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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Singularities of Semiconcave Functions
By a singular point, or singularity, of a semiconcave function $u$ we mean a point where $u$ is not differentiable. This chapter is devoted to the analysis of the set of all singular points for $u$, which is called singular set and is denoted here by $\Sigma(u)$. As we have already remarked, the singular set of a semiconcave function has zero measure by Rademacher’s theorem. However, we will see that much more detailed properties can be proved.
In Section $4.1$ we study the rectifiability properties of the singular set. We divide the singular points according to the dimension of the superdifferential of $u$ denoting by $\Sigma^{k}(u)$ the set of points $x$ such that $D^{+} u(x)$ has dimension $k$. Then we show that $\Sigma^{k}(u)$ is countably $(n-k)$-rectifiable for all integers $k=1, \ldots, n$. In particular, the whole singular set $\Sigma(u)$ is countably ( $n-1)$-rectifiable.
Sections $4.2$ and $4.3$ are devoted to the propagation of singularities for semiconcave functions: given a singular point $x_{0}$, we look for conditions ensuring that $x_{0}$ belongs to a connected component of dimension $v \geq 1$ of the singular set. We study first the propagation along Lipschitz arcs and then along Lipschitz manifolds of higher dimension. In general we find that a sufficient condition for the propagation of singularities from $x_{0}$ is that the inclusion $D^{*} u\left(x_{0}\right) \subset \partial D^{+} u\left(x_{0}\right)$ (see Proposition 3.3.4-(b) ) is strict.
As an application of the previous analysis, we study in Section $4.4$ some properties of the distance function from a closed set $S$. Using our propagation results, we show that the distance function has no isolated singularities except for the special case when the singularity is the center of a spherical connected component of the complement of $S$. In general, we show that a point $x_{0}$ which is singular for the distance function belongs to a connected set of singular points whose Hausdorff dimension is at least $n-k$, with $k=\operatorname{dim}\left(D^{+} d\left(x_{0}\right)\right)$.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Rectifiability of the singular sets
Throughout this chapter $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ is an open set and $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is a semiconcave function. We denote by $\Sigma(u)$ the set of points of $\Omega$ where $u$ is not differentiable and
we call it the singular set of $u$. In the following we use some notions from measure theory, like Hausdorff measures and rectifiable sets, which are recalled in Appendix A. 3 .
We know from Theorem 2.3.1-(ii) that $D u$ is a function with bounded variation if $u$ is semiconcave with a linear modulus. For functions of bounded variation one can introduce the jump set, whose rectifiability properties have been widely studied (see Appendix A. 6). We now show that the jump set of $D u$ coincides with the singular set $\Sigma(u)$. To this purpose we need two preliminary results. The first one is a lemma about approximate limits (see Definition A. 6.2).
Lemma 4.1.1 Let $w \in L^{1}(A)$, with $A \subset \mathbb{R}^{n}$ open, let $\bar{x} \in A$, and let ap $\lim {x \rightarrow \bar{x}} w(x)=\bar{w}$. Then for any $\theta \in \mathbb{R}^{n}$ with $|\theta|=1$ we can find a sequence $\left{x{k}\right} \subset A$ such that
$$
x_{k} \rightarrow \bar{x}, \quad \frac{x_{k}-\bar{x}}{\left|x_{k}-\bar{x}\right|} \rightarrow \theta, \quad w\left(x_{k}\right) \rightarrow \bar{w} \quad \text { as } k \rightarrow \infty
$$
Proof – For any $k \in \mathbb{N}$, let us define
$$
A_{k}=\left{x \in A \backslash{\bar{x}}:\left|\frac{x-\bar{x}}{|x-\bar{x}|}-\theta\right|<\frac{1}{k}\right} $$ Any such set $A_{k}$ is the intersection of $A$ with an open cone of vertex $\bar{x}$. Therefore $$ \lim {\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\text { meas }\left(B{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}\right)}{\rho^{n}}>0 .
$$
By the definition of approximate limit we have
$$
\lim {\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{meas}\left(\left{x \in B{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:|w(x)-\bar{w}|>1 / k\right}\right)}{\rho^{n}}=0 .
$$
Comparing the above relations we see that the set
$$
\left{x \in B_{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:|w(x)-\bar{w}| \leq 1 / k\right}
$$
is nonempty if $\rho$ is small enough. Thus, we can find $x_{k} \in A_{k}$ such that $\left|w\left(x_{k}\right)-\bar{w}\right| \leq$ $1 / k,\left|x_{k}-\bar{x}\right| \leq 1 / k$. Repeating this construction for all $k$ we obtain a sequence $\left{x_{k}\right}$ with the desired properties.
Next we give a result showing, roughly speaking, that for the gradient of a semiconcave function the notions of limit and of approximate limit coincide.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Propagation along Lipschitz arcs
Let $u$ be a semiconcave function in an open domain $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$. The rectiflability properties of $\Sigma(u)$, obtained in the previous section, can be regarded as “upper bounds” for $\Sigma(u)$. From now on, we shall study the singular set of $u$ trying to obtain “lower bounds” for such a set. In the rest of the chapter, we restrict our attention to semiconcave functions with a linear modulus.
Given a point $x_{0} \in \Sigma(u)$, we are interested in conditions ensuring the existence of other singular points approaching $x_{0}$. The following example explains the nature of such conditions.
Example 4.2.1 The functions
$$
u_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \quad u_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\left|x_{1}\right|-\left|x_{2}\right|
$$
are concave in $\mathbb{R}^{2}$, and $(0,0)$ is a singular point for both of them. Moreover, $(0,0)$ is the only singularity for $u_{1}$ while
$$
\Sigma\left(u_{2}\right)=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1} x_{2}=0\right}
$$
So, $(0,0)$ is the intersection point of two singular lines of $u_{2}$. Notice that $(0,0)$ has magnitude 2 with respect to both functions as
$$
\begin{gathered}
D^{+} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{2}^{2} \leq 1\right} \
D^{+} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right):\left|p_{1}\right| \leq 1,\left|p_{2}\right| \leq 1\right}
\end{gathered}
$$
The different structure of $\Sigma\left(u_{1}\right)$ and $\Sigma\left(u_{2}\right)$ in a neighborhood of $x_{0}$ is captured by the reachable gradients. In fact,
$$
\begin{gathered}
D^{} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=1\right}=\partial D^{+} u_{1}(0,0) \ D^{} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right):\left|p_{1}\right|=1,\left|p_{2}\right|=1\right} \neq \partial D^{+} u_{2}(0,0)
\end{gathered}
$$
In other words, the inclusion $D^{*} u(x) \subset \partial D^{+} u(x)$ (see Proposition 3.3.4(b)) is an equality for $u_{1}$ and a proper inclusion for $u_{2}$.
The above example suggests that a sufficient condition to exclude that $x_{0}$ is an isolated point of $\Sigma(u)$ should be that $D^{*} u\left(x_{0}\right)$ fails to cover the whole boundary of $D^{+} u\left(x_{0}\right)$. As we shall see, such a condition implies a much stronger property, namely that $x_{0}$ is the initial point of a Lipschitz singular arc.
In the following we call an arc a continuous map $\mathbf{x}:[0, \rho] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \rho>0$. We shall say that the arc $\mathbf{x}$ is singular for $u$ if the support of $\mathbf{x}$ is contained in $\Omega$ and $\mathbf{x}(s) \in \Sigma(u)$ for every $s \in[0, \rho]$. The following result describes the “arc structure” of the singular set $\Sigma(u)$.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Singularities of Semiconcave Functions
通过半凹函数的奇异点或奇异点在我们的意思是在不可微分。本章专门分析所有奇异点的集合在，称为奇异集，在此表示为Σ(在). 正如我们已经指出的，根据 Rademacher 定理，半凹函数的奇异集具有零测度。但是，我们将看到可以证明更详细的性质。
在部分4.1我们研究奇异集的可整流性。我们根据超微分的维数来划分奇异点在表示Σķ(在)点集X这样D+在(X)有维度ķ. 然后我们证明Σķ(在)是可数的(n−ķ)- 可对所有整数进行校正ķ=1,…,n. 特别是整个奇异集Σ(在)是可数的 (n−1)- 可纠正的。
部分4.2和4.3致力于半凹函数奇点的传播：给定一个奇点X0，我们寻找条件确保X0属于维度的连通分量在≥1的奇异集合。我们首先研究沿 Lipschitz 弧的传播，然后研究沿高维 Lipschitz 流形的传播。一般来说，我们发现奇点传播的充分条件X0是包含D∗在(X0)⊂∂D+在(X0)（见命题 3.3.4-(b) ）是严格的。
作为前面分析的应用，我们在第4.4闭集的距离函数的一些性质小号. 使用我们的传播结果，我们表明距离函数没有孤立的奇点，除了奇点是补集的球面连通分量的中心的特殊情况小号. 一般来说，我们证明一个点X0对于距离函数来说是奇异的属于一组连通的奇异点，其豪斯多夫维数至少为n−ķ， 和ķ=暗淡(D+d(X0)).
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Rectifiability of the singular sets
贯穿本章Ω⊂Rn是一个开集并且在:Ω→R是半凹函数。我们表示Σ(在)的点集Ω在哪里在不可微分并且
我们称它为单数在. 在下文中，我们使用了测度论中的一些概念，例如 Hausdorff 测度和可校正集，这些都在附录 A.3 中进行了回顾。
我们从定理 2.3.1-(ii) 知道D在是一个有界变化的函数，如果在是半凹的，具有线性模量。对于有界变化的函数，可以引入跳跃集，其可校正性已被广泛研究（见附录 A. 6）。我们现在证明跳跃集D在与奇异集重合Σ(在). 为此，我们需要两个初步结果。第一个是关于近似极限的引理（见定义 A. 6.2）。
引理 4.1.1 让在∈大号1(一种)， 和一种⊂Rn打开，让X¯∈一种, 并让 ap林X→X¯在(X)=在¯. 那么对于任何θ∈Rn和|θ|=1我们可以找到一个序列\left{x{k}\right} \subset A\left{x{k}\right} \subset A这样
Xķ→X¯,Xķ−X¯|Xķ−X¯|→θ,在(Xķ)→在¯ 作为 ķ→∞
证明——对于任何ķ∈ñ, 让我们定义
A_{k}=\left{x \in A \backslash{\bar{x}}:\left|\frac{x-\bar{x}}{|x-\bar{x}|}-\theta \right|<\frac{1}{k}\right}A_{k}=\left{x \in A \backslash{\bar{x}}:\left|\frac{x-\bar{x}}{|x-\bar{x}|}-\theta \right|<\frac{1}{k}\right}任何这样的集合一种ķ是的交集一种有一个开放的顶点圆锥X¯. 所以林ρ→0+ 测量 (乙ρ(X¯)∩一种ķ)ρn>0.
根据近似极限的定义，我们有
\lim {\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{meas}\left(\left{x \in B{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:| w(x)-\bar{w}|>1 / k\right}\right)}{\rho^{n}}=0 。\lim {\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{meas}\left(\left{x \in B{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:| w(x)-\bar{w}|>1 / k\right}\right)}{\rho^{n}}=0 。
比较上述关系，我们看到集合
\left{x \in B_{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:|w(x)-\bar{w}| \leq 1 / k\right}\left{x \in B_{\rho}(\bar{x}) \cap A_{k}:|w(x)-\bar{w}| \leq 1 / k\right}
如果是非空的ρ足够小。因此，我们可以找到Xķ∈一种ķ这样|在(Xķ)−在¯|≤ 1/ķ,|Xķ−X¯|≤1/ķ. 对所有人重复这种结构ķ我们得到一个序列\left{x_{k}\right}\left{x_{k}\right}具有所需的属性。
接下来我们给出一个结果，粗略地说，对于半凹函数的梯度，极限和近似极限的概念是一致的。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Propagation along Lipschitz arcs
让在是开域中的半凹函数Ω⊆Rn. 整流特性Σ(在)，在上一节中获得，可以看作是“上界”Σ(在). 从现在开始，我们将研究奇异集在试图获得这样一个集合的“下界”。在本章的其余部分，我们将注意力限制在具有线性模量的半凹函数上。
给定一个点X0∈Σ(在)，我们对确保存在其他奇异点的条件感兴趣X0. 以下示例解释了此类条件的性质。
示例 4.2.1 函数
在1(X1,X2)=−X12+X22,在2(X1,X2)=−|X1|−|X2|
凹入R2， 和(0,0)是他们两个的奇异点。而且，(0,0)是唯一的奇点在1尽管
\Sigma\left(u_{2}\right)=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1} x_{2}=0\right}\Sigma\left(u_{2}\right)=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1} x_{2}=0\right}
所以，(0,0)是两条奇异线的交点在2. 请注意(0,0)两个函数的幅度为 2
\begin{聚集} D^{+} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{ 2}^{2} \leq 1\right} \ D^{+} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right):\left| p_{1}\右| \leq 1,\left|p_{2}\right| \leq 1\right} \end{聚集}\begin{聚集} D^{+} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{ 2}^{2} \leq 1\right} \ D^{+} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right):\left| p_{1}\右| \leq 1,\left|p_{2}\right| \leq 1\right} \end{聚集}
不同的结构Σ(在1)和Σ(在2)在附近X0由可达梯度捕获。实际上，
\begin{聚集} D^{} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{2 }^{2}=1\right}=\partial D^{+} u_{1}(0,0) \ D^{} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{ 1}, p_{2}\right):\left|p_{1}\right|=1,\left|p_{2}\right|=1\right} \neq \partial D^{+} u_{ 2}(0,0) \end{聚集}\begin{聚集} D^{} u_{1}(0,0)=\left{\left(p_{1}, p_{2}\right): p_{1}^{2}+p_{2 }^{2}=1\right}=\partial D^{+} u_{1}(0,0) \ D^{} u_{2}(0,0)=\left{\left(p_{ 1}, p_{2}\right):\left|p_{1}\right|=1,\left|p_{2}\right|=1\right} \neq \partial D^{+} u_{ 2}(0,0) \end{聚集}
换句话说，包含D∗在(X)⊂∂D+在(X)（见命题 3.3.4(b)）是等式在1和适当的包含在2.
上面的例子表明一个充分条件可以排除X0是一个孤立点Σ(在)应该是这样D∗在(X0)未能覆盖整个边界D+在(X0). 正如我们将看到的，这样的条件意味着一个更强大的属性，即X0是 Lipschitz 奇异弧的起点。
下面我们称弧为连续映射X:[0,ρ]→Rn,ρ>0. 我们将说弧X是单数的在如果支持X包含在Ω和X(s)∈Σ(在)对于每个s∈[0,ρ]. 以下结果描述了奇异集合的“弧结构”Σ(在).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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