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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave functions
Before starting the analysis of our variational problem, let us introduce semiconcave functions, which are the central topic in this monograph and will play an important role later in this chapter. It is convenient to consider, first, a special class of semiconcave functions, while the general definition will be given in Chapter 2 .
Here and in what follows we write $[x, y]$ to denote the segment with endpoints $x, y$, for any $x, y \in \mathbb{R}^{n}$. Moreover, we denote by $x \cdot y$, or by $\langle x, y\rangle$, the Euclidean scalar product, and by $|x|$ the usual norm in $\mathbb{R}^{n}$. Furthermore, $B_{r}(x)$-and, at times, $B(x, r)$-stands for the open ball centered at $x$ with radius $r$. We will also use the abbreviated notation $B_{r}$ for $B_{r}(0)$.
Definition 1.1.1 Let $A \subset \mathbb{R}^{n}$ be an open set. We say that a function $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ is semiconcave with linear modulus if it is continuous in $A$ and there exists $C \geq 0$ such that
$$
u(x+h)+u(x-h)-2 u(x) \leq C|h|^{2}
$$
for all $x, h \in \mathbb{R}^{n}$ such that $[x-h, x+h] \subset A$. The constant $C$ above is called $a$ semiconcavity constant for $u$ in $S$.
Remark 1.1.2 The above definition is often taken in the literature as the definition of a semiconcave function. For us, instead, it is a particular case of Definition 2.1.1, where the right-hand side of $(1.1)$ is replaced by a term of the form $|h| \omega(|h|)$ for some function $\omega(*)$ such that $\omega(\rho) \rightarrow 0$ as $\rho \rightarrow 0$. The function $\omega$ is called modulus of semiconcavity, and therefore we say that a function which satisfies (1.1) is semiconcave with a linear modulus.
Semiconcave functions with a linear modulus admit some interesting characterizations, as the next result shows.
Proposition 1.1.3 Given $u: A \rightarrow \mathbb{R}$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open convex, and given $C \geq 0$, the following properties are equivalent:
(a) $u$ is semiconcave with a linear modulus in A with semiconcavity constant $C$;
(b) u satisfies
$$
\lambda u(x)+(1-\lambda) u(y)-u(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq C \frac{\lambda(1-\lambda)}{2}|x-y|^{2},
$$
for all $x, y$ such that $[x, y] \subset A$ and for all $\lambda \in[0,1]$;
(c) the function $x \rightarrow u(x)-\frac{C}{2}|x|^{2}$ is concave in $A$;
(d) there exist two functions $u_{1}, u_{2}: A \rightarrow \mathbb{R}$ such that $u=u_{1}+u_{2}, u_{1}$ is concave, $u_{2} \in C^{2}(A)$ and satisfies $\left|D^{2} u_{2}\right|_{\infty} \leq C$;
(e) for any $v \in \mathbb{R}^{n}$ such that $|v|=1$ we have $\frac{\partial^{2} u}{\partial v^{2}} \leq C$ in $A$ in the sense of distributions, that is
$$
\int_{A} u(x) \frac{\partial^{2} \phi}{\partial v^{2}}(x) d x \leq C \int_{A} \phi(x) d x, \quad \forall \phi \in C_{0}^{\infty}(A), \phi \geq 0
$$
(f) $u$ can be represented as $u(x)=\inf {i \in \mathcal{I}} u{i}(x)$, where $\left{u_{i}\right}_{i \in \mathcal{I}}$ is a family of functions of $C^{2}(A)$ such that $\left|D^{2} u_{i}\right|_{\infty} \leq C$ for all $i \in \mathcal{I}$.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A problem in the calculus of variations
We now start the analysis of our model problem. Given $0<T \leq+\infty$, we set $\left.Q_{T}=\right] 0, T\left[\times \mathbb{R}^{n}\right.$. We suppose that two continuous functions
$$
L: \bar{Q}{T} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, \quad u{0}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}
$$
are given. The function $L$ will be called the running cost, or lagrangian, while $u_{0}$ is called the initial cost. We assume that both functions are bounded from below.
For fixed $(t, x) \in \bar{Q}{T}$, we introduce the set of admissible arcs $$ \mathcal{A}(t, x)=\left{y \in W^{1,1}\left([0, t] ; \mathbb{R}^{n}\right): y(t)=x\right} $$ and the cost functional $$ J{t}[y]=\int_{0}^{t} L(s, y(s), \dot{y}(s)) d s+u_{0}(y(0)) .
$$
Then we consider the following problem:
$$
\text { minimize } J_{t}[y] \text { over all arcs } y \in \mathcal{A}(t, x) \text {. }
$$
Problems of this form are classical in the calculus of variations. In the case we are considering the initial endpoint of the admissible trajectories is free, and the terminal
one is fixed. Cases where the endpoints are both fixed or both free are also interesting and could be studied by similar techniques, but will not be considered here.
The first step in the dynamic programming approach to the above problem is the introduction of the value function.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|The Hopf formula
From now on we consider the special case of $L(t, x, q)=L(q)$ and $T=+\infty$. We assume that
$\left{\begin{array}{l}\text { (i) } L \text { is convex and } \lim {|q| \rightarrow \infty} \frac{L(q)}{|q|}=+\infty \ \text { (ii) } u{0} \in \operatorname{Lip}\left(\mathbb{R}^{n}\right) .\end{array}\right.$
Then we can show that the value function of our problem admits a simple representation formula called Hopf’s formula.
Theorem 1.3.1 Under hypotheses (1.9) the value function u satisfies
$$
u(t, x)=\min {z \in \mathbb{R}^{x}}\left[t L\left(\frac{x-z}{t}\right)+u{0}(z)\right]
$$
for all $(t, x) \in Q_{T}$.
Proof – Observe that the minimum in (1.10) exists thanks to hypotheses (1.9). Let us denote by $v(t, x)$ the left-hand side of $(1.10)$.
For fixed $(t, x) \in Q_{T}$ and $z \in \mathbb{R}^{n}$, let us set
$$
y(s)=z+\frac{s}{t}(x-z), \quad 0 \leq s \leq t .
$$
Then $y \in \mathcal{A}(t, x)$ and therefore
$$
u(t, x) \leq J_{t}[y]=t L\left(\frac{x-z}{t}\right)+u_{0}(z) .
$$
Taking the infimum over $z$ we obtain that $u(t, x) \leq v(t, x)$.
To prove the opposite inequality, let us take $\zeta \in \mathcal{A}(t, x)$. From Jensen’s inequality it follows that
$$
L\left(\frac{x-\zeta(0)}{t}\right)=L\left(\frac{1}{t} \int_{0}^{t} \dot{\zeta}(s) d s\right) \leq \frac{1}{t} \int_{0}^{t} L(\zeta(s)) d s
$$
and therefore
$$
v(t, x) \leq u_{0}(\zeta(0))+t L\left(\frac{x-\zeta(0)}{t}\right) \leq J_{t}[\zeta] .
$$
Taking the infimum over $\zeta \in \mathcal{A}(t, x)$ we conclude that $v(t, x) \leq u(t, x)$.
Using Hopf’s formula we can prove a first regularity property of $u$.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcave functions
在开始分析我们的变分问题之前，让我们介绍半凹函数，这是本专着的中心主题，将在本章后面发挥重要作用。首先考虑一类特殊的半凹函数很方便，而一般定义将在第 2 章中给出。
在这里和下面我们写[X,是的]用端点表示段X,是的, 对于任何X,是的∈Rn. 此外，我们表示X⋅是的，或由⟨X,是的⟩，欧几里得标量积，并由|X|通常的规范Rn. 此外，乙r(X)——而且，有时，乙(X,r)- 代表空心球X带半径r. 我们还将使用缩写符号乙r为了乙r(0).
定义 1.1.1 让一种⊂Rn是一个开集。我们说一个函数在:一种→R是半凹的，如果它是连续的，则具有线性模量一种并且存在C≥0这样
在(X+H)+在(X−H)−2在(X)≤C|H|2
对全部X,H∈Rn这样[X−H,X+H]⊂一种. 常数C上面叫做一种半凹常数为在在小号.
备注 1.1.2 上述定义在文献中常被视为半凹函数的定义。相反，对我们来说，这是定义 2.1.1 的一个特例，其中(1.1)被形式的术语替换|H|ω(|H|)对于某些功能ω(∗)这样ω(ρ)→0作为ρ→0. 功能ω称为半凹模量，因此我们说满足（1.1）的函数是具有线性模量的半凹函数。
具有线性模量的半凹函数承认一些有趣的特征，如下一个结果所示。
命题 1.1.3 给出在:一种→R， 和一种⊂Rn开凸，并且给定C≥0, 以下性质是等价的:
(a)在是半凹的，在 A 中具有线性模量，具有半凹常数C;
(b) 你满足
λ在(X)+(1−λ)在(是的)−在(λX+(1−λ)是的)≤Cλ(1−λ)2|X−是的|2,
对全部X,是的这样[X,是的]⊂一种并为所有人λ∈[0,1];
(c) 职能X→在(X)−C2|X|2是凹进去的一种;
(d) 存在两个功能在1,在2:一种→R这样在=在1+在2,在1是凹的，在2∈C2(一种)并满足|D2在2|∞≤C;
(e) 对于任何在∈Rn这样|在|=1我们有∂2在∂在2≤C在一种在分布的意义上，即
∫一种在(X)∂2φ∂在2(X)dX≤C∫一种φ(X)dX,∀φ∈C0∞(一种),φ≥0
（F）在可以表示为在(X)=信息一世∈一世在一世(X)， 在哪里\left{u_{i}\right}_{i \in \mathcal{I}}\left{u_{i}\right}_{i \in \mathcal{I}}是一个函数族C2(一种)这样|D2在一世|∞≤C对全部一世∈一世.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|A problem in the calculus of variations
我们现在开始分析我们的模型问题。给定0<吨≤+∞， 我们设置问吨=]0,吨[×Rn. 我们假设两个连续函数
大号:问¯吨×Rn→R,在0:Rn→R
给出。功能大号将被称为运行成本或拉格朗日，而在0称为初始成本。我们假设这两个函数都是从下面有界的。
对于固定(吨,X)∈问¯吨, 我们引入允许弧的集合\mathcal{A}(t, x)=\left{y \in W^{1,1}\left([0, t] ; \mathbb{R}^{n}\right): y(t) =x\右}\mathcal{A}(t, x)=\left{y \in W^{1,1}\left([0, t] ; \mathbb{R}^{n}\right): y(t) =x\右}和成本函数Ĵ吨[是的]=∫0吨大号(s,是的(s),是的˙(s))ds+在0(是的(0)).
然后我们考虑以下问题：
最小化 Ĵ吨[是的] 在所有弧上 是的∈一种(吨,X).
这种形式的问题是变分法中的经典问题。在我们考虑允许轨迹的初始端点是自由的情况下，终端
一个是固定的。端点都是固定的或都自由的情况也很有趣，可以通过类似的技术进行研究，但这里不予考虑。
上述问题的动态规划方法的第一步是引入价值函数。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|The Hopf formula
从现在开始，我们考虑特殊情况大号(吨,X,q)=大号(q)和吨=+∞. 我们假设
$\left{ （一世） 大号 是凸的并且 林|q|→∞大号(q)|q|=+∞ (二) 在0∈唇(Rn).\对。吨H和n在和C一种nsH这在吨H一种吨吨H和在一种l在和F在nC吨一世这n这F这在rpr这bl和米一种d米一世吨s一种s一世米pl和r和pr和s和n吨一种吨一世这nF这r米在l一种C一种ll和dH这pF′sF这r米在l一种.吨H和这r和米1.3.1在nd和rH是的p这吨H和s和s(1.9)吨H和在一种l在和F在nC吨一世这n在s一种吨一世sF一世和s在(吨,X)=分钟和∈RX[吨大号(X−和吨)+在0(和)]F这r一种ll(t, x) \in Q_{T}$。
证明——由于假设（1.9），观察到（1.10）中的最小值存在。让我们用在(吨,X)的左侧(1.10).
对于固定(吨,X)∈问吨和和∈Rn, 让我们设置
是的(s)=和+s吨(X−和),0≤s≤吨.
然后是的∈一种(吨,X)因此
在(吨,X)≤Ĵ吨[是的]=吨大号(X−和吨)+在0(和).
接管下确界和我们得到在(吨,X)≤在(吨,X).
为了证明相反的不等式，让我们取G∈一种(吨,X). 从 Jensen 不等式可以得出
大号(X−G(0)吨)=大号(1吨∫0吨G˙(s)ds)≤1吨∫0吨大号(G(s))ds
因此
在(吨,X)≤在0(G(0))+吨大号(X−G(0)吨)≤Ĵ吨[G].
接管下确界G∈一种(吨,X)我们得出结论在(吨,X)≤在(吨,X).
使用 Hopf 公式，我们可以证明在.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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