### 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS2041

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Incident Plane Wave

Suppose we prepare a particle in a state of definite incident momentum
$$\psi_{\mathrm{inc}}(\vec{x})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} \quad ; \vec{p}=\hbar \vec{k}$$
This is also an eigenstate of energy, with
$$E=\frac{(\hbar \vec{k})^{2}}{2 m}$$
It satisfies the free Schrödinger equation
$$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \psi_{\text {inc }}(\vec{x})=0$$
Since we are eventually going to compute ratios of fluxes, the choice of overall norm is immaterial.

Now use $\vec{k} \cdot \vec{x}=k r \cos \theta$ and expand the plane wave in a complete set of functions of $\cos \theta$
$$e^{i k r \cos \theta}=\sum_{l}(2 l+1) i^{l} j_{l}(k r) P_{l}(\cos \theta)$$

Here $P_{l}(\cos \theta)$ is a Legendre polynomial satisfying
\begin{aligned} &\int_{-1}^{1} d \cos \theta P_{l}(\cos \theta) P_{l^{\prime}}(\cos \theta)=\frac{2}{2 l+1} \delta_{l, l^{\prime}} \ &P_{0}(\cos \theta)=1 \quad ; P_{1}(\cos \theta)=\cos \theta \quad ; P_{2}(\cos \theta)=\frac{1}{2}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) \ &\text {; etc. } \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|S-Wave Scattering

The separated solutions in Eq. (4.4) satisfy the Schrödinger equation in spherical coordinates. Let us focus on the $l=0$ term, which is the dominant term at low energy where $k r \rightarrow 0$,
$$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) j_{0}(k r)=\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin (k r)}{k r}=0$$
Evidently the radial part of the laplacian in spherical coordinates is
$$\nabla^{2} \doteq \frac{1}{r}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\right) r$$

for then the above becomes ${ }^{2}$
$$\left(-k^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin (k r)}{k r}=0$$
Let us now include a potential $V(r)$, and work at very low energy. The separated $l=0$ Schrödinger equation, or $s$-wave equation, becomes
$$\left[\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} r-v(r)+k^{2}\right] \psi(r)=0 \quad ; v(r) \equiv \frac{2 m}{\hbar^{2}} V(r)$$
Let us define
$$\psi(r) \equiv \frac{u(r)}{r} \quad ; s \text {-wave }$$
The s-wave Schrödinger equation for $u(r)$ then becomes
$$\left[\frac{d^{2}}{d r^{2}}-v(r)+k^{2}\right] u(r)=0 \quad ; s \text {-wave eqn }$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Spherical Square Well

Let us solve the s-wave Schrödinger equation for an attractive square-well potential of the form
$$v(r)=-v_{0} \quad ; rd$$
where $\delta_{0}$ is the $s$-wave phase shift. Inside the potential, if we assume there is nó bơund-státé and kệ̂ just thê sôlution thât is nôn-singular at thê origin, we have
\begin{aligned} u_{\mathrm{in}}(r) &=B \sin (\kappa r) \quad ; r<d \ \kappa^{2} & \equiv k^{2}+v_{0} \end{aligned}
${ }^{2}$ The laplacian in spherical coordinates is actually
$$\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\theta}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\theta}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}$$
The first term is the same as in Eq. (4.10).

Upon equating the logarithmic derivative at the potential boundary, we obtain an equation for the phase shift $\delta_{0}(k)$
$$k \cot \left(k d+\delta_{0}\right)=\kappa \cot (\kappa d)$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Incident Plane Wave

ψ一世nC(X→)=和一世ķ→⋅X→;p→=⁇ķ→

(∇2+ķ2)ψ公司 (X→)=0

∫−11d因⁡θ磷l(因⁡θ)磷l′(因⁡θ)=22l+1dl,l′ 磷0(因⁡θ)=1;磷1(因⁡θ)=因⁡θ;磷2(因⁡θ)=12(3因2⁡θ−1) ; 等等

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|S-Wave Scattering

(∇2+ķ2)j0(ķr)=(∇2+ķ2)罪⁡(ķr)ķr=0

∇2≐1r(∂2∂r2)r

(−ķ2+ķ2)罪⁡(ķr)ķr=0

[1r∂2∂r2r−在(r)+ķ2]ψ(r)=0;在(r)≡2米⁇2在(r)

ψ(r)≡在(r)r;s-海浪
s 波薛定谔方程为在(r)然后变成

[d2dr2−在(r)+ķ2]在(r)=0;s-wave eqn

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Spherical Square Well

2球坐标中的拉普拉斯算子实际上是

∇2=1r2∂∂r(r2θ∂r)+1r2罪⁡θθ∂θ(罪⁡θ∂∂θ)+1r2罪2⁡θ∂2∂φ2

ķ婴儿床⁡(ķd+d0)=ķ婴儿床⁡(ķd)

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。