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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuity and Convergence of Nets
One can, of course, define convergence for sequences in topological spaces as for metric spaces.
Definition 3.2.1. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space. A sequence $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ in $X$ is said to converge to $x \in X$ if, for each $N \in \mathcal{N}_x$, there is $n_N \in \mathbb{N}$ such that $x_n \in N$ for all $n \geq n_N$.
This definition is perfectly fine, but if one attempts to prove analogues of results for convergent sequences in metric spaces, problems show up. Proposition 2.3.4, for example, is no longer true in general topological spaces.
Example 3.2.2. Let $X$ be an uncountable set equipped with the topology of Example 3.1.2(e); that is, the open sets are $\varnothing$ and those with a countable complement. Fix a point $x_0 \in X$. Then $X \backslash\left{x_0\right}$ is not closed, so that $\overline{X \backslash\left{x_0\right}}=X$ must hold. Let $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ be a sequence in $X \backslash\left{x_0\right}$, and let $U:=X \backslash\left{x_1, x_2, \ldots\right}$. Due to the nature of our topology, $U$ is open and thus is a neighborhood of $x_0$. However, $x_n \notin U$ for all $n \in \mathbb{N}$ by definition, so that $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ cannot converge to $x_0$.
A less contrived example for the failure of Proposition 2.3.4 in general topological spaces is given in Exercise 11 below.
So, how are we going to define continuity on arbitrary topological spaces? Of course, we could try it via sequences as for metric spaces, but in view of Example 3.2.2, we are likely to run into unexpected difficulties. Of the four equivalent conditions of Theorem 2.3.7, the fourth one doesn’t make any explicit reference to a metric. We thus use it as the definition of continuity.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness
Compactness for topological spaces is defined as in the metric situation.
Definition 3.3.1. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space, and let $S \subset X$. An open cover for $S$ is a collection $\mathcal{U}$ of open subsets of $X$ such that $S \subset \bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$.
Definition 3.3.2. A subset $K$ of a topological space $(X, \mathcal{T})$ is called compact if, for each open cover $\mathcal{U}$ of $K$, there are $U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$ such that $K \subset$ $U_1 \cup \cdots \cup U_n$.
Before we flesh out this definition with examples (nonmetrizable ones), we introduce yet another definition.
Definition 3.3.3. A topological space $(X, \mathcal{T})$ has the finite intersection property if, for any collection $\mathcal{F}$ of closed subsets of $X$ such that $\bigcap{F: F \in \mathcal{F}}=$ $\varnothing$, there are $F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$ such that $F_1 \cap \cdots \cap F_n=\varnothing$.
The following is straightforward (just pass to complements).
Proposition 3.3.4. Let $(X, \mathcal{T})$ be a topological space. Then the following are equivalent.
(i) $X$ is compact.
(ii) $X$ has the finite intersection property.
The reason why we introduced the finite intersection property at all is that it is sometimes easier to verify than compactness.
Example 3.3.5. Let $R$ be a commutative ring with identity. We claim that $\operatorname{Spec}(R)$ has the finite intersection property (and thus is compact). Let $\mathcal{I}$ be a family of ideals of $R$ such that
$$
\bigcap{V(I): I \in \mathcal{I}}=V\left(\sum{I: I \in \mathcal{I}}\right)=\varnothing .
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuity and Convergence of Nets
当然，我们可以像定义度量空间一样，定义拓扑空间中序列的收敛性。
3.2.1.定义设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间。如果对于每一个$N \in \mathcal{N}x$，都有一个$n_N \in \mathbb{N}$使得对于所有$n \geq n_N$，都有一个$x_n \in N$，那么我们就说$X$中的一个序列$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$收敛到$x \in X$。
这个定义是完美的，但是如果有人试图证明度量空间中收敛序列的类似结果，问题就出现了。例如，命题2.3.4在一般拓扑空间中不再成立。
例3.2.2设$X$是一个不可数集合，具有例3.1.2(e)的拓扑结构;也就是说，开集是$\varnothing$和具有可数补集的开集。固定一个点$x_0 \in X$。那么$X \backslash\left{x_0\right}$是不闭合的，那么$\overline{X \backslash\left{x_0\right}}=X$一定要hold住。设$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$是$X \backslash\left{x_0\right}$中的一个序列，设$U:=X \backslash\left{x_1, x_2, \ldots\right}$。由于我们拓扑的性质，$U$是开放的，因此是$x_0$的邻域。但是，$x_n \notin U$对于所有$n \in \mathbb{N}$的定义，使得$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$不能收敛到$x_0$。
下面的练习11给出了命题2.3.4在一般拓扑空间中失败的一个不那么人为的例子。
那么，我们如何定义任意拓扑空间上的连续性呢?当然，我们也可以像度量空间那样通过序列来尝试，但是考虑到例3.2.2，我们很可能会遇到意想不到的困难。在定理2.3.7的四个等价条件中，第四个条件没有明确提到度规。因此我们用它作为连续性的定义。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Compactness
拓扑空间的紧性定义为度量情况下的紧性。
3.3.1.定义设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间，设$S \subset X$。$S$的开放覆盖是$X$的开放子集的集合$\mathcal{U}$，例如$S \subset \bigcup{U: U \in \mathcal{U}}$。
3.3.2.定义拓扑空间$(X, \mathcal{T})$的子集$K$被称为紧化，如果对于$K$的每个开盖$\mathcal{U}$，存在$U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{U}$使得$K \subset$$U_1 \cup \cdots \cup U_n$。
在用示例(不可度量的示例)充实这个定义之前，我们先介绍另一个定义。
3.3.3.定义拓扑空间$(X, \mathcal{T})$具有有限交性质，如果对于$X$的闭子集的任何集合$\mathcal{F}$使得$\bigcap{F: F \in \mathcal{F}}=$$\varnothing$，存在$F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}$使得$F_1 \cap \cdots \cap F_n=\varnothing$。
下面的代码很简单(只需传递给补语)。
提案3.3.4。设$(X, \mathcal{T})$为拓扑空间。那么下面是等价的。
(i) $X$是紧凑的。
(ii) $X$具有有限交性质。
我们引入有限交性质的原因是它有时比紧性更容易验证。
例3.3.5。设$R$是一个具有恒等的交换环。我们声明$\operatorname{Spec}(R)$具有有限交性质(因此是紧的)。让$\mathcal{I}$成为$R$的理想之家，这样
$$
\bigcap{V(I): I \in \mathcal{I}}=V\left(\sum{I: I \in \mathcal{I}}\right)=\varnothing .
$$
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