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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem
The result named in this subsection is a mouthful. This stems from the independent, and distinct, proofs used to prove the result that all occurred around the same time. From historical research done by Soifer [191] we find that Arnautov in [9], Folkman via personal communication, and Sanders in [178], all proved the same result, which is a generalization of Schur’s Theorem. As noted in [84], the result also follows directly from Rado’s Theorem (hence the inclusion of Rado’s name). We will offer two different proofs in this subsection: one based on van der Waerden’s Theorem (due to Folkman) and one based on Rado’s Theorem. A third proof will be given in Section 3.3.2 as it appeals to a result presented in the next chapter. Other (different) proofs can be found in $[152,199]$.
Theorem 2.55 (Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem). Let $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $n=n(k ; r)$ such that every $r$-coloring of $[1, n]$ admits $S \subseteq[1, n]$ with $|S|=k$ such that $F S(S)$ is monochromatic.
Proof based on van der Waerden’s Theorem. We start by defining the auxiliary function $a=a(k ; r)$ as the minimal positive integer such that every $r$-coloring of $[1, a]$ admits $B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}$ with $F S(B) \subseteq[1, a]$ such that
$$
\chi\left(b_{i_{1}}+b_{i_{2}}+\cdots+b_{i_{j}}\right)=\chi\left(b_{i_{j}}\right)
$$
for any $j \in[1, k]$ with $i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{j}$.
Assume for the moment that $a(k ; r)$ exists for all $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. Then, by considering $a(r(k-1)+1 ; r)$, we have $B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}$. By the pigeonhole principle, there must be at least $k$ elements of $B$ of the same color. Say $S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}$ is monochromatic. Since $F S(S) \subseteq F S(B)$ we see that every element of $F S(S)$ is colored by the largest element of the sum. Since this largest element is necessarily in $S$, and since $S$ is monochromatic, we see that $F S(S)$ is monochromatic.
So, we will be done once we establish the existence of $a(k ; r)$. We proceed by induction on $k$, with $k=1$ being trivial. Hence, let $\ell=a(k-1 ; r)$ and let
$m=w(\ell+1 ; r)$. We will show that $a(k ; r) \leq 2 m$. To this end, consider any $r$-coloring of $[1,2 m]$. By van der Waerden’s Theorem, there exist
$$
c, c+d, \ldots, c+\ell d \in[m+1,2 m]
$$
all the same color. Note that $c>m$.
Since sumsets are closed under dilation, we can apply the inductive assumption to $d[1, \ell]$ to obtain
$$
B=\left{d b_{1}m$. Let $b_{k}=c$ and notice that $d b_{k-1}<b_{k}$. As every element of $F S(B)$ is a multiple of $d$, with largest possible multiple $d \ell$ (the sum of all elements of $B$ must remain in $d[1, \ell]$ by definition of $a(k-1 ; r)$; otherwise elements larger than $a(k-1 ; r)$ would not be assigned a color $)$. Hence, if $s \in F S(B)$ we see that $s+b_{k}=c+j d$ for some $j \in[1, \ell]$. Since all members of $c+d, \ldots, c+\ell d$ are the same color as $c=b_{k}$, we have $a(k ; r) \leq 2 m$.
Proof based on Rado’s Theorem. Consider the following system of linear homogeneous equations:
$$
\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},
$$
where we index the $y$ ‘s by the subset over which we are summing. By showing a monochromatic solution to this system exists we will have values of the variables for which $F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ is monochromatic. By Rado’s Theorem we will be done once we show that the associated coefficient matrix satisfies the columns condition.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hindman’s Theorem
We are still investigating finite sums $F S(S)$; however, we will now be considering the situation when $S$ is infinite. In particular, does the conclusion of Theorem $2.55$ hold when $S$ is infinite? As you may suspect if you read the title of this subsection, an answer was achieved by Hindman [109].
Theorem $2.56$ (Hindman’s Theorem). Let $r \in \mathbb{Z}^{+}$. Every $r$-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$ admits an infinite set $A \subseteq \mathbb{Z}^{+}$such that $F S(A)$ is monochromatic.
The proof of this must be fundamentally different than the proof when $S$ is finite. We can use neither van der Waerden’s Theorem nor Rado’s Theorem as these will only give us arbitrarily large – not infinite – sets, since both are results about finite structures.
The proof of Hindman’s Theorem is quite involved, so we will break it up into several lemmas before putting the pieces together. We will follow the proof given by Baumgartner [11]. But first, a definition is in order.
Definition $2.57$ (Disjoint sumset of $S$ ). Let $S, T \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite sets. We say $T \subseteq F S(S)$ is a disjoint sumset of $S$, and write $T \in \mathcal{D S}(S)$, if every element of $S$ is contained in at most one sum/element in $T$, where $\mathcal{D} S(S)$ is the class of all disjoint sumsets of $S$.
The benefit of this class of finite sums is that if $t_{1}, t_{2} \in T \in \mathcal{D S}(S)$ then $t_{1}+t_{2} \in F S(S)$ since the elements from $S$ used in $t_{1}$ are distinct from those used in $t_{2}$. Using this idea, we immediately have the following lemma, the proof of which is left to the reader as Exercise 2.17.
Lemma 2.58. Let $S, T, U \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite sets with $T \in \mathcal{D S}(S)$ and $U \in$ $\mathcal{D} S(T)$. Then
(i) $F S(T) \subseteq F S(S)$; and
(ii) $U \in \mathcal{D S}(S)$.
Before the next lemma, we require another definition.
Definition $2.59$ (Intersective for $S$ ). Let $S \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite. We say that a set $X$ is intersective for $S$ if for all $T \in \mathcal{D S}(S)$ we have $F S(T) \cap X \neq \emptyset$.
A crucial observation here is that any intersective set must be infinite. This can be confirmed by part (ii) of the next lemma.
Lemma 2.60. Let $X, S$ be subsets of $\mathbb{Z}^{+}$. The following hold:
(i) Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$and assume $X=\bigsqcup_{i=1}^{n} X_{i} .$ If $X$ is intersective for $S$, then there exists $T \in \mathcal{D S}(S)$ and $i \in{1,2, \ldots, n}$ such that $X_{i}$ is intersective for $T$.
(ii) If $F$ is a finite subset of $\mathbb{Z}^{+}$and $X$ is intersective for $S$, then $X \backslash F$ is intersective for $S$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Results
We end this chapter by presenting some analytic approaches to integer Ramsey theory. We will mainly be considering arithmetic progressions. The standard notation used for density results concerning van der Waerden’s Theorem is given next.
Notation. For $k, n \in \mathbb{Z}^{+}$denote by $r_{k}(n)$ the maximal size of a subset of $[1, n]$ with no $k$-term arithmetic progression.
We start with a result due to Behrend $[14]$ that seems to have been overlooked. This was communicated to the author by Tom Brown. Behrend’s result appeared just a year after Erdös and Turán [71] defined $r_{3}(n)$ and showed that
$$
\frac{r_{3}(n)}{n}<\frac{3}{8}+o(1)
$$
Behrend’s result is more sweeping.
Theorem 2.67. For each $k \in Z^{+}$we have that
$$
L_{k}=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{r{k}(n)}{n}
$$
exists and, more importantly,
$$
L=\lim {k \rightarrow \infty} L{k} \in{0,1}
$$
Proof. The fact that $L_{k}$ exists is standard and left to the reader as Exercise 2.22. The fact that $L$ exists follows from $0 \leq L_{1} \leq L_{2} \leq \cdots \leq L_{k} \leq \cdots \leq 1$, which is a monotonic infinite sequence on a closed interval. Thus, we need only show that $L$ is either 0 or 1 .
We will first show that, for every $n \in \mathbb{Z}^{+}$, we have
$$
\frac{r_{k}(n)}{n}>L_{k}
$$
Assume, for a contradiction, that there exists $m \in \mathbb{Z}^{+}$such that Inequality $(2.3)$ is false for $m$. We may assume that for all $n \in \mathbb{Z}^{+}$we have
$$
\frac{r_{k}(m)}{m} \leq \frac{r_{k}(n)}{n}
$$
We next note that $r_{k}(m n) \leq n r_{k}(m)$ since if $S \subseteq[1, m n]$ avoids $k$-term arithmetic progressions, then it is necessary (but not sufficient) that each of the intervals $[1, m],[m+1,2 m], \ldots,[(n-1) m+1, n m]$ contains at most $r_{k}(m)$ integers from $S$. From Inequality $(2.4)$ and this observation, we have
$$
\frac{r_{k}(m)}{m} \leq \frac{r_{k}(m n)}{m n} \leq \frac{n r_{k}(m)}{m n}=\frac{r_{k}(m)}{m}
$$
and we conclude that $r_{k}(m n)=n r_{k}(m)$ for all $n \in \mathbb{Z}+$.
Define the intervals
$$
A_{i}=[(i-1) m+1, i m], \quad i=1,2, \ldots, w\left(k ; 2^{m}\right)
$$
where $w\left(k ; 2^{m}\right)$ is the van der Waerden number. Consider
$$
n=w\left(k ; 2^{m}\right)
$$
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem
本小节中命名的结果是满口的。这源于用于证明所有结果几乎同时发生的独立且独特的证据。从 Soifer [191] 所做的历史研究中，我们发现 [9] 中的 Arnautov、通过个人交流的 Folkman 和 [178] 中的 Sanders 都证明了相同的结果，这是 Schur 定理的推广。如 [84] 中所述，结果也直接来自 Rado 定理（因此包含 Rado 的名称）。我们将在本小节中提供两种不同的证明：一种基于 van der Waerden 定理（由于 Folkman），另一种基于 Rado 定理。第 3.3.2 节将给出第三个证明，因为它与下一章中提出的结果相呼应。其他（不同的）证明可以在[152,199].
定理 2.55（Arnautov-Folkman-Rado-Sanders 定理）。让ķ,r∈从+. 存在一个最小正整数n=n(ķ;r)这样每一个r- 着色[1,n]承认小号⊆[1,n]和|小号|=ķ这样F小号(小号)是单色的。
基于范德瓦尔登定理的证明。我们从定义辅助函数开始一种=一种(ķ;r)作为最小正整数，使得每个r- 着色[1,一种]承认B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}和F小号(乙)⊆[1,一种]这样
χ(b一世1+b一世2+⋯+b一世j)=χ(b一世j)
对于任何j∈[1,ķ]和一世1<一世2<⋯<一世j.
暂时假设一种(ķ;r)为所有人而存在ķ,r∈从+. 然后，通过考虑一种(r(ķ−1)+1;r)， 我们有B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}. 根据鸽巢原理，至少有ķ要点乙相同的颜色。说S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}是单色的。自从F小号(小号)⊆F小号(乙)我们看到，每一个元素F小号(小号)由总和的最大元素着色。因为这个最大的元素必然在小号，并且由于小号是单色的，我们看到F小号(小号)是单色的。
所以，一旦我们确定存在一种(ķ;r). 我们通过归纳继续ķ， 和ķ=1是微不足道的。因此，让ℓ=一种(ķ−1;r)然后让
米=在(ℓ+1;r). 我们将证明一种(ķ;r)≤2米. 为此，考虑任何r- 着色[1,2米]. 根据范德瓦尔登定理，存在
C,C+d,…,C+ℓd∈[米+1,2米]
都是一样的颜色。注意C>米.
由于和集在膨胀下是闭合的，我们可以将归纳假设应用于d[1,ℓ]得到
$$
B=\left{db_{1}m.大号和吨b_{k}=c一种ndn这吨一世C和吨H一种吨d b_{k-1}<b_{k}.一种s和在和r是和l和米和n吨这F前卫(乙)一世s一种米在l吨一世pl和这Fd,在一世吨Hl一种rG和s吨p这ss一世bl和米在l吨一世pl和d \ ell(吨H和s在米这F一种ll和l和米和n吨s这F乙米在s吨r和米一种一世n一世nd [1, \ell]b是d和F一世n一世吨一世这n这Fa(k-1 ; r);这吨H和r在一世s和和l和米和n吨sl一种rG和r吨H一种na(k-1 ; r)在这在ldn这吨b和一种ss一世Gn和d一种C这l这r).H和nC和,一世Fs \in FS(B)在和s和和吨H一种吨s+b_{k}=c+jdF这rs这米和j \in[1, \ell].小号一世nC和一种ll米和米b和rs这Fc+d, \ldots, c+\ell d一种r和吨H和s一种米和C这l这r一种sc=b_{k},在和H一种在和a(k ; r) \leq 2 m$。
基于拉多定理的证明。考虑以下线性齐次方程组：
\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},
我们在哪里索引是是我们求和的子集。通过显示该系统的单色解存在，我们将获得变量的值F小号(X1,X2,…,Xķ)是单色的。根据拉多定理，一旦我们证明相关系数矩阵满足列条件，我们就可以完成。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hindman’s Theorem
我们仍在研究有限和F小号(小号); 然而，我们现在要考虑的情况是小号是无限的。特别是，定理的结论2.55持有时小号是无限的吗？如果您阅读本小节的标题，您可能会怀疑，Hindman [109] 给出了答案。
定理2.56（欣德曼定理）。让r∈从+. 每一个r- 着色从+承认一个无限集一种⊆从+这样F小号(一种)是单色的。
证明这一点必须与证明时的证明根本不同小号是有限的。我们既不能使用范德瓦尔登定理也不能使用拉多定理，因为它们只会给我们任意大的——而不是无限的——集合，因为它们都是关于有限结构的结果。
Hindman 定理的证明非常复杂，所以我们将把它分解成几个引理，然后再把它们放在一起。我们将遵循 Baumgartner [11] 给出的证明。但首先，定义是有序的。
定义2.57（不相交的总和小号）。让小号,吨⊆从+是无限集。我们说吨⊆F小号(小号)是一个不相交的和集小号， 和写吨∈D小号(小号), 如果每个元素小号最多包含在一个总和/元素中吨， 在哪里D小号(小号)是所有不相交和集的类小号.
这类有限和的好处是，如果吨1,吨2∈吨∈D小号(小号)然后吨1+吨2∈F小号(小号)因为元素来自小号用于吨1不同于那些用于吨2. 使用这个想法，我们立即得到以下引理，其证明留给读者作为练习 2.17。
引理 2.58。让小号,吨,在⊆从+是无限集吨∈D小号(小号)和在∈ D小号(吨). 那么
（一）F小号(吨)⊆F小号(小号); (
ii)在∈D小号(小号).
在下一个引理之前，我们需要另一个定义。
定义2.59（相交为小号）。让小号⊆从+是无限的。我们说一组X是相交的小号如果对所有人吨∈D小号(小号)我们有F小号(吨)∩X≠∅.
这里的一个关键观察是任何相交集都必须是无限的。这可以通过下一个引理的（ii）部分来证实。
引理 2.60。让X,小号是的子集从+. 以下成立：
(i) 让n∈从+并假设X=⨆一世=1nX一世.如果X是相交的小号, 那么存在吨∈D小号(小号)和一世∈1,2,…,n这样X一世是相交的吨.
(ii) 如果F是的有限子集从+和X是相交的小号， 然后X∖F是相交的小号.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Results
我们通过介绍整数拉姆齐理论的一些分析方法来结束本章。我们将主要考虑算术级数。下面给出有关范德瓦尔登定理的密度结果的标准符号。
符号。为了ķ,n∈从+表示为rķ(n)子集的最大大小[1,n]没有ķ项算术级数。
我们从 Behrend 的结果开始[14]这似乎被忽略了。这是由汤姆布朗传达给作者的。Behrend 的结果出现在 Erdös 和 Turán [71] 定义后仅一年r3(n)并表明
r3(n)n<38+这(1)
贝伦德的结果更为全面。
定理 2.67。对于每个ķ∈从+我们有
大号ķ=林n→∞rķ(n)n
存在，更重要的是，
大号=林ķ→∞大号ķ∈0,1
证明。事实是大号ķ存在是标准的，留给读者作为练习 2.22。事实是大号存在于0≤大号1≤大号2≤⋯≤大号ķ≤⋯≤1，它是闭区间上的单调无穷序列。因此，我们只需要证明大号是 0 或 1 。
我们将首先证明，对于每个n∈从+， 我们有
rķ(n)n>大号ķ
假设，对于一个矛盾，存在米∈从+这样不等式(2.3)是错误的米. 我们可以假设对于所有n∈从+我们有
rķ(米)米≤rķ(n)n
我们接下来注意到rķ(米n)≤nrķ(米)因为如果小号⊆[1,米n]避免ķ项算术级数，则有必要（但不充分）每个区间[1,米],[米+1,2米],…,[(n−1)米+1,n米]最多包含rķ(米)来自的整数小号. 从不平等(2.4)而这个观察，我们有
rķ(米)米≤rķ(米n)米n≤nrķ(米)米n=rķ(米)米
我们得出结论rķ(米n)=nrķ(米)对全部n∈从+.
定义间隔
一种一世=[(一世−1)米+1,一世米],一世=1,2,…,在(ķ;2米)
在哪里在(ķ;2米)是范德瓦尔登数。考虑
n=在(ķ;2米)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。