物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

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统计力学是一个数学框架,它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则,而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Cantor Sets and Measures

As an aside, we mention a family of sets that are interesting from a topological and measure-theoretic viewpoint: the Cantor sets.

The original or “middle-third” Cantor set can be obtained by removing successively the “middle-third” intervals: let $C_{0}=[0,1], C_{1}=[0,1] \backslash(] \frac{1}{3}, \frac{2}{3}[)=\left[0, \frac{1}{3}\right] \cup$ $\left[\frac{1}{3}, 1\right], \quad C_{2}=C_{1} \backslash(] \frac{1}{9}, \frac{2}{9}[\cup] \frac{7}{9}, \frac{8}{9}[)=\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup\left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right] \cup\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup\left[\frac{8}{9}, 1\right]$, and so on. Then $C=n_{n=0}^{\infty} C_{n}$.

Actually, $C=\left{x \mid x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}, a_{n} \neq 1, \forall n\right}$. To see this, observe that, if we write the ternary expansion of a number $x \in[0,1], x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3 \pi}$, then the numbers in $] \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\left[\right.$ correspond to $a_{1}=1$ those in $] \frac{1}{9}, \frac{2}{9}[\cup] \frac{7}{9}, \frac{8}{9}\left[\right.$ correspond to $a_{2}=1$ and so on. So that the numbers in $C$ are exactly those $x \in[0,1]$ whose ternary expansion does not contain the symbol 1 .
The Cantor set $C$ has the following properties:

  1. $C$ is of zero measure since the sum of the lengths of the removed intervals is: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3 n}=1$.
  2. $C$ is uncountable: the map $g: C \rightarrow[0,1], \quad g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n+1}}$, where $x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3 n}, a_{n} \neq 1, \forall n$, is a surjection from $C$ to $[0,1]$, hence the cardinality of $C$ must be at least the one of $[0,1]$ (and also at most that cardinality, since $C \subset[0,1])$.
  3. $C$ is a perfect set, which, by definition, means that it is closed (since it is the complement of a union of open intervals) and that each element of $C$ is a limit of other elements of $C$ : if $x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}, a_{n} \neq 1$, $\forall n$, then $x=\lim {k \rightarrow \infty} x{k}$, where $x_{k}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{s}^{k}}{3^{k}}$, with $a_{n}^{k}=a_{n}, \forall n \neq k$, and $a_{k}^{k}=2-a_{k}$.
  4. $C$ is nowhere dense which, for a closed set, means that its interior is empty: in any neighborhood of $x \in C$, there are points not in $C$. Given $x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}, a_{n} \neq 1$,

$\forall n$ and $\epsilon>0$, choose $k$ so that $3^{-k}<\epsilon$, and let $y=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{3^{n}}$, with $b_{n}=a_{n}$, $\forall n \neq k$, and $b_{k}=1$. Then, $y \notin C$ and $|x-y| \leq \epsilon$.

  1. $C$ is totally disconnected, i.e. its only connected components are singletons.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Proofs of the Law of Large Numbers

Let us first prove $(2.3 .8)$. We need to estimate the probability of:
$$
\left|\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)-\mathbb{E}(f(x))\right| \geq \epsilon
$$
We may assume that $\mathbb{E}(f(x))=0$, by redefining $f$. We will use Markov’s (or Chebyshev’s) inequality: for a random variable $F$ on $(\Omega, \Sigma, \mu)$, and $a>0$,

$$
\mu(1(F \geq a)) \leq \frac{\mathbb{E}\left(F^{2}\right)}{a^{2}}
$$
which follows trivially from $a \mathbb{1}(F \geq a) \leq F$.
Apply this to $F=\left|\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)\right|, \mu=\mu$ as in (2.3.8) and $a=\epsilon$. We get:
$$
\boldsymbol{\mu}\left(\left|\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)\right)^{2}\right)}{\epsilon^{2} N^{2}}
$$
We have $\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)\right)^{2}\right)=\sum_{i, j=1}^{N} \mathbb{E}\left(f_{i}\left(x_{i}\right) f_{j}\left(x_{j}\right)\right)=\sum_{i=1}^{N} \mathbb{E}\left(f_{i}\left(x_{i}\right)^{2}\right)=$ $N \mathbb{E}\left(f(x)^{2}\right)$, since $\mathbb{E}\left(f_{i}\left(x_{i}\right) f_{j}\left(x_{j}\right)\right)=\mathbb{E}\left(f_{i}\left(x_{i}\right)\right) \mathbb{E}\left(f_{j}\left(x_{j}\right)\right)=0$ for $i \neq j$ because the variables $x_{i}, x_{j}$ are independent and, by assumption, $\mathbb{E}\left(f_{i}\left(x_{i}\right)\right)=0, \forall i$.
Inserting this in the right hand side of (2.B.2), we get:
$$
\boldsymbol{\mu}\left(\left|\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{C}{\epsilon^{2} N}
$$
with $C=\mathbb{E}\left(f(x)^{2}\right.$ ) (we assumed $f$ to be bounded), which implies
$$
\boldsymbol{\mu}\left(G_{N}(\epsilon)\right) \geq 1-\frac{C}{\epsilon^{2} N}
$$
which proves (2.3.8).
To prove (2.3.12), we proceed similarly. Applying (2.B.1) to $\left|F_{\alpha}\right|$, for $\alpha=$ $1, \ldots, k$, where $F_{\alpha}=\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^{N} \mathbb{1}\left(x_{i} \in A_{\alpha}\right)-\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N} \mathbb{1}\left(x_{i} \in A_{\alpha}\right)\right)\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}$ $\mathbb{1}\left(x_{i} \in A_{\alpha}\right)-P_{\alpha}$, (since $\left.\mathbb{E}\left(\mathbb{1}\left(x_{i} \in A_{\alpha}\right)\right)=P_{\alpha}\right)$, we get:
$$
\boldsymbol{\mu}\left(\left|F_{a}\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(F_{\alpha}^{2}\right)}{\epsilon^{2}}
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Newton’s Laws

In classical mechanics one starts by defining frames of reference and by distinguishing between inertial and non inertial frames.

A frame of reference is simply a coordinate system that ascribes a set of numbers specifying the positions of all the particles in the system under consideration at any given time. We will use here cartesian coordinates. If these positions change in time, those coordinates, as functions of time, describe the trajectories of the particles.
An inertial frame of reference is one in which a particle which is not subjected to any force moves along a straight line at constant velocity. Instead of saying “which is not subjected to any force” one could say “is infinitely distant from any other particle.” If we describe the motion of such a particle in a frame of reference attached to a merry-go-round or to an accelerating rocket, that motion will no longer appear to be on a straight line or to move at constant speed. Such frames are called non inertial.

It is obvious from the definition given here that we are dealing with an idealization, which is nevertheless approximately realized in many situations: the fact that the Earth rotates around the Sun and around itself makes a frame of reference attached to the Earth, strictly speaking, non inertial; but it can nevertheless be considered inertial for most experiments performed in laboratories.

A basic principle of mechanics is the equivalence of all inertial frames of reference, also called Galilean invariance: the laws of motion take the same form in all inertial frames of reference and the transformations between such frames consist of (constant in time) rotations and translations on a straight line at constant velocity of the origin of coordinates. This invariance implies conservation laws for total momentum, total angular momentum and energy (checking the first conservation laws will be left as exercises). ${ }^{1}$

Here we will always work in a fixed inertial frame, so we will not be concerned with Galilean invariance. Moreover, we will not discuss conservations laws apart form the conservation of energy. Newton’s first law, says, in modern terminology, that there exist inertial reference frames; since we decided to work in one such frame, we will not discuss it further.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Cantor Sets and Measures

顺便说一句,我们提到了一组从拓扑和测度论的角度来看很有趣的集合:康托集合。

可以通过连续删除“中间三分之一”区间来获得原始的或“中间三分之一”康托集:C0=[0,1],C1=[0,1]∖(]13,23[)=[0,13]∪ [13,1],C2=C1∖(]19,29[∪]79,89[)=[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1], 等等。然后C=nn=0∞Cn.

实际上,C=\left{x \mid x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}, a_{n} \neq 1, \forall n\正确的}C=\left{x \mid x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}, a_{n} \neq 1, \forall n\正确的}. 要看到这一点,请注意,如果我们写一个数字的三元展开式X∈[0,1],X=∑n=1∞一个n3圆周率,然后中的数字]13,23[相当于一个1=1那些在]19,29[∪]79,89[相当于一个2=1等等。所以里面的数字C正是那些X∈[0,1]其三元展开式不包含符号 1 。
康托集C具有以下属性:

  1. C是零度量,因为已删除间隔的长度之和为:∑n=1∞2n−13n=1.
  2. C不可数:地图G:C→[0,1],G(X)=∑n=1∞一个n2n+1, 在哪里X=∑n=1∞一个n3n,一个n≠1,∀n, 是从C至[0,1],因此基数C必须至少是其中之一[0,1](而且最多也就是那个基数,因为C⊂[0,1]).
  3. C是一个完美集,根据定义,这意味着它是闭集(因为它是开区间并集的补集)并且C是其他元素的限制C: 如果X=∑n=1∞一个n3n,一个n≠1, ∀n, 然后X=林ķ→∞Xķ, 在哪里Xķ=∑n=1∞一个sķ3ķ, 和一个nķ=一个n,∀n≠ķ, 和一个ķķ=2−一个ķ.
  4. C是无处稠密的,对于一个闭集,意味着它的内部是空的:在任何邻域X∈C, 有点不在C. 给定X=∑n=1∞一个n3n,一个n≠1,

∀n和ε>0, 选择ķ以便3−ķ<ε, 然后让是=∑n=1∞bn3n, 和bn=一个n,∀n≠ķ, 和bķ=1. 然后,是∉C和|X−是|≤ε.

  1. C是完全断开的,即它唯一连接的组件是单例。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Proofs of the Law of Large Numbers

我们先证明(2.3.8). 我们需要估计以下概率:

|1ñ∑一世=1ñF一世(X一世)−和(F(X))|≥ε
我们可以假设和(F(X))=0,通过重新定义F. 我们将使用马尔可夫(或切比雪夫)不等式:对于随机变量F上(Ω,Σ,μ), 和一个>0,

μ(1(F≥一个))≤和(F2)一个2
这很容易从一个1(F≥一个)≤F.
将此应用于F=|1ñ∑一世=1ñF一世(X一世)|,μ=μ如(2.3.8)和一个=ε. 我们得到:

μ(|1ñ∑一世=1ñF一世(X一世)|≥ε)≤和((∑一世=1ñF一世(X一世))2)ε2ñ2
我们有和((∑一世=1ñF一世(X一世))2)=∑一世,j=1ñ和(F一世(X一世)Fj(Xj))=∑一世=1ñ和(F一世(X一世)2)= ñ和(F(X)2), 自从和(F一世(X一世)Fj(Xj))=和(F一世(X一世))和(Fj(Xj))=0为了一世≠j因为变量X一世,Xj是独立的,并且根据假设,和(F一世(X一世))=0,∀一世.
将其插入 (2.B.2) 的右侧,我们得到:

μ(|1ñ∑一世=1ñF一世(X一世)|≥ε)≤Cε2ñ
和C=和(F(X)2) (我们假设F有界),这意味着

μ(Gñ(ε))≥1−Cε2ñ
这证明了(2.3.8)。
为了证明(2.3.12),我们进行类似的处理。将 (2.B.1) 应用于|F一个|, 为了一个= 1,…,ķ, 在哪里F一个=1ñ(∑一世=1ñ1(X一世∈一个一个)−和(∑一世=1ñ1(X一世∈一个一个)))=1ñ∑一世=1ñ 1(X一世∈一个一个)−磷一个, (自从和(1(X一世∈一个一个))=磷一个),我们得到:

μ(|F一个|≥ε)≤和(F一个2)ε2

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Newton’s Laws

在经典力学中,首先定义参考系并区分惯性系和非惯性系。

参考系只是一个坐标系,它赋予一组数字,指定在任何给定时间考虑的系统中所有粒子的位置。我们将在这里使用笛卡尔坐标。如果这些位置随时间变化,则这些坐标作为时间的函数,描述了粒子的轨迹。
惯性参考系是一个不受任何力的粒子以恒定速度沿直线运动的参考系。与其说“它不受任何力”,不如说“与任何其他粒子无限遥远”。如果我们在连接到旋转木马或加速火箭的参考系中描述这种粒子的运动,那么该运动将不再看起来是在一条直线上或以恒定速度移动。这样的框架称为非惯性框架。

从这里给出的定义很明显,我们正在处理一种理想化,但在许多情况下都可以近似实现:地球围绕太阳旋转并围绕自身旋转这一事实为地球提供了一个参考系,严格来说,非惯性;但是对于在实验室进行的大多数实验,它仍然可以被认为是惯性的。

力学的一个基本原理是所有惯性参考系的等价性,也称为伽利略不变性:运动定律在所有惯性参考系中采用相同的形式,并且这些参考系之间的变换包括(时间恒定)旋转和平移在坐标原点等速的直线上。这种不变性意味着总动量、总角动量和能量的守恒定律(检查第一个守恒定律将留作练习)。1

在这里,我们将始终在一个固定的惯性系中工作,因此我们不会关心伽利略不变性。此外,除了能量守恒,我们不会讨论守恒定律。牛顿第一定律用现代术语说,存在惯性参考系;由于我们决定在一个这样的框架下工作,我们将不再进一步讨论。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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