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数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Graphs with More than Two Clusters

After we have dealt with graphs containing only two clusters, we will now turn to the problem of networks with more than two clusters. While in the case of two clusters we could write the cavity equations for an arbitrary degree distribution, we were able to find a simple formulation for more than two clusters only for one special topology, the random Bethe lattice with three links per node, such that a cavity field is composed of combining only two messages. For graphs with a different topology, we will have to resort to a population dynamics algorithm to be described in the next section.

Let us first consider how to calculate the $\eta_{c w}^{i n}$ for general $q$. A message with $\tau=c+w$ non-zero entries will have one correct entry and $w$ wrong entries for $\tau$ types of nodes, while for $q-\tau$ types of nodes, it will have no correct entry but $w+1$ wrong entries. Hence we can write straightforwardly
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}^{i n}=p_{i n} \eta_{1 w}+\frac{\left(1-p_{i n}\right)}{q-1}\left(w \eta_{1 w}+(q-1-w) \eta_{0, w+1}\right), \
& \eta_{0 w}^{i n}=p_{i n} \eta_{0 w}+\frac{\left(1-p_{i n}\right)}{q-1}\left(w \eta_{1, w-1}+(q-1-w) \eta_{0, w}\right) .
\end{aligned}
$$
We see that this recovers the unclustered case if $\eta_{1 w}=\eta_{0, w+1}=\eta_\tau$.

For a Bethe lattice with exactly three links per node, we can write the cavity equations for the order parameters $\eta_{c w}$ for an arbitrary number of clusters as
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}=\sum_{c=0}^1 \sum_{\alpha=1-c}^{w-c}\left(\begin{array}{l}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{c, \alpha}^{i n} \eta_{1-c, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{1 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}, \
& \eta_{0 w}=\sum_{\alpha=1}^{w-1}\left(\begin{array}{c}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{0, \alpha}^{i n} \eta_{0, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{0 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \eta_{0 w}^{i n} \
& +2 \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\eta_{0 w}^{i n} \eta_{1, w+\alpha}^{i n}+\eta_{1 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}+\eta_{0 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}\right) \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \
& \times\left(\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}+\eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}+\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}\right) . \
&
\end{aligned}
$$

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Bethe Lattice with k = 3

For a Bethe lattice with exactly three links per node, we can write the cavity equations for the order parameters $\eta_{c w}$ for an arbitrary number of clusters as
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}=\sum_{c=0}^1 \sum_{\alpha=1-c}^{w-c}\left(\begin{array}{l}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{c, \alpha}^{i n} \eta_{1-c, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{1 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}, \
& \eta_{0 w}=\sum_{\alpha=1}^{w-1}\left(\begin{array}{c}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{0, \alpha}^{i n} \eta_{0, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{0 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \eta_{0 w}^{i n} \
& +2 \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\eta_{0 w}^{i n} \eta_{1, w+\alpha}^{i n}+\eta_{1 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}+\eta_{0 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}\right) \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \
& \times\left(\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}+\eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}+\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}\right) . \
&
\end{aligned}
$$
These equations must be read as describing the different ways and their probabilities in which two messages can be combined to form a cavity field and the resulting cavity bias. They can be iterated very easily to give the order parameters over the entire range of $p_{i n}$.

Figure 6.6 shows two examples for a three and a four partitioning of the Bethe lattice with three links per node. Note the similarity also to Fig. 6.4 and that $p_{i n}^c$ decreases slightly for increasing $q$. The qualitative behavior of the order parameters is the same across all degree distributions. Note how $\eta_{1, w-1}=\eta_{0, w}$ for all $p_{i n} \leq p_{i n}^c$ and $\eta_{1, w-1}>\eta_{0, w}$ for all $p_{i n}>p_{i n}^c$. Also note the different scales of the graphs, $\eta_{10}$ quickly starts to dominate all other order parameters.

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Graphs with More than Two Clusters

在处理了仅包含两个簇的图之后，我们现在将转向包含两个以上簇的网络问题。虽然在两个簇的情况下，我们可以为任意度分布编写空腔方程，但我们能够为两个以上的簇找到一个简单的公式，只有一个特殊的拓扑，每个节点有三个链接的随机Bethe晶格，这样一个空腔场只由两个消息组合而成。对于具有不同拓扑结构的图，我们将不得不求助于种群动态算法，该算法将在下一节中描述。

让我们首先考虑如何计算一般的$q$的$\eta_{c w}^{i n}$。对于$\tau$类型的节点，具有$\tau=c+w$非零条目的消息将有一个正确条目和$w$错误条目，而对于$q-\tau$类型的节点，它将没有正确条目但有$w+1$错误条目。因此我们可以直接写出来
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}^{i n}=p_{i n} \eta_{1 w}+\frac{\left(1-p_{i n}\right)}{q-1}\left(w \eta_{1 w}+(q-1-w) \eta_{0, w+1}\right), \
& \eta_{0 w}^{i n}=p_{i n} \eta_{0 w}+\frac{\left(1-p_{i n}\right)}{q-1}\left(w \eta_{1, w-1}+(q-1-w) \eta_{0, w}\right) .
\end{aligned}
$$
我们看到，如果$\eta_{1 w}=\eta_{0, w+1}=\eta_\tau$，这将恢复未聚集的情况。

对于每个节点恰好有三个链接的贝特晶格，我们可以将任意数量簇的序参数$\eta_{c w}$的空腔方程写成
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}=\sum_{c=0}^1 \sum_{\alpha=1-c}^{w-c}\left(\begin{array}{l}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{c, \alpha}^{i n} \eta_{1-c, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{1 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}, \
& \eta_{0 w}=\sum_{\alpha=1}^{w-1}\left(\begin{array}{c}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{0, \alpha}^{i n} \eta_{0, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{0 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \eta_{0 w}^{i n} \
& +2 \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\eta_{0 w}^{i n} \eta_{1, w+\alpha}^{i n}+\eta_{1 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}+\eta_{0 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}\right) \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \
& \times\left(\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}+\eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}+\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}\right) . \
&
\end{aligned}
$$

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Bethe Lattice with k = 3

对于每个节点恰好有三个链接的贝特晶格，我们可以将任意数量簇的序参数$\eta_{c w}$的空腔方程写成
$$
\begin{aligned}
& \eta_{1 w}=\sum_{c=0}^1 \sum_{\alpha=1-c}^{w-c}\left(\begin{array}{l}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{c, \alpha}^{i n} \eta_{1-c, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{1 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}, \
& \eta_{0 w}=\sum_{\alpha=1}^{w-1}\left(\begin{array}{c}
w \
\alpha
\end{array}\right) \eta_{0, \alpha}^{i n} \eta_{0, w-\alpha}^{i n}+\left(\eta_{0 w}^{i n}\right)^2+2 \eta_{1 w}^{i n} \eta_{0 w}^{i n} \
& +2 \sum_{\alpha=1}^{q-1-w}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\eta_{0 w}^{i n} \eta_{1, w+\alpha}^{i n}+\eta_{1 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}+\eta_{0 w}^{i n} \eta_{0, w+\alpha}^{i n}\right) \
& +\sum_{\alpha=1}^{q-1-w} \sum_{\beta=1}^{q-1-w-\alpha}\left(\begin{array}{c}
q-1-w \
\alpha
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q-1-w-\alpha \
\beta
\end{array}\right) \
& \times\left(\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{1, w+\beta}^{i n}+\eta_{1, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}+\eta_{0, w+\alpha}^{i n} \eta_{0, w+\beta}^{i n}\right) . \
&
\end{aligned}
$$
这些方程必须被理解为描述两个信息可以组合形成空腔场和由此产生的空腔偏置的不同方式及其概率。它们可以很容易地迭代以给出整个$p_{i n}$范围内的顺序参数。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考

随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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