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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis一种用于分析涉及一种以上的测量或观察的数据的统计程序。它也可能意味着解决不止一个因变量与其他变量同时被分析的问题。
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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Theory of Estimation
We know from our basic knowledge of statistics that one of the objectives in statistics is to better understand and model the underlying process which generates the data. This is known as statistical inference: we infer from information contained in a sample properties of the population from which the observations are taken. In multivariate statistical inference, we do exactly the same. The basic ideas were introduced in Section 4.5 on sampling theory: we observed the values of a multivariate random variable $X$ and obtained a sample $\mathcal{X}=\left{x_i\right}_{i=1}^n$. Under random sampling, these observations are considered to be realizations of a sequence of i.i.d. random variables $X_1, \ldots, X_n$ where each $X_i$ is a $p$-variate random variable which replicates the parent or population random variable $X$. In this chapter, for notational convenience, we will no longer differentiate between a random variable $X_i$ and an observation of it, $x_i$, in our notation. We will simply write $x_i$ and it should be clear from the context whether a random variable or an observed value is meant.
Statistical inference infers from the i.i.d. random sample $\mathcal{X}$ the properties of the population: typically, some unknown characteristic $\theta$ of its distribution. In parametric statistics, $\theta$ is a $k$-variate vector $\theta \in \mathbb{R}^k$ characterizing the unknown properties of the population pdf $f(x ; \theta)$ : this could be the mean, the covariance matrix, kurtosis, etc.
The aim will be to estimate $\theta$ from the sample $\mathcal{X}$ through estimators $\hat{\theta}$ which are functions of the sample: $\widehat{\theta}=\widehat{\theta}(\mathcal{X})$. When an estimator $\widehat{\theta}$ is proposed, we must derive its sampling distribution to analyze its properties (is it related to the unknown quantity $\theta$ it is supposed to estimate?).
In this chapter the basic theoretical tools are developed which are needed to derive estimators and to determine their properties in general situations. We will basically rely on the maximum likelihood theory in our presentation. In many situations, the maximum likelihood estimators indeed share asymptotic optimal properties which make their use easy and appealing.
We will illustrate the multivariate normal population and also the linear regression model where the applications are numerous and the derivations are easy to do. In multivariate setups, the maximum likelihood estimator is at times too complicated to be derived analytically. In such cases, the estimators are obtained using numerical methods (nonlinear optimization). The general theory and the asymptotic properties of these estimators remain simple and valid. The following chapter, Chapter 7 , concentrates on hypothesis testing and confidence interval issues.
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Likelihood Function
Suppose that $\left{x_i\right}_{i=1}^n$ is an i.i.d. sample from a population with pdf $f(x ; \theta)$. The aim is to estimate $\theta \in \mathbb{R}^k$ which is a vector of unknown parameters. The likelihood function is defined
as the joint density $L(\mathcal{X} ; \theta)$ of the observations $x_i$ considered as a function of $\theta$ :
$$
L(\mathcal{X} ; \theta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right),
$$
where $\mathcal{X}$ denotes the sample of the data matrix with the observations $x_1^{\top}, \ldots, x_n^{\top}$ in each row. The maximum likelihood estimator (MLE) of $\theta$ is defined as
$$
\widehat{\theta}=\arg \max \theta L(\mathcal{X} ; \theta) $$ Often it is easier to maximize the log-likelihood function $$ \ell(\mathcal{X} ; \theta)=\log L(\mathcal{X} ; \theta) $$ which is equivalent since the logarithm is a monotone one-to-one function. Hence $$ \widehat{\theta}=\arg \max \theta L(\mathcal{X} ; \theta)=\arg \max _\theta \ell(\mathcal{X} ; \theta)
$$
The following examples illustrate cases where the maximization process can be performed analytically, i.e., we will obtain an explicit analytical expression for $\widehat{\theta}$. Unfortunately, in other situations, the maximization process can be more intricate, involving nonlinear optimization techniques. In the latter case, given a sample $\mathcal{X}$ and the likelihood function, numerical methods will be used to determine the value of $\theta$ maximizing $L(\mathcal{X} ; \theta)$ or $\ell(\mathcal{X} ; \theta)$. These numerical methods are typically based on Newton-Raphson iterative techniques.
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Cramer-Rao Lower Bound
As pointed out above, an important question in estimation theory is whether an estimator $\widehat{\theta}$ has certain desired properties, in particular, if it converges to the unknown parameter $\theta$ it is supposed to estimate. One typical property we want for an estimator is unbiasedness, meaning that on the average, the estimator hits its target: $E(\widehat{\theta})=\theta$. We have seen for instance (see Example 6.2) that $\bar{x}$ is an unbiased estimator of $\mu$ and $\mathcal{S}$ is a biased estimator of $\Sigma$ in finite samples. If we restrict ourselves to unbiased estimation then the natural question is whether the estimator shares some optimality properties in terms of its sampling variance. Since we focus on unbiasedness, we look for an estimator with the smallest possible variance.
In this context, the Cramer-Rao lower bound will give the minimal achievable variance for any unbiased estimator. This result is valid under very general regularity conditions (discussed below). One of the most important applications of the Cramer-Rao lower bound is that it provides the asymptotic optimality property of maximum likelihood estimators. The Cramer-Rao theorem involves the score function and its properties which will be derived first.
The score function $s(\mathcal{X} ; \theta)$ is the derivative of the log likelihood function w.r.t. $\theta \in \mathbb{R}^k$
$$
s(\mathcal{X} ; \theta)=\frac{\partial}{\partial \theta} \ell(\mathcal{X} ; \theta)=\frac{1}{L(\mathcal{X} ; \theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} L(\mathcal{X} ; \theta) .
$$
The covariance matrix $\mathcal{F}_n=\operatorname{Var}{s(\mathcal{X} ; \theta)}$ is called the Fisher information matrix. In what follows, we will give some interesting properties of score functions.
多元统计分析代考
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Theory of Estimation
我们从统计学的基本知识中知道，统计学的目标之一是更好地理解和建模产生数据的底层过程。这就是所谓的统计推断:我们从样本中包含的信息中推断出所观察到的总体的特性。在多元统计推断中，我们做完全相同的事情。在4.5节抽样理论中介绍了基本思想:我们观察一个多变量随机变量$X$的值，得到一个样本$\mathcal{X}=\left{x_i\right}_{i=1}^n$。在随机抽样下，这些观察结果被认为是i.i.d随机变量$X_1, \ldots, X_n$序列的实现，其中每个$X_i$是一个$p$变量随机变量，它复制了父变量或总体随机变量$X$。在本章中，为了标记方便，我们将不再区分随机变量$X_i$和它的观测值$x_i$。我们将简单地写$x_i$，从上下文中应该可以清楚地看出是随机变量还是观测值。
统计推断从i.i.d随机样本$\mathcal{X}$推断出总体的性质:通常是其分布的一些未知特征$\theta$。在参数统计中，$\theta$是一个$k$变量向量$\theta \in \mathbb{R}^k$，表征总体的未知属性pdf $f(x ; \theta)$:这可以是均值、协方差矩阵、峰度等。
目的是通过样本的函数:$\widehat{\theta}=\widehat{\theta}(\mathcal{X})$的估计量$\hat{\theta}$从样本$\mathcal{X}$中估计$\theta$。当提出一个估计量$\widehat{\theta}$时，我们必须推导出它的抽样分布来分析它的性质(它是否与它要估计的未知量$\theta$有关?)
在这一章中，发展了在一般情况下推导估计量和确定其性质所需的基本理论工具。在我们的演讲中，我们将主要依靠最大似然理论。在许多情况下，极大似然估计确实具有渐近最优的性质，这使得它们的使用变得简单和吸引人。
我们将说明多元正态总体和线性回归模型，其中应用广泛，推导容易。在多变量设置中，最大似然估计量有时过于复杂而无法解析导出。在这种情况下，使用数值方法(非线性优化)获得估计量。这些估计量的一般理论和渐近性质保持简单有效。下一章，第7章，集中讨论假设检验和置信区间问题。
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Likelihood Function
假设$\left{x_i\right}_{i=1}^n$是来自pdf为$f(x ; \theta)$的总体的i.i.d样本。目的是估计$\theta \in \mathbb{R}^k$，这是一个未知参数的向量。定义了似然函数
将观测值的联合密度$L(\mathcal{X} ; \theta)$$x_i$视为$\theta$的函数:
$$
L(\mathcal{X} ; \theta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right),
$$
其中$\mathcal{X}$表示数据矩阵的样本，每行的观测值为$x_1^{\top}, \ldots, x_n^{\top}$。定义$\theta$的极大似然估计量(MLE)为
$$
\widehat{\theta}=\arg \max \theta L(\mathcal{X} ; \theta) $$通常更容易最大化对数似然函数$$ \ell(\mathcal{X} ; \theta)=\log L(\mathcal{X} ; \theta) $$，这是等效的，因为对数是单调的一对一函数。因此$$ \widehat{\theta}=\arg \max \theta L(\mathcal{X} ; \theta)=\arg \max _\theta \ell(\mathcal{X} ; \theta)
$$
以下示例说明了可以解析执行最大化过程的情况，即，我们将获得$\widehat{\theta}$的显式解析表达式。不幸的是，在其他情况下，最大化过程可能更复杂，涉及非线性优化技术。在后一种情况下，给定一个样本$\mathcal{X}$和似然函数，将使用数值方法来确定$\theta$最大化$L(\mathcal{X} ; \theta)$或$\ell(\mathcal{X} ; \theta)$的值。这些数值方法通常基于牛顿-拉夫森迭代技术。
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Cramer-Rao Lower Bound
如上所述，估计理论中的一个重要问题是估计量$\widehat{\theta}$是否具有某些期望的性质，特别是，如果它收敛于它应该估计的未知参数$\theta$。我们想要估计器的一个典型属性是无偏性，这意味着平均而言，估计器达到了它的目标:$E(\widehat{\theta})=\theta$。例如，我们已经看到(见例6.2)$\bar{x}$是$\mu$的无偏估计量，$\mathcal{S}$是有限样本中$\Sigma$的有偏估计量。如果我们把自己限制在无偏估计，那么自然的问题是估计量是否在其抽样方差方面具有一些最优性。因为我们关注的是无偏性，所以我们寻找方差最小的估计量。
在这种情况下，Cramer-Rao下界将给出任何无偏估计量的最小可实现方差。这个结果在非常一般的正则性条件下是有效的(下面将讨论)。Cramer-Rao下界最重要的应用之一是它提供了极大似然估计的渐近最优性。Cramer-Rao定理涉及分数函数及其性质，这将首先推导出来。
得分函数$s(\mathcal{X} ; \theta)$是对数似然函数w.r.t. $\theta \in \mathbb{R}^k$的导数
$$
s(\mathcal{X} ; \theta)=\frac{\partial}{\partial \theta} \ell(\mathcal{X} ; \theta)=\frac{1}{L(\mathcal{X} ; \theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} L(\mathcal{X} ; \theta) .
$$
协方差矩阵$\mathcal{F}_n=\operatorname{Var}{s(\mathcal{X} ; \theta)}$称为费雪信息矩阵。接下来，我们将给出分数函数的一些有趣的性质。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。