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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Aharanov–Bohm effect
A second demonstration of the importance of topology in physics came with the Aharonov-Bohm effect [8]. Consider a charged particle moving in the vicinity of a current carrying solenoid. There is a magnetic field $\boldsymbol{B} \neq 0$ inside the solenoid, but the field vanishes outside. The vector potential, $\boldsymbol{A}$, however is nonzero everywhere, inside and out. Prior to the rise of the Aharonov-Bohm effect, it was believed that the field $\boldsymbol{B}$ was the physically important variable and that $\boldsymbol{A}$ was simply a mathematical convenience of no physical significance. However, Aharonov and Bohm showed that when the particle circles the solenoid in a closed loop $\mathcal{C}$, staying entirely in the $\boldsymbol{B}=0$ region, there is nevertheless a phase shift given by
$$
\Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s},
$$
and that this shift is an integer multiple of $2 \pi$. The existence of the Aharonov-Bohm effect was verified in an experiment by Chambers in 1960 [9].
The solenoid contains a singularity in the vector potential. One can therefore view the solenoid as a hole in the space of allowed field configurations. The quantization arises from the topological fact that curves in $A$-space that enclose the solenoid are non-contractible. The integer $n$ here counts the number of times the loop encloses the singularity: it is a winding number. This winding number characterizes the distinct homotopy classes (see chapters 3 and 5) of the field. The Aharanov-Bohm phase accumulated as the electron circles the solenoid is an example of the geometric Berry phase to be discussed in chapter 9 .
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology in optics
By the 1990s and 2000s, many of the topology-related structures previously found in other areas of physics began to come up in optics. For example, vortices and vortex lines, winding numbers and linking numbers, and even non-orientable Möbius strips have all made appearances in various areas of optics. Further, the Aharonov-Bohm effect is a special case of the geometric or Berry phase; the first known description of a geometric phase appeared in a study of polarization optics in the 1950s, although its significance was not widely recognized for decades.
All of these topics will be described in coming chapters. The range of optical phenomena in which topology plays a role has become large, so in a book of this size some of them will necessarily be treated only in the briefest of terms, but hopefully enough of a flavor will be given to interest the reader in pursuing a deeper study via the provided references.
As general references to the broader background material, we list a few useful texts here. Many excellent introductions to algebraic and differential topology may be found, including [10-15]. Numerous reviews covering applications of topology to gauge field theory, particle physics, and condensed matter physics also exist, which physicists and engineers may find more accessible; these include [16-20]. The history of topology and of its applications in physics are reviewed in [21] and [22], respectively.
拓扑学代考
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Aharonov-Bohm 效应 [8] 再次证明了拓扑在物理学中的重要性。考虑在载流螺线管附近移动的带电粒子。有磁场 $\boldsymbol{B} \neq 0$ 在螺线管内，但场在外面消失。向量势， $\boldsymbol{A}$, 然而，无论从内部还是外部，它都是非零的。在阿哈罗诺夫玻姆效应兴起之前，人们认为场 $\boldsymbol{B}$ 是物理上重要的变量，并且 $\boldsymbol{A}$ 只是一种没有物理意义的数学便利。然而，
Aharonov 和 Bohm 表明，当粒子在闭合回路中环绕螺线管时 $\mathcal{C}{1}$ 完全停留在 $\boldsymbol{B}=0$ 区域，仍然存在由下式给出的 相移 $$ \Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s}
$$
并且这个移位是的整数倍 $2 \pi .1960$ 年，钱伯斯在一项实验中验证了 Aharonov-Bohm 效应的存在 [9]。
螺线管在矢量势中包含一个奇点。因此，人们可以将螺线管视为允许的场配置空间中的一个孔。量化源于拓扑事 实，即曲线在 $A$ – 包围螺线管的空间是不可收缩的。整数 $n$ 这里计算循环包围奇点的次数：它是一个绕组数。这个 缠绕数表征了该领域不同的同伦类（见第 3 章和第 5 章) 。当电子绕螺线管旋转时男积的 Aharanov-Bohm 相是 第 9 章讨论的几何贝里相的一个例子。
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到 1990 年代和 2000 年代，以前在其他物理领域发现的许多与拓扑相关的结构开始出现在光学中。例如，漩涡和涡线、缠绕数和连接数，甚至不可定向的莫比乌斯带都出现在光学的各个领域。此外，Aharonov-Bohm 效应是几何或贝里相位的特例；几何相位的第一个已知描述出现在 1950 年代的偏振光学研究中，尽管其重要性几十年来并未得到广泛认可。
所有这些主题都将在接下来的章节中介绍。拓扑学在其中发挥作用的光学现象的范围已经变得很大，因此在一本如此大小的书中，其中一些必然只用最简短的术语来处理，但希望能给读者带来足够的味道以引起读者的兴趣通过提供的参考资料进行更深入的研究。
作为对更广泛背景材料的一般参考，我们在这里列出了一些有用的文本。可以找到许多关于代数和微分拓扑的优秀介绍，包括 [10-15]。还存在许多涵盖拓扑在规范场论、粒子物理学和凝聚态物理学中的应用的评论，物理学家和工程师可能会发现这些评论更容易获得；其中包括 [16-20]。[21] 和 [22] 分别回顾了拓扑的历史及其在物理学中的应用。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。