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数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Benchmarking the Algorithm

In order to benchmark the performance of the Potts model approach to community detection, it is applied to computer-generated test networks. Networks with communities of equal and different size were constructed. Those with equal size had 128 nodes, grouped into 4 communities of size 32 . Those with differently sized communities had 320 nodes, grouped into 4 communities of size $32,64,96$ and 128 . In both types of networks, each node has an average degree of $\langle k\rangle=16$. The average number of links to members of the same community $\left\langle k_{i n}\right\rangle$ and to members of different communities $\left\langle k_{\text {out }}\right\rangle$ is then varied, but always ensuring $\left\langle k_{\text {in }}\right\rangle+\left\langle k_{\text {out }}\right\rangle=\langle k\rangle$. Hence, decreasing $k_{\text {in }}$ renders the problem of community detection more difficult.

Recovering a known community structure, any algorithm has to fulfill two criteria: it has to group nodes in the same community which belong together by design and it has to group nodes apart which belong to different communities by design. The first criterion is called “sensitivity” and measures the percentage of pairs of nodes which are correctly grouped together. The second criterion is called “specificity” and measures the percentage of pairs of nodes which are correctly grouped apart.

Because of the Poisson nature of the degree distribution, a connection model of $p_{i j}=p$ was used. Figure 4.5 shows the result of this experiment in comparison with the results obtained from the algorithm of Girvan and Newman [14]. Clearly, both algorithms show high sensitivity and high specificity. However, the Potts model outperforms the GN algorithm on both types of networks in both sensitivity and specificity. When relaxing the Potts model Hamiltonian from random initial conditions at zero temperature, performance decreases, but is still as good as that of the GN algorithm.

An important aspect is the dependence of the sensitivity (specificity) of the algorithm on the number of allowed spin states $q$. Figure 4.6 shows that as long as $q \geq 4$, i.e., the actual number of communities in the network, the value of $q$ is irrelevant. This result is also independent of the strength of the community structure under investigation, i.e., independent of $k_{i n}$. Furthermore, it is necessary to study the stability of results with respect to a change in $\gamma$. As Fig. 4.6 shows, the better the community structure is defined, i.e., the greater $k_{i n}$ is with respect to $\langle k\rangle$, the more stable are the results. The maxima of the curves for all values of $k_{i n}$, however, coincide at $\gamma=1$, i.e., at the point where the contribution of missing and existing links is equal. The same statements also apply to the specificity.

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Community Detection and Graph Partitioning

In order to assess the statistical significance of the community structures found with any algorithm, it is necessary to compare them with expectation values for random networks. This is of course always possible by rewiring the network randomly [15], keeping the degree distribution invariant and then running a community detection algorithm again, comparing the result to the original network. This method, however, can only give an answer to what a particular community detection algorithm may find in a random network and hence depends on the very method of community detection used. It seems a much better method would be to compare the results of a community detection algorithm with a theoretical result, obtained independently of any algorithm. It was shown in previous sections that the problem of community detection can be mapped onto finding the ground state of an infinite range spin glass. A number of techniques exist to calculate expectation values for the energy and the local field distribution in the ground state of spin glasses, given that the couplings between spins are random, but with a known distribution. In the remainder of this chapter and in the following ones, we will make extensive use of these techniques.

What does the community structure of a completely random network look like? The first observation one makes is that the configuration space or the number of possible assignments into $q$ communities is largest when these groups are equal in size, i.e., contain the same number of nodes $N / q$. One can also show that the variance of the number of links within communities is largest when they are of equal size. These two facts taken together mean that in random networks, the assignment of nodes into communities with maximal modularity will with very high probability lead to equal-sized communities. Hence, we only need to calculate expectation values for the modularity of a partition of the network into equal-sized groups. In the language of spin glasses, this means we are looking for the energy of a ground state with zero magnetization. We can also say that we are looking for a partition into $q$ equal-sized groups with a maximum number of links within groups, or, equivalently, with a minimum number of links between groups. The latter is a standard problem in combinatorial optimization and is known as the graph partitioning problem. In short, the communities which form the partition of maximum modularity in a random network will correspond to a minimum cut equipartition.

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Benchmarking the Algorithm

为了测试Potts模型在社区检测中的性能，将其应用于计算机生成的测试网络。构建了大小不等的社区网络。大小相同的有128个节点，分成4个32个节点的社区。不同大小的群落有320个节点，分为4个群落，大小分别为$32,64,96$和128。在这两种类型的网络中，每个节点的平均度为$\langle k\rangle=16$。到同一社区成员$\left\langle k_{i n}\right\rangle$和不同社区成员$\left\langle k_{\text {out }}\right\rangle$的平均链接数是不同的，但始终确保$\left\langle k_{\text {in }}\right\rangle+\left\langle k_{\text {out }}\right\rangle=\langle k\rangle$。因此，减少$k_{\text {in }}$使得社区检测问题更加困难。

恢复一个已知的社区结构，任何算法都必须满足两个标准:它必须将同一社区中的节点按照设计分组在一起，并且必须将属于不同社区的节点按照设计分组分开。第一个标准被称为“灵敏度”，衡量正确组合在一起的节点对的百分比。第二个标准被称为“特异性”，衡量正确分组的节点对的百分比。

由于度分布的泊松性质，使用$p_{i j}=p$的连接模型。图4.5为本实验结果与Girvan和Newman[14]算法结果的对比。显然，这两种算法都具有高灵敏度和高特异性。然而，Potts模型在两种类型的网络上的敏感性和特异性都优于GN算法。当在零温度下从随机初始条件放宽Potts模型哈密顿量时，性能下降，但仍然与GN算法一样好。

一个重要的方面是该算法的灵敏度(特异性)依赖于允许的自旋态的数量$q$。从图4.6可以看出，只要$q \geq 4$即网络中社区的实际数量，$q$的值就无关紧要。该结果也独立于所调查的社区结构的强度，即独立于$k_{i n}$。此外，有必要研究结果相对于$\gamma$的变化的稳定性。如图4.6所示，群落结构定义得越好，即$k_{i n}$相对于$\langle k\rangle$越大，则结果越稳定。然而，所有$k_{i n}$值的曲线的最大值在$\gamma=1$重合，即在缺失链接和现有链接的贡献相等的点上。同样的陈述也适用于特异性。

数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Community Detection and Graph Partitioning

为了评估用任何算法找到的群体结构的统计显著性，有必要将它们与随机网络的期望值进行比较。当然，这总是可以通过随机重新连接网络来实现[15]，保持度分布不变，然后再次运行社区检测算法，将结果与原始网络进行比较。然而，这种方法只能给出特定社区检测算法在随机网络中可能发现的答案，因此取决于所使用的社区检测方法。似乎更好的方法是将社区检测算法的结果与独立于任何算法获得的理论结果进行比较。在前面的章节中已经表明，共同体检测的问题可以映射到寻找无限范围自旋玻璃的基态。考虑到自旋玻璃之间的耦合是随机的，但有一个已知的分布，存在许多技术来计算自旋玻璃基态的能量和局部场分布的期望值。在本章的剩余部分和以下几章中，我们将广泛使用这些技术。

一个完全随机网络的社区结构是什么样的?第一个观察结果是，当这些组的大小相等时，配置空间或可能分配到$q$社区的数量最大，即包含相同数量的节点$N / q$。我们还可以证明，当社区内的链接大小相等时，它们的数量差异最大。这两个事实结合在一起意味着，在随机网络中，将节点分配到具有最大模块化的社区将有很大的概率导致等大小的社区。因此，我们只需要计算网络划分为大小相等的组的模块化的期望值。在自旋玻璃的语言中，这意味着我们正在寻找具有零磁化的基态的能量。我们也可以说，我们正在寻找一个划分为$q$大小相等的组，组内具有最大数量的链接，或者，等价地，组之间具有最小数量的链接。后者是组合优化中的一个标准问题，被称为图划分问题。简而言之，在一个随机网络中，组成最大模块划分的社团对应于一个最小切割均分。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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