物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|PHYSICS7544
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固态物理学是通过量子力学、晶体学、电磁学和冶金学等方法研究刚性物质或固体。它是凝聚态物理学的最大分支。
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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Diatomic linear chain
Let us now turn to consider the one-dimensional model of minimal complexity for a lattice with a basis, namely a diatomic linear chain. We need to define two ion masses $M_1$ and $M_2$ and two effective springs $\gamma^{(L)}$ and $\xi^{(L)}$, respectively, coupling ions within the same unit cell or belonging to nearest neighbouring unit cells. Ion positions are now indicated as $R_{l, 1}=R_l+R_1$ and $R_{l, 2}=R_l+R_2$, where $R_l$ labels the lth unit cell, while $R_1$ and $R_2$ specify the ion within the basis. The situation is sketched in figure $3.4$ and once again we start by considering longitudinal oscillations.
The equations of motion for the two ions in the lth unit cell form a system of two differential equations
$$
\left{\begin{array}{l}
M_1 \ddot{u}{l, 1}=\gamma^{(L)}\left(u{l, 2}-u_{l, 1}\right)+\xi^{(L)}\left(u_{l-1,2}-u_{l, 1}\right) \
M_2 \ddot{u}{l, 2}=\xi^{(L)}\left(u{l+1,1}-u_{l, 2}\right)+\gamma^{(L)}\left(u_{l, 1}-u_{l, 2}\right),
\end{array}\right.
$$
We seek solutions for this system of the same form given in equation (3.10). However, for further convenience, it is useful to rewrite the amplitude as $\left|\mathcal{A}q\right| \rightarrow\left|\mathcal{A}_q\right|\left|\mathrm{a}_i(q)\right|$ and the phase as $\varphi(q) \rightarrow \varphi(q)+\phi_i(q)$ (where $i=1,2$ labels the ion within the basis) since, as we will prove soon, the terms $\left|a_i(q)\right|$ and $\phi_i(q)$ are determined by the very equations of motion, rather than by the boundary conditions as instead $\left|\mathcal{A}_q\right|$ and $\varphi(q)$. By this choice, we write $$ u{l, i}=\frac{1}{\sqrt{N M_i}} \sum_q\left|\mathcal{A}q\right|\left|a_i(q)\right| \cos \left[q R{l, i}-\omega(q) t+\varphi(q)+\phi_i(q)\right],
$$
which, if inserted in equations (3.11), leads to the following matrix equation
$$
\left(\begin{array}{ll}
\mathcal{D}{11} & \mathcal{D}{12} \
\mathcal{D}{21} & \mathcal{D}{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
a_1 \
a_2
\end{array}\right)=\omega^2\left(\begin{array}{l}
a_1 \
a_2
\end{array}\right),
$$
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Dynamics of three-dimensional crystals
The dynamical properties of a three-dimensional solid with arbitrary crystalline structure or basis configuration can only be described by means of a heavy formalism $[5,6,8]$, which somewhat hides the underlying physics. This is the pedagogical reason why we have preliminarily treated the model system corresponding to a linear chain: we will extensively make use of concepts developed in that framework. As for the formal procedures, we will instead follow the same line of action adopted in section 3.1. In particular, we will assume that a suitable force field describing the interactions among ions is available (see appendix D); once for all, therefore, the force constants defined in equation (3.2) are given as known. More important, however, is the fact that we will rely on the harmonic approximation.
Before starting to develop our theory, we preliminarily remark that in a threedimensional crystal containing $N_{\text {atom }}$ atoms in its unit cell, we have $3 N_{\text {atom }}$ ionic degrees of freedom (per unit cell) and, therefore, an equal number of branches in the vibrational dispersion relations; among them we will find 3 acoustic and $3\left(N_{\text {atom }}-1\right)$ optical branches.
In the harmonic approximation, the equations of motion are written as ${ }^9$
$$
M_b \ddot{u}i(l b)=-\sum{j l^{\prime} b^{\prime}} U_{i j}\left(l b, l^{\prime} b^{\prime}\right) u_j\left(l^{\prime} b^{\prime}\right),
$$
for which we guess solutions in the form
$$
u_i(l b)=\frac{\mathrm{a}_i(b \mid \mathbf{q})}{\sqrt{M_b}} e^{i q \cdot \mathbf{R}_i} e^{-i \omega t},
$$
where $M_b$ is the mass of the $b$ th ion in the basis ${ }^{10}, \mathbf{q}$ is the wavevector of the vibrational wave and $a_i(b \mid q)$ describes the amplitude of the corresponding ionic oscillations. By inserting this guessed displacement into the equations of motion we get
$$
\sum_{j b^{\prime}} \mathcal{D}{i j}\left(b b^{\prime} \mid \mathbf{q}\right) a_j\left(b^{\prime} \mid \mathbf{q}\right)=\omega^2 a_i(b \mid \mathbf{q}) $$ where the quantities $$ \mathcal{D}{i j}\left(b b^{\prime} \mid \mathbf{q}\right)=\frac{1}{\sqrt{M_b M_{b^{\prime}}}} \sum_{l^{\prime}} U_{i j}\left(l b, l^{\prime} b^{\prime}\right) e^{-i \mathbf{q} \cdot\left(\mathbf{R}l-\mathbf{R}_r\right)} $$ define the dynamical matrix of the crystal. It is important to remark that in this equation just a single summation of the cell index $l^{\prime}$ appears since the force constants $U{i j}\left(l b, l^{\prime} b^{\prime}\right)$ of an ideal crystal depend on the pair $\left(l, l^{\prime}\right)$ just through their difference ${ }^{11}$. This also reflects the choice of the guessed solution for the ionic displacements in the form of a Bloch wave.
固体物理代写
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Diatomic linear chain
现在让我们转向考虑具有基的晶格的最小复杂度的一维模型,即双原子线性链。我们需要定义两个离子质量 $M_1$ 和 $M_2$ 和两个有效弹簧 $\gamma^{(L)}$ 和 $\xi^{(L)}$ ,分别耦合同一晶胞内或属于最近的相邻晶胞的离子。离子位置现在表示为 $R_{l, 1}=R_l+R_1$ 和 $R_{l, 2}=R_l+R_2$ ,在哪里 $R_l$ 标记第 $\mathrm{个}$ 个晶胞,而 $R_1$ 和 $R_2$ 指定基内的离子。情况如图 $3.4$ 我们再次从考虑纵向振荡开始。
第 |个晶胞中两个离子的运动方程形成了一个由两个微分方程组成的系统
$\$ \$$
Veft {
$M_1 \ddot{u} l, 1=\gamma^{(L)}\left(u l, 2-u_{l, 1}\right)+\xi^{(L)}\left(u_{l-1,2}-u_{l, 1}\right) M_2 \ddot{u} l, 2=\xi^{(L)}\left(u l+1,1-u_{l, 2}\right)+\gamma^{(L)}\left(u_{l, 1}-u_{l, 2}\right)$
【正确的。
Weseeksolutions forthissystemofthesame formgiveninequation (3.10). However, for furthercon $\mathrm{t}+$ Ivarphi(q)+\phi_i(q)\right],
which, ifinsertedinequations(3.11), leadstothe followingmatrixequation
剩下(
$\begin{array}{llll}\mathcal{D} 11 & \mathcal{D} 12 & \mathcal{D} 21 & \mathcal{D} 22\end{array}$
右左 (
$a_1 a_2$
Iright)=lomega^2lleft(
$a_1 a_2$
右),
$\$ \$$
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Dynamics of three-dimensional crystals
具有任意晶体结构或基本构型的三维固体的动力学性质只能通过繁重的形式来描述 $[5,6,8]$ ,这在某种程度上隐藏 了基础物理。这就是我们初步处理对应于线性链的模型系统的教学原因: 我们将广泛使用在该框架中开发的概
念。至于正式程序,我们将遵循第 $3.1$ 节中采用的相同行动路线。特别是,我们将假设描述离子间相互作用的合 适的力场是可用的 (见附录 D) ;因此,等式 (3.2) 中定义的力常数是已知的。然而,更重要的是我们将依赖诣波 近似。
在开始发展我们的理论之前,我们首先注意到在三维晶体中包含 $N_{\text {atom }}$ 晶胞中的原子,我们有 $3 N_{\text {atom 离子自由 }}$ 度 (每个晶胞) ,因此,振动色散关系中的分支数量相等;其中我们会发现 3 个声学和 $3\left(N_{\text {atom }}-1\right)$ 光学分 支。
在谐波近似中,运动方程写为 ${ }^9$
$\$ \$$
forwhichweguesssolutionsinthe form
where $\$ M_b \$$ isthemassofthe $\$ b \$$ thioninthebasis $\$^{10}, \mathbf{q}$ isthewavevectorofthevibrationalwaveand mathbf ${q} \backslash$ right $)=\backslash o m e g a^{\wedge} 2 a_{-} i(b \backslash m i d \backslash$ mathbf ${q})$
wherethequantities
Imathbf{R}_rıright $)} \$ \$$ 定义了晶体的动力学矩阵。重要的是要注意,在这个等式中只有一个细胞指数的总和 $l^{\prime}$ 由 于力常数出现 $U i j\left(l b, l^{\prime} b^{\prime}\right)$ 理想晶体的大小取决于对 $\left(l, l^{\prime}\right)$ 只是通过他们的不同 ${ }^{11}$. 这也反映了对布洛赫波形式的 离子位移的猜测解的选择。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。