### 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Functions and Limits

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Functions and Limits

By the term function $f(x)$ one understands the unique attribution of a dependent variable $y$ from the co-domain $W$ to an independent variable $x$ from the domain of definition $D$ of the function $f(x)$ :
$$y=f(x) \quad ; \quad D \subset \mathbb{R} \stackrel{f}{\longrightarrow} W \subset \mathbb{R}$$
We ask ourselves how $f(x)$ changes with $x$. All elements of the sequence
$$\left{x_{n}\right}=x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}, \cdots$$

shall be from the domain of definition of the function $f$. Then for each $x_{n}$ there exists a
$$y_{n}=f\left(x_{n}\right)$$
and therewith a ‘new’ sequence $\left{f\left(x_{n}\right)\right}$.
Definition $f(x)$ possesses at $x_{0}$ a limiting value $f_{0}$, if for each sequence $\left{x_{n}\right} \rightarrow x_{0}$ holds:
$$\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x{n}\right)=f_{0} .$$
That is written as:
$$\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)=f_{0}$$
Examples
$1 .$
$$f(x)=\frac{x^{3}}{x^{3}+x-1} \quad ; \quad \lim {x \rightarrow \infty} f(x)=?$$ This expression can be reformulated for all $x \neq 0$ : $$f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}}$$ For all sequences $\left{x{n}\right}$, which tend to $\infty, \frac{1}{x^{2}}$ and $\frac{1}{x^{3}}$ become null sequences. That means:
$$\lim {x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{x^{3}+x-1}=1$$ $2 .$ $$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \quad ; \quad \lim {x \rightarrow 0} f(x)=?$$
For the special null sequence $\left{x_{n}\right}=\left{\frac{1}{n}\right}$ according to (1.18) we know the limit of this function. It can be shown, however, that the same is true for arbitrary null sequences:
$$\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Continuity

We are now coming to the very important concept
continuity
$y=f(x)$ is called continuous at $x_{0}$ from the domain of definition of $f$ if for all $\varepsilon>0$ a $\delta>0$ exists so that for each $x$ with
$$\left|x-x_{0}\right|<8$$
holds:
$$\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$$

Alternative formulation:
$y=f(x)$ is continuous at $x_{0}$ from the domain of definition of $f$ if for each sequence $\left{x_{n}\right} \rightarrow x_{0}$ follows:
$$\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)=f_{0} .$$
The limiting value $f_{0}$ is therefore just the function value $f\left(x_{0}\right)$. We elucidate the term of continuity by two examples:
$$f(x)= \begin{cases}x & : x \geq 1 \ 1 & : x<1\end{cases}$$
The function (1.39), represented in Fig. 1.1, is obviously continuous, in contrary to the function from Fig. 1.2:
$$f(x)=\left{\begin{array}{cl} x-1 & : x \geq 1 \ 1 & : x<1 \end{array}\right.$$
which is apparently discontinuous at $x=1$ :
$$\lim {x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+1 \neq \lim {x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions

It can be assumed that the trigonometric functions are well-known from schoolmathematics. Therefore, only the most important relations shall be compiled in this subsection.

Figure $1.3$ illustrates that the angle $\varphi$ can be expressed not only by angular degrees $^{\circ}$, but equally uniquely also via the arc of the circle $s$ :
$$s=s(\varphi) \quad: \quad s\left(360^{\circ}\right)=2 \pi r ; s\left(180^{\circ}\right)=\pi r ; s\left(90^{\circ}\right)=\frac{\pi}{2} r ; \ldots$$
One introduces the dimensionless quantity
$$\varphi\left({ }^{\circ}\right)=360(180,90,45,1) \longrightarrow 2 \pi\left(\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{180}\right) \mathrm{rad}$$
• Trigonometric functions
In the right-angled triangle in Fig. $1.4 a$ and $b$, adjacent and opposite to angle $\alpha$, respectively, are called the leg (side, cathetus) and $c$ the hypothenuse. With these terme one defines:
\begin{aligned} &\sin \alpha=\frac{b}{c} \ &\cos \alpha=\frac{a}{c} \ &\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{b}{a} \ &\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{a}{b} \end{aligned}

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Functions and Limits

\left{x_{n}\right}=x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}, \cdots\left{x_{n}\right}=x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}, \cdots

1.
F(X)=X3X3+X−1;林X→∞F(X)=?这个表达式可以重新表述为所有X≠0 :F(X)=11+1X2−1X3对于所有序列\left{x{n}\right}\left{x{n}\right}, 这往往∞,1X2和1X3成为空序列。这意味着：

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Continuity

|X−X0|<8

|F(X)−F(X0)|<e

F(X)={X:X≥1 1:X<1

$$f(x)=\left{X−1:X≥1 1:X<1\对。 在H一世CH一世s一种pp一种r和n吨l是d一世sC这n吨一世n在这在s一种吨X=1: \lim {x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+1 \neq \lim {x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Trigonometric Functions

• 弧度测量
图1.3说明角度披不仅可以用角度来表示∘, 但同样独特地也通过圆弧s :
s=s(披):s(360∘)=2圆周率r;s(180∘)=圆周率r;s(90∘)=圆周率2r;…
一、介绍无量纲量
披(∘)=360(180,90,45,1)⟶2圆周率(圆周率,圆周率2,圆周率4,圆周率180)r一种d
• 三角函数
在图 1 中的直角三角形中。1.4一种和b, 与角相邻且相反一种, 分别称为腿 (side, cathetus) 和C假设。使用这些术语定义：
罪⁡一种=bC 因⁡一种=一种C 棕褐色⁡一种=罪⁡一种因⁡一种=b一种 婴儿床⁡一种=因⁡一种罪⁡一种=1棕褐色⁡一种=一种b

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。