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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Open and Closed Sets
We start with the definition of an open ball in a metric space:
Definition 2.2.1. Let $(X, d)$ be a metric space, let $x_0 \in X$, and let $r>0$. The open ball centered at $x_0$ with radius $r$ is defined as
$$
B_r\left(x_0\right):=\left{x \in X: d\left(x, x_0\right)<r\right} .
$$
Of course, in Euclidean 2- or 3-space, this definition coincides with the usual intuitive one. Nevertheless, even though open balls are defined with the intuitive notions of Euclidean space in mind, matters can turn out to be surprisingly counterintuitive:
Examples 2.2.2. (a) Let $(X, d)$ be a discrete metric space, let $x_0 \in X$, and let $r>0$. Then
$$
B_r\left(x_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
\left{x_0\right}, & r<1, \ X, & r \geq 1, \end{array}\right. $$ holds; that is, each open ball is a singleton subset or the whole space. (b) Let $(X, d)$ be any metric space, let $p \in X$, and let $d_p$ be the corresponding French railroad metric. To tell open balls in $(X, d)$ and $\left(X, d_p\right)$ apart, we write $B_r\left(x_0 ; d\right)$ and $B_r\left(x_0 ; d_p\right)$, respectively, for $x_0 \in X$ and $r>0$. Let $x_0 \in X$, and let $r>0$. Since, for $x \in X$ with $x \neq x_0$, we have
$$
d_p\left(x, x_0\right)=d(x, p)+d\left(p, x_0\right)<r \quad \Longleftrightarrow d(x, p)<r-d\left(p, x_0\right),
$$
the following dichotomy holds.
$$
B_r\left(x_0 ; d_p\right)=\left{\begin{array}{cl}
\left{x_0\right}, & \text { if } r \leq d\left(p, x_0\right), \
B_{r-d\left(p, x_0\right)}(p ; d) \cup\left{x_0\right}, & \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
Like the notion of an open ball, the notion of an open set extends from Euclidean space to arbitrary metric spaces.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convergence and Continuity
The notion of convergence in $\mathbb{R}^n$ carries over to metric spaces almost verbatim.
Definition 2.3.1. Let $(X, d)$ be a metric space. A sequence $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ in $X$ is said to converge to $x \in X$ if, for each $\epsilon>0$, there is $n\epsilon \in \mathbb{N}$ such that $d\left(x_n, x\right)<\epsilon$ for all $n \geq n_\epsilon$. We then say that $x$ is the limit of $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ and write $x=\lim {n \rightarrow \infty} x_n$ or $x_n \rightarrow x$.
It is straightforward to verify that a sequence $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ in a metric space converges to $x$ if and only if, for each $N \in \mathcal{N}_x$, there is $n_N \in \mathbb{N}$ such that $x_n \in N$ for all $n \geq n_N$.
Examples 2.3.2. (a) Let $(X, d)$ be a discrete metric space, and let $\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$ be a sequence in $X$ that converges to $x \in X$. Then there is $n_1 \in \mathbb{N}$ such that $d\left(x_n, x\right)<1$ for $n \geq n_1$; that is, $x_n=x$ for $n \geq n_1$. Hence, every convergent sequence in a discrete metric space is eventually constant. (b) Let $C([0,1], \mathbb{F})$ be equipped with the metric induced by $|\cdot|{\infty}$ (Example $2.1 .2(\mathrm{c}))$. We claim that a sequence $\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$ in $C([0,1], \mathbb{F})$ converges to $f \in C([0,1], \mathbb{F})$ with respect to that metric if and only if it converges (to $f$ ) uniformly on $[0,1]$. Suppose first that $\left|f_n-f\right|{\infty} \rightarrow 0$, and let $\epsilon>0$. Then there is $n_\epsilon \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right| \leq\left|f_n-f\right|_{\infty}<\epsilon \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right),
$$
so that $f_n \rightarrow f$ uniformly on $[0,1]$. Conversely, let $\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$ converge to $f$ uniformly on $[0,1]$, and let $\epsilon>0$. By the definition of uniform convergence, there is $n\epsilon \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right|<\frac{\epsilon}{2} \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right)
$$
and consequently,
$$
\left|f_n-f\right|_{\infty}=\sup \left{\left|f_n(t)-f(t)\right|: t \in[0,1]\right} \leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \quad\left(n \geq n_\epsilon\right) .
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Open and Closed Sets
我们从度量空间中空球的定义开始:
2.2.1.定义设$(X, d)$是一个度量空间，设$x_0 \in X$，设$r>0$。以$x_0$为中心，半径$r$的开球定义为
$$
B_r\left(x_0\right):=\left{x \in X: d\left(x, x_0\right)<r\right} .
$$
当然，在欧几里得2-或3-空间中，这个定义与通常直观的定义是一致的。然而，即使开放球是用欧几里得空间的直观概念来定义的，事情也可能出人意料地违反直觉:
例2.2.2。(a)设$(X, d)$为离散度量空间，设$x_0 \in X$，设$r>0$。然后
$$
B_r\left(x_0\right)=\left{\begin{array}{cc}
\left{x_0\right}, & r<1, \ X, & r \geq 1, \end{array}\right. $$持有;也就是说，每个开放的球都是一个单独的子集或整个空间。(b)设$(X, d)$为任意公制空间，设$p \in X$，设$d_p$为相应的法国铁路公制。为了区分$(X, d)$和$\left(X, d_p\right)$中的开放式球，我们分别为$x_0 \in X$和$r>0$写$B_r\left(x_0 ; d\right)$和$B_r\left(x_0 ; d_p\right)$。让$x_0 \in X$，让$r>0$。因为，对于$x \in X$和$x \neq x_0$，我们有
$$
d_p\left(x, x_0\right)=d(x, p)+d\left(p, x_0\right)<r \quad \Longleftrightarrow d(x, p)<r-d\left(p, x_0\right),
$$
下面的二分法成立。
$$
B_r\left(x_0 ; d_p\right)=\left{\begin{array}{cl}
\left{x_0\right}, & \text { if } r \leq d\left(p, x_0\right), \
B_{r-d\left(p, x_0\right)}(p ; d) \cup\left{x_0\right}, & \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
像开放球的概念一样，开放集的概念从欧几里德空间扩展到任意度量空间。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Convergence and Continuity
$\mathbb{R}^n$中收敛的概念几乎一字不差地延续到度量空间。
2.3.1.定义设$(X, d)$是一个度量空间。如果对于每一个$\epsilon>0$，都有一个$n\epsilon \in \mathbb{N}$使得对于所有$n \geq n_\epsilon$，都有一个$d\left(x_n, x\right)<\epsilon$，那么我们就说$X$中的一个序列$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$收敛到$x \in X$。然后我们说$x$是$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$的极限，并写$x=\lim {n \rightarrow \infty} x_n$或$x_n \rightarrow x$。
很容易验证度量空间中的序列$\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$收敛到$x$当且仅当对于每个$N \in \mathcal{N}_x$，存在$n_N \in \mathbb{N}$使得$x_n \in N$对于所有$n \geq n_N$。
例2.3.2。(a)设$(X, d)$为离散度量空间，设$\left(x_n\right){n=1}^{\infty}$为$X$中的一个收敛于$x \in X$的序列。然后是$n_1 \in \mathbb{N}$，比如$d\left(x_n, x\right)<1$代表$n \geq n_1$;也就是说，$n \geq n_1$等于$x_n=x$。因此，离散度量空间中的每一个收敛序列最终都是常数。(b)设$C([0,1], \mathbb{F})$为由$|\cdot|{\infty}$(例$2.1 .2(\mathrm{c}))$)导出的度量。我们声称，一个序列$\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$在$C([0,1], \mathbb{F})$上相对于该度规收敛于$f \in C([0,1], \mathbb{F})$当且仅当它在$[0,1]$上一致收敛(到$f$)。首先假设$\left|f_n-f\right|{\infty} \rightarrow 0$，然后让$\epsilon>0$。然后是$n_\epsilon \in \mathbb{N}$
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right| \leq\left|f_n-f\right|{\infty}<\epsilon \quad\left(n \geq n\epsilon, t \in[0,1]\right),
$$
所以$f_n \rightarrow f$均匀地落在$[0,1]$上。反之，设$\left(f_n\right){n=1}^{\infty}$在$[0,1]$上均匀收敛于$f$，设$\epsilon>0$。根据一致收敛的定义，有$n\epsilon \in \mathbb{N}$使得
$$
\left|f_n(t)-f(t)\right|<\frac{\epsilon}{2} \quad\left(n \geq n_\epsilon, t \in[0,1]\right)
$$
因此，
$$
\left|f_n-f\right|{\infty}=\sup \left{\left|f_n(t)-f(t)\right|: t \in[0,1]\right} \leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \quad\left(n \geq n\epsilon\right) .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。