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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科，如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学，都对编码进行了研究，目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Asymptotic Bounds

We now describe what happens to the bounds, excluding the Griesmer Bound, as the code length approaches infinity; these bounds are termed asymptotic bounds. We first need some terminology.

Definition 1.9.26 The information rate, or simply rate, of an $(n, M, d){q}$ code is defined to be $\frac{\log {q} M}{n}$. If the code is actually an $[n, k, d]_{q}$ linear code, its rate is $\frac{k}{n}$, measuring the number of information coordinates relative to the total number of coordinates. In either the linear or nonlinear case, the higher the rate, the higher the proportion of coordinates in a codeword that actually contain information rather than redundancy. The ratio $\frac{d}{n}$ is called the relative distance of the code; as we will see later, the relative distance is a measure of the error-correcting capability of the code relative to its length.

Each asymptotic bound will be either an upper or lower bound on the largest possible rate for a family of (possibly nonlinear) codes over $\mathbb{F}{q}$ of lengths going to infinity with relative distances approaching $\delta$. The function, called the asymptotic normalized rate function, that determines this rate is $$ \alpha{q}(\delta)=\limsup {n \rightarrow \infty} \frac{\log {q} A_{q}(n, \delta n)}{n} .
$$
As the exact value of $\alpha_{q}(\delta)$ is unknown, we desire upper and lower bounds on this function. An upper bound would indicate that all families with relative distances approaching $\delta$ have rates, in the limit, at most this upper bound. A lower bound indicates that there exists a family of codes of lengths approaching infinity and relative distances approaching $\delta$ whose rates are at least this bound. Three of the bounds in the next theorem involve the entropy function.
Definition 1.9.27 The entropy function is defined for $0 \leq x \leq r=1-q^{-1}$ by
$$
H_{q}(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x=0, \ x \log {q}(q-1)-x \log {q} x-(1-x) \log _{q}(1-x) & \text { if } 02$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Hamming Codes

A binary code permutation equivalent to the code of Example $1.4 .9$ was discovered in 1947 by R. W. Hamming while working at Bell Telephone Laboratories. Because of patent considerations, his work was not published until 1950 ; see [895]. This Hamming code actually appeared earlier in C. E. Shannon’s seminal paper [1661]. It was also generalized to codes over fields of prime order by M. J. E. Golay [820].

Given a positive integer $m$, if one takes an $m \times n$ binary matrix whose columns are nonzero and distinct, the binary code with this parity check matrix must have minimum weight at least 3 by Theorem 1.6.11. Binary Hamming codes $\mathcal{H}_{m, 2}$ arise by choosing an $m \times n$ parity check matrix with the maximum number of columns possible that are distinct and nonzero.

Definition 1.10.1 Let $m \geq 2$ be an integer and $n=2^{m}-1$. Let $H_{m, 2}$ be an $m \times n$ matrix whose columns are all $2^{m}-1$ distinct nonzero binary $m$-tuples. A code with this parity check matrix is called a binary Hamming code. Changing the column order of $H_{m, 2}$ produces a set of pairwise permutation equivalent codes. Any code in this list is denoted $\mathcal{H}{m, 2}$ and is a $\left[2^{m}-1,2^{m}-1-m, 3\right]{2}$ code.

The code $\mathcal{H}{3,2}$ of Example $1.4 .9$ is indeed a binary Hamming code. These codes are generalized to Hamming codes $\mathcal{H}{m, q}$ over $\mathbb{F}_{q}$, all with minimum weight 3 again from Theorem 1.6.11.

Definition 1.10.2 Let $m \geq 2$ be an integer and $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$. There are a total of $n$ 1-dimensional subspaces of $\mathbb{F}{q}^{m}$. Let $H{m, q}$ be an $m \times n$ matrix whose columns are all nonzero $m$-tuples with one column from each of the distinct 1-dimensional subspaces of $F_{q}^{m}$. A code with this parity check matrix is called a Hamming code over $\mathbb{F}{q}$. Re-scaling columns and/or changing column order of $H{m, q}$ produces a set of pairwise monomially equivalent codes. Any code in this list is denoted $\mathcal{H}{m, q}$ and is a $\left[\left(q^{m}-1\right) /(q-1),\left(q^{m}-1\right) /(q-1)-m, 3\right]{q}$ code. The code $\mathcal{H}{m, q}^{\perp}$ is called a simplex code. Example 1.10.3 The parity check matrix of the code in Example 1.9.14 is $$ \left[\begin{array}{cc|cc} -1 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] . $$ This code satisfies the definition of a Hamming $[4,2,3]{3}$ code, and so $\mathcal{H}_{2,3}$ is the appropriate labeling of this code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reed-Muller Codes

In 1954 the binary Reed-Muller codes were first constructed and examined by D. E. Muller [1409], and a majority logic decoding algorithm for them was described by I. S. Reed [1581]. The non-binary Reed-Muller codes, called generalized Reed-Muller codes, were developed in $[1089,1887]$; see also Example 16.4.11 and Section 2.8. We define binary Reed-Muller codes recursively based on the $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction; see [1323]. Other constructions of Reed-Muller codes can be found in Chapters 2,16 , and 20 .

Definition 1.11.1 For $i \in{1,2}$, let $\mathcal{C}{i}$ be linear codes both of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. The $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction produces the linear code $\mathcal{C}$ of length $2 n$ given by $\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}$

Remark 1.11.2 Let $\mathcal{C}{i}$, for $i \in{1,2}$, be $\left[n, k{i}, d_{i}\right]{q}$ codes with generator and parity check matrices $G{i}$ and $H_{i}$, respectively. $\mathcal{C}$ obtained by the $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction is a $\left[2 n, k_{1}+\right.$ $\left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}$ code with generator and parity check matrices $$ G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \
\hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2}
\end{array}\right] \text { and } H=\left[\begin{array}{c|c}
H_{1} & \mathbf{0}{\left(n-k{1}\right) \times n} \
\hline-H_{2} & H_{2}
\end{array}\right]
$$
We now define the binary Reed-Muller codes.
Definition 1.11.3 Let $r$ and $m$ be integers with $0 \leq r \leq m$ and $1 \leq m$. The $r^{\text {th }}$ order binary Reed-Muller (RM) code of length $2^{m}$, denoted $\mathcal{R} \mathcal{M}(r, m)$, is defined recursively. The code $\mathcal{R} \mathcal{M}(0, m)={\mathbf{0}, 1}$, the $\left[2^{m}, 1,2^{m}\right]{2}$ binary repetition code, and $\mathcal{R} \mathcal{M}(m, m)=\mathbb{F}{q}^{2^{m}}$, a $\left[2^{m}, 2^{m}, 1\right]_{2}$ code. For $1 \leq r<m$, define
$$
\mathcal{R} \mathcal{M}(r, m)={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid \mathbf{u} \in \mathcal{R} \mathcal{M}(r, m-1), \mathbf{v} \in \mathcal{R} \mathcal{M}(r-1, m-1)}
$$

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Asymptotic Bounds

我们现在描述当代码长度接近无穷大时边界会发生什么，不包括 Griesmer 边界；这些界限被称为渐近界限。我们首先需要一些术语。

定义 1.9.26 信息速率，或简称为速率，(n,米,d)q代码被定义为日志⁡q米n. 如果代码实际上是[n,ķ,d]q线性码，其速率为ķn，测量相对于坐标总数的信息坐标数。在线性或非线性情况下，速率越高，码字中实际包含信息而不是冗余的坐标比例就越高。比例dn称为代码的相对距离；正如我们稍后将看到的，相对距离是代码相对于其长度的纠错能力的量度。

每个渐近界将是一系列（可能是非线性）代码的最大可能速率的上限或下限Fq随着相对距离的接近，长度趋于无穷d. 确定该速率的函数称为渐近归一​​化速率函数是

一个q(d)=林汤n→∞日志⁡q一个q(n,dn)n.
作为准确值一个q(d)是未知的，我们需要这个函数的上限和下限。一个上限将表明所有相对距离接近的家庭d有率，在极限内，至多这个上限。下界表示存在一系列长度接近无穷大且相对距离接近d他们的利率至少是这个界限。下一个定理中的三个界限涉及熵函数。
定义 1.9.27 熵函数定义为0≤X≤r=1−q−1由
$$
H_{q}(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x=0, \ x \log {q}(q-1)-x \log {q} x-(1 -x) \log _{q}(1-x) & \text { 如果 } 02$。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Hamming Codes

等效于示例代码的二进制代码排列1.4.9由 RW Hamming 于 1947 年在贝尔电话实验室工作时发现。由于专利的考虑，他的作品直到 1950 年才出版；见[895]。这个汉明码实际上早先出现在 CE Shannon 的开创性论文 [1661] 中。它也被 MJE Golay [820] 推广到素数域上的代码。

给定一个正整数米, 如果一个人拿米×n根据定理 1.6.11，其列非零且不同的二进制矩阵，具有该奇偶校验矩阵的二进制码必须具有至少 3 的最小权重。二进制汉明码H米,2通过选择一个米×n具有最大可能不同且非零列数的奇偶校验矩阵。

定义 1.10.1 让米≥2是一个整数并且n=2米−1. 让H米,2豆米×n列全部为的矩阵2米−1不同的非零二进制米-元组。具有这种奇偶校验矩阵的代码称为二进制汉明码。更改的列顺序H米,2产生一组成对置换等效码。此列表中的任何代码都表示H米,2并且是一个[2米−1,2米−1−米,3]2代码。

编码H3,2示例1.4.9确实是二进制汉明码。这些代码被推广到汉明码H米,q超过Fq，从定理 1.6.11 再次具有最小权重 3。

定义 1.10.2 让米≥2是一个整数并且n=(q米−1)/(q−1). 共有n的一维子空间Fq米. 让H米,q豆米×n列全部为非零的矩阵米- 元组中每个不同的一维子空间中的一列Fq米. 具有这种奇偶校验矩阵的代码称为汉明码Fq. 重新缩放列和/或更改列顺序H米,q产生一组成对的单项式等价码。此列表中的任何代码都表示H米,q并且是一个[(q米−1)/(q−1),(q米−1)/(q−1)−米,3]q代码。编码H米,q⊥称为单纯形码。例 1.10.3 例 1.9.14 中代码的奇偶校验矩阵为

[−1−110 −1101].该代码满足汉明的定义[4,2,3]3代码，等等H2,3是此代码的适当标记。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reed-Muller Codes

1954 年，DE Muller [1409] 首次构建和检查了二进制 Reed-Muller 码，IS Reed [1581] 描述了它们的多数逻辑解码算法。非二进制 Reed-Muller 码，称为广义 Reed-Muller 码，是在[1089,1887]; 另见示例 16.4.11 和第 2.8 节。我们基于递归定义二进制 Reed-Muller 码(在∣在+在)建造; 见[1323]。Reed-Muller 码的其他结构可以在第 2,16 和 20 章中找到。

定义 1.11.1 对于一世∈1,2， 让C一世都是长度的线性码n超过Fq. 这(在∣在+在)构造产生线性代码C长度2n由\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \ mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \ mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}

备注 1.11.2 让C一世， 为了一世∈1,2， 是[n,ķ一世,d一世]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码G一世和H一世， 分别。C获得的(在∣在+在)建筑是一个[2n,ķ1+ \left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}\left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}带有生成器和奇偶校验矩阵的代码

G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \ \hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2} \end{array }\right] \text { 和 } H=\left[\begin{array}{c|c} H_{1} & \mathbf{0}{\left(nk{1}\right) \times n} \ \hline-H_{2} & H_{2} \end{array}\right]G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \ \hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2} \end{array }\right] \text { 和 } H=\left[\begin{array}{c|c} H_{1} & \mathbf{0}{\left(nk{1}\right) \times n} \ \hline-H_{2} & H_{2} \end{array}\right]
我们现在定义二进制 Reed-Muller 码。
定义 1.11.3 让r和米是整数0≤r≤米和1≤米. 这rth 顺序二进制 Reed-Muller (RM) 代码长度2米, 表示R米(r,米), 是递归定义的。编码R米(0,米)=0,1， 这[2米,1,2米]2二进制重复码，和R米(米,米)=Fq2米， 一个[2米,2米,1]2代码。为了1≤r<米， 定义

R米(r,米)=(在,在+在)∣在∈R米(r,米−1),在∈R米(r−1,米−1)

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

The Sphere Packing Bound, also called the Hamming Bound, is based on packing $F_{q}^{n}$ with non-overlapping spheres.

Definition 1.9.3 The sphere of radius $r$ centered at $\mathbf{u} \in F_{q}^{n}$ is the set $S_{q, n, r}(\mathbf{u})=$ $\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq r\right}$ of all vectors in $\mathbb{F}_{q}^{n}$ whose distance from $\mathbf{u}$ is at most $r$.
We need the size of a sphere, which requires use of binomial coefficients.
Definition 1.9.4 For $a, b$ integers with $0 \leq b \leq a,\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)$ is the number of $b$-element subsets in an $a$-element set. $\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)=\frac{a !}{b !(a-b) !}$ and is called a binomial coefficient.

The next result is the basis of the Sphere Packing Bound; part (a) is a direct count and part (b) follows from the triangle inequality of Theorem 1.6.2.
Theorem 1.9.5 The following hold.
(a) For $\mathbf{u} \in \mathbb{F}{q}^{n},\left|S{q, n, r}(\mathbf{u})\right|=\sum_{i=0}^{r}\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}$.
(b) If $\mathcal{C}$ is an $(n, M, d)_{q}$ code and $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint.

Theorem 1.9.6 (Sphere Packing (or Hamming) Bound) Let $d \geq 1 .$ If $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then
$$
B_{q}(n, d) \leq A_{q}(n, d) \leq \frac{q^{n}}{\sum_{i=0}^{t}\left(\begin{array}{c}
n \
i
\end{array}\right)(q-1)^{i}}
$$
Proof: Let $\mathcal{C}$ be an $(n, M, d){q}$ code. By Theorem $1.9 .5$, the spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint, and each such sphere has $\alpha=\sum{i=0}^{t}\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}$ total vectors. Thus $M \alpha$ cannot exceed the number $q^{n}$ of vectors in $\mathbb{F}_{q}^{n}$. The result is now clear.

Remark 1.9.7 The Sphere Packing Bound is an upper bound on the size of a code given its length and minimum distance. Additionally the Sphere Packing Bound produces an upper bound on the minimum distance $d$ of an $(n, M){q}$ code in the following sense. Given $n, M$, and $q$, compute the smallest positive integer $s$ with $M>\frac{q^{n}}{\sum{i=0}^{s}\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}} ;$ for an $(n, M, d)_{q}$ code to exist, $d<2 s-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

The Singleton Bound was formulated in [1717]. As with the Sphere Packing Bound, the Singleton Bound is an upper bound on the size of a code.

Theorem 1.9.10 (Singleton Bound) For $d \leq n, A_{q}(n, d) \leq q^{n-d+1}$. Furthermore, if an $[n, k, d]{q}$ linear code exists, then $k \leq n-d+1$; i.e., $k{q}(n, d) \leq n-d+1$.

Remark 1.9.11 In addition to providing an upper bound on code size, the Singleton Bound yields the upper bound $d \leq n-\log {q}(M)+1$ on the minimum distance of an $(n, M, d){q}$ code.
Definition 1.9.12 A code for which equality holds in the Singleton Bound is called maximum distance separable (MDS). No code of length $n$ and minimum distance $d$ has more codewords than an MDS code with parameters $n$ and $d$; equivalently, no code of length $n$ with $M$ codewords has a larger minimum distance than an MDS code with parameters $n$ and $M$. MDS codes are discussed in Chapters $3,6,8,14$, and 33 .
The following theorem is proved using Theorem 1.6.11.
Theorem $1.9 .13 \mathcal{C}$ is an $[n, k, n-k+1]{q} M D S$ code if and only if $\mathcal{C}^{\perp}$ is an $[n, n-k, k+1]{q}$ MDS code.
Example 1.9.14 Let $\mathcal{H}{2,3}$ be the $[4,2]{3}$ ternary linear code with generator matrix
$$
G_{2,3}=\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & -1
\end{array}\right] .
$$
Examining inner products of the rows of $G_{2,3}$, we see that $\mathcal{H}{2,3}$ is self-orthogonal of dimension half its length; so it is self-dual. Using Theorem $1.6 .2(\mathrm{~h}), A{0}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=1, A{3}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=8$, and $A{i}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=0$ otherwise. In particular $\mathcal{H}{2,3}$ is a $[4,2,3]_{3}$ code and hence is MDS.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Griesmer Bound

The Griesmer Bound $[855]$ is a lower bound on the length of a linear code given its dimension and minimum weight.

Theorem 1.9.18 (Griesmer Bound) Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k, d]{q}$ linear code with $k \geq 1$. Then $$ n \geq \sum{i=0}^{k-1}\left[\frac{d}{q^{i}}\right] .
$$
Remark 1.9.19 One can interpret the Griesmer Bound as an upper bound on the code size given its length and minimum weight. Specifically, $B_{q}(n, d) \leq q^{k}$ where $k$ is the largest positive integer such that $n \geq \sum_{i=0}^{k-1}\left\lceil\frac{d}{q^{2}}\right\rceil$. This bound can also be interpreted as a lower bound on the length of a linear code of given dimension and minimum weight; that is, $n_{q}(k, d) \geq \sum_{i=0}^{k-1}\left\lceil\frac{d}{q^{2}}\right\rceil$. Finally, the Griesmer Bound can be understood as an upper bound on the minimum weight given the code length and dimension; given $n$ and $k, d_{q}(n, k)$ is at most the largest $d$ for which the bound holds.

Example 1.9.20 Suppose we wish to find the smallest code length $n$ such that an $[n, 4,3]{2}$ code can exist. By the Griesmer Bound $n \geq\left\lceil\frac{3}{1}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{4}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{8}\right\rceil=3+2+1+1=7$. Note that equality in this bound is attained by the $[7,4,3]{2}$ code $\mathcal{H}_{3,2}$ of Examples 1.4.9 and 1.6.10.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

Sphere Packing Bound，也称为 Hamming Bound，是基于 PackingFqn具有不重叠的球体。

定义 1.9.3 半径球体r以在∈Fqn是集合小号q,n,r(在)= \left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \ leq r\right}\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \ leq r\right}中的所有向量Fqn谁的距离在最多是r.
我们需要球体的大小，这需要使用二项式系数。
定义 1.9.4 对于一个,b整数与0≤b≤一个,(一个 b)是数量b-元素子集一个-元素集。(一个 b)=一个!b!(一个−b)!称为二项式系数。

下一个结果是 Sphere Packing Bound 的基础；(a) 部分是直接计数，(b) 部分来自定理 1.6.2 的三角不等式。
定理 1.9.5 以下成立。
(a) 为在∈Fqn,|小号q,n,r(在)|=∑一世=0r(n 一世)(q−1)一世.
(b) 如果C是一个(n,米,d)q代码和吨=⌊d−12⌋, 然后是半径球吨以不同码字为中心是不相交的。

定理 1.9.6（球形包装（或汉明）约束）让d≥1.如果吨=⌊d−12⌋， 然后

乙q(n,d)≤一个q(n,d)≤qn∑一世=0吨(n 一世)(q−1)一世
证明：让C豆(n,米,d)q代码。按定理1.9.5, 半径球体吨以不同的码字为中心是不相交的，每个这样的球体都有一个=∑一世=0吨(n 一世)(q−1)一世总向量。因此米一个不能超过数量qn中的向量Fqn. 结果现在很清楚了。

备注 1.9.7 Sphere Packing Bound 是给定代码长度和最小距离的代码大小的上限。此外，Sphere Packing Bound 产生最小距离的上限d一个(n,米)q以下意义上的代码。给定n,米， 和q, 计算最小的正整数s和米>qn∑一世=0s(n 一世)(q−1)一世;为(n,米,d)q存在的代码，d<2s−1.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

Singleton Bound 是在 [1717] 中制定的。与 Sphere Packing Bound 一样，Singleton Bound 是代码大小的上限。

定理 1.9.10（单例界）对于d≤n,一个q(n,d)≤qn−d+1. 此外，如果一个[n,ķ,d]q存在线性码，则ķ≤n−d+1; IE，ķq(n,d)≤n−d+1.

备注 1.9.11 除了提供代码大小的上限之外，Singleton Bound 还会产生上限d≤n−日志⁡q(米)+1在最小距离上(n,米,d)q代码。
定义 1.9.12 在 Singleton Bound 中相等的代码称为最大可分离距离 (MDS)。没有长度代码n和最小距离d比带参数的 MDS 代码有更多的代码字n和d; 等效地，没有长度代码n和米码字的最小距离大于带参数的 MDS 码n和米. MDS 代码在章节中讨论3,6,8,14, 和 33 .
使用定理 1.6.11 证明了以下定理。
定理1.9.13C是一个[n,ķ,n−ķ+1]q米D小号编码当且仅当C⊥是一个[n,n−ķ,ķ+1]qMDS 代码。
示例 1.9.14 让H2,3成为[4,2]3带生成矩阵的三元线性码

G2,3=[1011 011−1].
检查行的内积G2,3, 我们看到H2,3是其长度一半的自正交；所以它是自对偶的。使用定理1.6.2( H),一个0(H2,3)=1,一个3(H2,3)=8， 和一个一世(H2,3)=0否则。尤其是H2,3是一个[4,2,3]3代码，因此是 MDS。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Griesmer Bound

Griesmer 绑定[855]是给定其尺寸和最小权重的线性代码长度的下限。

定理 1.9.18 (Griesmer Bound) 让C豆[n,ķ,d]q线性码ķ≥1. 然后

n≥∑一世=0ķ−1[dq一世].
备注 1.9.19 可以将 Griesmer Bound 解释为给定长度和最小权重的代码大小的上限。具体来说，乙q(n,d)≤qķ在哪里ķ是最大的正整数，使得n≥∑一世=0ķ−1⌈dq2⌉. 该界限也可以解释为给定尺寸和最小重量的线性代码长度的下限；那是，nq(ķ,d)≥∑一世=0ķ−1⌈dq2⌉. 最后，Griesmer Bound 可以理解为给定代码长度和维度的最小权重的上限；给定n和ķ,dq(n,ķ)最多是最大的d界限成立。

示例 1.9.20 假设我们希望找到最小的代码长度n这样一个[n,4,3]2代码可以存在。由 Griesmer 绑定n≥⌈31⌉+⌈32⌉+⌈34⌉+⌈38⌉=3+2+1+1=7. 请注意，此范围内的平等是由[7,4,3]2代码H3,2示例 1.4.9 和 1.6.10。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科，如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学，都对编码进行了研究，目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

There are several methods to obtain a longer or shorter code from a given code; while this can be done for both linear and nonlinear codes, we focus on linear ones. Two codes can be combined into a single code, for example as described in Section 1.11.

Definition 1.7.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k, d]{q}$ linear code with generator matrix $G$ and parity check matrix $H$. (a) For some $i$ with $1 \leq i \leq n$, let $\mathcal{C}^{}$ be the codewords of $\mathcal{C}$ with the $i^{\text {th }}$ component deleted. The resulting code, called a punctured code, is an $\left[n-1, k^{}, d^{}\right]$ code. If $d>1, k^{}=k$, and $d^{}=d$ unless $\mathcal{C}$ has a minimum weight codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $d^{}=d-1$. If $d=1, k^{}=k$ and $d^{}=1$ unless $\mathcal{C}$ has a weight 1 codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $k^{}=k-1$ and $d^{} \geq 1$ as long as $\mathcal{C}^{}$ is nonzero. A generator matrix for $\mathcal{C}^{}$ is obtained from $G$ by deleting column $i$; $G^{}$ will have dependent rows if $d^{}=1$ and $k^{*}=k-1$. Puncturing is often done on multiple coordinates in an analogous manner, one coordinate at a time.
(b) Define $\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1} c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ where $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right}$, called the extended code. This is an $[n+1, k, \widehat{d}]_{q}$ code where $\hat{d}=d$ or $d+1$. A generator

matrix $\widehat{G}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is obtained by adding a column on the right of $G$ so that every row sum in this $k \times(n+1)$ matrix is 0. A parity check matrix $\hat{H}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is
$$
\hat{H}=\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \cdots & 1 & 1 \
\hline & & 0 \
& H & & \vdots \
& & & 0
\end{array}\right]
$$
(c) Let $S$ be any set of $s$ coordinates. Let $\mathcal{C}(S)$ be all codewords in $\mathcal{C}$ that are zero on $S$. Puncturing $\mathcal{C}(S)$ on $S$ results in the $\left[n-s, k_{S}, d_{S}\right]{q}$ shortened code $\mathcal{C}{S}$ where $d_{S} \geq d$. If $\mathcal{C}^{\perp}$ has minimum weight $d^{\perp}$ and $s<d^{\perp}$, then $k_{S}=k-s$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Automorphisms

Two vector spaces over $\mathbb{F}_{q}$ are considered the same (that is, isomorphic) if there is a nonsingular linear transformation from one to the other. For linear codes to be considered the same, we want these linear transformations to also preserve weights of codewords. In Theorem 1.8.6, we will see that these weight preserving linear transformations are directly related to monomial matrices. This leads to two different concepts of code equivalence for linear codes.

Definition 1.8.1 If $P \in \mathbb{F}{q}^{n \times n}$ has exactly one 1 in each row and column and 0 elsewhere, $P$ is a permutation matrix. If $M \in \mathbb{F}{q}^{n \times n}$ has exactly one nonzero entry in each row and column, $M$ is a monomial matrix. If $\mathcal{C}$ is a code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and $A \in$ $\mathbb{F}{q}^{n \times n}$, then $\mathcal{C} A={\mathbf{c} A \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C}} .$ Let $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ be linear codes over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$. $\mathcal{C}{1}$ is permutation equivalent to $\mathcal{C}{2}$ provided $\mathcal{C}{2}=\mathcal{C}{1} P$ for some permutation matrix $P \in \mathbb{F}{q}^{n \times n} \cdot \mathcal{C}{1}$ is monomially equivalent to $\mathcal{C}{2}$ provided $\mathcal{C}{2}=\mathcal{C}{1} M$ for some monomial $\operatorname{matrix} M \in \mathbb{F}_{q}^{n \times n}$.Remark 1.8.2 Applying a permutation matrix to a code simply permutes the coordinates; applying a monomial matrix permutes and re-scales coordinates. Applying either a permutation or monomial matrix to a vector does not change its weight. Also applying either a permutation or monomial matrix to two vectors does not change the distance between these two vectors. There is a third more general concept of equivalence, involving semi-linear transformations, where two linear codes $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ over $\mathbb{F}{q}$ are equivalent provided one can be obtained from the other by permuting and re-scaling coordinates and then applying an automorphism of the field $\mathbb{F}{q}$. Note that applying such maps to a vector or to a pair of vectors preserves the weight of the vector and the distance between the two vectors, respectively; see [1008, Section 1.7] for further discussion of this type of equivalence. There are other concepts of equivalence that arise when the code may not be linear but has some specific algebraic structure (e.g., additive codes over $\mathbb{F}_{q}$ that are closed under vector addition but not necessarily closed under scalar multiplication). The common theme when defining equivalence of such codes is to use a set of maps which preserve distance between the two vectors, which preserve the algebraic structure under consideration, and which form a group under composition of these maps. We will follow this theme when we define equivalence of unrestricted codes at the end of this section.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Bounds on Codes

In this section we present seven bounds relating the length, dimension or number of codewords, and minimum distance of an unrestricted code. The first five are considered upper bounds on the code size given length, minimum distance, and field size. By this, we mean that there does not exist a code of size bigger than the upper bound with the specified length, minimum distance, and field size. The last two are lower bounds on the size of a linear code. This means that a linear code can be constructed with the given length and minimum distance over the specified field having size equalling or exceeding the lower bound. We also give asymptotic versions of these bounds. Some of these bounds will be described using $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$, which we now define.

Definition 1.9.1 For positive integers $n$ and $d, A_{q}(n, d)$ is the largest number of codewords in an $(n, M, d){q}$ code, linear or nonlinear. $B{q}(n, d)$ is the largest number of codewords in a $[n, k, d]{q}$ linear code. An $(n, M, d){q}$ code is optimal provided $M=A_{q}(n, d)$; an $[n, k, d]{q}$ linear code is optimal if $q^{k}=B{q}(n, d)$. The concept of ‘optimal’ can also be used in other contexts. Given $n$ and $d, k_{q}(n, d)$ denotes the largest dimension of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and minimum weight $d$; an $\left[n, k{q}(n, d), d\right]{q}$ code could be called ‘optimal in dimension’. Notice that $k{q}(n, d)=\log {q} B{q}(n, d)$. Similarly, $d_{q}(n, k)$ denotes the largest minimum distance of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and dimension $k$; an $\left[n, k, d{q}(n, k)\right]{q}$ may be called ‘optimal in distance’. Analogously, $n{q}(k, d)$ denotes the smallest length of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of dimension $k$ and minimum weight $d$; an $\left[n{q}(k, d), k, d\right]_{q}$ code might be called ‘optimal in length’.

Clearly $B_{q}(n, d) \leq A_{q}(n, d)$. On-line tables relating parameters of various types of codes are maintained by M. Grassl [845].

The following basic properties of $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$ are easily derived; see [1008, Chapter 2.1].

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

有几种方法可以从给定的代码中获取更长或更短的代码；虽然这对于线性和非线性代码都可以做到，但我们专注于线性代码。两个代码可以组合成一个代码，例如第 1.11 节所述。

定义 1.7.1 让C豆[n,ķ,d]q带有生成矩阵的线性代码G和奇偶校验矩阵H. (a) 对于一些一世和1≤一世≤n， 让C是的代码字C与一世th 组件被删除。生成的代码，称为打孔代码，是[n−1,ķ,d]代码。如果d>1,ķ=ķ， 和d=d除非C具有在坐标上非零的最小权重码字一世， 在这种情况下d=d−1. 如果d=1,ķ=ķ和d=1除非C坐标上的权重为 1 的码字非零一世， 在这种情况下ķ=ķ−1和d≥1只要C是非零的。生成矩阵C是从G通过删除列一世; G如果d=1和ķ∗=ķ−1. 穿孔通常以类似的方式在多个坐标上进行，一次一个坐标。
(b) 定义\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1 } c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ 其中 $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right}\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1 } c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ 其中 $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right}，称为扩展代码。这是个[n+1,ķ,d^]q代码在哪里d^=d或者d+1. 发电机

矩阵G^为了C^通过在右侧添加一列获得G这样每一行总和ķ×(n+1)矩阵为0。奇偶校验矩阵H^为了C^是

\hat{H}=\left[\begin{数组}{ccc|c} 1 & \cdots & 1 & 1 \ \hline & & 0 \ & H & & \vdots \ & & & 0 \end{数组} \正确的]\hat{H}=\left[\begin{数组}{ccc|c} 1 & \cdots & 1 & 1 \ \hline & & 0 \ & H & & \vdots \ & & & 0 \end{数组} \正确的]
(c) 让小号是任何一组s坐标。让C(小号)是所有的代码字C是零小号. 穿刺C(小号)上小号结果是[n−s,ķ小号,d小号]q缩短的代码C小号在哪里d小号≥d. 如果C⊥有最小重量d⊥和s<d⊥， 然后ķ小号=ķ−s.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Automorphisms

两个向量空间Fq如果存在从一个到另一个的非奇异线性变换，则认为它们是相同的（即同构）。对于被认为相同的线性码，我们希望这些线性变换也能保留码字的权重。在定理 1.8.6 中，我们将看到这些保持权重的线性变换与单项矩阵直接相关。这导致了线性码的两种不同的码等价概念。

定义 1.8.1 如果磷∈Fqn×n每行和每列正好有一个 1，其他地方正好有 0，磷是一个置换矩阵。如果米∈Fqn×n在每一行和每一列中恰好有一个非零条目，米是一个单项矩阵。如果C是代码结束Fq长度n和一个∈ Fqn×n， 然后C一个=C一个∣C∈C.让C1和C2是线性码Fq长度n. C1是置换等价于C2假如C2=C1磷对于一些置换矩阵磷∈Fqn×n⋅C1单项式等价于C2假如C2=C1米对于一些单项式矩阵⁡米∈Fqn×n.Remark 1.8.2 将置换矩阵应用于代码只是置换坐标；应用单项矩阵置换和重新缩放坐标。对向量应用置换矩阵或单项矩阵都不会改变其权重。对两个向量应用置换矩阵或单项矩阵也不会改变这两个向量之间的距离。还有第三个更一般的等价概念，涉及半线性变换，其中两个线性码C1和C2超过Fq是等价的，前提是可以通过置换和重新缩放坐标然后应用场的自同构从另一个获得一个Fq. 请注意，将此类映射应用于一个向量或一对向量会分别保留向量的权重和两个向量之间的距离；有关此类等价的进一步讨论，请参见 [1008, Section 1.7]。当代码可能不是线性的但具有某些特定的代数结构（例如，加法代码超过Fq在向量加法下闭合但在标量乘法下不一定闭合）。定义此类代码等价时的共同主题是使用一组映射，这些映射保留两个向量之间的距离，保留所考虑的代数结构，并在这些映射的组合下形成一个组。当我们在本节末尾定义无限制代码的等价时，我们将遵循这个主题。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Bounds on Codes

在本节中，我们提出了七个界限，这些界限与代码字的长度、尺寸或数量以及不受限制的代码的最小距离有关。前五个被认为是给定长度、最小距离和字段大小的代码大小的上限。这样，我们的意思是不存在大于具有指定长度、最小距离和字段大小的上限的代码。最后两个是线性码大小的下限。这意味着可以在大小等于或超过下限的指定字段上以给定长度和最小距离构造线性代码。我们还给出了这些边界的渐近版本。其中一些界限将使用一个q(n,d)和乙q(n,d)，我们现在定义。

定义 1.9.1 对于正整数n和d,一个q(n,d)是最大码字数(n,米,d)q代码，线性或非线性。乙q(n,d)是a中的最大码字数[n,ķ,d]q线性码。一个(n,米,d)q提供的代码是最优的米=一个q(n,d); 一个[n,ķ,d]q线性码是最优的，如果qķ=乙q(n,d). “最佳”的概念也可以在其他情况下使用。给定n和d,ķq(n,d)表示线性码的最大维度Fq长度n和最小重量d; 一个[n,ķq(n,d),d]q代码可以称为“维度最佳”。请注意ķq(n,d)=日志⁡q乙q(n,d). 相似地，dq(n,ķ)表示线性码的最大最小距离Fq长度n和尺寸ķ; 一个[n,ķ,dq(n,ķ)]q可以称为“距离最优”。类似地，nq(ķ,d)表示线性码的最小长度Fq维度的ķ和最小重量d; 一个[nq(ķ,d),ķ,d]q代码可能被称为“最佳长度”。

清楚地乙q(n,d)≤一个q(n,d). M. Grassl [845] 维护了与各种类型代码的参数相关的在线表格。

下列基本性质一个q(n,d)和乙q(n,d)很容易推导出来；见 [1008，第 2.1 章]。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科，如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学，都对编码进行了研究，目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

Finite fields play an essential role in coding theory. The theory and construction of finite fields can be found, for example, in [1254] and [1408, Chapter 2]. Finite fields, as related specifically to codes, are described in [1008, 1323, 1602]. In this section we give a brief introduction.

Definition 1.2.1 A field $\mathbb{F}$ is a nonempty set with two binary operations, denoted $+$ and $\because$, satisfying the following properties.
(a) For all $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}, \alpha+\beta \in \mathbb{F}, \alpha \cdot \beta \in \mathbb{F}, \alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \cdot \beta=\beta \cdot \alpha, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$, $\alpha \cdot(\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$, and $\alpha \cdot(\beta+\gamma)=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma$.
(b) $\mathbb{F}$ possesses an additive identity or zero, denoted 0 , and a multiplicative identity or unity, denoted 1 , such that $\alpha+0=\alpha$ and $\alpha \cdot 1=\alpha$ for all $\alpha \in \mathbb{F}_{q}$.
(c) For all $\alpha \in \mathbb{F}$ and all $\beta \in \mathbb{F}$ with $\beta \neq 0$, there exists $\alpha^{\prime} \in \mathbb{F}$, called the additive inverse of $\alpha$, and $\beta^{} \in \mathbb{F}$, called the multiplicative inverse of $\beta$, such that $\alpha+\alpha^{\prime}=0$ and $\beta \cdot \beta^{}=1 .$

The additive inverse of $\alpha$ will be denoted $-\alpha$, and the multiplicative inverse of $\beta$ will be denoted $\beta^{-1}$. Usually the multiplication operation will be suppressed; that is, $\alpha \cdot \beta$ will be denoted $\alpha \beta$. If $n$ is a positive integer and $\alpha \in \mathbb{F}, n \alpha=\alpha+\alpha+\cdots+\alpha$ ( $n$ times), $\alpha^{n}=\alpha \alpha \cdots \alpha$ ( $n$ times), and $\alpha^{-n}=\alpha^{-1} \alpha^{-1} \cdots \alpha^{-1}$ ( $n$ times when $\alpha \neq 0$ ). Also $\alpha^{0}=1$ if $\alpha \neq 0$. The usual rules of exponentiation hold. If $\mathbb{F}$ is a finite set with $q$ elements, $\mathbb{F}$ is called a finite field of order $q$ and denoted $\mathbb{F}_{q}$.

Example 1.2.2 Fields include the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, and the complex numbers $\mathbb{C}$. Finite fields include $\mathbb{Z}_{p}$, the set of integers modulo $p$, where $p$ is a prime.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Codes

In this section we introduce the concept of codes over finite fields. We begin with some notation.

The set of $n$-tuples with entries in $\mathbb{F}{q}$ forms an $n$-dimensional vector space, denoted $\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq i \leq n\right}$, under componentwise addition of $n$-tuples and componentwise multiplication of $n$-tuples by scalars in $\mathbb{F}{q}$. The vectors in $\mathbb{F}{q}^{n}$ will often be denoted using bold Roman characters $\mathbf{x}=x{1} x_{2} \cdots x_{n}$. The vector $\mathbf{0}=00 \cdots 0$ is the zero vector in $\mathbb{F}_{q}^{n}$.

For positive integers $m$ and $n, \mathbb{F}{q}^{m \times n}$ denotes the set of all $m \times n$ matrices with entries in $\mathbb{F}{q}$. The matrix in $\mathbb{F}{q}^{m \times n}$ with all entries 0 is the zero matrix denoted $\mathbf{0}{m \times n}$. The identity matrix of $\mathbb{F}{q}^{n \times n}$ will be denoted $I{n}$. If $A \in \mathbb{F}{q}^{m \times n}, A^{\mathrm{T}} \in \mathbb{F}{q}^{n \times m}$ will denote the transpose of $A$. If $\mathbf{x} \in \mathbb{F}{q}^{m}, \mathbf{x}^{\top}$ will denote $\mathbf{x}$ as a column vector of length $m$, that is, an $m \times 1$ matrix. The column vector $\mathbf{0}^{\top}$ and the $m \times 1$ matrix $\mathbf{0}{m \times 1}$ are the same.
If $S$ is any finite set, its order or size is denoted $|S|$.
Definition 1.3.1 A subset $\mathcal{C} \subseteq \mathbb{F}{q}^{n}$ is called a code of length $n$ over $\mathbb{F}{q} ; \mathbb{F}{q}$ is called the alphabet of $\mathcal{C}$, and $\mathbb{F}{q}^{n}$ is the ambient space of $\mathcal{C}$. Codes over $\mathbb{F}{q}$ are also called $q$-ary codes. If the alphabet is $\mathbb{F}{2}, \mathcal{C}$ is binary. If the alphabet is $\mathbb{F}{3}, \mathcal{C}$ is ternary. The vectors in $\mathcal{C}$ are the codewords of $\mathcal{C}$. If $\mathcal{C}$ has $M$ codewords (that is, $|\mathcal{C}|=M) \mathcal{C}$ is denoted an $(n, M){q}$ code, or, more simply, an $(n, M)$ code when the alphabet $\mathbb{F}{q}$ is understood. If $\mathcal{C}$ is a linear subspace of $\mathbb{F}{q}^{n}$, that is $\mathcal{C}$ is closed under vector addition and scalar multiplication, $\mathcal{C}$ is called a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. If the dimension of the linear code $\mathcal{C}$ is $k, \mathcal{C}$ is denoted an $[n, k]{q}$ code, or, more simply, an $[n, k]$ code. An $(n, M){q}$ code that is also linear is an $[n, k]{q}$ code where $M=q^{k}$. An $(n, M){q}$ code may be referred to as an unrestricted code; a specific unrestricted code may be either linear or nonlinear. When referring to a code, expressions such as $(n, M),(n, M){q},[n, k]$, or $[n, k]_{q}$ are called the parameters of the code.

Example 1.3.2 Let $\mathcal{C}={1100,1010,1001,0110,0101,0011} \subseteq \mathbb{F}{2}^{4}$. Then $\mathcal{C}$ is a $(4,6){2}$ binary nonlinear code. Let $\mathcal{C}{1}=\mathcal{C} \cup{0000,1111}$. Then $\mathcal{C}{1}$ is a $(4,8){2}$ binary linear code. As $\mathcal{C}{1}$ is a subspace of $\mathbb{F}{2}^{4}$ of dimension $3, \mathcal{C}{1}$ is also a $[4,3]_{2}$ code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

There is a natural inner product on $\mathbb{F}{q}^{n}$ that often proves useful in the study of codes. ${ }^{2}$ Definition 1.5.1 The ordinary inner product, also called the Euclidean inner product, on $\mathbb{F}{q}^{n}$ is defined by $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ where $\mathbf{x}=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ and $\mathbf{y}=y_{1} y_{2} \cdots y_{n}$. Two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ are orthogonal if $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0$. If $\mathcal{C}$ is an $[n, k]{q}$ code,
$$
\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { for all } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}
$$

is the orthogonal code or dual code of $\mathcal{C}$. $\mathcal{C}$ is self-orthogonal if $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}^{\perp}$ and self-dual if $\mathcal{C}=\mathcal{C}^{\perp}$.

Theorem 1.5.2 ([1323, Chapter 1.8]) Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k]{q}$ code with generator and parity check matrices $G$ and $H$, respectively. Then $\mathcal{C}^{\perp}$ is an $[n, n-k]{q}$ code with generator and parity check matrices $H$ and $G$, respectively. Additionally $\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{C}$. Furthermore $\mathcal{C}$ is self-dual if and only if $\mathcal{C}$ is self-orthogonal and $k=\frac{n}{2}$.

Example $1.5 .3 \mathcal{C}{2}$ from Example $1.4 .8$ is a $[4,2]{2}$ self-dual code with generator and parity check matrices both equal to
$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] \text {. }
$$
The dual of the Hamming $[7,4]{2}$ code in Example $1.4 .9$ is a $[7,3]{2}$ code $\mathcal{H}{3,2}^{\perp} . H{3,2}$ is a generator matrix of $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$. As every row of $H{3,2}$ is orthogonal to itself and every other row of $H_{3,2}, \mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ is self-orthogonal. As $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ has dimension 3 and $\left(\mathcal{H}{3,2}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{H}{3,2}$ has dimension 4, $\mathcal{H}_{3,2}^{\perp}$ is not self-dual.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

有限域在编码理论中起着至关重要的作用。例如，在 [1254] 和 [1408，第 2 章] 中可以找到有限域的理论和构造。在 [1008, 1323, 1602] 中描述了具体与代码相关的有限域。本节我们做一个简单的介绍。

定义 1.2.1 一个字段F是具有两个二元运算的非空集，记为+和∵，满足以下性质。
(a) 对所有人一个,b,C∈F,一个+b∈F,一个⋅b∈F,一个+b=b+一个,一个⋅b=b⋅一个,一个+(b+C)=(一个+b)+C, 一个⋅(b⋅C)=(一个⋅b)⋅C， 和一个⋅(b+C)=一个⋅b+一个⋅C.
(二)F拥有一个加法单位或零，表示为 0 ，和一个乘法单位或单位，表示为 1 ，使得一个+0=一个和一个⋅1=一个对所有人一个∈Fq.
(c) 对所有人一个∈F和所有b∈F和b≠0， 那里存在一个′∈F，称为加法逆一个， 和b∈F，称为乘法逆b, 这样一个+一个′=0和b⋅b=1.

的加法逆一个将表示−一个, 和乘法逆b将表示b−1. 通常乘法运算会被抑制；那是，一个⋅b将表示一个b. 如果n是一个正整数并且一个∈F,n一个=一个+一个+⋯+一个 ( n次），一个n=一个一个⋯一个(n次），和一个−n=一个−1一个−1⋯一个−1(n有时一个≠0）。还一个0=1如果一个≠0. 通常的求幂规则成立。如果F是一个有限集q元素，F称为有限序域q并表示Fq.

示例 1.2.2 字段包括有理数问, 实数R, 和复数C. 有限域包括从p, 整数集取模p， 在哪里p是一个素数。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Codes

在本节中，我们介绍有限域上的码的概念。我们从一些符号开始。

该组n- 包含条目的元组Fq形成一个n维向量空间，表示为\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq我 \leq n\right}\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq我 \leq n\right}, 在逐个添加的情况下n-元组和组件乘法n- 元组中的标量Fq. 中的向量Fqn通常使用粗体罗马字符表示X=X1X2⋯Xn. 向量0=00⋯0是零向量Fqn.

对于正整数米和n,Fq米×n表示所有的集合米×n包含条目的矩阵Fq. 中的矩阵Fq米×n所有条目 0 是表示的零矩阵0米×n. 的单位矩阵Fqn×n将表示我n. 如果一个∈Fq米×n,一个吨∈Fqn×米将表示转置一个. 如果X∈Fq米,X⊤将表示X作为长度的列向量米，也就是说，一个米×1矩阵。列向量0⊤和米×1矩阵0米×1是相同的。
如果小号是任何有限集，它的顺序或大小表示|小号|.
定义 1.3.1 一个子集C⊆Fqn称为长度码n超过Fq;Fq被称为字母表C， 和Fqn是环境空间C. 代码结束Fq也被称为q-ary 代码。如果字母表是F2,C是二进制的。如果字母表是F3,C是三元的。中的向量C是的代码字C. 如果C有米码字（即|C|=米)C表示为(n,米)q代码，或者更简单地说，一个(n,米)码当字母Fq被理解。如果C是一个线性子空间Fqn， 那是C在向量加法和标量乘法下是闭合的，C称为长度的线性码n超过Fq. 如果线性码的维数C是ķ,C表示为[n,ķ]q代码，或者更简单地说，一个[n,ķ]代码。一个(n,米)q也是线性的代码是[n,ķ]q代码在哪里米=qķ. 一个(n,米)q代码可以称为不受限制的代码；一个特定的无限制代码可以是线性的也可以是非线性的。引用代码时，诸如(n,米),(n,米)q,[n,ķ]， 或者[n,ķ]q被称为代码的参数。

示例 1.3.2 让C=1100,1010,1001,0110,0101,0011⊆F24. 然后C是一个(4,6)2二进制非线性码。让C1=C∪0000,1111. 然后C1是一个(4,8)2二进制线性码。作为C1是一个子空间F24维度的3,C1也是一个[4,3]2代码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

有天然内积Fqn这通常在代码研究中被证明是有用的。2定义 1.5.1 普通内积，也称为欧几里得内积，在Fqn定义为X⋅是=∑一世=1nX一世是一世在哪里X=X1X2⋯Xn和是=是1是2⋯是n. 两个向量X,是∈Fqn是正交的，如果X⋅是=0. 如果C是一个[n,ķ]q代码，

\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { 对于所有 } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { 对于所有 } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}

是正交码或双码C. C是自正交的，如果C⊆C⊥和自对偶如果C=C⊥.

定理 1.5.2 ([1323, Chapter 1.8]) 让C豆[n,ķ]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码G和H， 分别。然后C⊥是一个[n,n−ķ]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码H和G， 分别。此外(C⊥)⊥=C. 此外C是自对偶当且仅当C是自正交的并且ķ=n2.

例子1.5.3C2来自示例1.4.8是一个[4,2]2具有生成器和奇偶校验矩阵的自对偶代码都等于

[1100 0011]. 
汉明的对偶[7,4]2示例中的代码1.4.9是一个[7,3]2代码H3,2⊥.H3,2是一个生成矩阵H3,2⊥. 作为每一行H3,2正交于自身和每隔一行H3,2,H3,2⊥是自正交的。作为H3,2⊥具有维度 3 和(H3,2⊥)⊥=H3,2维度为 4，H3,2⊥不是自对偶。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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