分类: 常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH289

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH289

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Reparametrization of Time

Suppose that $U$ is an open set in $\mathbb{R}^n, f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth function, and $g: U \rightarrow \mathbb{R}$ is a positive smooth function. What is the relationship among the solutions of the differential equations
$$
\begin{aligned}
\dot{x} & =f(x), \
\dot{x} & =g(x) f(x) ?
\end{aligned}
$$
The vector fields defined by $f$ and $g f$ have the same direction at each point in $U$, only their lengths are different. Thus, by our geometric interpretation of autonomous differential equations, it is intuitively clear that the differential equations (1.10) and (1.11) have the same phase portraits in $U$. This fact is a corollary of the next proposition.

Proposition 1.14. If $J \subset \mathbb{R}$ is an open interval containing the origin and $\gamma: J \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a solution of the differential equation (1.10) with $\gamma(0)=$ $x_0 \in U$, then the function $B: J \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
B(t)=\int_0^t \frac{1}{g(\gamma(s))} d s
$$
is invertible on its range $K \subseteq \mathbb{R}$. If $\rho: K \rightarrow J$ is the inverse of $B$, then the identity
$$
\rho^{\prime}(t)=g(\gamma(\rho(t))
$$
holds for all $t \in K$, and the function $\sigma: K \rightarrow \mathbb{R}^n$ given by $\sigma(t)=\gamma(\rho(t))$ is the solution of the differential equation (1.11) with initial condition $\sigma(0)=$ $x_0$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability and the Direct Method of Lyapunov

Let us consider a rest point $x_0$ for the autonomous differential equation
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
A continuous function $V: U \rightarrow \mathbb{R}$, where $U \subseteq \mathbb{R}^n$ is an open set with $x_0 \in U$, is called a Lyapunov function for the differential equation (1.15) at $x_0$ provided that

(i) $V\left(x_0\right)=0$,
(ii) $V(x)>0$ for $x \in U-\left{x_0\right}$,
(iii) the function $x \mapsto \operatorname{grad} V(x)$ is continuous for $x \in U-\left{x_0\right}$, and, on this set, $\dot{V}(x):=\operatorname{grad} V(x) \cdot f(x) \leq 0$.
If, in addition,
(iv) $\dot{V}(x)<0$ for $x \in U-\left{x_0\right}$
then $V$ is called a strict Lyapunov function.
Theorem $1.30$ (Lyapunov’s Stability Theorem). If $x_0$ is a rest point for the differential equation (1.15) and $V$ is a Lyapunov function for the system al $x_0$, then $x_0$ is slable. If, in addilion, $V$ is a slricl Lyapunov function, then $x_0$ is asymptotically stable.

The idea of Lyapunov’s method is very simple. In many cases the level sets of $V$ are “spheres” surrounding the rest point $x_0$ as in Figure 1.10. Suppose this is the case and let $\phi_t$ denote the flow of the differential equation (1.15). If $y$ is in the level set $\mathcal{S}c=\left{x \in \mathbb{R}^n: V(x)=c\right}$ of the function $V$, then, by the chain rule, we have that $$ \left.\frac{d}{d t} V\left(\phi_t(y)\right)\right|{t=0}=\operatorname{grad} V(y) \cdot f(y) \leq 0
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH289

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Reparametrization of Time

假设 $U$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n, f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是光滑函数,并且 $g: U \rightarrow \mathbb{R}$ 是正平滑函数。微分方程解之间的关 系是什么
$$
\dot{x}=f(x), \dot{x} \quad=g(x) f(x) ?
$$
由定义的矢量场 $f$ 和 $g f$ 在每个点都有相同的方向 $U$ ,只是它们的长度不同。因此,通过我们对自治微分方 程的几何解释,可以直观地看出微分方程 (1.10) 和 (1.11) 具有相同的相图 $U$. 这个事实是下一个命题的推 论。
提案 1.14。如果 $J \subset \mathbb{R}$ 是一个开区间,包含原点和 $\gamma: J \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是微分方程 (1.10) 的解,其中 $\gamma(0)=$ $x_0 \in U$ ,那么函数 $B: J \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
B(t)=\int_0^t \frac{1}{g(\gamma(s))} d s
$$
在其范围内是可逆的 $K \subseteq \mathbb{R}$. 如果 $\rho: K \rightarrow J$ 是的倒数 $B$ ,那么身份
$$
\rho^{\prime}(t)=g(\gamma(\rho(t))
$$
对所有人都适用 $t \in K$ ,和功能 $\sigma: K \rightarrow \mathbb{R}^n$ 由 $\sigma(t)=\gamma(\rho(t))$ 是具有初始条件的微分方程 (1.11) 的解 $\sigma(0)=x_0$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability and the Direct Method of Lyapunov

让我们考虑一个休息点 $x_0$ 对于自主微分方程
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
连续函数 $V: U \rightarrow \mathbb{R}$ ,在哪里 $U \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个开集 $x_0 \in U$ ,称为微分方程 (1.15) 的 Lyapunov 函数 $x_0$ 前提是
(一世) $V\left(x_0\right)=0$ ,
(ii) $V(x)>0$ 为了 $\mathrm{x} \backslash \mathrm{in} \mathrm{U}$-Veft{{_O\right } } \text { , }
(iii) 函数 $x \mapsto \operatorname{grad} V(x)$ 是连续的 $\mathrm{x} \backslash$ in U-\left{x_0\right } } \text { ,并且,在这个集合上, } $\dot{V}(x):=\operatorname{grad} V(x) \cdot f(x) \leq 0$
如果,此外,
(iv) $\dot{V}(x)<0$ 为了 $\mathrm{x} \backslash$ in U-\left } { \mathrm { x } _ { – } \text { 아ight } }
然后 $V$ 称为严格李亚普诺夫函数。
定理 $1.30$ (李亚普诺夫稳定性定理) 。如果 $x_0$ 是微分方程 (1.15) 的静止点,并且 $V$ 是系统 al 的 Lyapunov 函数 $x_0$ ,然后 $x_0$ 是平板。如果,此外, $V$ 是 slricl Lyapunov 函数,则 $x_0$ 是渐近稳定的。
Lyapunov 方法的思想非常简单。在许多情况下,水平集 $V$ 是围绕休息点的“球体” $x_0$ 如图 $1.10$ 所示。假设 是这种情况,让 $\phi_t$ 表示微分方程 (1.15) 的流向。如果 $y$ 在水平集中
$$
\frac{d}{d t} V\left(\phi_t(y)\right) \mid t=0=\operatorname{grad} V(y) \cdot f(y) \leq 0
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems

In this section we will describe a very important geometric interpretation of the autonomous differential equation
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
The function given by $x \mapsto(x, f(x))$ defines a vector field on $\mathbb{R}^n$ associated with the differential equation (1.7). Here the first component of the function specifies the base point and the second component specifies the vector at this base point. A solution $t \mapsto \phi(t)$ of (1.7) has the property that its tangent vector at each time $t$ is given by
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
In other words, if $\xi \in \mathbb{R}^n$ is on the orbit of this solution, then the tangent line to the orbit at $\xi$ is generated by the vector $(\xi, f(\xi))$, as depicted in Figure 1.1.

We have just mentioned two essential facts: $(i)$ There is a one-to-one correspondence between vector fields and autonomous differential equations. (ii) Every tangent vector to a solution curve is given by a vector in the vector field. These facts suggest that the geometry of the associated vector field is closely related to the geometry of the solutions of the differential equation when the solutions are viewed as curves in a Euclidean space. This geometric interpretation of the solutions of autonomous differential equations provides a deep insight into the general nature of the solutions of differential equations, and at the same time suggests the “geometric method” for studying differential equations: qualitative features expressed geometrically are paramount; analytic formulas for solutions are of secondary importance. Finally, let us note that the vector field associated with a differential equation is given explicitly. Thus, one of the main goals of the geometric method is to derive qualitative properties of solutions directly from the vector field without “solving” the differential equation.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Flows

An important property of the set of solutions of the autonomous differential equation (1.7),
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
is the fact that these solutions form a one-parameter group that defines a phase flow. More precisely, let us define the function $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ as follows: For $x \in \mathbb{R}^n$, let $t \mapsto \phi(t, x)$ denote the solution of the autonomous differential equation (1.7) such that $\phi(0, x)=x$.

We know that solutions of a differential equation may not exist for all $t \in \mathbb{R}$. However, for simplicity, let us assume that every solution does exist for all time. If this is the case, then each solution is called complete, and the fact that $\phi$ defines a one-parameter group is expressed concisely as follows:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
In view of this equation, if the solution starting at time zero at the point $x$ is continued until time $s$, when it reaches the point $\phi(s, x)$, and if a new solution at this point with initial time zero is continued until time $t$, then this new solution will reach the same point that would have been reached if the original solution, which started at time zero at the point $x$, is continued until time $t+s$.

The prototypical example of a flow is provided by the general solution of the ordinary differential equation $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. The solution is given by $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$, and it satisfies the group property
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
For the general case, let us suppose that $t \mapsto \phi(t, x)$ is the solution of the differential equation (1.7). Fix $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$, and define
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Geometric Interpretation of Autonomous Systems

在本节中,我们将描述自治微分方程的一个非常重要的几何解释
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
给出的函数 $x \mapsto(x, f(x))$ 定义一个矢量场 $\mathbb{R}^n$ 与微分方程 (1.7) 相关联。这里函数的第一个分量指定基 点,第二个分量指定该基点处的向量。一个解法 $t \mapsto \phi(t)(1.7)$ 的性质是它的切向量在每一时刻 $t$ 是(谁) 给的
$$
(\phi(t), \dot{\phi}(t))=(\phi(t), f(\phi(t))) .
$$
换句话说,如果 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 在这个解的轨道上,那么轨道的切线在 $\xi$ 由向量生成 $(\xi, f(\xi))$ ,如图 1.1 所示。
我们刚才提到了两个基本事实:(i)向量场与自治微分方程之间存在一一对应关系。(ii) 解曲线的每个切向 量由向量场中的向量给出。这些事实表明,当解被视为欧几里德空间中的曲线时,相关矢量场的几何形状 与微分方程解的几何形状密切相关。这种对自治微分方程解的几何解释提供了对微分方程解的一般性质的 深刻洞察,同时提出了研究微分方程的“几何方法”:用几何表达的定性特征是最重要的;解决方案的解析 公式是次要的。最后,让我们注意到与微分方程相关的矢量场是明确给出的。因此,几何方法的主要目标 之一是直接从向量场中导出解的定性性质,而无需“求解”微分方程。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Flows

自治微分方程 (1.7) 解集的一个重要性质,
$$
\dot{x}=f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n,
$$
事实上,这些解决方案形成了一个定义相流的单参数组。更准确地说,让我们定义函数 $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 如下: 对于 $x \in \mathbb{R}^n$ ,让 $t \mapsto \phi(t, x)$ 表示自治微分方程 (1.7) 的解,使得 $\phi(0, x)=x$
我们知道微分方程的解可能并不对所有人都存在 $t \in \mathbb{R}$. 然而,为简单起见,让我们假设每个解决方案确实 一直存在。如果是这种情况,那么每个解决方案都被称为完整的,并且事实是 $\phi$ 定义一个单参数组,简明 表达如下:
$$
\phi(t+s, x)=\phi(t, \phi(s, x)) .
$$
鉴于此等式,如果解从时间零开始于点 $x$ 一直持续到时间 $s$ ,当它到达点 $\phi(s, x)$ ,并且如果此时初始时间为 零的新解一直持续到时间 $t$ ,那么这个新的解决方案将达到与原始解决方案相同的点,原始解决方案从时间 零开始 $x$ ,一直持续到时间 $t+s$.
流的原型示例由常微分方程的通解提供 $\dot{x}=a x, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$. 解决方案由 $\phi\left(t, x_0\right)=e^{a t} x_0$ ,并且满 足群性质
$$
\phi\left(t+s, x_0\right)=e^{a(t+s)} x_0=e^{a t}\left(e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, e^{a s} x_0\right)=\phi\left(t, \phi\left(s, x_0\right)\right) .
$$
对于一般情况,让我们假设 $t \mapsto \phi(t, x)$ 是微分方程 (1.7) 的解。使固定 $s \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$ ,并定义
$$
\psi(t):=\phi(t+s, x), \quad \gamma(t):=\phi(t, \phi(s, x))
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Existence and Uniqueness

Let $J \subseteq \mathbb{R}, U \subseteq \mathbb{R}^n$, and $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^k$ be open subsets, and suppose that $f: J \times U \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth function. Here the term “smooth” means that the function $f$ is continuously differentiable. An ordinary differential equation (ODE) is an equation of the form
$$
\dot{x}=f(t, x, \lambda)
$$
where the dot denotes differentiation with respect to the independent variable $t$ (usually a measure of time), the dependent variable $x$ is a vector of state variables, and $\lambda$ is a vector of parameters. As convenient terminology, especially when we are concerned with the components of a vector differential equation, we will say that equation (1.1) is a system of differential equations. Also, if we are interested in changes with respect to parameters, then the differential equation is called a family of differential equations.
Example 1.1. The forced van der Pol oscillator
$$
\begin{aligned}
& \dot{x}_1=x_2, \
& \dot{x}_2=b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t
\end{aligned}
$$
is a differential equation with $J=\mathbb{R}, x=\left(x_1, x_2\right) \in U=\mathbb{R}^2$,
$$
\Lambda=\left{(a, b, \omega, \Omega):(a, b) \in \mathbb{R}^2, \omega>0, \Omega>0\right},
$$
and $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^2$ defined in components by
$$
\left(t, x_1, x_2, a, b, \omega, \Omega\right) \mapsto\left(x_2, b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t\right) .
$$
If $\lambda \in \Lambda$ is fixed, then a solution of the differential equation (1.1) is a function $\phi: J_0 \rightarrow U$ given by $t \mapsto \phi(t)$, where $J_0$ is an open subset of $J$, such that
$$
\frac{d \phi}{d t}(t)=f(t, \phi(t), \lambda)
$$
for all $t \in J_0$.
In this context, the words “trajectory,” “phase curve,” and “integral curve” are also used to refer to solutions of the differential equation (1.1). However, it is useful to have a term that refers to the image of the solution in $\mathbb{R}^n$. Thus, we define the orbit of the solution $\phi$ to be the set ${\phi(t) \in U$ : $\left.t \in J_0\right}$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Types of Differential Equations

Differential equations may be classified in several different ways. In this section we note that the independent variable may be implicit or explicit, and that higher order derivatives may appear.
An autonomous differential equation is given by
$$
\dot{x}=f(x, \lambda), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad \lambda \in \mathbb{R}^k ;
$$
that is, the function $f$ does not depend explicitly on the independent variable. If the function $f$ does depend explicitly on $t$, then the corresponding differential equation is called nonautonomous.

In physical applications, we often encounter equations containing second, third, or higher order derivatives with respect to the independent variable. These are called second order differential equations, third order differential equations, and so on, where the the order of the equation refers to the order of the highest order derivative with respect to the independent variable that appears explicitly. In this hierarchy, a differential equation is called a first order differential equation.

Recall that Newton’s second law-the rate of change of the linear momentum acting on a body is equal to the sum of the forces acting on the body -involves the second derivative of the position of the body with respect to time. Thus, in many physical applications the most common differential equations used as mathematical models are second order differential equations. For example, the natural physical derivation of van der Pol’s equation leads to a second order differential equation of the form
$$
\ddot{u}+b\left(u^2-1\right) \dot{u}+\omega^2 u=a \cos \Omega t .
$$
An essential fact is that every differential equation is equivalent to a first order system. To illustrate, let us consider the conversion of van der Pol’s equation to a first order system. For this, we simply define a new variable $v:=\dot{u}$ so that we obtain the following system:
$$
\begin{aligned}
\dot{u} & =v \
\dot{v} & =-\omega^2 u+b\left(1-u^2\right) v+a \cos \Omega t .
\end{aligned}
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Existence and Uniqueness

让 $J \subseteq \mathbb{R}, U \subseteq \mathbb{R}^n$ ,和 $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^k$ 是开子集,并假设 $f: J \times U \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是平滑函数。这里术语 “平 滑”意味着函数 $f$ 是连续可微的。常微分方程 (ODE) 是以下形式的方程
$$
\dot{x}=f(t, x, \lambda)
$$
其中点表示相对于自变量的微分 $t$ (通常是时间的度量),因变量 $x$ 是状态变量的向量,并且 $\lambda$ 是一个参数 向量。作为方便的术语,特别是当我们关注向量微分方程的分量时,我们会说方程 (1.1) 是一个微分方程 组。此外,如果我们对参数的变化感兴趣,则微分方程称为微分方程族。
示例 1.1。强制范德波尔振荡器
$$
\dot{x}_1=x_2, \quad \dot{x}_2=b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t
$$
是一个微分方程 $J=\mathbb{R}, x=\left(x_1, x_2\right) \in U=\mathbb{R}^2$ ,
ILambda $=\backslash$ eft $\left{\left(a, b\right.\right.$, Iomega, \Omega):(a, b) \in $\backslash m a t h b b{R}^{\wedge} 2$, lomega $>0$, \Omega $>0$ \right } } \text { , }
和 $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \times \Lambda \rightarrow \mathbb{R}^2$ 在组件中定义
$$
\left(t, x_1, x_2, a, b, \omega, \Omega\right) \mapsto\left(x_2, b\left(1-x_1^2\right) x_2-\omega^2 x_1+a \cos \Omega t\right) .
$$
如果 $\lambda \in \Lambda$ 是固定的,则微分方程 (1.1) 的解是一个函数 $\phi: J_0 \rightarrow U$ 由 $t \mapsto \phi(t)$ ,在哪里 $J_0$ 是一个 开子集 $J$, 这样
$$
\frac{d \phi}{d t}(t)=f(t, \phi(t), \lambda)
$$
对所有人 $t \in J_0$.
在这种情况下,”轨迹”、“相位曲线”和”积分曲线”等词也用于指代微分方程 (1.1) 的解。但是,使用一个术 语来引用解决方案的图像是很有用的 $\mathbb{R}^n$. 因此,我们定义解的轨道 $\phi$ 成为集合

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Types of Differential Equations

微分方程可以用几种不同的方式分类。在本节中,我们注意到自变量可能是隐式的或显式的,并且可能出 现高阶导数。
自主微分方程由下式给出
$$
\dot{x}=f(x, \lambda), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad \lambda \in \mathbb{R}^k ;
$$
即函数 $f$ 不明确依赖于自变量。如果函数 $f$ 确实明确地依赖于 $t$ ,则相应的微分方程称为非自治微分方程。
在物理应用中,我们经常遇到包含关于自变量的二阶、三阶或更高阶导数的方程。这些被称为二阶微分方 程、三阶微分方程等,其中方程的阶数是指相对于显式出现的自变量的最高阶导数的阶数。在这个层次 中,微分方程称为一阶微分方程。
回想一下牛顿第二定律一一作用在物体上的线性动量的变化率等于作用在物体上的力的总和一一涉及物体 位置相对于时间的二阶导数。因此,在许多物理应用中,用作数学模型的最常见的微分方程是二阶微分方 程。例如,van der Pol 方程的自然物理推导导致二阶微分方程的形式
$$
\ddot{u}+b\left(u^2-1\right) \dot{u}+\omega^2 u=a \cos \Omega t .
$$
一个重要的事实是每个微分方程都等价于一阶系统。为了说明,让我们考虑将 van der Pol 方程转换为一 阶系统。为此,我们只需定义一个新变量 $v:=\dot{u}$ 从而得到如下系统:
$$
\dot{u}=v \dot{v} \quad=-\omega^2 u+b\left(1-u^2\right) v+a \cos \Omega t .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

如果你也在 怎样代写常微分方程ordinary differential equation这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order equations

As already noted in the previous section, only very few ordinary differential equations are explicitly solvable. Fortunately, in many situations a solution is not needed and only some qualitative aspects of the solutions are of interest. For example, does it stay within a certain region, what does it look like for large $t$, etc.

Moreover, even in situations where an exact solution can be obtained, a qualitative analysis can give a better overview of the behavior than the formula for the solution. For example, consider the logistic growth model (Problem 1.16)
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h,
$$
which can be solved by separation of variables. To get an overview we plot the corresponding right hand side $f(x)=(1-x) x-h$ : Since the sign of $f(x)$ tells us in what direction the solution will move, all we have to do is to discuss the sign of $f(x)$ ! For $0<h<\frac{1}{4}$ there are two zeros $x_{1,2}=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1-4 h})$. If we start at one of these zeros, the solution will stay there for all $t$. If we start below $x_1$ the solution will decrease and converge to $-\infty$. If we start above $x_1$ the solution will increase and converge to $x_2$. If we start above $x_2$ the solution will decrease and again converge to $x_2$.

At $h=\frac{1}{4}$ a bifurcation occurs: The two zeros coincide $x_1=x_2$ but otherwise the analysis from above still applies. For $h>\frac{1}{4}$ there are no zeros and all solutions decrease and converge to $-\infty$.

So we get a complete picture just by discussing the sign of $f(x)$ ! More generally we have the following result for the first-order autonomous initial value problem (Problem 1.27)
$$
\dot{x}=f(x), \quad x(0)=x_0,
$$
where $f$ is such that solutions are unique (e.g. $f \in C^1$ ).
(i) If $f\left(x_0\right)=0$, then $x(t)=x_0$ for all $t$.
(ii) If $f\left(x_0\right) \neq 0$, then $x(t)$ converges to the first zero left $\left(f\left(x_0\right)<0\right)$ respectively right $\left(f\left(x_0\right)>0\right)$ of $x_0$. If there is no such zero the solution converges to $-\infty$, respectively $\infty$.

If our differential equation is not autonomous, the situation becomes a bit more involved. As a prototypical example let us investigate the differential equation
$$
\dot{x}=x^2-t^2 .
$$
It is of Riccati type and according to the previous section, it cannot be solved unless a particular solution can be found. But there does not seem to be a solution which can be easily guessed. (We will show later, in Problem 4.8, that it is explicitly solvable in terms of special functions.)

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order periodic equations

Some of the most interesting examples are periodic ones, where $f(t+1, x)=$ $f(t, x)$ (without loss we have assumed the period to be one). So let us consider the logistic growth model with a time dependent harvesting term
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
where $h \geq 0$ is some positive constant. In fact, we could replace $1-\sin (2 \pi t)$ by any nonnegative periodic function $g(t)$ and the analysis below will still hold.

The solutions corresponding to some initial conditions for $h=0.2$ are depicted below.

It looks like all solutions starting above some value $x_1$ converge to a periodic solution starting at some other value $x_2>x_1$, while solutions starting below $x_1$ diverge to $-\infty$.

They key idea is to look at the fate of an arbitrary initial value $x$ after precisely one period. More precisely, let us denote the solution which starts at the point $x$ at time $t=0$ by $\phi(t, x)$. Then we can introduce the Poincaré map via
$$
P(x)=\phi(1, x) .
$$
By construction, an initial condition $x_0$ will correspond to a periodic solution if and only if $x_0$ is a fixed point of the Poincaré map, $P\left(x_0\right)=x_0$. In fact, this follows from uniqueness of solutions of the initial value problem, since $\phi(t+1, x)$ again satisfies $\dot{x}=f(t, x)$ if $f(t+1, x)=f(t, x)$. So $\phi\left(t+1, x_0\right)=\phi\left(t, x_0\right)$ if and only if equality holds at the initial time $t=0$, that is, $\phi\left(1, x_0\right)=\phi\left(0, x_0\right)=x_0$.

We begin by trying to compute the derivative of $P(x)$ as follows. Set
$$
\theta(t, x)=\frac{\partial}{\partial x} \phi(t, x)
$$
and differentiate the differential equation
$$
\dot{\phi}(t, x)=(1-\phi(t, x)) \phi(t, x)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
with respect to $x$ (we will justify this step in Theorem 2.10). Then we obtain
$$
\dot{\theta}(t, x)=(1-2 \phi(t, x)) \theta(t, x)
$$
and assuming $\phi(t, x)$ is known we can use Problem $1.13$ to write down the solution
$$
\theta(t, x)=\exp \left(\int_0^t(1-2 \phi(s, x)) d s\right) .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH211

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order equations

如前一节所述,只有极少数常微分方程是可明确解的。幸运的是,在许多情况下,不需要解决方案,只对解决方案 的一些定性方面感兴趣。例如,它是否停留在某个区域内,它看起来像大 $t$ ,ETC。
此外,即使在可以获得精确解的情况下,定性分析也可以比解的公式更好地概述行为。例如,考虑逻辑增长模型 (问题 1.16)
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h,
$$
这可以通过变量分离来解决。为了获得概览,我们绘制相应的右侧 $f(x)=(1-x) x-h$ : 自从签到 $f(x)$ 告诉我 们解决方案将朝哪个方向发展,我们所要做的就是讨论 $f(x) !$ 为了 $0\frac{1}{4}$ 没有零点,所有解都 减少并收敛到 $-\infty$.
所以我们只要讨论 $f(x)$ ! 更一般地,对于一阶自主初始值问题(问题 1.27),我们有以下结果
$$
\dot{x}=f(x), \quad x(0)=x_0,
$$
在哪里 $f$ 是这样的解决方案是唯一的(例如 $f \in C^1$ ) 。
$(一)$ 如果 $f\left(x_0\right)=0$ ,然后 $x(t)=x_0$ 对所有人 $t$.
(ii) 如果 $f\left(x_0\right) \neq 0$ ,然后 $x(t)$ 收玫到左边的第一个零 $\left(f\left(x_0\right)<0\right)$ 分别对 $\left(f\left(x_0\right)>0\right)$ 的 $x_0$. 如果没有这样的 零,则解收敛到 $-\infty$ ,分别 $\infty$.
如果我们的微分方程不是自主的,情况就会变得更加复杂。作为一个典型的例子,让我们研究微分方程
$$
\dot{x}=x^2-t^2 .
$$
它是 Riccati 类型的,根据前面的部分,除非找到特定的解决方案,否则它无法解决。但似乎没有一个容易猜到的 解决方案。(我们将在后面的问题 $4.8$ 中证明,它可以用特殊函数显式解决。)

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Qualitative analysis of first-order periodic equations

一些最有趣的例子是周期性的,其中 $f(t+1, x)=f(t, x)$ (没有损失,我们假设周期为一)。因此,让我们考 虑具有时间相关收获项的逻辑增长模型
$$
\dot{x}(t)=(1-x(t)) x(t)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
在哪里 $h \geq 0$ 是一些正常数。事实上,我们可以替换 $1-\sin (2 \pi t)$ 由任何非负周期函数 $g(t)$ 下面的分析仍然成 立。
对应于一些初始条件的解 $h=0.2$ 如下图所示。
看起来所有解决方案都从某个值开始 $x_1$ 收敛到从某个其他值开始的周期解 $x_2>x_1$ ,而解决方案从下面开始 $x_1$ 发 散到 $-\infty$.
他们的关键思想是查看任意初始值的命运 $x$ 怙好在一个时期之后。更准确地说,让我们表示从点开始的解决方案 $x$ 有时 $t=0$ 经过 $\phi(t, x)$. 然后我们可以通过
$$
P(x)=\phi(1, x) .
$$
通过构造,初始条件 $x_0$ 将对应于周期解当且仅当 $x_0$ 是庞加莱图的一个不动点, $P\left(x_0\right)=x_0$. 事实上,这源于初 始值问题的解的唯一性,因为 $\phi(t+1, x)$ 再次满足 $\dot{x}=f(t, x)$ 如果 $f(t+1, x)=f(t, x)$. 所以 $\phi\left(t+1, x_0\right)=\phi\left(t, x_0\right)$ 当且仅当等式在初始时间成立 $t=0$ ,那是, $\phi\left(1, x_0\right)=\phi\left(0, x_0\right)=x_0$.
我们首先尝试计算 $P(x)$ 如下。放
$$
\theta(t, x)=\frac{\partial}{\partial x} \phi(t, x)
$$
并微分方程
$$
\dot{\phi}(t, x)=(1-\phi(t, x)) \phi(t, x)-h \cdot(1-\sin (2 \pi t)),
$$
关于 $x$ (我们将在定理 $2.10$ 中证明这一步的合理性)。然后我们得到
$$
\dot{\theta}(t, x)=(1-2 \phi(t, x)) \theta(t, x)
$$
并假设 $\phi(t, x)$ 已知我们可以使用问题 $1.13$ 写下解决方案
$$
\theta(t, x)=\exp \left(\int_0^t(1-2 \phi(s, x)) d s\right) .
$$

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH2410

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH2410

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First order autonomous equations

Let us look at the simplest (nontrivial) case of a first-order autonomous equation and let us try to find the solution starting at a certain point $x_0$ at time $t=0$ :
$$
\dot{x} f(x), \quad x(0) \quad x_0, \quad f \in C(\mathbb{R})
$$

We could of course also ask for the solution starting at $x_0$ at time $t_0$. However, once we have a solution $\phi(t)$ with $\phi(0)=x_0$, the solution $\psi(t)$ with $\psi\left(t_0\right)=x_0$ is given by a simple shift $\psi(t)=\phi\left(t-t_0\right)$ (this holds in fact for any autonomous equation – compare Problem 1.8).

This equation can be solved using a small ruse. If $f\left(x_0\right) \neq 0$, we can divide both sides by $f(x)$ and integrate both sides with respect to $t$ :
$$
\int_0^t \frac{\dot{x}(s) d s}{f(x(s))}=t \text {. }
$$
Abbreviating $F(x)=\int_{x_0}^x \frac{d y}{f(y)}$ we see that every solution $x(t)$ of $(1.20)$ must satisfy $F(x(t))=t$. Since $F(x)$ is strictly monotone near $x_0$, it can be inverted and we obtain a unique solution
$$
\phi(t)=F^{-1}(t), \quad \phi(0)=F^{-1}(0)=x_0,
$$
of our initial value problem. Here $F^{-1}(t)$ is the inverse map of $F(t)$.
Now let us look at the maximal interval of existence. If $f\left(x_0\right)>0$ (the case $f\left(x_0\right)<0$ follows analogously), then $f$ remains positive in some interval $\left(x_1, x_2\right)$ around $x_0$ by continuity. Define $T_{+}=\lim {x \uparrow x_2} F(x) \in(0, \infty], \quad$ respectively $\quad T{-}=\lim {x \downarrow x_1} F(x) \in[-\infty, 0)$. (1.23) Then $\phi \in C^1\left(\left(T{-}, T_{+}\right)\right)$and $$ \lim {t \uparrow T{+}} \phi(t)=x_2, \quad \text { respectively } \quad \lim {t \downarrow T{-}} \phi(t)=x_1 . $$ In particular, $\phi$ exists for all $t>0$ (resp. $t<0$ ) if and only if
$$
T_{+}=\int_{x_0}^{x_2} \frac{d y}{f(y)}=+\infty,
$$
that is, if $1 / f(x)$ is not integrable near $x_2$. Similarly, $\phi$ exists for all $t<0$ if and only if $1 / f(x)$ is not integrable near $x_1$.
Now let us look at some examples.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Finding explicit solutions

We have seen in the previous section, that some differential equations can be solved explicitly. Unfortunately, there is no general recipe for solving a given differential equation. Moreover, finding explicit solutions is in general impossible unless the equation is of a particular form. In this section I will show you some classes of first-order equations which are explicitly solvable.
The general idea is to find a suitable change of variables which transforms the given equation into a solvable form. Hence we want to review this concept first. Given the point with coordinates $(t, x)$, we may change to new coordinates $(s, y)$ given by
$$
s=\sigma(t, x), \quad y=\eta(t, x) .
$$
Since we do not want to lose information, we require this transformation to be invertible.

A given function $\phi(t)$ will be transformed into a function $\psi(s)$ which has to be obtained by eliminating $t$ from
$$
s=\sigma(t, \phi(t)), \quad \psi=\eta(t, \phi(t)) .
$$
Unfortunately this will not always be possible (e.g., if we rotate the graph of a function in $\mathbb{R}^2$, the refiult might not be the graph of a function). To avoid this problem we restrict our attention to the special case of fiber preserving transformations
$$
s=\sigma(t), \quad y=\eta(t, x)
$$
(which map the fibers $t=$ const to the fibers $s=$ const). Denoting the inverse transform by
$$
t=\tau(s), \quad x=\xi(s, y),
$$
a straightforward application of the chain rule shows that $\phi(t)$ satisfies
$$
\dot{x}=f(t, x)
$$
if and only if $\psi(s)=\eta(\tau(s), \phi(\tau(s)))$ satisfies
$$
\dot{y}=\dot{\tau}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}(\tau, \xi)+\frac{\partial \eta}{\partial x}(\tau, \xi) f(\tau, \xi)\right),
$$
where $\tau=\tau(s)$ and $\xi=\xi(s, y)$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH2410

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|First order autonomous equations

让我们看一下一阶自治方程的最简单 (非平凡) 情况,让我们尝试从某个点开始找到解 $x_0$ 有时 $t=0$ :
$$
\dot{x} f(x), \quad x(0) \quad x_0, \quad f \in C(\mathbb{R})
$$
我们当然也可以要求解决方案从 $x_0$ 有时 $t_0$. 但是,一旦我们有了解决方案 $\phi(t)$ 和 $\phi(0)=x_0$ ,解决方案 $\psi(t)$ 和 $\psi\left(t_0\right)=x_0$ 由一个简单的移位给出 $\psi(t)=\phi\left(t-t_0\right)$ (这实际上适用于任何自治方程一一比较问题 1.8) 。
这个方程可以用一个小技巧来解决。如果 $f\left(x_0\right) \neq 0$ ,我们可以将两边除以 $f(x)$ 并整合双方关于 $t$ :
$$
\int_0^t \frac{\dot{x}(s) d s}{f(x(s))}=t .
$$
缩写 $F(x)=\int_{x_0}^x \frac{d y}{f(y)}$ 我们看到每个解决方案 $x(t)$ 的 $(1.20)$ 必须满足 $F(x(t))=t$. 自从 $F(x)$ 附近是严格单调的 $x_0$ ,它可以被反转,我们得到一个唯一的解决方案
$$
\phi(t)=F^{-1}(t), \quad \phi(0)=F^{-1}(0)=x_0,
$$
我们的初值问题。这里 $F^{-1}(t)$ 是的逆映射 $F(t)$.
现在让我们看看存在的最大间隔。如果 $f\left(x_0\right)>0$ (案子 $f\left(x_0\right)<0$ 类似地遵循),然后 $f$ 在一段时间内保持积 极 $\left(x_1, x_2\right)$ 大约 $x_0$ 通过连续性。定义 $T_{+}=\lim x \uparrow x_2 F(x) \in(0, \infty]$, 分别 $T-=\lim x \downarrow x_1 F(x) \in[-\infty, 0)$. (1.23) 那么 $\phi \in C^1\left(\left(T-, T_{+}\right)\right)$和 $\lim t \uparrow T+\phi(t)=x_2, \quad$ respectively $\quad \lim t \downarrow T-\phi(t)=x_1$. 尤其是, $\phi$ 为所有人而存在 $t>0$ (分别。 $t<0$ ) 当且仅当
$$
T_{+}=\int_{x_0}^{x_2} \frac{d y}{f(y)}=+\infty
$$
也就是说,如果 $1 / f(x)$ 附近不可积 $x_2$. 相似地, $\phi$ 为所有人而存在 $t<0$ 当且仅当 $1 / f(x)$ 附近不可积 $x_1$. 现在让我们看一些例子。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Finding explicit solutions

我们在上一节中已经看到,一些微分方程可以显式求解。不幸的是,没有解决给定微分方程的通用方法。此外,除 非方程具有特定形式,否则通常不可能找到明确的解。在本节中,我将向您展示一些明确可解的一阶方程。
总体思路是找到合适的变量变化,将给定方程转换为可解形式。因此,我们想先回顾一下这个概念。给定坐标点 $(t, x)$ ,我们可能会改变到新的坐标 $(s, y)$ 由
$$
s=\sigma(t, x), \quad y=\eta(t, x) .
$$
由于我们不想至失信息,因此我们要求这种转换是可逆的。
给定函数 $\phi(t)$ 将转化为函数 $\psi(s)$ 这必须通过消除来获得 $t$ 从
$$
s=\sigma(t, \phi(t)), \quad \psi=\eta(t, \phi(t)) .
$$
不幸的是,这并不总是可能的(例如,如果我们在 $\mathbb{R}^2$ ,结果可能不是函数图)。为了避免这个问题,我们将注意 力限制在纤维保留变换的特殊情况上
$$
s=\sigma(t), \quad y=\eta(t, x)
$$
(映射纤维 $t=$ const 到纤维 $s=$ 常量)。将逆变换表示为
$$
t=\tau(s), \quad x=\xi(s, y),
$$
链式法则的直接应用表明 $\phi(t)$ 满足
$$
\dot{x}=f(t, x)
$$
当且仅当 $\psi(s)=\eta(\tau(s), \phi(\tau(s)))$ 满足
$$
\dot{y}=\dot{\tau}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}(\tau, \xi)+\frac{\partial \eta}{\partial x}(\tau, \xi) f(\tau, \xi)\right),
$$
在哪里 $\tau=\tau(s)$ 和 $\xi=\xi(s, y)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH3331

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH3331

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Newton’s equations

Let us begin with an example from physics. In classical mechanics a particle is described by a point in space whose location is given by a function

The derivative of this function with respect to time is the velocity of the particle
$$
v=\dot{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3
$$
and the derivative of the velocity is the acceleration
$$
a=\dot{v}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 .
$$
In such a model the particle is usually moving in an external force field
$$
F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
$$
which exerts a force $F(x)$ on the particle at $x$. The Newton’s second law states that, at each point $x$ in space, the force acting on the particle must be equal to the acceleration times the mass $m$ (a positive constant) of the particle, that is,
$$
m \ddot{x}(t)=F(x(t)), \quad \text { for all } t \in \mathbb{R} .
$$
Such a relation between a function $x(t)$ and its derivatives is called a differential equation. Equation (1.5) is of second order since the highest derivative is of second degree. More precisely, we have a system of differential equations since there is one for each coordinate direction.

In our case $x$ is called the dependent and $t$ is called the independent variable. It is also possible to increase the number of dependent variables by adding $v$ to the dependent variables and considering $(x, v) \in \mathbb{R}^6$. The advantage is, that we now have a first-order system
$$
\begin{aligned}
\dot{x}(t) &=v(t) \
\dot{v}(t) &=\frac{1}{m} F(x(t)) .
\end{aligned}
$$
This form is often better suited for theoretical investigations.
For given force $F$ one wants to find solutions, that is functions $x(t)$ that satisfy (1.5) (respectively (1.6)). To be more specific, let us look at the motion of a stone falling towards the earth. In the vicinity of the surface of the earth, the gravitational force acting on the stone is approximately constant and given by
$$
F(x)=-m g\left(\begin{array}{l}
0 \
0 \
1
\end{array}\right) \text {. }
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Classification of differential equations

Let $U \subseteq \mathbb{R}^m, V \subseteq \mathbb{R}^n$ and $k \in \mathbb{N}_0$. Then $C^k(U, V)$ denotes the set of functions $U \rightarrow V$ having continuous derivatives up to order $k$. In addition, we will abbreviate $C(U, V)=C^0(U, V)$ and $C^k(U)=C^k(U, \mathbb{R})$.

A classical ordinary differential equation (ODE) is a relation of the form
$$
F\left(t, x, x^{(1)}, \ldots, x^{(k)}\right)=0
$$
for the unknown function $x \in C^k(J), J \subseteq \mathbb{R}$. Here $F \in C(U)$ with $U$ an open subset of $\mathbb{R}^{k+2}$ and
$$
x^{(k)}(t)=\frac{d^k x(t)}{d t^k}, \quad k \in \mathbb{N}_0,
$$
are the ordinary derivatives of $x$. One frequently calls $t$ the independent and $x$ the dependent variable. The highest derivative appearing in $F$ is called the order of the differential equation. A solution of the ODE (1.12) is a function $\phi \in C^k(I)$, where $I \subseteq J$ is an interval, such that
$$
F\left(t, \phi(t), \phi^{(1)}(t), \ldots, \phi^{(k)}(t)\right)=0, \quad \text { for all } t \in I \text {. }
$$
This implicitly implies $\left(t, \phi(t), \phi^{(1)}(t), \ldots, \phi^{(k)}(t)\right) \in U$ for all $t \in I$.
Unfortunately there is not too much one can say about general differential equations in the above form (1.12). Hence we will assume that one can solve $F$ for the highest derivative, resulting in a differential equation of the form
$$
x^{(k)}=f\left(t, x, x^{(1)}, \ldots, x^{(k-1)}\right)
$$
By the implicit function theorem this can be done at least locally near some point $(t, y) \in U$ if the partial derivative with respect to the highest derivative does not vanish at that point, $\frac{\partial F}{\partial y_k}(t, y) \neq 0$. This is the type of differential equations we will consider from now on.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH3331

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Newton’s equations

让我们从物理学中的一个例子开始。在经典力学中,粒子由空间中的一个点来描述,该点的位置由函数给出
这个函数对时间的导数就是粒子的速度
$$
v=\dot{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3
$$
速度的导数就是加速度
$$
a=\dot{v}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 .
$$
在这样的模型中,粒子通常在外力场中运动
$$
F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
$$
施加力 $F(x)$ 在粒子上 $x$. 牛顿第二定律指出,在每一点 $x$ 在太空中,作用在粒子上的力必须等于加速度乘以质量 $m$ 粒子的 (正常数),即 $m \ddot{x}(t)=F(x(t)), \quad$ for all $t \in \mathbb{R}$.
函数之间的这种关系 $x(t)$ 其导数称为微分方程。方程 $(1.5)$ 是二阶的,因为最高导数是二阶的。更准确地说,我 们有一个微分方程系统,因为每个坐标方向都有一个。
在我们的例子中 $x$ 被称为依赖和 $t$ 称为自变量。也可以通过添加来增加因变量的数量 $v$ 到因变量并考虑 $(x, v) \in \mathbb{R}^6$. 优点是,我们现在有一个一阶系统
$$
\dot{x}(t)=v(t) \dot{v}(t) \quad=\frac{1}{m} F(x(t)) .
$$
这种形式通常更适合理论研究。
对于给定的力 $F$ 一个人想找到解决方案,那就是函数 $x(t)$ 满足 (1.5) (分别为 (1.6)) 。更具体地说,让我们看 一下石头落向地球的运动。在地球表面附近,作用在石头上的重力近似恒定,由下式给出
$$
F(x)=-m g\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Classification of differential equations

让 $U \subseteq \mathbb{R}^m, V \subseteq \mathbb{R}^n$ 和 $k \in \mathbb{N}_0$. 然后 $C^k(U, V)$ 表示函数集 $U \rightarrow V$ 有连续的衍生品订单 $k$. 此外,我们将缩写 $C(U, V)=C^0(U, V)$ 和 $C^k(U)=C^k(U, \mathbb{R})$.
经典常微分方程 (ODE) 是以下形式的关系
$$
F\left(t, x, x^{(1)}, \ldots, x^{(k)}\right)=0
$$
对于末知函数 $x \in C^k(J), J \subseteq \mathbb{R}$. 这里 $F \in C(U)$ 和 $U$ 的一个开放子集 $\mathbb{R}^{k+2}$ 和
$$
x^{(k)}(t)=\frac{d^k x(t)}{d t^k}, \quad k \in \mathbb{N}_0,
$$
是的普通导数 $x$.一个经常打电话 $t$ 独立和 $x$ 因变量。出现的最高导数 $F$ 称为微分方程的阶数。ODE (1.12) 的解是一 个函数 $\phi \in C^k(I)$ , 在哪里 $I \subseteq J$ 是一个区间,使得
$$
F\left(t, \phi(t), \phi^{(1)}(t), \ldots, \phi^{(k)}(t)\right)=0, \quad \text { for all } t \in I .
$$
这隐含地暗示 $\left(t, \phi(t), \phi^{(1)}(t), \ldots, \phi^{(k)}(t)\right) \in U$ 对所有人 $t \in I$.
不幸的是,对于上述形式 (1.12) 的一般溦分方程,没有太多可以说的。因此,我们假设可以解决 $F$ 对于最高导数, 得到形式为的微分方程
$$
x^{(k)}=f\left(t, x, x^{(1)}, \ldots, x^{(k-1)}\right)
$$
根据隐函数定理,这至少可以在某个点附近局部完成 $(t, y) \in U$ 如果关于最高导数的偏导数在该点没有消失, $\frac{\partial F}{\partial y_k}(t, y) \neq 0$. 这是我们从现在开始考虑的微分方程类型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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