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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis
Based on the Lagrangian multiplier-based adjoint method and the adjoint analysis of the transformed topology optimization problem in Eq. 2.21, the weak forms of the adjoint equations for the topology optimization problem in Eq. $2.15$ are derived as (the details are presented in Appendix 2.7.1):
Find $\hat{H}{s z}$ with $\operatorname{Re}\left(\hat{H}{s z}\right) \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right), \operatorname{Im}\left(\hat{H}{s z}\right) \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right)$ and $\hat{H}{s z}=0$ on $\Gamma_D$, such that
$$
\begin{aligned}
& \int_{\Omega}\left(\frac{\partial A}{\partial \operatorname{Re}\left(H_{s z}\right)}-j \frac{\partial A}{\partial \operatorname{Im}\left(H_{s z}\right)}\right) \phi+\left(\frac{\partial A}{\partial \nabla \operatorname{Re}\left(H_{s z}\right)}-j \frac{\partial A}{\partial \nabla \operatorname{Im}\left(H_{s z}\right)}\right) \cdot \nabla \phi \
& -\varepsilon_r^{-1} \nabla \hat{H}{s z}^* \cdot \nabla \phi+k_0^2 \mu_r \hat{H}{s z}^* \phi \mathrm{d} \Omega+\int_{\Omega_P}-\varepsilon_r^{-1}\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^\right) \cdot(\mathbf{T} \nabla \phi)|\mathbf{T}|^{-1} \ & +k_0^2 \mu_r \hat{H}{s z}^ \phi|\mathbf{T}| \mathrm{d} \Omega=0, \forall \phi \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right)
\end{aligned}
$$
and
Find $\hat{\gamma}f \in \mathscr{H}\left(\Omega_d\right)$ such that $$ \begin{aligned} & \int{\Omega_d} r^2 \nabla \hat{\gamma}f \cdot \nabla \varphi+\hat{\gamma}_f \varphi+\left[\sum{n=1}^N \frac{1}{V_n} \int_{P_n} \frac{\partial A}{\partial \gamma_p} \frac{\partial \gamma_p}{\partial \gamma_e}-\operatorname{Re}\left(\frac{\partial \varepsilon_r^{-1}}{\partial \gamma_p} \frac{\partial \gamma_p}{\partial \gamma_e} \nabla\left(H_{s z}+H_{i z}\right)\right)\right. \
& \left.\cdot \operatorname{Re}\left(\nabla \hat{H}{s z}^\right)+\operatorname{Im}\left(\frac{\partial \varepsilon_r^{-1}}{\partial \gamma_p} \frac{\partial \gamma_p}{\partial \gamma_e} \nabla\left(H{s z}+H_{i z}\right)\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\nabla \hat{H}{s z}^\right) \mathrm{d} \Omega\right] \varphi \mathrm{d} \Omega=0 \
& \forall \varphi \in \mathscr{H}\left(\Omega_d\right),
\end{aligned}
$$
where $\hat{H}{s z}$ and $\hat{\gamma}f$ are the adjoint variables of $H{s z}$ and $\gamma_f$ respectively; ${ }^*$ is the operator used to implement the conjugate of a complex variable; $\Gamma_D$ is the perfect magnetic conductor boundary; $\mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right)$ and $\mathscr{H}\left(\Omega_d\right)$ are the first-order Hilbert spaces for the real functions defined on $\Omega \cup \Omega_P$ and $\Omega_d$ respectively; Re and $I m$ are operators used to extract the real and imaginary parts of a complex. The adjoint sensitivity is derived as
$$
\delta \hat{J}=\int_{\Omega_d}\left(\frac{\partial A}{\partial \gamma}-\hat{\gamma}_f\right) \delta \gamma \mathrm{d} \Omega, \forall \delta \gamma \in \mathscr{L}^2\left(\Omega_d\right)
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Numerical Implementation
The topology optimization problems are solved by a gradient-based iterative procedure, where the gradient information is derived by the self-consistent adjoint sensitivity. The flowchart for iterative solution of the optimization problems is shown in Fig. 2.2. The iterative procedure includes the following steps: (1) initialize the design variable and optimization parameters; (2) solve the wave equations with the current design variable and compute the value of the design objective; (3) solve the adjoint equations based on the solution of the wave equations; (4) compute the adjoint derivative of the design objective; (5) update the design variable using the method of moving asymptotes [20]; (6) do postprocessing, if the stopping criteria are satisfied, or else return to the step (2).
In this solution procedure, the filter radius $r$ of the PDE filter in Eq. $2.10$ is set to be $2 / 15$ of the incident wavelength; the threshold parameter $\xi$ in Eq. $2.12$ is set to be $0.5$; the initial value of the projection parameter $\beta$ is set to be 1 and it is doubled after every fixed number of iterations until the preset maximal value of $2^{10}$ is reached. The above steps are implemented iteratively until the stopping criteria are satisfied, and the stopping criteria are specified to be the maximal iteration number and the change of the objective values in five consecutive iterations satisfying
$$
\frac{1}{5} \sum_{i=1}^4\left|J_{k-i}-J_{k-i-1}\right| /\left|J_k\right| \leq \varepsilon, \beta \geq 2^{10}
$$
in the $k$ th iteration, where $J_k$ is the objective value computed in the $k$ th iteration; $\varepsilon$ is the tolerance chosen to be $1 \times 10^{-3}$.
In the iterative procedure, the numerical solution of PDEs are implemented based on finite element method $[10,13]$. The two-dimensional wave equation, the filter equation and the corresponding adjoint equations are solved using the standard Galerkin finite element method; the three-dimensional wave equation and the corresponding adjoint equation are solved using the edge element-based finite element method with linear edge elements $[14,15]$. It is noted that the original wave equations $2.1$ and $2.2$ are solved instead of the coupled equations for the split variables, because the sole destination of splitting operation is to derive the Fréchet differentiability during the adjoint analysis.
In the optimization procedures for the two-dimensional problems, the magnetic field, design variable and filtered design variable are interpolated using linear node elements (Fig. 2.3a); and the projected design variable is interpolated using zerothorder discontinuous elements (Fig. 2.3b). In the optimization procedure for the threedimensional problems, the electric field is interpolated using linear edge elements (Fig. 2.4a); the design variable and filtered design variable is interpolated using linear nodal elements (Fig. 2.4b); the filtered design variable is converted to piecewise form by interpolating the piecewise design variable using zeroth-order discontinuous elements (Fig. 2.4c), where $P_n$ in Eq. $2.11$ is set to be the space taken up by the finite elements.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis
基于基于拉格朗日乘数的伴随方法和方程中变换后的拓扑优化问题的伴随分析。2.21，方程中拓扑优化问 题的伴随方程的弱形式。 $2.15$
推导为 (详情见附录 2.7.1) : $\hat{H} s z$ 和 $\operatorname{Re}(\hat{H} s z) \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right), \operatorname{Im}(\hat{H} s z) \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right)$ 和 $\hat{H} s z=0$ 在 $\Gamma_D$, 这样
并
找到 $\hat{\gamma} f \in \mathscr{H}\left(\Omega_d\right)$ 这样
在哪里 $\hat{H} s z$ 和 $\hat{\gamma} f$ 是伴随变量 $H s z$ 和 $\gamma_f$ 分别; ${ }^*$ 是用于实现复变量共轭的运算符； $\Gamma_D$ 是完美的磁导体边 界； $\mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_P\right)$ 和 $\mathscr{H}\left(\Omega_d\right)$ 是定义在上的实函数的一阶希尔伯特空间 $\Omega \cup \Omega_P$ 和 $\Omega_d$ 分别; 重新和 $I m$ 是用于提取复数的实部和虚部的运算符。伴随灵敏度推导为
$$
\delta \hat{J}=\int_{\Omega_d}\left(\frac{\partial A}{\partial \gamma}-\hat{\gamma}_f\right) \delta \gamma \mathrm{d} \Omega, \forall \delta \gamma \in \mathscr{L}^2\left(\Omega_d\right)
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Numerical Implementation
拓扑优化问题通过基于梯度的迭代过程解决，其中梯度信息由自洽伴随灵敏度导出。优化问题的迭代求解 流程图如图 $2.2$ 所示。迭代过程包括以下步㡜：(1) 初始化设计变量和优化参数；(2) 用当前设计变量求 解波动方程，计算设计目标值；(3) 在求解波动方程的基础上求解伴随方程；(4) 计算设计目标的伴随导 数；(5) 采用移动渐近线的方法更新设计变量[20]；(6) 进行后处理，如果满足停止条件，则返回步㡜(2)。
在此求解过程中，滤波器半径 $r$ 等式中的 PDE 滤波器。 $2.10$ 被设置为 $2 / 15$ 入射波长；阈值参数 $\xi$ 在等式 中 $2.12$ 被设置为 $0.5$; 投影参数的初始值 $\beta$ 设置为 1 ，每固定次数迭代后加倍，直到预设的最大值 $2^{10}$ 到达 了。迭代执行上述步骤，直到满足停止准则，停止准则指定为最大迭代次数和连续五次迭代中目标值的变 化满足
$$
\frac{1}{5} \sum_{i=1}^4\left|J_{k-i}-J_{k-i-1}\right| /\left|J_k\right| \leq \varepsilon, \beta \geq 2^{10}
$$
在里面 $k$ 第 th 次迭代，其中 $J_k$ 是在计算的目标值 $k$ 第次迭代； $\varepsilon$ 是公差选择是 $1 \times 10^{-3}$.
在迭代过程中，偏微分方程的数值解是基于有限元法实现的 $[10,13]$. 采用标准伽辽金有限元法求解二维 波动方程、滤波器方程和相应的伴随方程; 三维波动方程和相应的伴随方程是使用基于边元的有限元方法 求解的，具有线性边元 $[14,15]$. 值得注意的是，原始波动方程 $2.1$ 和 $2.2$ 求解，而不是拆分变量的耦合方 程，因为拆分操作的唯一目的是在伴随分析期间导出 Fréchet 可微性。
在二维问题的优化程序中，磁场、设计变量和过滤后的设计变量使用线性节点元素进行揷值（图
2.3a）；并且使用零阶不连续元素对投影设计变量进行揷值 (图 2.3b) 。在三维问题的优化过程中，使 用线性边缘元素对电场进行揷值（图 2.4a) ；使用线性节点元素对设计变量和过滤设计变量进行揷值
(图 2.4b) ；通过使用零阶不连续元素对分段设计变量进行揷值，将过滤后的设计变量转换为分段形式 (图 2.4c)，其中 $P_n$ 在等式中 $2.11$ 被设置为有限元占据的空间。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。