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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Pseudo-Algebraic Sets
Definition 1.3.1 Let $P$ be a polynomial function with real coefficients on $\mathbb{R}^{m+k}$ and $\lambda_{i}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, 1 \leq i \leq k$ real linear functionals. The function
$$
F_{P}=F: \mathbb{R}^{m} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto P\left(x, e^{\lambda_{1}(x)}, \ldots, e^{\lambda_{k}(x)}\right)
$$
is called a pseudo-algebraic function associated to the polynomial $P$.
Definition 1.3.2 A subset $V$ of $\mathbb{R}^{m}$ is called pseudo-algebraic if it admits some representation of the form
$$
V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}
$$
where $F_{i}, 1 \leq i \leq r$ are pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$.
Definition 1.3.3 A subset $A$ of $\mathbb{R}^{m}$ is called semi-pseudo-algebraic if it admits some representation of the form
$$
A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ldots, G_{l}(x)>0\right}
$$
where $F_{i}=F_{P_{i}}, 1 \leq i \leq r$ and $G_{j}=G_{Q_{j}}, 1 \leq j \leq l$ are pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$ associated to the polynomials $P_{i}$ and $Q_{j}$ respectively.
Then it is clear that any semi-pseudo-algebraic set of $\mathbb{R}^{m}$ is the intersection between the closed set of common zeroes of a finite number of pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$ and an open set of $\mathbb{R}^{m}$.
Remark 1.3.4 When the linear forms $\lambda_{i}, i=1, \ldots, k$ are null, the notion of pseudoalgebraic set coincides with the familiar notion of algebraic set. Let us recall the definition of semi-algebraic sets.
Definition 1.3.5 A subset of $\mathbb{R}^{n}$ is said to be a semi-algebraic set if it admits a representation of the form
$$
\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}
$$
where $h_{1}, \ldots, h_{p}, g_{1}, \ldots, g_{q}$ are polynomial functions on $\mathbb{R}^{n}$.
The following theorem plays an important role in the sequel, since the analysis of the multiplicity function of mixed representations naturally involves pseudoalgebraic geometry (see the next section for details).
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Structure of Coadjoint Orbits
The following theorem describes the structure of the space of coadjoint orbits of an exponential solvable Lie group, and is proved in [45].
Theorem 1.3.9 Let $G$ be a connected and simply connected exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. There exists a finite partition $\wp$ of $\mathfrak{g}^{}$ such that: (I) each $U \in \wp$ is $G$-invariant, (2) for a given $U \in \wp$, the dimension of coadjoint orbits in $U$ is constant, (3) there is a total ordering $U_{1}}$.
Given $U \in \wp$, there exist a subspace $V$ of $\mathrm{g}^{}$ and index sets $l$ and $\varphi$ such that for each $j \in I$ we have a complex-valued rational map $p_{j}$ on $\mathrm{g}^{}$ and for each $j \in \varphi$ a complex-valued rational map $q_{j}$ on $\mathrm{g}^{*}$ satisfying the following:
(4) the set $\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}$ is $a$ cross-section of the coadjoint orbits in $U$.
Moreover, there exists a G-invariant analytic function $P: U \rightarrow U$ such that $P(U)=\Sigma$
If $G$ is a completely solvable Lie group, the set $\varphi$ is empty and the $p_{j}$ are realvalued for each $j \in l$ (see [47]).
Corollary 1.3.10 Let $G$ be a connected and simply connected exponential solvable Lie group with Lie algebra g. Every coadjoint orbit $\Omega$ (lying in some $U$ of the above partition) is closed in $U$ and is a semi-analytic set in $\mathrm{g}^{}$. In particular $\Omega$ is locally closed in $\mathrm{g}^{}$.Proof Let $U$ be a layer in $\wp$ such that $\Omega \subset U$ and let $P: U \rightarrow U$ be the analytic $G$ invariant function such that $P(U)=\Sigma$, where $\Sigma$ is a cross-section of the coadjoint orbits in $U$, as in Theorem 1.3.9. Then $\Omega$ meets $\Sigma$ in a single point. Let ${l}=\Sigma \cap \Omega$. The subset $P^{-1}({l})$ is $G$-invariant and every orbit $\Omega^{\prime} \subset P^{-1}({l})$ intersects $\Omega$, so $\Omega=P^{-1}({l})$. This shows that $\Omega$ is closed in $U$, and semi-analytic as $P$ is analytic. Finally, as $U$ is a semi-algebraic set in $\mathfrak{g}^{}, \Omega$ is a semi-analytic set in $\mathrm{g}^{}$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Up-Down Representations of Exponential Solvable Lie Groups
Let $G$ be a real Lie group, $A$ and $H$ closed connected subgroups of $G$ and $\sigma$ a unitary representation of $H$. The representation
$$
\rho(G, H, A, \sigma)=\text { ind }\left.{H}^{G} \sigma\right|{A}
$$ of $A$ is called an up-down representation.
When the unitary representation $\sigma$ of $H$ is replaced by a unitary character $\chi_{f}$, the representation $\rho(G, H, A, \sigma)$ will be simply denoted by $\rho(G, H, A, f)$. It is clear that $\rho(G, H, G, \sigma)=\tau(\sigma)$ and $\rho(G, G, A, \sigma)=\sigma_{\mid A}$. On the other hand, if the product $A H$ is a closed subgroup of $G$, then Mackey’s subgroup theorem allows us to say that
$$
\rho(A H, H, A, \sigma) \simeq \rho\left(A, A \cap H, A, \sigma_{\mid A \cap H}\right) \simeq \operatorname{ind}{A \cap H}^{A}\left(\sigma{A \cap H}\right) .
$$
If $G$ is exponential solvable and $\sigma$ is a unitary irreducible representation, then $\sigma$ is a monomial representation, which means that it is induced by a unitary character. We write $\sigma \simeq \operatorname{ind}{B}^{H} \chi{l}$ where $l \in \mathfrak{g}^{*}, B=\exp (\mathfrak{b})$ and $\mathfrak{b} \in I\left(l_{\mathfrak{h}}, \mathfrak{h}\right)$. Then it is immediate that
$$
\rho(G, H, A, \sigma) \simeq \rho(G, B, A, l)
$$
Thus, the study of the mixed representation (1.4.1) when $\sigma \in \widehat{H}$ can be reduced to mixed representations of type $\rho(G, H, A, f)$. This is exactly what many authors usually do. Some of our results will be proved in full generality for mixedtype representations (1.4.1). Relationship (1.4.2) is sometimes very useful for transferring known results on mixed representations of type $\rho(G, H, A, f)$ to general mixed representations. When $A=H$, the representation $\rho(G, H, H, \sigma)$ will be simply denoted by $\rho(G, H, \sigma)$.
Remark 1.4.1 Mackey studied the disintegration of such representations when $A$ and $H$ are regularly related in the context of arbitrary locally compact groups. At the same time, Lemma $4.2$ in [115] proves that if $H$ and $A$ are normal subgroups of a locally compact group $G$ and $A \subset H$, the support of the mixed representation (1.4.1) is of the form $\left(\sigma_{\mid A}\right)^{g}, g \in G$ where $\left(\sigma_{\mid A}\right)^{g}(a)=\sigma\left(g \cdot a \cdot g^{-1}\right), \in A$.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Pseudo-Algebraic Sets
定义 1.3.1 让磷是一个具有实系数的多项式函数R米+ķ和λ一世:R米→R,1≤一世≤ķ实线性泛函。功能
F磷=F:R米⟶R,X⟼磷(X,和λ1(X),…,和λķ(X))
被称为与多项式相关的伪代数函数磷.
定义 1.3.2 一个子集在的R米如果它承认形式的某种表示，则称为伪代数
V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}
在哪里F一世,1≤一世≤r是伪代数函数R米.
定义 1.3.3 一个子集一个的R米如果它承认形式的某种表示，则称为半伪代数
A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ ldots, G_{l}(x)>0\right}A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ ldots, G_{l}(x)>0\right}
在哪里F一世=F磷一世,1≤一世≤r和Gj=G问j,1≤j≤l是伪代数函数R米与多项式相关联磷一世和问j分别。
那么很明显，任何半伪代数集R米是有限数量的伪代数函数的公共零闭集之间的交集R米和一组开放的R米.
备注 1.3.4 当线性形式λ一世,一世=1,…,ķ为空，伪代数集的概念与我们熟悉的代数集概念一致。让我们回顾一下半代数集的定义。
定义 1.3.5 的一个子集Rn如果它承认形式的表示，则称它是半代数集
\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}
在哪里H1,…,Hp,G1,…,Gq是多项式函数Rn.
下面的定理在后续中起着重要的作用，因为对混合表示的多重性函数的分析自然涉及到伪代数几何（详见下节）。
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Structure of Coadjoint Orbits
以下定理描述了指数可解李群的共伴轨道空间的结构，并在 [45] 中得到证明。
定理 1.3.9 让G是具有李代数的连通且简单连通的指数可解李群G. 存在有限分区℘的G这样： (I) 每个在∈℘是G-不变量，(2) 对于给定的在∈℘, 共伴轨道的维数在是常数，（3）有一个总排序U_ {1}}U_ {1}}.
给定在∈℘, 存在一个子空间在的G和索引集l和披这样对于每个j∈我我们有一个复值有理图pj上G并且对于每个j∈披复值有理图qj上G∗满足以下条件：
（4）集合\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}是一个共伴轨道的横截面在.
此外，存在一个 G 不变的解析函数磷:在→在这样磷(在)=Σ
如果G是一个完全可解的李群，集合披是空的，并且pj对每个都是真实的j∈l（见[47]）。
推论 1.3.10 让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的指数可解李群。每个共轨轨道Ω（躺在一些在上述分区的）被关闭在是一个半解析集G. 尤其是Ω在本地关闭G.证明让在成为其中的一层℘这样Ω⊂在然后让磷:在→在成为分析者G不变函数使得磷(在)=Σ， 在哪里Σ是共伴轨道的横截面在，如定理 1.3.9。然后Ω满足Σ在一个点。让l=Σ∩Ω. 子集磷−1(l)是G- 不变量和每个轨道Ω′⊂磷−1(l)相交Ω， 所以Ω=磷−1(l). 这表明Ω封闭在在, 和半解析为磷是解析的。最后，作为在是一个半代数集G,Ω是一个半解析集G.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Up-Down Representations of Exponential Solvable Lie Groups
让G做一个真正的李群，一个和H的闭合连通子群G和σ的单一表示H. 代表性
ρ(G,H,一个,σ)= 工业 HGσ|一个的一个称为上下表示。
当酉表示σ的H被单一字符替换χF, 表示ρ(G,H,一个,σ)将简单地表示为ρ(G,H,一个,F). 很清楚ρ(G,H,G,σ)=τ(σ)和ρ(G,G,一个,σ)=σ∣一个. 另一方面，如果产品一个H是一个闭子群G, 那么 Mackey 的子群定理允许我们说
ρ(一个H,H,一个,σ)≃ρ(一个,一个∩H,一个,σ∣一个∩H)≃工业一个∩H一个(σ一个∩H).
如果G是指数可解的并且σ是酉不可约表示，则σ是单项式表示，这意味着它是由单一字符诱导的。我们写σ≃工业乙Hχl在哪里l∈G∗,乙=经验(b)和b∈我(lH,H). 然后立即
ρ(G,H,一个,σ)≃ρ(G,乙,一个,l)
因此，混合表示（1.4.1）的研究当σ∈H^可以简化为类型的混合表示ρ(G,H,一个,F). 这正是许多作者通常会做的事情。我们的一些结果将在混合类型表示（1.4.1）中得到完全的普遍性证明。关系（1.4.2）有时对于在类型的混合表示上传输已知结果非常有用ρ(G,H,一个,F)到一般的混合表示。什么时候一个=H, 表示ρ(G,H,H,σ)将简单地表示为ρ(G,H,σ).
备注 1.4.1 Mackey 研究了这些表征的解体，当一个和H在任意局部紧凑群的上下文中经常相关。同时，引理4.2在 [115] 中证明如果H和一个是局部紧群的正规子群G和一个⊂H, 混合表示 (1.4.1) 的支持形式为(σ∣一个)G,G∈G在哪里(σ∣一个)G(一个)=σ(G⋅一个⋅G−1),∈一个.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。