物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

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统计力学是一个数学框架,它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则,而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Zeroth Law

The zeroth law states:
There exists a function of state $T$, the temperature, such that two systems in thermal contact are in thermal equilibrium if and only if their temperatures are equal.
Note that this law does not fix the temperature scale! On the Celsius scale, one defines $0^{\circ} \mathrm{C}$ as the melting point of ice and $100^{\circ} \mathrm{C}$ as the boiling point of water, both under a pressure of $1 \mathrm{~atm}$. The temperature of a given system can then be determined by bringing it into thermal contact with a thermometer and measuring some property of the thermometer system using linear interpolation between $0^{\circ} \mathrm{C}$ and $100^{\circ} \mathrm{C}$ (and extrapolation beyond this range).
EXAMPLE 1.1: Mercury vs. Resistance Thermometer.
In a mercury thermometer for example, the temperature is determined by the length of a column of mercury as it expands due to heating. Thus:
$$
\theta_{m}=\frac{\ell_{\theta}-\ell_{0}}{\ell_{100}-\ell_{0}} \times 100^{\circ} \mathrm{C}
$$
is the empirical temperature as it is measured by a mercury thermometer. In a resistance thermometer, the temperature is determined by the electrical resistance of a metal wire:
$$
\theta_{R}=\frac{R_{\theta}-R_{0}}{R_{100}-R_{0}} \times 100^{\circ} \mathrm{C} .
$$
We now encounter the following problem: Suppose that the electrical resistance $R$ varies nonlinearly with temperature as measured on the mercury scảlé:
$$
R_{\theta}=R_{0}\left(1+b \theta_{m}+c \theta_{m}^{2}\right)
$$
Then
$$
\theta_{R}=\frac{b \theta_{m}+c \theta_{m}^{2}}{b+100 c} \neq \theta_{m}
$$

Fortunately, it turns out that the nonlinearity in equation (1.3) is rather small over a not too large interval of temperatures. (i.e. $c<<1$.) Nevertheless, for an accurate definition of the temperature scale one needs a standard thermometer with which all other thermometers can then be gauged. For this we can use an inert gas. Indeed, using one of the above types of thermometer, it was discovered that most rare gases satisfy the ideal gas law (1) mentioned in the introduction:
$$
p V=n R_{0} T,
$$
where the constant $R_{0}$ is independent of the gas and where $T=\theta+273$ if $\theta$ is measured in degrees Celsius.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The First Law

The first law of thermodynamics is an extension of the law of conservation of energy to include thermal processes. It can be formulated as follows:
There exists a function of state $U$, the internal energy, such that if an amount of energy $E$ is supplied to an otherwise isolated system, bringing it from an equilibrium state $\alpha$ to an equilibrium state $\beta$, then
$$
E=U(\beta)-U(\alpha)
$$
irrespective of the way in which this energy was supplied.

EXAMPLE 2.1: The sledge.
Consider a sledge of mass $M$ sliding down a hill of height $h$ (figure 2.1). Assume that the speed of the sledge at the top of the hill is negligible. By conservation of energy, the potential energy $E_{p o t}=M g h$ must have been transformed into kinetic energy: $E_{k i n}=\frac{1}{2} M v^{2}$ at the bottom of the hill. The speed at the bottom of the hill must be $v=\sqrt{2 g h}$. In fact the speed will be smaller due to friction. Where has the energy gone? The answer is, of course, that it was transformed into heat.

The first precise experiments about heat flow were done by James Joule in the $1840 \mathrm{~s}$. He did measurements on a thermally insulated container of gas to which he supplied energy in different ways: mechanical stirring, electrical heating, and compression. Figure $2.2$ shows the three processes schematically. Joule found that the final temperature of the gas depends only on the amount of energy supplied; not on the way it was supplied, whether it was heat or work. Note that it was important that the container was well-insulated so that no heat could escape. In that case all the energy supplied must have been absorbed by the gas. In each of the different ways of heating the gas, it is possible to determine the amount of energy supplied, and it turns out that this determines the final state of the gas completely.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Differentials

In this chapter we derive some c

onsequences of the first law. The first law is used most often in differential form. This is particularly useful for quasi-static processes, which can be subdivided into small stages during which the change in the various state functions is only small (infinitesimal). In infinitesimal form, the equation (2.10) reads:
$$
\delta Q+\delta W=\mathrm{d} U
$$
One can give a precise meaning to the differential quantities appearing in this equation by defining the concept of a differential form. We shall discuss this at the end of this chapter, but first let us do some formal calculations with the differential forms appearing in (3.1).

In example $2.2$ we already mentioned that the work differential $\delta W$ cannot be written as a small change in a function of state $\mathcal{W}$. We shall use the notation $\delta$ in such a case. On the other hand, the differential $\mathrm{d} U$ does mean: ‘a small change in $U^{\prime}$, and we write $\mathrm{d}$ instead of $\delta$. One says that the differential $\mathrm{d} U$ is exact. If we assume as basic coordinates of the state space $V$ and $T$ we can write $\mathrm{d} U$ in terms of the coordinate differentials $\mathrm{d} V$ and $\mathrm{d} T$ :
$$
\mathrm{d} U=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){V} \mathrm{~d} T+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){T} \mathrm{~d} V=C_{V} \mathrm{~d} T+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){T} \mathrm{~d} V $$ (The subscript on partial derivatives indicates the variable to be kept fixed.) We have already seen that the work differential can also be written in terms of $\mathrm{d} T$ and $\mathrm{d} V$ (in fact only the latter appears): $$ \delta W=-p \mathrm{~d} V . $$ In general, one can write any arbitrary differential in terms of the coordinate differentials. Denoting an arbitrary differential by $\omega$, one has $$ \omega=f{1}(T, V) \mathrm{d} T+f_{2}(T, V) \mathrm{d} V
$$

Using equation (3.1) we have for the heat differential
$$
\delta Q=C_{V} \mathrm{~d} T+\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){T}\right) \mathrm{d} V $$ Alternatively, one can take $T$ and $p$ as independent variables and write $$ \mathrm{d} U=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){p} \mathrm{~d} T+\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)_{T} \mathrm{~d} p
$$

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统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The Zeroth Law

第零定律指出:
存在状态的函数吨,温度,使得两个热接触系统处于热平衡当且仅当它们的温度相等时。
请注意,该定律不固定温标!在摄氏温度范围内,一个定义0∘C作为冰的熔点和100∘C作为水的沸点,在压力下1 一个吨米. 然后可以通过将给定系统与温度计热接触并使用之间的线性插值测量温度计系统的某些属性来确定给定系统的温度0∘C和100∘C(以及超出此范围的外推)。
例 1.1:水银与电阻温度计。
例如,在水银温度计中,温度由水银柱的长度决定,因为水银柱因受热而膨胀。因此:

θ米=ℓθ−ℓ0ℓ100−ℓ0×100∘C
是通过水银温度计测量的经验温度。在电阻温度计中,温度由金属线的电阻决定:

θR=Rθ−R0R100−R0×100∘C.
我们现在遇到以下问题:假设电阻R在水银镜上测量的温度随温度非线性变化:

Rθ=R0(1+bθ米+Cθ米2)
然后

θR=bθ米+Cθ米2b+100C≠θ米

幸运的是,方程 (1.3) 中的非线性在不太大的温度区间内相当小。(IEC<<1.) 然而,为了准确定义温标,需要一个标准温度计,然后可以测量所有其他温度计。为此,我们可以使用惰性气体。事实上,使用上述类型的温度计之一,发现大多数稀有气体满足引言中提到的理想气体定律(1):

p在=nR0吨,
其中常数R0与气体无关,在哪里吨=θ+273如果θ以摄氏度为单位测量。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The First Law

热力学第一定律是能量守恒定律的延伸,包括热过程。可以表述为:
存在状态函数在, 内能, 这样如果一定量的能量和提供给一个原本孤立的系统,使其脱离平衡状态一个达到平衡状态b, 然后

和=在(b)−在(一个)
无论这种能量的供应方式如何。

例 2.1:雪橇。
考虑一个质量雪橇米从高处滑下H(图 2.1)。假设山顶雪橇的速度可以忽略不计。通过能量守恒,势能和p○吨=米GH一定已经转化为动能:和ķ一世n=12米在2在山脚下。山脚下的速度必须是在=2GH. 事实上,由于摩擦,速度会变小。能量去哪儿了?答案当然是它转化为热量。

关于热流的第一个精确实验是由 James Joule 在1840 s. 他在一个隔热的气体容器上进行了测量,他以不同的方式向该容器提供能量:机械搅拌、电加热和压缩。数字2.2示意性地显示了这三个过程。焦耳发现气体的最终温度仅取决于所提供的能量数量;不是在供应的方式上,无论是热量还是工作。请注意,重要的是容器绝缘良好,以免热量逸出。在这种情况下,所提供的所有能量都必须被气体吸收。在加热气体的每一种不同方式中,都可以确定提供的能量量,事实证明,这完全决定了气体的最终状态。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Differentials

在本章中,我们推导出一些 c

第一定律的后果。第一定律最常以微分形式使用。这对于准静态过程特别有用,准静态过程可以细分为小阶段,在这些阶段中,各种状态函数的变化很小(无穷小)。以无穷小的形式,等式 (2.10) 为:

d问+d在=d在
通过定义微分形式的概念,可以给这个方程中出现的微分量一个精确的含义。我们将在本章末尾讨论这个问题,但首先让我们用 (3.1) 中出现的微分形式做一些正式的计算。

在示例中2.2我们已经提到工作差异d在不能写成状态函数的微小变化在. 我们将使用符号d在这种情况下。另一方面,微分d在确实意味着:’一个小的变化在′,我们写d代替d. 有人说差速器d在是准确的。如果我们假设状态空间的基本坐标在和吨我们可以写d在就坐标微分而言d在和d吨 :

d在=(∂在∂吨)在 d吨+(∂在∂在)吨 d在=C在 d吨+(∂在∂在)吨 d在(偏导数上的下标表示要保持固定的变量。)我们已经看到,功微分也可以写成d吨和d在(实际上只有后者出现):

d在=−p d在.一般来说,可以根据坐标微分写出任意微分。表示任意微分ω, 一个有

ω=F1(吨,在)d吨+F2(吨,在)d在

使用方程(3.1),我们得到了热差

d问=C在 d吨+(p+(∂在∂在)吨)d在或者,可以采取吨和p作为自变量并写

d在=(∂在∂吨)p d吨+(∂在∂p)吨 dp

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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