物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYC30018

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量子力学是物理学的一个基本理论,它在原子和亚原子粒子的尺度上对自然界的物理特性进行了描述。它是所有量子物理学的基础,包括量子化学、量子场论、量子技术和量子信息科学。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYC30018

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Model Problem

Consider two particles moving in one dimension along the $x$-axis. Particle one is free to move in a large circle as in Fig. 2.1, so it satisfies periodic boundary conditions. It has the eigenfunctions and eigenvalues of Eqs. (2.31) and (2.32)
$$
\begin{aligned}
\psi_{n}(x) &=\frac{1}{\sqrt{L}} e^{2 \pi i n x / L} & & ; n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \
E_{n} &=\frac{(2 \pi \hbar)^{2}}{2 m L^{2}} n^{2} & & ; \text { particle one }
\end{aligned}
$$
The eigenfunctions satisfy the orthonormality condition in Eq. (2.33).
The second particle is confined to a box of a much shorter length as in Fig. 3.1, and it has the eigenfunctions and eigenvalues of Eqs. (3.12) and $(3.13)^{1}$
$$
\begin{aligned}
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) & ; n=1,2,3, \cdots \
E_{n}=\frac{(\pi \hbar)^{2}}{2 m L^{2}} n^{2} & ; \text { particle two }
\end{aligned}
$$
These eigenfunctions are illustrated in Figs. $3.2$ and $3.3$. They are also

orthonormal. It is assumed here that the box is completely transparent to the first particle, which passes right through it. ${ }^{2}$

The starting hamiltonian and general solution for this two-particle system are then
$$
\begin{aligned}
H_{0} &=\frac{p_{1}^{2}}{2 m_{1}}+\frac{p_{2}^{2}}{2 m_{2}}+V_{\mathrm{box}}\left(x_{2}\right) \
\Psi_{0}\left(x_{1}, x_{2}, t\right) &=\sum_{n_{1}, n_{2}} c_{n_{1}, n_{2}}^{0}(t) \psi_{n_{1}}\left(x_{1}\right) e^{-i E_{n_{1}} t / \hbar} \psi_{n_{2}}\left(x_{2}\right) e^{-i E_{n_{2}} t / \hbar}
\end{aligned}
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Golden Rule

Now, as previously, we are in a position to iterate these equations and obtain a power series in $H^{\prime}$. Since the r.h.s. of Eqs. (5.12) is already linear in $H^{\prime}$, we can just make use of our previous coefficients $c_{n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}}^{0}(t)=c_{n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}}^{0}$

on the r.h.s.! This gives
$$
i \hbar \frac{d c_{n_{1}, n_{2}}(t)}{d t}=\sum_{n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}}\left\langle n_{1}, n_{2}\left|H^{\prime}\right| n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}\right\rangle e_{n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}}^{0} e^{i\left(E_{n_{1}}+E_{n_{2}}-E_{n_{1}^{\prime}}-E_{n_{2}^{\prime}}\right) / \hbar}+\cdots
$$
Suppose it is the state $\psi_{n_{1}^{0}}\left(x_{1}\right) \psi_{n_{2}^{0}}\left(x_{2}\right)$ that is occupied at the initial time $t=0$, so that
$$
c_{n_{1}^{\prime}, n_{2}^{\prime}}^{0}=\delta_{n_{1}^{\prime}, n_{1}^{0}} \delta_{n_{2}^{\prime}, n_{2}^{0}} \quad \text {; given initial state }
$$
Then, at a later time, the amplitude for finding the system in a different two-particle state satisfies
$$
\begin{array}{r}
i \hbar \frac{d c_{n_{1}, n_{2}}(t)}{d t}=\left\langle n_{1}, n_{2}\left|H^{\prime}\right| n_{1}^{0}, n_{2}^{0}\right\rangle e^{i\left(E_{n_{1}}+E_{n_{2}}-E_{n_{1}^{0}}-E_{n_{2}^{0}}\right) t / \hbar} \
;\left(n_{1}, n_{2}\right) \neq\left(n_{1}^{0}, n_{2}^{0}\right)
\end{array}
$$
Integration of this relation between the initial time $t=0$, and the total elapsed time $t=T$, gives
$$
c_{n_{1}, n_{2}}(T)=-\frac{1}{\hbar}\left\langle n_{1}, n_{2}\left|H^{\prime}\right| n_{1}^{0}, n_{2}^{0}\right\rangle \frac{1}{\omega}\left(e^{i \omega T}-1\right)
$$
where the initial and final energies of the pair, and energy differences, are defined by
$$
\begin{aligned}
E_{0} & \equiv E_{n_{1}^{0}}+E_{n_{2}^{0}} \
E & \equiv E_{n_{1}}+E_{n_{2}} \
\hbar \omega & \equiv E-E_{0}
\end{aligned}
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Density of Final States

Suppose we are doing a scattering experiment in our simple model. We can prepare the target in a given state with energy $E_{n_{2}^{0}}$, and we can prepare an incident beam with a well-defined energy $E_{n_{1}^{0}}=\hbar^{2} k_{0}^{2} / 2 m_{1}$, where $k_{0}=$ $2 \pi n_{1}^{0} / L_{1}$. We certainly can achieve the energy resolution to determine that the target ends up in another state with discrete energy $E_{n_{2}}$; however, with the scattered particle, the situation is more complicated. Let us, for simplicity, call the size of the big region in which the first particle moves $L_{1} \equiv L$. The final particle energy is $E_{n_{1}}=\hbar^{2} k^{2} / 2 m_{1}$ with $k=2 \pi n_{1} / L$, and as $L$ becomes very large, these energies are very closely spaced. Thus no matter how small our resolution $d k$ is on the final particle, many final states will lie within this resolution! For large $L$, the number of these states $d n_{f}$ is
$$
d n_{f}=\frac{L}{2 \pi} d k \quad ; L \rightarrow \infty
$$
Thus all of these states will get into our final detector, and the transition rate that we actually measure is of necessity
$$
R_{f i} d n_{f}=R_{f i}\left(\frac{L}{2 \pi} d k\right) \quad ; \text { measured rate }
$$
Equation (5.28) then reads
$$
R_{f i} d n_{f}=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle n_{1}, n_{2}\left|H^{\prime}\right| n_{1}^{0}, n_{2}^{0}\right\rangle\right|^{2} \delta\left(E-E_{0}\right)\left(\frac{L}{2 \pi} d k\right)
$$
Multiply and divide this expression by $d E$. It is then possible to immediately do the integral over $E$ using Eq. (5.27), where we have summed over all of the energy-conserving events that get into our detector. Hence ${ }^{4}$
$$
R_{f i} d n_{f}=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle n_{1}, n_{2}\left|H^{\prime}\right| n_{1}^{0}, n_{2}^{0}\right\rangle\right|^{2} \rho_{E}
$$
where $\rho_{E}$ is known as the density of final states
$$
\rho_{E}=\frac{L}{2 \pi}\left(\frac{d k}{d E}\right) \quad ; \text { density of final states }
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYC30018

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Model Problem

考虑两个粒子在一维上沿X-轴。粒子一可以像图 2.1 那样在一个大圆圈内自由移动,因此它满足周期性边界条件。它具有方程的特征函数和特征值。(2.31) 和 (2.32)

ψn(X)=1大号和2圆周率一世nX/大号;n=0,±1,±2,⋯ 和n=(2圆周率⁇)22米大号2n2; 粒子一 
本征函数满足等式中的正交性条件。(2.33)。
第二个粒子被限制在一个长度短得多的盒子中,如图 3.1 所示,它具有方程的特征函数和特征值。(3.12) 和(3.13)1

ψn(X)=2大号罪⁡(n圆周率X大号);n=1,2,3,⋯ 和n=(圆周率⁇)22米大号2n2; 粒子二 
这些特征函数在图 1 和图 2 中说明。3.2和3.3. 他们也是

正交。这里假设盒子对第一个粒子是完全透明的,第一个粒子直接穿过它。2

这个两粒子系统的起始哈密顿解和一般解是

H0=p122米1+p222米2+在b○X(X2) Ψ0(X1,X2,吨)=∑n1,n2Cn1,n20(吨)ψn1(X1)和−一世和n1吨/⁇ψn2(X2)和−一世和n2吨/⁇

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Golden Rule

现在,和以前一样,我们可以迭代这些方程并获得幂级数H′. 由于等式的 rhs。(5.12) 已经是线性的H′,我们可以利用我们之前的系数Cn1′,n2′0(吨)=Cn1′,n2′0

在 rhs 上!这给

一世⁇dCn1,n2(吨)d吨=∑n1′,n2′⟨n1,n2|H′|n1′,n2′⟩和n1′,n2′0和一世(和n1+和n2−和n1′−和n2′)/⁇+⋯
假设它是状态ψn10(X1)ψn20(X2)在初始时间被占用吨=0, 以便

Cn1′,n2′0=dn1′,n10dn2′,n20; 给定初始状态 
然后,在稍后的时间,找到处于不同两粒子状态的系统的幅度满足

一世⁇dCn1,n2(吨)d吨=⟨n1,n2|H′|n10,n20⟩和一世(和n1+和n2−和n10−和n20)吨/⁇ ;(n1,n2)≠(n10,n20)
初始时间之间的这种关系的整合吨=0, 和总经过时间吨=吨, 给出

Cn1,n2(吨)=−1⁇⟨n1,n2|H′|n10,n20⟩1ω(和一世ω吨−1)
其中该对的初始和最终能量以及能量差由下式定义

和0≡和n10+和n20 和≡和n1+和n2 ⁇ω≡和−和0

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Density of Final States

假设我们正在我们的简单模型中进行散射实验。我们可以用能量在给定状态下准备目标和n20, 我们可以准备一个具有明确能量的入射光束和n10=⁇2ķ02/2米1, 在哪里ķ0= 2圆周率n10/大号1. 我们当然可以实现能量分辨率,以确定目标最终处于具有离散能量的另一种状态和n2; 然而,有了散射粒子,情况就更加复杂了。为简单起见,我们称第一个粒子在其中移动的大区域的大小大号1≡大号. 最终粒子能量为和n1=⁇2ķ2/2米1和ķ=2圆周率n1/大号, 并作为大号变得非常大,这些能量之间的间隔非常紧密。因此无论我们的分辨率有多小dķ在最终粒子上,许多最终状态将位于该分辨率内!对于大大号, 这些状态的数量dnF是

dnF=大号2圆周率dķ;大号→∞
因此所有这些状态都会进入我们的最终检测器,我们实际测量的转换率是必要的

RF一世dnF=RF一世(大号2圆周率dķ); 实测率 
等式(5.28)然后读取

RF一世dnF=2圆周率⁇|⟨n1,n2|H′|n10,n20⟩|2d(和−和0)(大号2圆周率dķ)
将此表达式乘以除以d和. 然后可以立即进行积分和使用方程式。(5.27),我们总结了进入我们探测器的所有能量守恒事件。因此4

RF一世dnF=2圆周率⁇|⟨n1,n2|H′|n10,n20⟩|2ρ和
在哪里ρ和被称为最终状态的密度

ρ和=大号2圆周率(dķd和); 终态密度 

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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