
d_p\left(x, x_0\right)=d(x, p)+d\left(p, x_0\right)<r \quad \Longleftrightarrow d(x, p)<r-d\left(p, x_0\right),
$$
下面的二分法成立。
$$
B_r\left(x_0 ; d_p\right)=\left{\begin{array}{cl}
\left{x_0\right}, & \text { if } r \leq d\left(p, x_0\right), \
B_{r-d\left(p, x_0\right)}(p ; d) \cup\left{x_0\right}, & \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
像开放球的概念一样，开放集的概念从欧几里德空间扩展到任意度量空间。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convergence and Continuity

$\mathbb{R}^n$中收敛的概念几乎一字不差地延续到度量空间。

2.3.1.定义设$(X, d)$是一个度量空间。如果对于每一个$\epsilon>0$，都有一个$n\epsilon \in \mathbb{N}$使得对于所有$n \geq n_\epsilon$，都有一个$d\left(x_n, x\right)<\epsilon$，那么我们就说$X$中的一个序列$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$收敛到$x \in X$。然后我们说$x$是$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$的极限，并写$x=\lim {n \rightarrow \infty} x_n$或$x_n \rightarrow x$。

很容易验证度量空间中的序列$\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$收敛到$x$当且仅当对于每个$N \in \mathcal{N}_x$，存在$n_N \in \mathbb{N}$使得$x_n \in N$对于所有$n \geq n_N$。

例2.3.2。(a)设$(X, d)$为离散度量空间，设$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$为$X$中的一个收敛于$x \in X$的序列。然后是$n_1 \in \mathbb{N}$，比如$d\left(x_n, x\right)<1$代表$n \geq n_1$;也就是说，$n \geq n_1$等于$x_n=x$。因此，离散度量空间中的每一个收敛序列最终都是常数。(b)设$C([0,1], \mathbb{F})$为由$|\cdot|{\infty}$(例$2.1 .2(\mathrm{c}))$)导出的度量。我们声称，一个序列$\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$在$C([0,1], \mathbb{F})$上相对于该度规收敛于$f \in C([0,1], \mathbb{F})$当且仅当它在$[0,1]$上一致收敛(到$f$)。首先假设$\left|f_n-f\right|{\infty} \rightarrow 0$，然后让$\epsilon>0$。然后是$n_\epsilon \in \mathbb{N}$
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right| \leq\left|f_n-f\right|{\infty}<\epsilon \quad\left(n \geq n\epsilon, t \in[0,1]\right),
$$
所以$f_n \rightarrow f$均匀地落在$[0,1]$上。反之，设$\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$在$[0,1]$上均匀收敛于$f$，设$\epsilon>0$。根据一致收敛的定义，有$n\epsilon \in \mathbb{N}$使得
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right|<\frac{\epsilon}{2} \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right)
$$
因此，
$$
\left|f_n-f\right|{\infty}=\sup \left{\left|f_n(t)-f(t)\right|: t \in[0,1]\right} \leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \quad\left(n \geq n\epsilon\right) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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