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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Viscosity solutions
Let $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ be an open set and let $H \in C\left(\Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\right)$. Let us again consider the general nonlinear first order equation
$$
H(x, u, D u)=0, \quad x \in \Omega \subset \mathbb{R}^{n},
$$
in the unknown $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. As usual, evolution equations can be recast in this form by considering time as an additional space variable.
As we have already mentioned, when one considers boundary value problems or Cauchy problems for equations of the above form, one finds that in general no global smooth solutions exist even if the data are smooth. On the other hand, the property of being a Lipschitz continuous function satisfying the equation almost everywhere is usually too weak to have uniqueness results. Therefore, a crucial step in the analysis is to give a notion of a generalized solution such that global existence and uniqueness results can be obtained. In Chapter 1 we have seen a class of problems which are well posed in the class of semiconcave solutions. Here we present the notion of a viscosity solution, which has a much wider range of applicability.
Definition 5.2.1 A function $u \in C(\Omega)$ is called a viscosity subsolution of equation (5.14) if, for any $x \in \Omega$, it satisfies
$$
H(x, u(x), p) \leq 0, \quad \forall p \in D^{+} u(x) .
$$
Similarly, we say that $u$ is a viscosity supersolution of equation (5.14) if, for any $x \in \Omega$, we have
$$
H(x, u(x), p) \geq 0, \quad \forall p \in D^{-} u(x)
$$
If u satisfies both of the above properties, it is called a viscosity solution of equation (5.14).
Observe that, by virtue of Proposition 3.1.7, condition (5.15) (resp. (5.16)) can be restated in an equivalent way by requiring
$$
H(x, u(x), D \phi(x)) \leq 0 \quad \text { (resp. } H(x, u(x), D \phi(x)) \geq 0 \text { ) }
$$
for any $\phi \in C^{1}(\Omega)$ such that $u-\phi$ has a local maximum (resp. minimum) at $x$.
We see that if $u$ is differentiable everywhere the notion of a viscosity solution coincides with the classical one since we have at any point $D^{+} u(x)=D^{-} u(x)=$ ${D u(x)}$. On the other hand, if $u$ is not differentiable everywhere, the definition of a viscosity solution includes additional requirements at the points of nondifferentiability. The reason for taking inequalities (5.15)-(5.16) as the definition of solution might not be clear at first sight, as well as the relation with the semiconcavity property considered in Chapter 1 . However, we will see that with this definition one can obtain existence and uniqueness results for many classes of Hamilton-Jacobi equations, and that the viscosity solution usually coincides with the one which is relevant for the applications, like the value function in optimal control. The relationship with semiconcavity will be examined in detail in the next section.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcavity and viscosity
We now analyze the relation between the notions of a semiconcave solution and a viscosity solution to Hamilton-Jacobi equations. We will see that the two notions are strictly related when the hamiltonian is a convex function of $D u$. We begin with the following result.
Proposition $5.3 .1$ Let u be a semiconcave function satisfying equation (5.14) almost everywhere. If $H$ is convex in the third argument, then $u$ is a viscosity solution of the equation.
Proof – As a first step. we show that $u$ satisfies the equation at all points of differentiability (our assumption is a priori slightly weaker). Let $u$ be differentiable at some $x_{0} \in \Omega$. Then there exists a sequence of points $x_{k}$ converging to $x_{0}$ such that
(i) $u$ is differentiable at $x_{k}$;
(ii) $H\left(x_{k}, u\left(x_{k}\right), D u\left(x_{k}\right)\right)=0$;
(iii) $D u\left(x_{k}\right)$ has a limit for $k \rightarrow \infty$.
From Proposition 3.3.4(a) we deduce that the limit of $D u\left(x_{k}\right)$ is $D u\left(x_{0}\right)$. By the continuity of $H$, the equation holds at $x_{0}$ as well.
Let us now take an arbitrary $x \in \Omega$ and check that (5.15) is satisfied. We first observe that
$$
H(x, u(x), p)=0, \quad \forall p \in D^{} u(x) $$ This follows directly from the definition of $D^{} u$, the continuity of $H$ and the property that the equation holds at the points of differentiability. Since $D^{+} u(x)$ is the convex hull of $D^{*} u(x)$ (see Theorem $3.3 .6$ ) and $H$ is convex, inequality (5.15) follows.
Now let us check inequality (5.16). For a given $x \in \Omega$, suppose that $D^{-} u(x)$ contains some vector $p$. Then, by Proposition 3.1.5(c) and Proposition 3.3.4(c), $u$ is differentiable at $x$ and $D u(x)=p$. Thus, $(5.16)$ holds as an equality by the first part of the proof.
Remark 5.3.2 A more careful analysis shows that the convexity of $H$ and the semiconcavity of $u$ play independent roles in the viscosity property. In fact, in the previous proof, the deduction that $u$ is a supersolution uses only semiconcavity and is valid also if $H$ is not convex. On the other hand, it is possible to prove (see see [110, p. 96] or [20, Prop. II.5.1]) that, if $H$ is convex, any Lipschitz continuous $u$ (not necessarily semiconcave) satisfying the equation almost everywhere is a viscosity subsolution of the equation.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Propagation of singularities
We now turn to the analysis of the singular set of semiconcave solutions to HamiltonJacobi equations. In Chapter 4 we have obtained results which are valid for any semiconcave function; here we focus our attention on semiconcave functions which are solutions to Hamilton-Jacobi equations and we obtain stronger results on the propagation of singularities in this case. As in the previous chapter, our discussion is restricted to semiconcave functions with linear modulus (some results in the case of a general modulus can be found in [1]).
We consider again an equation of the form
$$
F(x, u(x), D u(x))=0 \quad \text { a.e. in } \quad \Omega
$$
Throughout the rest of this chapter, $F: \bar{\Omega} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is a continuous function satisfying the following assumptions:
(Al) $p \mapsto F(x, u, p)$ is convex;
(A2) for any $(x, u) \in \Omega \times \mathbb{R}$ and any $p_{0}, p_{1} \in \mathbb{R}^{n}$,
$$
\left\lfloor p_{0}, p_{1}\right] \subset\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right} \quad \Longrightarrow \quad p_{0}=p_{1} .
$$
Condition (A2) requires that the 0 -level set $\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right}$ contains no straight line. Clearly, such a property holds, in particular, if $F$ is strictly convex with respect to $p$. Observe, however, that it also holds for functions like $F(x, u, p)=|p|$ which are not strictly convex.
Remark 5.4.1 In Proposition 5.3.1 we have seen that, under the convexity assumption (A1), any semiconcave function $u$ which solves equation (5.44) almost everywhere is also a viscosity solution of the equation. Thus, $u$ satisfies for all $x \in \Omega$
$$
\begin{array}{ll}
F(x, u(x), p)=0 & \forall p \in D^{*} u(x) \
F(x, u(x), p) \leq 0 & \forall p \in D^{+} u(x)
\end{array}
$$
The first result we prove is that condition (4.8) is necessary and sufficient for the propagation of a singularity at $x_{0}$, if $u$ is a semiconcave solution of (5.44). Notice that, for a general semiconcave function, (4.8) is only a sufficient condition.
Theorem 5.4.2 Let (A1) and (A2) be satisfied. Let $u \in \mathrm{SCL}{l o c}(\Omega)$ be a solution of (5.44) and let $x{0} \in \Sigma(u)$. Then, the following properties are equivalent:
(i) $\partial D^{+} u\left(x_{0}\right) \backslash D^{*} u\left(x_{0}\right) \neq \emptyset$;
(ii) there exist a sequence $x_{i} \in \Sigma(u) \backslash\left{x_{0}\right}$, converging to $x_{0}$, and a number $\delta>0$ such that diam $D^{+} u\left(x_{i}\right) \geq \delta$, for any $i \in \mathbb{N}$.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Viscosity solutions
让Ω⊂Rn是一个开集并且让H∈C(Ω×R×Rn). 让我们再次考虑一般的非线性一阶方程
H(X,在,D在)=0,X∈Ω⊂Rn,
在未知的在:Ω→R. 像往常一样，通过将时间视为额外的空间变量，可以以这种形式重铸进化方程。
正如我们已经提到的，当考虑上述形式的方程的边值问题或柯西问题时，人们会发现即使数据是平滑的，通常也不存在全局平滑解。另一方面，作为几乎处处满足方程的 Lipschitz 连续函数的性质通常太弱而无法得到唯一性结果。因此，分析中的一个关键步骤是给出一个广义解的概念，以便可以获得全局存在性和唯一性结果。在第 1 章中，我们已经看到了在半凹解类中很好地提出的一类问题。在这里，我们提出了粘度解决方案的概念，它具有更广泛的适用性。
定义 5.2.1 一个函数在∈C(Ω)被称为方程（5.14）的粘度子解，如果，对于任何X∈Ω, 满足
H(X,在(X),p)≤0,∀p∈D+在(X).
同样，我们说在是方程 (5.14) 的粘度超解，如果，对于任何X∈Ω， 我们有
H(X,在(X),p)≥0,∀p∈D−在(X)
如果 u 满足上述两个性质，则称为方程（5.14）的粘度解。
观察到，根据命题 3.1.7，条件 (5.15) (resp. (5.16)) 可以通过要求以等价方式重述
H(X,在(X),Dφ(X))≤0 （分别。 H(X,在(X),Dφ(X))≥0 )
对于任何φ∈C1(Ω)这样在−φ有一个局部最大值（分别是最小值）在X.
我们看到，如果在处处可微 粘度解的概念与经典解的概念一致，因为我们在任何时候都有D+在(X)=D−在(X)= D在(X). 另一方面，如果在不是处处可微的，粘度解的定义包括在不可微点处的附加要求。将不等式(5.15)-(5.16)作为解定义的原因，乍一看可能不太清楚，以及与第1章考虑的半凹性质的关系。然而，我们将看到，通过这个定义，我们可以获得许多类别的 Hamilton-Jacobi 方程的存在性和唯一性结果，并且粘度解通常与与应用相关的解一致，例如最优控制中的值函数。与半凹度的关系将在下一节中详细研究。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Semiconcavity and viscosity
我们现在分析 Hamilton-Jacobi 方程的半凹解和粘度解的概念之间的关系。我们将看到，当哈密顿是一个凸函数时，这两个概念是严格相关的D在. 我们从以下结果开始。
主张5.3.1令 u 是几乎处处满足方程 (5.14) 的半凹函数。如果H在第三个参数中是凸的，那么在是方程的粘度解。
证明——作为第一步。我们证明了在在所有可微点处满足方程（我们的假设先验稍弱）。让在在某些方面是可区分的X0∈Ω. 那么存在点序列Xķ收敛到X0这样
(i)在可微分于Xķ;
(二)H(Xķ,在(Xķ),D在(Xķ))=0;
㈢D在(Xķ)有一个限制ķ→∞.
从命题 3.3.4(a) 我们推断出D在(Xķ)是D在(X0). 通过连续性H，等式在X0以及。
现在让我们任意取X∈Ω并检查 (5.15) 是否满足。我们首先观察到
H(X,在(X),p)=0,∀p∈D在(X)这直接来自于D在, 的连续性H以及等式在可微点处所具有的性质。自从D+在(X)是凸包D∗在(X)（见定理3.3.6） 和H是凸的，不等式（5.15）如下。
现在让我们检查不等式（5.16）。对于给定的X∈Ω, 假设D−在(X)包含一些向量p. 然后，根据提案 3.1.5(c) 和提案 3.3.4(c)，在可微分于X和D在(X)=p. 因此，(5.16)由证明的第一部分成立。
备注 5.3.2 更仔细的分析表明，H和半凹度在在粘度特性中起独立作用。事实上，在前面的证明中，推论在是一个超解仅使用半凹性并且如果H不是凸的。另一方面，有可能证明（见 [110, p. 96] 或 [20, Prop. II.5.1]），如果H是凸的，任何 Lipschitz 连续的在（不一定是半凹的）几乎处处满足方程是方程的粘度子解。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Propagation of singularities
我们现在转向分析 HamiltonJacobi 方程的奇异半凹解集。在第 4 章中，我们得到了对任何半凹函数都有效的结果；在这里，我们将注意力集中在半凹函数上，它是 Hamilton-Jacobi 方程的解，并且在这种情况下，我们在奇点的传播上获得了更强的结果。与前一章一样，我们的讨论仅限于具有线性模量的半凹函数（在 [1] 中可以找到一般模量情况下的一些结果）。
我们再次考虑以下形式的方程
F(X,在(X),D在(X))=0 一个和在 Ω
在本章的其余部分，F:Ω¯×R×Rn→R是满足以下假设的连续函数：
(Al)p↦F(X,在,p)是凸的；
(A2) 对于任何(X,在)∈Ω×R和任何p0,p1∈Rn,
\left\lfloor p_{0}, p_{1}\right] \subset\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right} \quad \ Longrightarrow \quad p_{0}=p_{1} 。\left\lfloor p_{0}, p_{1}\right] \subset\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right} \quad \ Longrightarrow \quad p_{0}=p_{1} 。
条件 (A2) 要求 0 水平集\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right}\left{p \in \mathbb{R}^{n}: F(x, u, p)=0\right}不包含直线。显然，这样的性质特别成立，如果F是严格凸的p. 但是请注意，它也适用于以下功能F(X,在,p)=|p|不是严格凸的。
备注 5.4.1 在命题 5.3.1 中，我们已经看到，在凸性假设 (A1) 下，任何半凹函数在几乎处处求解方程 (5.44) 也是方程的粘度解。因此，在满足所有人X∈Ω
F(X,在(X),p)=0∀p∈D∗在(X) F(X,在(X),p)≤0∀p∈D+在(X)
我们证明的第一个结果是条件（4.8）对于奇点在X0， 如果在是 (5.44) 的半凹解。请注意，对于一般半凹函数，(4.8) 只是一个充分条件。
定理 5.4.2 令 (A1) 和 (A2) 满足。让在∈小号C大号l这C(Ω)是 (5.44) 的解并让X0∈Σ(在). 那么，以下性质是等价的：
(i)∂D+在(X0)∖D∗在(X0)≠∅;
(ii) 存在一个序列x_{i} \in \Sigma(u) \backslash\left{x_{0}\right}x_{i} \in \Sigma(u) \backslash\left{x_{0}\right}, 收敛到X0, 和一个数字d>0这样直径D+在(X一世)≥d, 对于任何一世∈ñ.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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