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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科，如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学，都对编码进行了研究，目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

The concepts of equivalence and isomorphism of codes are briefly discussed in Section 1.8. Generally, the term symmetry covers both of those concepts, especially when considering maps from a code onto itself, that is, automorphisms. Namely, such maps lead to groups under composition, and groups are essentially about symmetries. The group formed by all automorphisms of a code is, whenever the type of automorphisms is understood, simply called the automorphism group of the code. A subgroup of the automorphism group is called a group of automorphisms.

Symmetries play a central role when constructing as well as classifying codes: several types of constructions are essentially about prescribing symmetries, and one core part of classification is about dealing with maps and symmetries.

On a high level of abstraction, the same questions are asked for linear and unrestricted codes and analogous techniques are used. On a detailed level, however, there are significant differences between those two types of codes.

Consider codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. We have seen in Definition $1.8 .8$ that equivalence of unrestricted codes is about permuting coordinates and the elements of the alphabet, individually within each coordinate. All such maps form a group that is isomorphic to the wreath product $S{q} \backslash S_{n}$. For linear codes on the other hand, the concepts of permutation equivalence, monomial equivalence, and equivalence lead to maps that form groups isomorphic to $\mathrm{S}{n}, \mathbb{F}{q}^{} \backslash \mathrm{S}{n}$, and the semidirect product $\left(\mathbb{F}{q}^{} \imath \mathrm{S}{n}\right) \rtimes{\theta}$ Aut $\left(\mathbb{F}{q}\right)$, respectively, where $\mathbb{F}{q}^{}$ is the multiplicative group of $\mathbb{F}{q}$ and $\theta: \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}\right) \rightarrow \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}^{} \backslash \mathrm{S}{n}\right)$ is a group homomorphism.
Remark 3.2.1 For binary linear codes, all three types of equivalence coincide.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Determining Symmetries

The obvious recurrent specific questions when studying equivalence (or isomorphism) of (linear and unrestricted) codes and the symmetries of such codes are the following:

1. Given two codes, $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$, are these equivalent (isomorphic) or not?
2. Given a code $\mathcal{C}$, what is the automorphism group of $\mathcal{C}$ ?
   The two questions are closely related, since if we are able to find all possible maps between two codes, $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$, we can answer both of them (the latter by letting $\mathcal{C}{1}=\mathcal{C}{2}=$ C).
   Invariants can be very useful in studying the first question.
   Definition 3.2.15 An invariant is a property of a code that depends only on the abstract structure, that is, two equivalent (isomorphic) codes necessarily have the same value of an invariant.

Remark 3.2.16 Two inequivalent (non-isomorphic) codes may or may not have the same value of an invariant.

Example 3.2.17 The distance distribution is an invariant of codes. This invariant can be used to show that the two unrestricted $(4,3,2){3}$ codes $\mathcal{C}{1}={0000,0120,2121}$ and $\mathcal{C}{2}={1000,1111,2112}$ are inequivalent. Actually, to distinguish these codes an even less sensitive invariant suffices: the number of pairs of codewords with mutual Hamming distance 3 is 0 for $\mathcal{C}{1}$ and 1 for $\mathcal{C}_{2}$.

Since invariants are only occasionally able to provide the right answer to the first question above, alternative techniques are needed for providing the answer in all possible situations. One such technique relies on producing canonical representatives of codes.

Definition 3.2.18 Let $S$ be a set of possible codes, and let $r: S \rightarrow S$ be a map with the properties that (i) $r\left(\mathcal{C}{1}\right)=r\left(\mathcal{C}{2}\right)$ if and only if $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ are equivalent (isomorphic) and (ii) $r(\mathcal{C})=r(r(\mathcal{C})$ ). The canonical representative (or canonical form) of a code $\mathcal{C} \in S$ with respect to this map is $r(\mathcal{C})$.

To test whether two codes are equivalent (isomorphic), it suffices to test their canonical representatives for equality.

Remark 3.2.19 The number of equivalence (isomorphism) classes that can be handled when comparing canonical representatives is limited by the amount of computer memory available. However, in the context of classifying codes, there are actually methods that do not require any comparison between codes; see [1090].

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

Perfect codes were considered in the very first scientific papers in coding theory. We have already seen two types of perfect codes in Sections $1.10$ and 1.13. Hamming codes [895] have parameters
$$
\left[n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1), n-m, 3\right]{q} $$ and exist for $m \geq 2$ and prime powers $q$. Golay codes [820] have parameters $$ [23,12,7]{2} \text { and }[11,6,5]{3} \text {. } $$ There are also some families of trivial perfect codes: codes containing one word, codes containing all codewords in the space, and $(n, 2, n){2}$ codes for odd $n$. If the order of the alphabet $q$ is a prime power, these are in fact the only sets of parameters for which (linear and unrestricted) perfect codes exist [1805, 1949].

Theorem 3.3.1 The nontrivial perfect linear codes over $\mathbb{F}{q}$, where $q$ is a prime power, are precisely the Hamming codes with parameters (3.1) and the Golay codes with parameters $(3.2)$. A nontrivial perfect unrestricted code (over $\mathbb{F}{q}, q$ a prime power) that is not equivalent to a linear code has the same length, size, and minimum distance as a Hamming code (3.1).
Although the remarkable Theorem 3.3.1 gives us a rather solid understanding of perfect codes, there are still many open problems in this area, including the following (a code with different alphabet sizes for different coordinates is called mixed):

Research Problem 3.3.2 Solve the existence problem for perfect codes when the size of the alphabet is not a prime power.
Research Problem 3.3.3 Solve the existence problem for perfect mixed codes.
Research Problem 3.3.4 Classify perfect codes, especially for the parameters covered by Theorem 3.3.1.

Since Theorem 3.3.1 covers alphabet sizes that are prime powers, that is, exactly the sizes for which finite fields and linear codes exist, Research Problems $3.3 .2$ to $3.3 .4$ are essentially about unrestricted codes (although many codes studied for Research Problem $3.3 .3$ have clear algebraic structures and close connections to linear codes).

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

代码的等价和同构的概念在 1.8 节中简要讨论。一般来说，对称性一词涵盖了这两个概念，特别是在考虑从代码到自身的映射时，即自同构。即，这样的映射导致组合下的组，而组本质上是关于对称的。由代码的所有自同构组成的群，只要理解自同构的类型，就简称为代码的自同构群。自同构群的一个子群称为自同构群。

对称性在构造和分类代码时起着核心作用：几种类型的构造本质上是关于规定对称性的，而分类的一个核心部分是关于处理映射和对称性。

在高度抽象上，对线性和无限制代码提出了相同的问题，并使用了类似的技术。然而，在细节层面上，这两种代码之间存在显着差异。

考虑长度代码n超过Fq. 我们已经在定义中看到1.8.8无限制代码的等效性是关于在每个坐标中单独置换坐标和字母表的元素。所有这些映射形成一个与花环产品同构的组小号q∖小号n. 另一方面，对于线性码，置换等价、单项等价和等价的概念导致形成群同构的映射小号n,Fq∖小号n, 和半直积(Fq我小号n)⋊θ或者(Fq)，分别在哪里Fq是乘法群Fq和θ:或者⁡(Fq)→或者⁡(Fq∖小号n)是群同态。
备注 3.2.1 对于二进制线性码，所有三种类型的等价一致。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Determining Symmetries

在研究（线性和无限制）代码的等价（或同构）以及此类代码的对称性时，明显经常出现的具体问题如下：

1. 给定两个代码，C1和C2，这些是等价的（同构的）吗？
2. 给定一个代码C, 什么是自同构群C?
   这两个问题密切相关，因为如果我们能够找到两个代码之间的所有可能映射，C1和C2，我们可以回答他们两个（后者通过让C1=C2=C）。
   不变量在研究第一个问题时非常有用。
   定义 3.2.15 不变量是仅依赖于抽象结构的代码的属性，即两个等价（同构）代码必然具有相同的不变量值。

备注 3.2.16 两个不等价（非同构）代码可能具有或不具有相同的不变量值。

例 3.2.17 距离分布是代码不变量。这个不变量可以用来证明两个不受限制的(4,3,2)3代码C1=0000,0120,2121和C2=1000,1111,2112是不等价的。实际上，为了区分这些代码，一个更不敏感的不变量就足够了：相互汉明距离为 3 的代码字对的数量为 0C1和 1 为C2.

由于不变量仅偶尔能够为上述第一个问题提供正确答案，因此需要替代技术来在所有可能的情况下提供答案。一种这样的技术依赖于产生代码的规范代表。

定义 3.2.18 让小号是一组可能的代码，让r:小号→小号是具有以下属性的地图 (i)r(C1)=r(C2)当且仅当C1和C2是等价的（同构的）和（ii）r(C)=r(r(C)）。代码的规范代表（或规范形式）C∈小号关于这张地图是r(C).

为了测试两个代码是否等价（同构），测试它们的规范代表是否相等就足够了。

备注 3.2.19 在比较规范代表时可以处理的等价（同构）类的数量受到计算机可用内存量的限制。但是，在对代码进行分类的情况下，实际上有些方法不需要代码之间进行任何比较；见[1090]。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

在编码理论的第一篇科学论文中考虑了完美的代码。我们已经在 Sections 中看到了两种完美的代码1.10和 1.13。汉明码 [895] 有参数

[n=(q米−1)/(q−1),n−米,3]q并且存在米≥2和主要权力q. Golay 码 [820] 有参数

[23,12,7]2 和 [11,6,5]3. 还有一些平凡完美码族：包含一个词的码，包含空间中所有码字的码，以及(n,2,n)2奇数的代码n. 如果按字母顺序q是一个主要的力量，这些实际上是唯一存在（线性和无限制）完美代码的参数集 [1805, 1949]。

定理 3.3.1 上的非平凡完美线性码Fq， 在哪里q是一个素幂，正是带参数的汉明码（3.1）和带参数的戈莱码(3.2). 一个非平凡的完美无限制代码（超过Fq,q不等价于线性码的素数幂）具有与汉明码（3.1）相同的长度、大小和最小距离。
尽管非凡的定理 3.3.1 让我们对完美编码有了相当扎实的理解，但在这方面仍然存在许多悬而未决的问题，包括以下问题（不同坐标的不同字母大小的编码称为混合）：

研究问题 3.3.2 当字母的大小不是素数时，解决完美代码的存在性问题。
研究问题3.3.3 求解完美混合码的存在性问题。
研究问题 3.3.4 对完美代码进行分类，尤其是定理 3.3.1 所涵盖的参数。

由于定理 3.3.1 涵盖了作为素数的字母大小，也就是说，正是存在有限域和线性码的大小，研究问题3.3.2至3.3.4本质上是关于不受限制的代码（尽管为研究问题研究了许多代码3.3.3具有清晰的代数结构和与线性码的紧密联系）。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

Binary Reed-Muller codes were introduced in Section 1.11. It is known that these codes are equivalent to the extended codes of some cyclic codes. In other words, after puncturing the binary Reed-Muller codes at a proper coordinate, the obtained codes are permutation equivalent to some cyclic codes. The purpose of this section is to introduce a family of cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ whose extended codes are the generalized Reed-Muller code over $\mathbb{F}{q}$.

Let $q$ be a prime power as before. For any integer $j=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i} q^{i}$, where $0 \leq j_{i} \leq q-1$ for all $0 \leq i \leq m-1$ and $m$ is a positive integer, we define
$$
\omega_{q}(j)=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i}
$$
where the sum is taken over the ring of integers, and is called the $q$-weight of $j$.
Let $\ell$ be a positive integer with $1 \leq \ell<(q-1) m$. The $\ell^{\text {th }}$ order punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ over $\mathbb{F}{q}$ is the cyclic code of length $n=q^{m}-1$ with generator polynomial
$$
g(x)=\sum_{\substack{1 \leq j \leq n-1 \ \omega_{q}(j)<(q-1) m-\ell}}\left(x-\alpha^{j}\right),
$$
where $\alpha$ is a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}$. Since $\omega{q}(j)$ is a constant function on each $q$-cyclotomic coset modulo $n=q^{m}-1, g(x)$ is a polynomial over $\mathbb{F}_{q}$.

The parameters of the punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}_{q}(\ell, m)^{*}$ are known and summarized in the next theorem [71, Section 5.5].

Theorem 2.8.1 For any $\ell$ with $0 \leq \ell<(q-1) m, \mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ is a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n=q^{m}-1$, dimension
$$
\kappa=\sum_{i=0}^{\ell} \sum_{j=0}^{m}(-1)^{j}\left(\begin{array}{c}
m \
j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
i-j q+m-1 \
i-j q
\end{array}\right)
$$
and minimum weight $d=\left(q-\ell_{0}\right) q^{m-\ell_{1}-1}-1$, where $\ell=\ell_{1}(q-1)+\ell_{0}$ and $0 \leq \ell_{0}<q-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

The punctured generalized Reed-Muller codes are a generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes, and were introduced in the previous section. A new generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes was given recently in [561]. The task of this section is to introduce the newly generalized cyclic codes.

Let $n=q^{m}-1$. For any integer $a$ with $0 \leq a \leq n-1$, we have the following $q$-adic expansion
$$
a=\sum_{j=0}^{m-1} a_{j} q^{j}
$$
where $0 \leq a_{j} \leq q-1$. The Hamming weight of $a$, denoted by wt $\mathrm{H}{\mathrm{H}}(a)$, is the number of nonzero coordinates in the vector $\left(a{0}, a_{1}, \ldots, a_{m-1}\right)$.
Let $\alpha$ be a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}^{*}$. For any $1 \leq h \leq m$, we define a polynomial $$ g(q, m, h)(x)=\prod{\substack{1 \leq n \leq n-1 \ 1 \leq w^{t} H(a) \leq h}}\left(x-\alpha^{\alpha}\right) .
$$ polynomial over $\mathbb{F}{q}$. By definition, $g{(q, m, h)}(x)$ is a divisor of $x^{n}-1$.
Let $\sigma(q, m, h)$ denote the cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$ and generator polynomial $g{(m, q, h)}(x)$. By definition, $g_{(q, m, m)}(x)=\left(x^{n}-1\right) /(x-1)$. Therefore, the code $\gamma(q, m, m)$ is trivial, as it has parameters $[n, 1, n]$ and is spanned by the all-1 vector. Below we consider the code $\delta(q, m, h)$ for $1 \leq h \leq m-1$ only.

Theorem 2.9.1 Let $m \geq 2$ and $1 \leq h \leq m-1$. Then $\mathcal{V}(q, m, h)$ has parameters $\left[q^{m}-\right.$ $1, \kappa, d]$, where
$$
\kappa=q^{m}-\sum_{i=0}^{h}\left(\begin{array}{c}
m \
i
\end{array}\right)(q-1)^{i}
$$
and
$$
\frac{q^{h+1}-1}{q-1} \leq d \leq 2 q^{h}-1 .
$$
When $q=2$, the code $\delta(q, m, h)$ clearly becomes the classical punctured binary ReedMuller code $\mathcal{R} \mathcal{M}(m-1-h, m)^{*}$. Hence, $\delta(q, m, h)$ is indeed a generalization of the original punctured binary Reed-Muller code. In addition, when $q=2$, the lower bound and the upper bound in (2.3) become identical. It is conjectured that the lower bound on $d$ is the actual minimum distance.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

Definition 2.10.2 A polynomial $f(x)$ over $\mathbb{F}_{q}$ is called self-reciprocal if it equals its reciprocal $f^{\perp}(x)$.

The conclusions of the following theorem are known in the literature [1323, page 206] and are easy to prove.

Theorem 2.10.3 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Then the following statements are equivalent. (a) $\mathcal{C}$ is reversible. (b) $g(x)$ is self-reciprocal. (c) $\beta^{-1}$ is a root of $g(x)$ for every root $\beta$ of $g(x)$ over the splitting field of $g(x)$. Furthermore, if $-1$ is a power of $q$ mod $n$, then every cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ is reversible.

Now we give an exact count of reversible cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ for odd primes $m$. Recall the $q$-cyclotomic cosets $C_{a}$ modulo $n$ given in Definition 1.12.7. It is straightforward that $-a=n-a \in C_{a}$ if and only if $a\left(1+q^{j}\right) \equiv 0(\bmod n)$ for some integer $j$. The following two lemmas are straightforward and hold whenever $\operatorname{gcd}(n, q)=1$.

Lemma 2.10.4 The irreducible polynomial $M_{\alpha^{a}}(x)$ is self-reciprocal if and only if $n-a \in$ $C_{a}$

Lemma 2.10.5 The least common multiple $\operatorname{lcm}\left(M_{\alpha^{a}}(x), M_{\alpha^{n-a}}(x)\right)$ is self-reciprocal for every $a \in \mathbb{Z}_{n}$.

Definition 2.10.6 The least nonnegative integer in a $q$-cyclotomic coset modulo $n$ is called the coset leader of this coset.
By Lemma 2.10.4, we have that
$$
\operatorname{lcm}\left(M_{\alpha^{a}}(x), M_{\alpha^{n-a}}(x)\right)= \begin{cases}M_{\alpha^{a}}(x) & \text { if } n-a \in C_{a}, \ M_{\alpha^{a}}(x) M_{\alpha^{n-a}}(x) & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
Let $\Gamma_{(n, q)}$ denote the set of coset leaders of all $q$-cyclotomic cosets modulo $n$. Define
$$
\Pi_{(n, q)}=\Gamma_{(n, q)} \backslash\left{\max {a, \operatorname{leader}(n-a)} \mid a \in \Gamma_{(n, q)}, n-a \notin C_{a}\right},
$$
where leader $(i)$ denotes the coset leader of $C_{i}$. Then $\left{C_{a} \cup C_{n-a} \mid a \in \Pi_{(q, n)}\right}$ is a partition of $\mathbb{Z}_{n}$.

The following conclusion then follows directly from Lemmas $2.10 .4,2.10 .5$, and Theorem 2.10.3.

Theorem 2.10.7 The total number of reversible cyclic codes over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ is equal to $2^{\left|\Pi{(\alpha, n)}\right|}$, including the zero code and the code $\mathbb{F}{q}^{n}$. Every reversible cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ is generated by a polynomial
$$
g(x)=\prod_{a \in S} \operatorname{lcm}\left(M_{\alpha^{a}}(x), M_{\alpha^{n-a}}(x)\right),
$$
where $S$ is a (possibly empty) subset of $\Pi_{(q, n)}$.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

1.11 节介绍了二进制 Reed-Muller 码。众所周知，这些码相当于一些循环码的扩展码。换句话说，在适当的坐标处对二进制 Reed-Muller 码进行穿孔后，得到的码是等价于一些循环码的置换。本节的目的是介绍一系列长度为的循环码n=q米−1超过Fq其扩展码是广义 Reed-Muller 码Fq.

让q像以前一样成为主要力量。对于任何整数j=∑一世=0米−1j一世q一世， 在哪里0≤j一世≤q−1对所有人0≤一世≤米−1和米是一个正整数，我们定义

ωq(j)=∑一世=0米−1j一世
其中总和被接管整数环，称为q- 重量j.
让ℓ是一个正整数1≤ℓ<(q−1)米. 这ℓth 顺序穿孔广义 Reed-Muller 码R米q(ℓ,米)∗超过Fq是长度的循环码n=q米−1用生成多项式

G(X)=∑1≤j≤n−1 ωq(j)<(q−1)米−ℓ(X−一个j),
在哪里一个是一个生成器Fq米. 自从ωq(j)是每个上的常数函数q-分圆陪集模n=q米−1,G(X)是一个多项式Fq.

穿孔广义 Reed-Muller 码的参数R米q(ℓ,米)∗在下一个定理 [71，第 5.5 节] 中已知和总结。

定理 2.8.1 对于任意ℓ和0≤ℓ<(q−1)米,R米q(ℓ,米)∗是一个循环码Fq有长度n=q米−1， 方面

ķ=∑一世=0ℓ∑j=0米(−1)j(米 j)(一世−jq+米−1 一世−jq)
和最小重量d=(q−ℓ0)q米−ℓ1−1−1， 在哪里ℓ=ℓ1(q−1)+ℓ0和0≤ℓ0<q−1.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

打孔广义 Reed-Muller 码是经典打孔二进制 Reed-Muller 码的推广，在上一节中进行了介绍。最近在 [561] 中给出了经典穿孔二进制 Reed-Muller 码的新概括。本节的任务是介绍新的广义循环码。

让n=q米−1. 对于任何整数一个和0≤一个≤n−1, 我们有以下q-adic 扩展

一个=∑j=0米−1一个jqj
在哪里0≤一个j≤q−1. 汉明权重一个, 表示为 wtHH(一个), 是向量中非零坐标的数量(一个0,一个1,…,一个米−1).
让一个成为Fq米∗. 对于任何1≤H≤米，我们定义一个多项式

G(q,米,H)(X)=∏1≤n≤n−1 1≤在吨H(一个)≤H(X−一个一个).多项式Fq. 根据定义，G(q,米,H)(X)是一个除数Xn−1.
让σ(q,米,H)表示循环码Fq有长度n和生成多项式G(米,q,H)(X). 根据定义，G(q,米,米)(X)=(Xn−1)/(X−1). 因此，代码C(q,米,米)很简单，因为它有参数[n,1,n]并且由全1向量跨越。下面我们考虑代码d(q,米,H)为了1≤H≤米−1只要。

定理 2.9.1 让米≥2和1≤H≤米−1. 然后在(q,米,H)有参数[q米− 1,ķ,d]， 在哪里

ķ=q米−∑一世=0H(米 一世)(q−1)一世
和

qH+1−1q−1≤d≤2qH−1.
什么时候q=2， 编码d(q,米,H)显然成为经典的穿孔二进制 ReedMuller 码R米(米−1−H,米)∗. 因此，d(q,米,H)确实是原始穿孔二进制 Reed-Muller 码的推广。此外，当q=2，（2.3）中的下界和上界变得相同。推测下限为d是实际的最小距离。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

定义 2.10.2 多项式F(X)超过Fq如果它等于它的倒数，则称为自倒数F⊥(X).

以下定理的结论在文献 [1323, page 206] 中是已知的并且很容易证明。

定理 2.10.3 让C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 那么下面的语句是等价的。（一个）C是可逆的。(二)G(X)是自我互惠的。（C）b−1是一个根G(X)对于每个根b的G(X)在分裂场上G(X). 此外，如果−1是一种力量q反对n，然后每个循环码Fq长度n是可逆的。

现在我们给出长度的可逆循环码的精确计数n=q米−1对于奇数素数米. 回想一下q-分圆陪集C一个模块n在定义 1.12.7 中给出。很简单−一个=n−一个∈C一个当且仅当一个(1+qj)≡0(反对n)对于某个整数j. 以下两个引理很简单，并且在任何时候都成立gcd⁡(n,q)=1.

引理 2.10.4 不可约多项式米一个一个(X)是自互的当且仅当n−一个∈ C一个

引理 2.10.5 最小公倍数厘米⁡(米一个一个(X),米一个n−一个(X))对每个人都是自互的一个∈从n.

定义 2.10.6 中的最小非负整数q-分圆陪集模n被称为这个陪集的陪集首领。
根据引理 2.10.4，我们有

厘米⁡(米一个一个(X),米一个n−一个(X))={米一个一个(X) 如果 n−一个∈C一个, 米一个一个(X)米一个n−一个(X) 否则。 
让Γ(n,q)表示所有的陪集首领的集合q-分圆陪集模n. 定义

\Pi_{(n, q)}=\Gamma_{(n, q)} \backslash\left{\max {a, \operatorname{leader}(na)} \mid a \in \Gamma_{(n, q )}, na \notin C_{a}\right},\Pi_{(n, q)}=\Gamma_{(n, q)} \backslash\left{\max {a, \operatorname{leader}(na)} \mid a \in \Gamma_{(n, q )}, na \notin C_{a}\right},
领导者在哪里(一世)表示陪集首领C一世. 然后\left{C_{a} \cup C_{na} \mid a \in \Pi_{(q, n)}\right}\left{C_{a} \cup C_{na} \mid a \in \Pi_{(q, n)}\right}是一个分区从n.

然后直接从引理得出以下结论2.10.4,2.10.5, 和定理 2.10.3。

定理 2.10.7 可逆循环码的总数Fq长度n等于2|圆周率(一个,n)|，包括零码和码Fqn. 每个可逆循环码Fq长度n由多项式生成

G(X)=∏一个∈小号厘米⁡(米一个一个(X),米一个n−一个(X)),
在哪里小号是一个（可能是空的）子集圆周率(q,n).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

It follows from Theorem 2.4.1 that a cyclic code with designed distance $\delta$ has minimum weight at least $\delta$. It is possible that the actual minimum distance is equal to the designed distance. Sometimes the actual minimum distance is much larger than the designed distance.
A codeword $\left(c_{0}, \ldots, c_{n-1}\right)$ of a linear code $\mathcal{C}$ is even-like if $\sum_{j=0}^{n-1} c_{j}=0$, and oddlike otherwise. The weight of an even-like (respectively odd-like) codeword is called an even-like weight (respectively odd-like weight). Let $\mathcal{C}$ be a primitive narrow-sense BCH code of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$. The defining set is then $T(1, \delta)=C{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{\delta-1}$. The following theorem provides useful information on the minimum weight of narrow-sense primitive BCH codes.

Theorem 2.6.4 Let $\mathcal{C}$ be the narrow-sense primitive $B C H$ code of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$. Then the minimum weight of $\mathcal{C}$ is its minimum odd-like weight. The coordinates of the narrow-sense primitive BCH code $\mathcal{C}$ of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$ can be indexed by the elements of $\mathbb{F}{q^{m}}^{}$, and the extended coordinate in the extended code $\widehat{\mathcal{C}}$ can be indexed by the zero element of $\mathbb{F}{q^{m}}$. The general affine group $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ then acts on $\mathbb{F}{q^{m}}$ and also on $\widehat{\mathcal{C}}$ doubly transitively, where $$ \mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m}}^{}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right} . $$ Since $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ is transitive on $\mathbb{F}{q^{m}}$, it is a subgroup of the permutation automorphism group of $\widehat{\mathcal{C}}$. Theorem 2.6.4 then follows.

In the following cases, the minimum distance of the BCH code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ is known. We first have the following [1323, p. 260].

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

The dimension of the BCH code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ with defining set $T(b, \delta)$ in $(2.2)$ is $n-|T(b, \delta)|$. Since $|T(b, \delta)|$ may have a very complicated relation with $n, q, b$ and $\delta$, the dimension of the BCH code cannot be given exactly in terms of these parameters. The best one can do in general is to develop tight lower bounds on the dimension of BCH codes. The next theorem introduces such bounds [1008, Theorem 5.1.7].

Theorem 2.6.8 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa] B C H$ code over $\mathbb{F}{q}$ of designed distance $\delta$. Then the following statements hold. (a) $\kappa \geq n-\operatorname{ord}{n}(q)(\delta-1)$.
(b) If $q=2$ and $\mathcal{C}$ is a narrow-sense $B C H$ code, then $\delta$ can be assumed odd; furthermore if $\delta=2 w+1$, then $\kappa \geq n-\operatorname{ord}_{n}(q) w$.

The bounds in Theorem $2.6 .8$ may not be improved for the general case, as demonstrated by the following example. However, in some special cases, they could be improved.

Example 2.6.9 Note that $m=\operatorname{ord}{15}(2)=4$, and the 2-cyclotomic cosets modulo 15 are $$ \begin{aligned} &C{0}={0}, C_{1}={1,2,4,8}, C_{3}={3,6,9,12}, \
&C_{5}={5,10}, C_{7}={7,11,13,14} .
\end{aligned}
$$
Let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}_{2^{4}}^{*}$ with $\gamma^{4}+\gamma+1=0$ and let $\alpha=\gamma^{\left(2^{4}-1\right) / 15}=\gamma$ be the primitive $15^{\text {th }}$ root of unity.

When $(b, \delta)=(0,3)$, the defining set $T(b, \delta)={0,1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,10,4]$ and generator polynomial $x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$. In this case, the actual minimum weight is more than the designed distance, and the dimension is larger than the bound in Theorem 2.6.8(a).

When $(b, \delta)=(1,3)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,11,3]$ and generator polynomial $x^{4}+x+1$. It is a narrow-sense BCH

code. In this case, the actual minimum weight is equal to the designed distance, and the dimension reaches the bound in Theorem $2.6 .8(\mathrm{~b})$.

When $(b, \delta)=(2,3)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,3,4,6,8,9,12}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,7,5]$ and generator polynomial $x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1$. In this case, the actual minimum weight is more than the designed distance, and the dimension achieves the bound in Theorem 2.6.8(a).

When $(b, \delta)=(1,5)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,3,4,6,8,9,12}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,7,5]$ and generator polynomial $x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1$. In this case, the actual minimum weight is equal to the designed distance, and the dimension is larger than the bound in Theorem 2.6.8(a). Note that the three pairs $\left(b_{1}, \delta_{1}\right)=(2,3),\left(b_{2}, \delta_{2}\right)=$ $(2,4)$ and $\left(b_{3}, \delta_{3}\right)=(1,5)$ define the same binary cyclic code with generator polynomial $x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1$. Hence the maximum designed distance of this $[15,7,5]$ cyclic code is $5 .$

When $(b, \delta)=(3,4)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,3,4,5,6,8,9,10,12}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,5,7]$ and generator polynomial $x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$. In this case, the actual minimum weight is more than the designed distance, and dimension is larger than the bound in Theorem 2.6.8(a).
The following is a general result on the dimension of BCH codes [47].

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Duadic Codes

Duadic codes are a family of cyclic codes and are generalizations of the quadratic residue codes. Binary duadic codes were defined in [1220] and were generalized to arbitrary finite fields in $[1517,1519]$. Some duadic codes have very good parameters, while some have very bad parameters. The objective of this section is to give a brief introduction of duadic codes.
As before, let $n$ be a positive integer and $q$ a prime power with $g c d(n, q)=1$. Let $S_{1}$ and $S_{2}$ be two subsets of $Z_{n}$ such that

• $S_{1} \cap S_{2}=\emptyset$ and $S_{1} \cup S_{2}=\mathbb{Z}_{n} \backslash{0}$, and
• both $S_{1}$ and $S_{2}$ are a union of some $q$-cyclotomic cosets modulo $n$.
  If there is a unit $\mu \in \mathbb{Z}{n}$ such that $S{1} \mu=S_{2}$ and $S_{2} \mu=S_{1}$, then $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ is called a splitting of $\mathbb{Z}_{n}$.

Recall that $m:=\operatorname{ord}{n}(q)$ and $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity in $\mathbb{F}{q^{m}}$. Let $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ be a splitting of $\mathbb{Z}{m}$. Define $$ g{i}(x)=\prod_{i \in S_{i}}\left(x-\alpha^{i}\right) \text { and } \tilde{g}{i}(x)=(x-1) g{i}(x)
$$
for $i \in{1,2}$. Since both $S_{1}$ and $S_{2}$ are unions of $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, both $g_{1}(x)$ and $g_{2}(x)$ are polynomials over $\mathbb{F}{q}$. The pair of cyclic codes $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $g_{\widetilde{r}}(x)$ and $g_{2}(x)$ are called odd-like duadic codes, and the pair of cyclic codes $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $\widetilde{g}{1}(x)$ and $\tilde{g}_{2}(x)$ are called even-like duadic codes.

By definition, $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ have parameters $[n,(n+1) / 2]$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\tilde{\mathcal{C}}{2}$ have parameters $[n,(n-1) / 2]$. For odd-like duadic codes, we have the following result [1008, Theorem 6.5.2].
Theorem 2.7.1 (Square Root Bound) Let $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ be a pair of odd-like duadic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. Let $d{o}$ be their (common) minimum odd-like weight. Then the following hold.
(a) $d_{o}^{2} \geq n$.
(b) If the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$, then $d_{o}^{2}-d_{o}+1 \geq n$.
(c) Suppose $d_{o}^{2}-d_{o}+1=n$, where $d_{o}>2$, and assume that the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$. Then $d_{o}$ is the minimum weight of both $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

从定理 2.4.1 可以得出，具有设计距离的循环码d至少有最小重量d. 实际最小距离可能等于设计距离。有时实际最小距离远大于设计距离。
一个码字(C0,…,Cn−1)线性码C是偶数如果∑j=0n−1Cj=0，否则很奇怪。类偶数（分别类奇数）码字的权重称为类偶数权重（分别类奇数权重）。让C是长度的原始狭义 BCH 码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么定义集是吨(1,d)=C1∪C2∪⋯∪Cd−1. 以下定理提供了有关狭义原始 BCH 码的最小权重的有用信息。

定理 2.6.4 让C是狭义的原语乙CH长度码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么最小重量为C是它的最小类奇重量。狭义原始 BCH 码的坐标C长度n=q米−1超过Fq设计距离d可以通过元素索引Fq米, 以及扩展代码中的扩展坐标C^可以由零元素索引Fq米. 一般仿射群G一个1(Fq米)然后作用于Fq米并且还在C^双传递，其中

\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right} 。\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right} 。自从G一个1(Fq米)是可传递的Fq米，它是置换自同构群的一个子群C^. 定理 2.6.4 随之而来。

在以下情况下，BCH码的最小距离C(q,n,d,b)是已知的。我们首先有以下[1323，p。260]。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

BCH码的维度C(q,n,d,b)带有定义集吨(b,d)在(2.2)是n−|吨(b,d)|. 自从|吨(b,d)|可能有很复杂的关系n,q,b和d，BCH码的维数不能根据这些参数准确给出。一般来说，最好的办法是在 BCH 代码的维度上制定严格的下限。下一个定理引入了这样的界限[1008，定理 5.1.7]。

定理 2.6.8 让C豆[n,ķ]乙CH代码结束Fq设计距离d. 那么下面的陈述成立。（一个）ķ≥n−单词⁡n(q)(d−1).
(b) 如果q=2和C是狭义的乙CH代码，然后d可以假设为奇数；此外，如果d=2在+1， 然后ķ≥n−单词n⁡(q)在.

定理的界限2.6.8对于一般情况，可能不会得到改进，如下例所示。但是，在某些特殊情况下，它们可以改进。

示例 2.6.9 请注意米=单词⁡15(2)=4, 模 15 的 2-分圆陪集是

C0=0,C1=1,2,4,8,C3=3,6,9,12, C5=5,10,C7=7,11,13,14.
让C成为F24∗和C4+C+1=0然后让一个=C(24−1)/15=C成为原始人15th 团结的根。

什么时候(b,d)=(0,3), 定义集吨(b,d)=0,1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,10,4]和生成多项式X5+X4+X2+1. 在这种情况下，实际最小重量大于设计距离，尺寸大于定理2.6.8(a)中的界限。

什么时候(b,d)=(1,3), 定义集吨(b,d)=1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,11,3]和生成多项式X4+X+1. 是狭义的BCH

代码。在这种情况下，实际最小重量等于设计距离，并且尺寸达到定理中的界限2.6.8( b).

什么时候(b,d)=(2,3), 定义集吨(b,d)=1,2,3,4,6,8,9,12, 二进制循环码有参数[15,7,5]和生成多项式X8+X7+X6+X4+1. 在这种情况下，实际最小重量大于设计距离，尺寸达到定理2.6.8(a)的界限。

什么时候(b,d)=(1,5), 定义集吨(b,d)=1,2,3,4,6,8,9,12, 二进制循环码有参数[15,7,5]和生成多项式X8+X7+X6+X4+1. 在这种情况下，实际最小权重等于设计距离，并且尺寸大于定理 2.6.8(a) 中的界限。注意三对(b1,d1)=(2,3),(b2,d2)= (2,4)和(b3,d3)=(1,5)用生成多项式定义相同的二进制循环码X8+X7+X6+X4+1. 因此这个最大设计距离[15,7,5]循环码是5.

什么时候(b,d)=(3,4), 定义集吨(b,d)=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12, 二进制循环码有参数[15,5,7]和生成多项式X10+X8+X5+X4+X2+X+1. 在这种情况下，实际最小权重大于设计距离，维度大于定理 2.6.8(a) 中的界限。
以下是关于 BCH 码维度的一般结果 [47]。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Duadic Codes

二元码是循环码族，是二次余数码的推广。二进制二元码在 [1220] 中定义，并被推广到任意有限域[1517,1519]. 一些二元代码具有非常好的参数，而有些则具有非常糟糕的参数。本节的目的是简要介绍二元代码。
和以前一样，让n是一个正整数并且q一个主要的力量GCd(n,q)=1. 让小号1和小号2是两个子集从n这样

• 小号1∩小号2=∅和小号1∪小号2=从n∖0， 和
• 两个都小号1和小号2是一些人的联合q-分圆陪集模n.
  如果有单位μ∈从n这样小号1μ=小号2和小号2μ=小号1， 然后(小号1,小号2,μ)被称为分裂从n.

回顾米:=单词⁡n(q)和一个是原始的nth 团结的根源Fq米. 让(小号1,小号2,μ)是一个分裂从米. 定义

G一世(X)=∏一世∈小号一世(X−一个一世) 和 G~一世(X)=(X−1)G一世(X)
为了一世∈1,2. 由于两者小号1和小号2是工会q-分圆陪集模n， 两个都G1(X)和G2(X)是多项式Fq. 循环码对C1和C2长度n超过Fq生成多项式Gr~(X)和G2(X)被称为奇数二元码，而这对循环码C~1和C~2长度n超过Fq生成多项式G~1(X)和G~2(X)被称为偶数二元码。

根据定义，C1和C2有参数[n,(n+1)/2]和C~1和C~2有参数[n,(n−1)/2]. 对于类似奇数的二元码，我们有以下结果 [1008, Theorem 6.5.2]。
定理 2.7.1（平方根界）让C1和C2是一对长度为奇数的二元码n超过Fq. 让d○是他们的（常见的）最小奇数重量。然后以下保持。
（一个）d○2≥n.
(b) 如果定义二元码的分裂由下式给出μ=−1， 然后d○2−d○+1≥n.
(c) 假设d○2−d○+1=n， 在哪里d○>2，并假设定义二元码的分裂由下式给出μ=−1. 然后d○是两者的最小权重C1和C2.

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of Cyclic Codes

The length of a cyclic code is clear from its definition. However, determining the dimensions and minimum distances of cyclic codes is nontrivial. If a cyclic code $\mathcal{C}$ of length $n$ is defined by its generator polynomial $g(x)$, then the dimension of $\mathcal{C}$ equals $n-\operatorname{deg}(g)$. But it may be hard to find the degree of $g(x)$ when $g(x)$ is given as the least common multiple of a number of polynomials. If a cyclic code is defined in the trace form, it may also be difficult to determine the dimension. Determining the exact minimum distance of a cyclic code is more difficult. In the case that the minimum distance of a cyclic code cannot be settled, the best one could expect is to develop a good lower bound on the minimum distance. Unlike many other subclasses of linear codes, cyclic codes have some lower bounds on their

minimum distances. Some of the bounds are easy to use, while others are hard to employ. Below we introduce a few effective lower bounds on the minimum distances of cyclic codes.
Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $$ g(x)=\prod{i \in T}\left(x-\alpha^{i}\right)
$$
where $T$ is the union of some $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, and is called the defining set of $\mathcal{C}$ relative to $\alpha$. The following is a simple but very useful lower bound ([248] and [968]).
Theorem 2.4.1 (BCH Bound) Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}_{q}$ with defining set $T$ and minimum distance $d$. Assume $T$ contains $\delta-1$ consecutive integers for some integer $\delta$. Then $d \geq \delta$.

The BCH Bound depends on the choice of the primitive $n^{\text {th }}$ root of unity $\alpha$. Different choices of the primitive root may yield different lower bounds. When applying the BCH Bound, it is crucial to choose the right primitive root. However, it is open how to choose such a primitive root. In many cases the BCH Bound may be far away from the actual minimum distance. In such cases, the lower bound given in the following theorem may be much better. It was discovered by Hartmann and Tzeng [914]. To introduce this bound, we define
$$
A+B={a+b \mid a \in A, b \in B},
$$
where $A$ and $B$ are two subsets of the ring $\mathbb{Z}_{n}, n$ is a positive integer, and + denotes the integer addition modulo $n$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

Let $\mathcal{C}(q, n, i)$ denote the cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with parity check polynomial $M{\alpha^{i}}(x)$, which is the minimal polynomial of $\alpha^{i}$ over $\mathbb{F}{q}$, and where $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity over an extension field of $\mathbb{F}{q}$. These $\mathcal{C}(q, n, i)$ are called irreducible cyclic codes. Since the ideals $\left\langle\left(x^{n}-1\right) / M_{\alpha^{i}}(x)\right\rangle$ of $\mathcal{R}{(n, q)}$ are minimal, these $\mathcal{C}(q, n, i)$ are also called minimal cyclic codes. By Theorem 2.3.5, $\mathcal{C}(q, n, i)$ has the following trace representation: $$ \mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^{n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
$$
where $\beta=\alpha^{-i} \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}$ and $m_{i}=\left|C_{i}\right|$.
Example 2.5.1 Let $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$ and $\alpha=\gamma^{q-1}$, where $\gamma$ is a generator of $\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$. If $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, then $\mathcal{C}(q, n, 1)$ has parameters $\left[n, m, q^{m-1}\right]$ and is equivalent to the simplex code whose dual is the Hamming code. Hence, when $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, the Hamming code is equivalent to a cyclic code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH codes are a subclass of cyclic codes with special properties and are important in both theory and practice. Experimental data shows that binary and ternary BCH codes of certain lengths are the best cyclic codes in almost all cases; see [549, Appendix A]. BCH codes were briefly introduced in Section 1.14. This section treats $\mathrm{BCH}$ codes further and summarizes their basic properties.

Let $\delta$ be an integer with $2 \leq \delta \leq n$ and let $b$ be an integer. A BCH code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and designed distance $\delta$, denoted by $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$, is a cyclic code with defining set
$$
T(b, \delta)=C_{b} \cup C_{b+1} \cup \cdots \cup C_{b+\delta-2}
$$
relative to the primitive $n^{\text {th }}$ root of unity $\alpha$, where $C_{i}$ is the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ containing $i$.

When $b=1$, the code $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ with defining set in (2.2) is called a narrow-sense $\mathrm{BCH}$ code. If $n=q^{m}-1$, then $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ is referred to as a primitive BCH code. The Reed-Solomon code introduced in Section $1.14$ is a primitive BCH code.

Sometimes $T\left(b_{1}, \delta_{1}\right)=T\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$ for two distinct pairs $\left(b_{1}, \delta_{1}\right)$ and $\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$. The maximum designed distance of a $\mathrm{BCH}$ code is defined to be the largest $\delta$ such that the set $T(b, \delta)$ in (2.2) defines the code for some $b \geq 0$. The maximum designed distance of a BCH code is also called the Bose distance.

Given the canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ in (2.1), we know that the total number of nonzero cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ is $2^{t+1}-1$. Then the following two natural questions arise:

1. How many of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are BCH codes?
2. Which of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are BCH codes?The first question is open. Regarding the second question, we have the next result whose proof is straightforward.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of Cyclic Codes

循环码的长度从其定义中可以清楚地看出。然而，确定循环码的维度和最小距离并非易事。如果是循环码C长度n由它的生成多项式定义G(X), 那么维度C等于n−你⁡(G). 但可能很难找到程度G(X)什么时候G(X)被给出为多个多项式的最小公倍数。如果以迹线形式定义循环码，也可能难以确定维数。确定循环码的确切最小距离更加困难。在循环码的最小距离无法确定的情况下，最好的办法是制定一个良好的最小距离下界。与许多其他线性码子类不同，循环码有一些下界

最小距离。有些界限很容易使用，而另一些则很难使用。下面我们介绍一些循环码最小距离的有效下界。
让C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式

G(X)=∏一世∈吨(X−一个一世)
在哪里吨是一些人的联合q-分圆陪集模n, 称为定义集C关系到一个. 以下是一个简单但非常有用的下限（[248] 和 [968]）。
定理 2.4.1（BCH 绑定）让C是长度的循环码n超过Fq带有定义集吨和最小距离d. 认为吨包含d−1某个整数的连续整数d. 然后d≥d.

BCH Bound 取决于原语的选择nth 团结之根一个. 原根的不同选择可能产生不同的下界。应用 BCH Bound 时，选择正确的原始根至关重要。但是，如何选择这样的原始根是开放的。在许多情况下，BCH Bound 可能远离实际的最小距离。在这种情况下，以下定理中给出的下限可能要好得多。它是由 Hartmann 和 Tzeng [914] 发现的。为了引入这个界限，我们定义

一个+乙=一个+b∣一个∈一个,b∈乙,
在哪里一个和乙是环的两个子集从n,n是一个正整数，+ 表示整数加法模n.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

让C(q,n,一世)表示长度的循环码n超过Fq带有奇偶校验多项式米一个一世(X)，它是的最小多项式一个一世超过Fq，以及在哪里一个是原始的nth 一个外延域上的统一根Fq. 这些C(q,n,一世)称为不可约循环码。自从有了理想⟨(Xn−1)/米一个一世(X)⟩的R(n,q)是最小的，这些C(q,n,一世)也称为最小循环码。根据定理 2.3.5，C(q,n,一世)具有以下跟踪表示：

\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
在哪里b=一个−一世∈Fq米一世和米一世=|C一世|.
示例 2.5.1 让n=(q米−1)/(q−1)和一个=Cq−1， 在哪里C是一个生成器Fq米∗. 如果gcd⁡(q−1,米)=1， 然后C(q,n,1)有参数[n,米,q米−1]并且等价于对偶是汉明码的单纯形码。因此，当gcd⁡(q−1,米)=1，汉明码等价于循环码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH码是具有特殊性质的循环码的子类，在理论和实践中都很重要。实验数据表明，在几乎所有情况下，一定长度的二进制和三进制 BCH 码都是最好的循环码；见 [549，附录 A]。1.14 节简要介绍了 BCH 码。本节处理乙CH进一步编码并总结它们的基本属性。

让d是一个整数2≤d≤n然后让b是一个整数。一个 BCH 代码Fq长度n和设计距离d，表示为C(q,n,d,b), 是具有定义集的循环码

吨(b,d)=Cb∪Cb+1∪⋯∪Cb+d−2
相对于原始nth 团结之根一个， 在哪里C一世是个q-分圆陪集模n包含一世.

什么时候b=1， 编码C(q,n,d,b)在（2.2）中定义集合称为狭义乙CH代码。如果n=q米−1， 然后C(q,n,d,b)被称为原始 BCH 码。章节中介绍的 Reed-Solomon 码1.14是原始 BCH 代码。

有时吨(b1,d1)=吨(b2,d2)对于两个不同的对(b1,d1)和(b2,d2). 最大设计距离乙CH代码被定义为最大d这样集合吨(b,d)在 (2.2) 中定义了一些代码b≥0. BCH码的最大设计距离也称为玻色距离。

给定的规范分解Xn−1超过Fq在（2.1）中，我们知道长度为非零的循环码的总数n超过Fq是2吨+1−1. 那么自然会产生以下两个问题：

1. 其中有多少2吨+1−1循环码是BCH码吗？
2. 哪一个2吨+1−1循环码是 BCH 码吗？第一个问题是开放的。关于第二个问题，我们有下一个证明很简单的结果。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

A brief introduction to cyclic codes over finite fields was given in Section 1.12. The objective of this chapter is to introduce several important families of cyclic codes over finite fields. We will follow the notation of Chapter 1 as closely as possible.

By an $[n, \kappa, d]{q}$ code, we mean a linear code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$, dimension $\kappa$ and minimum distance $d$. Notice that the minimum distance of a linear code is equal to the minimum nonzero weight of the code. By the parameters of a linear code, we mean its length, dimension and minimum distance. An $[n, \kappa, d]{q}$ code is said to be distance-optimal (respectively dimension-optimal) if there is no $[n, \kappa, d+1]{q}$ (respectively $[n, \kappa+1, d]{q}$ ) code. By the best known parameters of $[n, \kappa]$ linear codes over $\mathbb{F}{q}$ we mean an $[n, \kappa, d]_{q}$ code with the largest known $d$ reported in the tables of linear codes maintained at [845].

In this chapter, we deal with cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ and always assume that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Under this assumption, $x^{n}-1$ has no repeated factors over $\mathbb{F}{q}$. Denote by $C_{i}$ the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ that contains $i$ for $0 \leq i \leq n-1$. Put $m=\operatorname{ord}{n}(q)$, and let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}^{*}:=\mathbb{F}{q^{m}} \backslash{0}$. Define $\alpha=\gamma^{\left(q^{m}-1\right) / n}$. Then $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity. The canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ is given by
$$
x^{n}-1=M_{\alpha^{i_{0}}}(x) M_{\alpha^{i_{1}}}(x) \cdots M_{\alpha^{i_{t}}}(x),
$$

where $i_{0}, i_{1}, \ldots, i_{t}$ are representatives of the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, and
$$
M_{\alpha^{i_{j}}}(x)=\prod_{h \in C_{i_{j}}}\left(x-\alpha^{h}\right)
$$
which is the minimal polynomial of $\alpha^{i_{j}}$ over $\mathbb{F}{q}$ and is irreducible over $\mathbb{F}{q \text { : }}$.
Throughout this chapter, we define $\mathcal{R}{(n, q)}=\mathbb{F}{q}[x] /\left\langle x^{n}-1\right\rangle$ and use $\operatorname{Tr}{q^{m} / q}$ to denote the trace function from $F{q^{m}}$ to $F_{q}$ defined by $\operatorname{Tr}{q^{m} / q}(x)=\sum{j=0}^{m-1} x^{q^{j}}$. The ring of integers modulo $n$ is denoted by $\mathbb{Z}_{n}={0,1, \ldots, n-1}$.

Cyclic codes form an important subclass of linear codes over finite fields. Their algebraic structure is richer. Because of their cyclic structure, they are closely related to number theory. In addition, they have efficient encoding and decoding algorithms and are the most studied linear codes. In fact, most of the important families of linear codes are either cyclic codes or extended cyclic codes.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{\pm}}$code. The subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ of $\mathcal{C}$ with respect to $\mathbb{F}{q}$ is the set of codewords in $\mathcal{C}$ each of whose components is in $\mathbb{F}{q}$. Since $\mathcal{C}$ is linear over $\mathbb{F}{q^{2}},\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ is a linear code over $\mathbb{F}_{q}$.

The dimension, denoted $\kappa_{q}$, of the subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{F{q}}$ may not have an elementary relation with that of the code $\mathcal{C}$. However, we have the following lower and upper bounds on $\kappa_{q}$.

Theorem 2.2.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{t}}$ code. Then $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ is an $\left[n, \kappa{q}\right]$ code over $\mathbb{F}{q}$, where $\kappa \geq \kappa{q} \geq n-t(n-\kappa)$. If $\mathcal{C}$ has a basis of codewords in $\mathbb{F}{q}^{n}$, then this is also a basis of $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ and $\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}$ has dimension $\kappa$.

Example 2.2.2 The Hamming code $\mathcal{H}{3,2^{2}}$ over $\mathbb{F}{2^{2}}$ has parameters $[21,18,3]{4}$. The subfield subcode $\left.\mathcal{H}{3,2^{2}}\right|{\mathbb{F}{2}}$ is a $[21,16,3]{2}$ code with parity check matrix $$ \left[\begin{array}{lllllllllllllllllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] . $$ In this case, $n=21, \kappa=18$, and $n-t(n-\kappa)=15$. Hence $\kappa{q}=16$, which is very close to $n-t(n-\kappa)=15$.

The following is called Delsarte’s Theorem, which exhibits a dual relation between subfield subcodes and trace codes. This theorem is very useful in the design and analysis of linear codes.
Theorem 2.2.3 (Delsarte) Let $\mathcal{C}$ be a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}{q^{*}}$. Then $$ \left(\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}\right)^{\perp}=\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right), $$ where $\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}$.
Theorems $2.2 .1$ and $2.2 .3$ work for all linear codes, including cyclic codes. Their proofs could be found in [1008, Section 3.8]. We shall need them later.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Fundamental Constructions of Cyclic Codes

In Section 1.12, it was shown that every cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ can be generated by a generator polynomial $g(x) \in F{q}[x]$. The objective of this section is to describe several other fundamental constructions of cyclic codes over finite fields. By a fundamental construction, we mean a construction method that can produce every cyclic code over any finite field.

An element $e$ in a commutative ring $\mathcal{R}$ is called an idempotent if $e^{2}=e$. The ring $\mathcal{R}{(n, q)}$ has in general quite a number of idempotents. Besides its generator polynomial, many other polynomials can generate a cyclic code $\mathcal{C}$. Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. It is easily seen that a polynomial $f(x) \in \mathbb{F}_{q}[x]$ generates $\mathcal{C}$ if and only if $\operatorname{gcd}\left(f(x), x^{n}-1\right)=g(x)$.

If an idempotent $e(x) \in \mathcal{R}{(n, q)}$ generates a cyclic code $\mathcal{C}$, it is then unique in this ring and called the generating idempotent. Given the generator polynomial of a cyclic code, one can compute its generating idempotent with the following theorem [1008, Theorem 4.3.3]. Theorem 2.3.1 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Let $h(x)=\left(x^{n}-1\right) / g(x)$. Then $\operatorname{gcd}(g(x), h(x))=1$, as it was assumed that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Employing the Extended Euclidean Algorithm, one computes two polynomials a $(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ and $b(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ such that $1=a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Then $e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{n}-1\right)$ is the generating idempotent of $\mathcal{C}$.

The polynomial $h(x)$ in Theorem $2.3 .1$ is called the parity check polynomial of $\mathcal{C}$. Given the generating idempotent of a cyclic code, one obtains the generator polynomial of this code as follows [1008, Theorem 4.3.3].

Theorem 2.3.2 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generating idempotent e(x). Then the generator polynomial of $\mathcal{C}$ is given by $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{n}-1\right)$, which is computed in $\mathbb{F}{q}[x]$.
Example 2.3.3 The cyclic code $\mathcal{C}$ of length 11 over $\mathbb{F}_{3}$ with generator polynomial $g(x)=$ $x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+2$ has parameters $[11,6,5]$ and parity check polynomial $h(x)=x^{6}+$ $2 x^{5}+2 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+1 .$

Let $a(x)=2 x^{5}+x^{4}+x^{2}$ and $b(x)=x^{4}+x^{3}+1$. It is then easily verified that $1=$ $a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Hence
$$
e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{11}-1\right)=2 x^{10}+2 x^{8}+2 x^{7}+2 x^{6}+2 x^{2}
$$
which is the generating idempotent of $\mathcal{C}$. On the other hand, we have $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{11}-\right.$ 1).

A generator matrix of a cyclic code can be derived from its generating idempotent as follows [1008, Theorem 4.3.6].

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

1.12 节简要介绍了有限域上的循环码。本章的目的是介绍有限域上几个重要的循环码族。我们将尽可能地遵循第 1 章的符号。

由一个[n,ķ,d]q代码，我们的意思是线性代码Fq有长度n， 方面ķ和最小距离d. 请注意，线性代码的最小距离等于代码的最小非零权重。线性码的参数是指它的长度、尺寸和最小距离。一个[n,ķ,d]q如果没有，则称代码是距离最优的（分别是维度最优的）[n,ķ,d+1]q（分别[n,ķ+1,d]q） 代码。通过最知名的参数[n,ķ]线性码超过Fq我们的意思是[n,ķ,d]q已知最大的代码d在[845]维护的线性代码表中报告。

在本章中，我们处理长度为的循环码n超过Fq并且总是假设gcd⁡(n,q)=1. 在这个假设下，Xn−1没有重复的因素Fq. 表示为C一世这q-分圆陪集模n包含一世为了0≤一世≤n−1. 放米=单词⁡n(q)， 然后让C成为Fq米∗:=Fq米∖0. 定义一个=C(q米−1)/n. 然后一个是原始的nth 团结的根。的规范分解Xn−1超过Fq是（谁）给的

Xn−1=米一个一世0(X)米一个一世1(X)⋯米一个一世吨(X),

在哪里一世0,一世1,…,一世吨是代表q-分圆陪集模n， 和

米一个一世j(X)=∏H∈C一世j(X−一个H)
这是的最小多项式一个一世j超过Fq并且不可约Fq : .
在本章中，我们定义R(n,q)=Fq[X]/⟨Xn−1⟩并使用Tr⁡q米/q表示跟踪函数Fq米至Fq被定义为Tr⁡q米/q(X)=∑j=0米−1Xqj. 整数环模n表示为从n=0,1,…,n−1.

循环码是有限域上线性码的一个重要子类。它们的代数结构更丰富。由于它们的循环结构，它们与数论密切相关。此外，它们具有高效的编码和解码算法，是研究最多的线性码。事实上，大多数重要的线性码族要么是循环码，要么是扩展循环码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

让C豆[n,ķ]q±代码。子字段子代码C|Fq的C关于Fq是代码字的集合C每个组件都在Fq. 自从C是线性的Fq2,C|Fq是一个线性码Fq.

尺寸，表示ķq, 子域子代码 $\left.\mathcal{C}\right| {F {q}}米一个是n○吨H一个在和一个n和l和米和n吨一个r是r和l一个吨一世○n在一世吨H吨H一个吨○F吨H和C○d和\数学{C}.H○在和在和r,在和H一个在和吨H和F○ll○在一世nGl○在和r一个nd在pp和rb○在nds○n\kappa_{q}$

定理 2.2.1 令C豆[n,ķ]q吨代码。然后C|Fq是一个[n,ķq]代码结束Fq， 在哪里ķ≥ķq≥n−吨(n−ķ). 如果C有一个码字的基础Fqn, 那么这也是一个基础C|Fq和C|Fq有维度ķ.

例 2.2.2 汉明码H3,22超过F22有参数[21,18,3]4. 子字段子代码H3,22|F2是一个[21,16,3]2带有奇偶校验矩阵的代码

[100110011001111001101 010010110011010011001 001100110011001100110 000001111000000001111 000000000111111110000].在这种情况下，n=21,ķ=18， 和n−吨(n−ķ)=15. 因此ķq=16, 非常接近n−吨(n−ķ)=15.

下面称为德尔萨定理，它展示了子域子码和跟踪码之间的双重关系。该定理在线性码的设计和分析中非常有用。
定理 2.2.3 (Delsarte) 让C是长度的线性码n超过Fq∗. 然后

(C|Fq)⊥=Tr⁡q吨/q(C⊥),在哪里\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q }\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1 }, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q }\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1 }, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}.
定理2.2.1和2.2.3适用于所有线性码，包括循环码。他们的证明可以在 [1008, Section 3.8] 中找到。我们稍后会需要它们。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Fundamental Constructions of Cyclic Codes

在 1.12 节中，证明了每个长度为n超过Fq可以由生成多项式生成G(X)∈Fq[X]. 本节的目的是描述有限域上循环码的其他几个基本结构。基本构造是指一种构造方法，它可以在任何有限域上生成每个循环码。

一个元素和在交换环中R被称为幂等如果和2=和. 戒指R(n,q)通常具有相当多的幂等性。除了它的生成多项式，许多其他多项式也可以生成循环码C. 让C是一个循环码Fq用生成多项式G(X). 很容易看出，多项式F(X)∈Fq[X]生成C当且仅当gcd⁡(F(X),Xn−1)=G(X).

如果一个幂等和(X)∈R(n,q)生成循环码C，则它在这个环中是唯一的，称为生成幂等。给定循环码的生成多项式，可以使用以下定理 [1008，定理 4.3.3] 计算其生成幂等性。定理 2.3.1 令C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 让H(X)=(Xn−1)/G(X). 然后gcd⁡(G(X),H(X))=1，因为假设gcd⁡(n,q)=1. 使用扩展欧几里得算法，计算两个多项式(X)∈Fq[X]和b(X)∈Fq[X]这样1=一个(X)G(X)+b(X)H(X). 然后和(X)=一个(X)G(X)反对(Xn−1)是生成幂等C.

多项式H(X)定理2.3.1称为奇偶校验多项式C. 给定循环码的生成幂等性，可以按如下方式获得该码的生成多项式 [1008，定理 4.3.3]。

定理 2.3.2 令C是一个循环码Fq生成幂等 e(x)。然后生成多项式C是（谁）给的G(X)=gcd⁡(和(X),Xn−1), 计算在Fq[X].
例 2.3.3 循环码C长度超过 11F3用生成多项式G(X)= X5+X4+2X3+X2+2有参数[11,6,5]和奇偶校验多项式H(X)=X6+ 2X5+2X4+2X3+X2+1.

让一个(X)=2X5+X4+X2和b(X)=X4+X3+1. 然后很容易验证1= 一个(X)G(X)+b(X)H(X). 因此

和(X)=一个(X)G(X)反对(X11−1)=2X10+2X8+2X7+2X6+2X2
这是生成幂等C. 另一方面，我们有G(X)=gcd⁡(和(X),X11− 1).

循环码的生成矩阵可以从其生成幂等推导出如下 [1008，定理 4.3.6]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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