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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。
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统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s fundamental identity
Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ are i.i.d. r.v.s with $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}$ and $N$ is a stopping rule.
Let $F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x\right], F_{1}(x)=F(x)=P\left[X_{1} \leq x\right]$ and m.g.f. of $X_{1}$ is given by $\phi(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\theta x} d F(x)<\infty$ if $\phi(\sigma)<\infty$, where $\sigma=\operatorname{Re}(\theta)$ We also assume that $$ \phi(\sigma)<\infty \text { for all } \sigma,-\beta<\sigma<\alpha<\infty, \alpha, \beta>0
$$
Under these conditions, $P\left[e^{X}<1-\delta\right]>0$ and $P\left[e^{X}>1+\delta\right]>0, \delta>0$. $\phi(\theta)$ has a minimum at $\theta=\theta_{0} \neq 0$, where $\theta_{0}$ is the root of the equation $\phi(\theta)=1 .$
Wald’s Sequential Analysis presented the so-called Wald’s identify
$$
E\left(e^{\theta S_{N}} /[\phi(\theta)]^{N}\right)=1 \text { for } \phi(\theta)<\infty \text { and }|\phi(\theta)| \geq 1 \text {. }
$$
Actually we shall give the proof of a more general theorem in Random walk due to Miller and Kemperman (1961).
Define $F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}$ and the series $F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-b}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)$.
Then
$$
E\left(e^{\theta S_{N}} z^{N}\right)=1+[z \phi(\theta)-1] F(z, \theta) \text { for all } \theta
$$
which is known as Miller and Kemperman’s Identity.
If $\phi(q)=1 / z$ we get Wald’s Identify.
Proof Let $F_{0}(x)=\left{\begin{array}{lll}0 & \text { if } & x \leq 0 \ 1 & \text { if } & x \geq 0\end{array}\right.$
and $\quad F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], n \geq 1$
$$
=P\left[-ba \text { ) }
$$
is the joint probability that the time $N$ for absorption is $n$ and that the position reached when absorption occurs between $x$ and $x+d x$. Hence if we take Laplace transform with respect to $n$ and with respect to $x$ over absorbing states we have
$$
\begin{aligned}
E\left(e^{\theta S_{N}} z^{N}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n}\left(\int_{-\infty}^{-b} e^{\theta x} d F_{n}(x)+\int_{a}^{\infty} e^{\theta x} d F_{n}(x)\right) \
&=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}-\int_{-b}^{a}\right) e^{\theta x} d F_{n}(x) \
&=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\theta x} d F_{n}(x)-F(z, \theta)+1
\end{aligned}
$$
where $F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-h}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)$.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Fluctuation Theory
In this section $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots$ are i.i.d. r.v.s.
Theorem $3.3$ If $E\left|X_{i}\right|<\infty$, then $$ \begin{aligned} P[N(b)&<\infty]=1 \text { if } E X_{i} \leq 0 \ &<1 \text { if } E X_{i}>0
\end{aligned}
$$
For Proof see Chung and Fuchs (1951) and Chung and Ornstein (1962), Memoirs of American Math. Society.
Definition $3.2$ If $S$ is uncountable, and $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$ are Markov, $X_{i}$ ‘s being independent, then $x$ is called a possible value of the state space $S$ of the Markoy chain if there exits an $n$ such that
$P\left[\left|S_{n}-x\right|<\delta\right]>0$ for all $\delta>0$. A state $x$ is called recurrent if $P\left[\left|S_{n}-X\right|<\delta\right.$ i.o. $]=1$ i.e. $S_{n} \varepsilon(x-\delta, x+\delta)$ i.o. with probability one.
We shall conclude this section by stating two very important and famous theorems whose proofs are beyond the scope of this book.
Theorem 3.4 (Chung and Fuchs)
Either every state is recurrent or no state is recurrent. (ref. Spitzer-Random Walk (1962)).
Theorem $3.5$ (Chung and Ornstein)
If $E\left|X_{i}\right|<\infty$, then recurrent values exist iff $E\left(X_{i}\right)=0$.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements
Exercise 3.1 In a simple random walk with two absorbing barriers at 0 and a let the position $X_{n}$ at the $n$th step be given by $X_{n}=X_{n-1}+Z_{n}$ where $Z_{n}$ ‘s are i.i.d. r.vs. taking values 1 and $-1$ with corresponding probabilities $p$ and $q=1-p$. Let $\pi_{k}(n)$. be the probability of absorption at 0 of the random walk in $n$-steps starting from position $k$.
Show that the generating function $G_{k}(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \pi_{k}(n) s^{n},|s|>1$ is given by
$$
(q / p)^{k} \frac{\lambda_{1}^{u-k}(s)-\lambda_{2}^{a-k}(s)}{\lambda_{1}^{a}(s)-\lambda_{2}^{a}(s)}
$$
$$
\lambda_{1}(s)=\frac{1+\left(1-4 p q s^{2}\right)^{1 / 2}}{2 p s}, \lambda_{2}(s)=\frac{1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{1 / 2}}{2 p s} .
$$
Also show that
$$
\pi_{k}(n)=2^{n} p^{(n-k) / 2} q^{(n+k) / 2} \int_{0}^{1} \cos ^{n-1}(\pi x) \sin (\pi x) \sin (k \pi x) d x .
$$
What will be the value of $\pi_{k}(n)$ in case of simple absorbing barrier at 0 when playing against an infinitely rich opponent?
Exercise 3.2 In a random walk with two absorbing barriers at $-n$ and $a$, let the position $X_{n}$ at the $n$th step be given by $X_{n}=X_{n-1}+Z_{n}$. where $Z_{n}$ ‘s are i.i.d. r.v.s taking values 1 ,. $-1,0$ with corresponding probabilities $p, q, 1-p-q$.
If $f_{j a}^{(n)}=P\left(-b<X_{1}, X_{2}, \ldots . X_{n-1}<a, X_{n}=a \mid X_{0}=j\right)$,
Show that the generating function of $\left{f_{j a}^{(n)}\right}$ is given by
$$
F_{j a}(s)=\frac{\left[\lambda_{1}(s)\right]^{j+b}-\left[\lambda_{2}(s)\right]^{j+b}}{\left[\lambda_{1}(s)\right]^{a+b}-\left[\lambda_{2}(s)\right]^{a+b}}
$$
where $\lambda_{1}(s)$ and $\lambda_{2}(s)$ are the roots of the equation
$$
p s \lambda^{2}-\lambda[1-s(1-p q)]+q s=0 .
$$
If the random walk starts from the origin, what will be the expression of the generating function.
贝叶斯网络代写
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s fundamental identity
让X1,X2,…是 iidrvs小号n=X1+X2+…+Xn和ñ是停止规则。
让Fn(X)=磷[小号n≤X],F1(X)=F(X)=磷[X1≤X]和mgfX1是（谁）给的φ(θ)=∫−∞∞和θXdF(X)<∞如果φ(σ)<∞， 在哪里σ=关于(θ)我们还假设φ(σ)<∞ 对全部 σ,−b<σ<一种<∞,一种,b>0
在这些条件下，磷[和X<1−d]>0和磷[和X>1+d]>0,d>0. φ(θ)有一个最小值θ=θ0≠0， 在哪里θ0是方程的根φ(θ)=1.
Wald’s Sequential Analysis 提出了所谓的 Wald 标识
和(和θ小号ñ/[φ(θ)]ñ)=1 为了 φ(θ)<∞ 和 |φ(θ)|≥1.
实际上，由于 Miller 和 Kemperman (1961)，我们将证明随机游走中更一般的定理。
定义F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}和系列F(和,θ)=∑n=0∞和n∫−b一种和θXdFn(X).
然后
和(和θ小号ñ和ñ)=1+[和φ(θ)−1]F(和,θ) 对全部 θ
这被称为米勒和肯珀曼的身份。
如果φ(q)=1/和我们得到沃尔德的身份证明。
证明让 $F_{0}(x)=\left{0 如果 X≤0 1 如果 X≥0\对。一种nd\quad F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], n \geq 1=P\left[-ba \text { ) }=P\left[-ba \text { ) }一世s吨H和j这一世n吨pr这b一种b一世l一世吨是吨H一种吨吨H和吨一世米和ñF这r一种bs这rp吨一世这n一世sn一种nd吨H一种吨吨H和p这s一世吨一世这nr和一种CH和d在H和n一种bs这rp吨一世这n这CC在rsb和吨在和和nX一种ndx+dx.H和nC和一世F在和吨一种ķ和大号一种pl一种C和吨r一种nsF这r米在一世吨Hr和sp和C吨吨这n一种nd在一世吨Hr和sp和C吨吨这X这在和r一种bs这rb一世nGs吨一种吨和s在和H一种在和和(和θ小号ñ和ñ)=∑n=1∞和n(∫−∞−b和θXdFn(X)+∫一种∞和θXdFn(X)) =∑n=1∞和n(∫−∞∞−∫−b一种)和θXdFn(X) =∑n=1∞和n∫−∞∞和θXdFn(X)−F(和,θ)+1在H和r和F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-h}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)美元。
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Fluctuation Theory
在这个部分X1,X2,…,Xn,…是 iidrvs
定理3.3如果和|X一世|<∞， 然后磷[ñ(b)<∞]=1 如果 和X一世≤0 <1 如果 和X一世>0
证明见 Chung and Fuchs (1951) 和 Chung and Ornstein (1962), Memoirs of American Math。社会。
定义3.2如果小号是不可数的，并且小号n=X1+…+Xn是马尔可夫，X一世是独立的，那么X称为状态空间的可能值小号Markoy 链的如果存在n这样
磷[|小号n−X|<d]>0对全部d>0. 一个状态X称为循环如果磷[|小号n−X|<dio]=1IE小号ne(X−d,X+d)io 概率为 1。
我们将通过陈述两个非常重要且著名的定理来结束本节，它们的证明超出了本书的范围。
定理 3.4（Chung 和 Fuchs）
要么每个状态都是循环的，要么没有状态是循环的。（参考斯皮策随机游走（1962））。
定理3.5（钟和奥恩斯坦）
如果和|X一世|<∞，则当且存在重复值和(X一世)=0.
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements
练习 3.1 在一个简单的随机游走中，在 0 处有两个吸收障碍，让位置Xn在n第一步由下式给出Xn=Xn−1+从n在哪里从n是 iidrvs。取值 1 和−1有相应的概率p和q=1−p. 让圆周率ķ(n). 是随机游走在 0 处的吸收概率n- 从位置开始的步骤ķ.
证明生成函数Gķ(s)=∑n=0∞圆周率ķ(n)sn,|s|>1是（谁）给的
(q/p)ķλ1在−ķ(s)−λ2一种−ķ(s)λ1一种(s)−λ2一种(s)λ1(s)=1+(1−4pqs2)1/22ps,λ2(s)=1−(1−4pqs2)1/22ps.
也表明
圆周率ķ(n)=2np(n−ķ)/2q(n+ķ)/2∫01因n−1(圆周率X)罪(圆周率X)罪(ķ圆周率X)dX.
会有什么价值圆周率ķ(n)在与无限富有的对手比赛时，如果简单的吸收障碍为0？
练习 3.2 在有两个吸收障碍的随机游走中−n和一种, 让位置Xn在n第一步由下式给出Xn=Xn−1+从n. 在哪里从n是 iidrvs 取值 1 ,.−1,0有相应的概率p,q,1−p−q.
如果Fj一种(n)=磷(−b<X1,X2,….Xn−1<一种,Xn=一种∣X0=j),
证明生成函数\left{f_{j a}^{(n)}\right}\left{f_{j a}^{(n)}\right}是（谁）给的
Fj一种(s)=[λ1(s)]j+b−[λ2(s)]j+b[λ1(s)]一种+b−[λ2(s)]一种+b
在哪里λ1(s)和λ2(s)是方程的根
psλ2−λ[1−s(1−pq)]+qs=0.
如果随机游走从原点开始，生成函数的表达式是什么。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考
随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。