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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Homogeneous Random Walk
Here state space is given by
$$
\begin{aligned}
&S={\ldots,-2,-1,0,1,2 \ldots} \
&p_{i}=p, q_{i}=q \text { for all } i \geq 1 .
\end{aligned}
$$
This is an irreducible M.C. Hence by solidarity theorem it is enough to consider the state ${0}$ only. The $n$-step recurrence probability is
${0}$ is transient iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}<\infty$ and recurrent iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}=\infty$ (by Theorem 2.5) $$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c} 2 m \ m \end{array}\right) p^{m} q^{m} & \cong \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(4 p q)^{m}}{(\pi m)^{1 / 2}}<\infty \text { if } 4 p q<1 \\ &=\infty \text { if } 4 p q \geq 1 . \end{aligned} $$ (using Stirling’s approximation for $\left.m ! \cong \sqrt{2 \pi} e^{-m} m^{m+1 / 2}\right) 4 p q>1$ is impossible for if $4 p q>(p+q)^{2}$ then $0>(p-q)^{2}$.
Hence
$4 p q<1$ if $p \neq q$
$$
=1 \text { if } p=q=\frac{1}{2} \text {. }
$$
Therefore $\sum_{m=0}^{\infty} p_{00}^{(2 m)}$ converges faster than the geometric series $\sum_{m}(4 p q)^{m}$ if $p \neq 1 / 2$.
Hence Random walk is recurrent iff $p=\frac{1}{2}$ and transient iff $p \neq \frac{1}{2}$.
We have shown in Exercise $2.1$ that a symmetric Random walk in one dimension is recurrent. Similarly it can be proved that in 2 -dimensions a symmetric Random walk is recurrent. But Polya proved that in $k \geq 3$ dimensions a symmetric Random walk is transient.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chain
Definition 2.10 Let $d$ (i) be the greatest common divisor of those $n \geq 1$ for which $p_{i i}^{(n)}>0$. Then $d(i)$ is called the period of the state $i$. If $d(i)=1$, then the state $i$ is called aperiodic.
Note $i \leftrightarrow j$, then $d(i)=d(j)$.
There exists $n_{1}$ and $n_{2}$ such that $p_{i j}^{\left(n_{1}\right)}>0$ and $p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$.
Now $p_{i i}^{\left(n_{1}+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ and hence $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n_{2}$.
If $p_{j j}^{(n)}>0$, then $p_{i i}^{\left(n_{1}+n+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ (by Chapman Kolmogorov equation).
Hence, $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n+n_{2}$. So $d(i)$ must be a divisor of $n$ if $p_{j i}^{(n)}>0$.
Thus $d(i)$ is a divisor of $\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}$. Since $d(j)$ is the largest of such divisors, $d(i) \leq d(j)$. Hence, by symmetry $d(j) \leq d(i)$.
Hence $d(i)=d(j)$. Therefore having a period $d$ is a class property.
Note If $p_{i i}>0$, then $d(i)=1$ and this implies that a sufficient condition for an irreducible M.C. to be aperiodic is that $p_{i i}>0$ for some $i \in S$. Hence a queueing chain is aperiodic.
Theorem $2.7$ Limit Theorem (for diagonal elements)
Let $j$ be any state in a M.C. As $n \rightarrow \infty$.
(i) if $j$ is transient, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) if $j$ is null recurrent, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) if $j$ is positive (recurrent) and
(a) aperiodic, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_{j}}$ (mean recurrence time of $j$ )(b) periodic with period $d(j)$ then $p_{j j}^{(n d(j))} \rightarrow \frac{d(j)}{\mu_{j}}$. Write $d(j) / \mu_{j}=\pi_{j}$.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Stationary Distribution
Definition $2.10$ A probability distribution is $\left{v_{j}\right}$ (i.e. $v_{j} \geq 0, \sum_{j} v_{j}=1$ ) is called a stationary distribution for a Markov chain with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$ if
$v_{j}=\sum_{i} v_{i} p_{i j}$ for all $j=1,2, \ldots$
$=\sum_{i}\left(\sum_{k} v_{k} p_{k i}\right) p_{i j}$
$=\sum_{k} v_{k} \sum_{i} p_{k i} p_{i j} \quad$ (by Fubini’s Theorem)
$=\sum_{k} v_{k} p_{k j}^{(2)} \quad$ (by Chapman-Kolmogorov)
$\ldots=\sum_{k} v_{k} p_{k j}^{(n)} \quad$ (by induction)
Suppose a stationary distribution $\pi=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots\right)$ exists. Also suppose
$$
\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=\pi_{j} \geq 0 \text { for all } i \geq 1
$$
Then $\pi$ is called the steady state distribution of the M.C. with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$.
If the initial distribution $\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)$ is stationary, we have the marginal distribution of $X_{n}$ given by $a_{j}^{(n)}$ (i.e. $\left.a_{j}^{(n)}=P\left(X_{n}=j\right)\right)=\sum_{i} a_{j}^{(0)} a_{i j}^{(n)}=a_{j}^{(0)}$ (using (2.10)).
Thus, the unconditional (or marginal) distribution of $X_{n}$ is independent of $n$ and we may therefore say that the system (or the process) is in statistical equilibrium. Suppose conversely, that the distribution of $X_{n}$ is independent of $n$. Then the initial distribution $a_{0}=\left(a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, \ldots\right)$ i.e. $a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)=P\left(X_{1}=j\right)$ $=\sum_{i} a_{i}^{(0)} p_{i j}=a_{j}^{(1)}=\ldots$ and consequently, $a_{0}$ is a stationary distribution. Therefore the distribution of $X_{n}$ is independent of $n$ iff the initial distribution is a stationary distribution. Suppose (2.11) holds. Since $a_{j}^{(n)}=\sum_{i} a_{i}^{(0)} p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_{j}$, we see that the limiting distribution of $X_{n}$ is given by $\pi$.
In other words, we can say that if (2.11) holds and a stationary distribution $\pi$ as $n \rightarrow \infty$. Denote $\frac{1}{\mu_{j}}=\pi_{j}$.
贝叶斯网络代写
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Homogeneous Random Walk
这里状态空间由下式给出
小号=…,−2,−1,0,1,2… p一世=p,q一世=q 对全部 一世≥1.
这是一个不可约的 MC 因此，根据团结定理，考虑状态就足够了0只要。这n- 步复发概率是
0是瞬态的∑n=0∞磷00(n)<∞和复发当先∑n=0∞磷00(n)=∞（由定理 2.5）∑米=1∞(2米 米)p米q米≅∑米=1∞(4pq)米(圆周率米)1/2<∞ 如果 4pq<1=∞ 如果 4pq≥1.（使用斯特林的近似为米!≅2圆周率和−米米米+1/2)4pq>1如果是不可能的4pq>(p+q)2然后0>(p−q)2.
因此
4pq<1如果p≠q
=1 如果 p=q=12.
所以∑米=0∞p00(2米)收敛速度比几何级数快∑米(4pq)米如果p≠1/2.
因此随机游走是递归的p=12和瞬态当先p≠12.
我们在练习中展示了2.1一维的对称随机游走是循环的。类似地，可以证明在二维中对称随机游走是循环的。但是波利亚证明了ķ≥3尺寸对称随机游走是瞬态的。
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chain
定义 2.10 让d(i) 是那些的最大公约数n≥1为此p一世一世(n)>0. 然后d(一世)称为状态周期一世. 如果d(一世)=1，那么状态一世称为非周期性。
笔记一世↔j， 然后d(一世)=d(j).
那里存在n1和n2这样p一世j(n1)>0和pj一世(n2)>0.
现在p一世一世(n1+n2)≥p一世j(n1)pj一世(n2)>0因此d(一世)是一个除数n1+n2.
如果pjj(n)>0， 然后p一世一世(n1+n+n2)≥p一世j(n1)pjj(n)pj一世(n2)>0（通过查普曼科尔莫哥洛夫方程）。
因此，d(一世)是一个除数n1+n+n2. 所以d(一世)必须是的除数n如果pj一世(n)>0.
因此d(一世)是一个除数\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}. 自从d(j)是此类除数中最大的，d(一世)≤d(j). 因此，通过对称d(j)≤d(一世).
因此d(一世)=d(j). 因此有一个时期d是类属性。
注意如果p一世一世>0， 然后d(一世)=1这意味着不可约 MC 是非周期性的充分条件是p一世一世>0对于一些一世∈小号. 因此，排队链是非周期性的。
定理2.7极限定理（对角元素）
让j成为 MC As 中的任何状态n→∞.
(i) 如果j是瞬态的，那么pjj(n)→0
(ii) 如果j是零循环的，那么pjj(n)→0
(iii) 如果j是正的（经常性的）和
(a) 非周期性的，那么pjj(n)→1∑n=1∞nFjj(n)=1μj（平均复发时间j)(b) 有周期的周期性d(j)然后pjj(nd(j))→d(j)μj. 写d(j)/μj=圆周率j.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Stationary Distribution
定义2.10概率分布是\左{v_{j}\右}\左{v_{j}\右}（IE在j≥0,∑j在j=1) 称为具有转移矩阵的马尔可夫链的平稳分布(p一世j)如果
在j=∑一世在一世p一世j对全部j=1,2,…
=∑一世(∑ķ在ķpķ一世)p一世j
=∑ķ在ķ∑一世pķ一世p一世j（由富比尼定理）
=∑ķ在ķpķj(2)（查普曼-科尔莫哥洛夫）
…=∑ķ在ķpķj(n)（通过感应）
假设一个平稳分布圆周率=(圆周率1,圆周率2,…)存在。还假设
林n→∞p一世j(n)=圆周率j≥0 对全部 一世≥1
然后圆周率称为具有转移矩阵的 MC 的稳态分布(p一世j).
如果初始分布\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)是平稳的，我们有边际分布Xn由一种j(n)（IE一种j(n)=磷(Xn=j))=∑一世一种j(0)一种一世j(n)=一种j(0)（使用（2.10））。
因此，无条件（或边际）分布Xn独立于n因此我们可以说系统（或过程）处于统计平衡状态。假设相反，分布Xn独立于n. 然后是初始分布一种0=(一种1(0),一种2(0),…)IE一种j(0)=磷(X0=j)=磷(X1=j) =∑一世一种一世(0)p一世j=一种j(1)=…因此，一种0是平稳分布。因此分布Xn独立于n当且仅当初始分布是平稳分布。假设 (2.11) 成立。自从一种j(n)=∑一世一种一世(0)p一世j(n)→圆周率j，我们看到极限分布Xn是（谁）给的圆周率.
换句话说，我们可以说，如果 (2.11) 成立并且平稳分布圆周率作为n→∞. 表示1μj=圆周率j.
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。