分类: 数值分析代写

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving linear systems of equations

The need to solve systems of linear equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ arises across nearly all of engineering and science, business, statistics, economics, and many other fields. In a standard undergraduate linear algebra course, we have learned how to solve this problem using Gaussian Elimination (GE). We will show here how such a procedure is equivalent to an LU factorization of the coefficient matrix A, followed by a forward and a back substitution. To achieve stability of the factorization in computer arithmetic, a strategy called pivoting is necessary, which leads to the LU factorization with partial pivoting. This is the standard direct method for solving linear systems where $\mathbf{A}$ is a dense matrix.

Linear systems with large and sparse (most entries are zero) coefficient matrices arise often in numerical solution methods of differential equations, for example, by the finite element and finite difference discretizations. State-of-the-art direct methods can nowadays efficiently solve such linear systems up to an order of a few million, using advanced strategies to keep the LU factors as sparse as possible and the factorization stable. However, problems of ever-increasing dimension need be tackled, and sparse linear systems of order tens of millions to billions have become more routine. To efficiently solve these large systems approximately, iterative methods such as the Conjugate Gradient (CG) method are typically used, and on sufficiently large problems, can be advantageous over direct methods.

This chapter will mainly focus on direct methods but will also discuss the CG method. “Linear solvers” has become a vast field and is a very active research area. We aim here to provide a fundamental understanding of the basic types of solvers, but note that we are just scratching the surface, in particular for iterative methods.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving triangular linear systems

Consider a system of linear equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, where the coefficient matrix $\mathbf{A}$ is square and nonsingular. Recall that the GE procedure gradually eliminates all entries in the coefficient matrix below the main diagonal by elementary row operations, until the modified coefficient matrix becomes an upper triangular matrix U. The solution remains unchanged during the entire procedure. In this section, we consider how to solve a linear system where the coefficient matrix is upper or lower triangular. The procedure of elimination will be reviewed and explored in the new perspective of matrix factorization in the next section.

Example 3 (Back substitution for an upper triangular system). Consider the linear system $x_1+2 x_2+3 x_3=2,4 x_2+5 x_3=3$ and $6 x_3=-6$. It can be written in matrix form as $$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
& 4 & 5 \
& & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \
3 \
-6
\end{array}\right)
$$
where the coefficient matrix is upper triangular. To solve this linear system, we start from the last equation $6 x_3=-6$, which immediately gives $x_3=\frac{-6}{6}=-1$.

Then, from the second equation $4 x_2+5 x_3=3$, we get $x_2=\frac{3-5 x_3}{4}=2$. Finally, the first equation $x_1+2 x_2+3 x_3=2$ leads to $x_1=2-2 x_2-3 x_3=1$.

This procedure illustrates the general procedure of back substitution. Given an upper triangular linear system with nonzero diagonal entries
$$
\mathbf{U x}=\left(\begin{array}{cccc}
u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1 n} \
& \ddots & \ddots & \vdots \
& & u_{(n-1)(n-1)} & u_{(n-1) n} \
& & & u_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \
\vdots \
x_{n-1} \
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1 \
\vdots \
b_{n-1} \
b_n
\end{array}\right),
$$
we start with the last equation and evaluate $x_n=\frac{b_n}{u_{n n}}$ directly, then substitute it into the previous equation and compute $x_{n-1}=\frac{b_{n-1}-u_{(n-1)} x_{n n}}{u_{(n-1)}(n-1)}$. Assume in general that we have already solved for $x_{i+1}, \ldots, x_n$, then $x_i=\frac{\left.b_i-\sum_{i-i+1}^n u_{i j} x_i-1\right)}{u_{i i}}$ can be evaluated. We continue until the value of $x_1$ is found.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving linear systems of equations

需要求解线性方程组一种X=b几乎所有的工程和科学、商业、统计学、经济学和许多其他领域都会出现。在标准的本科线性代数课程中,我们已经学习了如何使用高斯消去法 (GE) 来解决这个问题。我们将在这里展示这样的过程如何等效于系数矩阵 A 的 LU 分解,然后是前向和反向代换。为了在计算机算法中实现因式分解的稳定性,需要一种称为主元的策略,这导致了具有部分主元的 LU 因式分解。这是求解线性系统的标准直接方法,其中一种是稠密矩阵。

具有大而稀疏(大多数条目为零)系数矩阵的线性系统经常出现在微分方程的数值求解方法中,例如,通过有限元和有限差分离散化。最先进的直接方法现在可以有效地解决这种高达数百万数量级的线性系统,使用先进的策略来保持 LU 因子尽可能稀疏和分解稳定。然而,维数不断增加的问题需要解决,数千万到数十亿数量级的稀疏线性系统变得更加常规。为了有效地近似求解这些大型系统,通常使用共轭梯度 (CG) 方法等迭代方法,并且在足够大的问题上,可能优于直接方法。

本章将主要关注直接方法,但也会讨论 CG 方法。“线性求解器”已经成为一个广阔的领域,是一个非常活跃的研究领域。我们的目标是提供对求解器基本类型的基本理解,但请注意,我们只是触及表面,特别是对于迭代方法。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving triangular linear systems

考虑一个线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$, 其中系数矩阵 $\mathbf{A}$ 是正方形且非奇异的。回想一下, $\mathrm{GE}$ 过程通过初等行操 作逐渐消除主对角线下方系数矩阵中的所有条目,直到修改后的系数矩阵变为上三角矩阵 $U$ 。在整个过程 中解保持不变。在本节中,我们考虑如何求解系数矩阵为上三角或下三角的线性系统。下一节将在矩阵分 解的新视角中回顾和探讨消元法。
示例 3 (上三角系统的反向替换)。考虑线性系统 $x_1+2 x_2+3 x_3=2,4 x_2+5 x_3=3$ 和 $6 x_3=-6$. 可以写成矩阵形式为
$$
\left(\begin{array}{llllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
2 & 3 & -6
\end{array}\right)
$$
其中系数矩阵是上三角矩阵。为了解决这个线性系统,我们从最后一个方程开始 $6 x_3=-6$, 立即给出 $x_3=\frac{-6}{6}=-1$
那么,从第二个等式 $4 x_2+5 x_3=3$ ,我们得到 $x_2=\frac{3-5 x_3}{4}=2$. 最后,第一个方程 $x_1+2 x_2+3 x_3=2$ 造成 $x_1=2-2 x_2-3 x_3=1$.
此过程说明了反向替换的一般过程。给定一个具有非零对角元素的上三角线性系统
我们从最后一个等式开始并评估 $x_n=\frac{b_n}{u_{n n}}$ 直接代入上式计算 $x_{n-1}=\frac{b_{n-1}-u_{(n-1)} x_{n n}}{u_{(n-1)}(n-1)}$.一般假设我们已经 解决了 $x_{i+1}, \ldots, x_n$ ,然后 $x_i=\frac{\left.b_i-\sum_{i-i+1}^n u_{i j} x_i-1\right)}{u_{i i}}$ 可以评估。我们继续直到价值 $x_1$ 被发现。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH3003

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH3003

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|bit floating-point numbers

By far the most common computer number representation system is the 64-bit “double” floating-point number system. This is the default used by all major mathematical and computational software. In some cases, it makes sense to use 32 or 128 bit number systems, but that is a discussion for later (later, as in “not in this book”), as first we must learn the basics. Each “bit” on a computer is a 0 or a 1, and each number on a computer is represented by 640 ‘s and 1’s. If we assume each number is in standard binary form, then the important information for each number is (i) sign of the number, (ii) exponent, and (iii) the digits after the decimal point. Note that the number 0 is an exception and is treated as a special case for the number system.
The IEEE standard divides up the 64 bits as follows:

  • 1 bit sign: 0 for positive, 1 for negative;
  • 11 bit exponent: the base 2 representation of (standard binary form exponent + 1023);
  • 52 bit mantissa: the first 52 digits after decimal point from standard binary form.
    The reason for the “shift” (sometimes also called bias) of 1023 in the exponent is so that the computer does not have to store a sign for the exponent (more numbers can be stored this way). The computer knows internally that the number is shifted, and knows how to handle it.

With the bits from above denoted as sign $s$, exponent $E$, and mantissa $b_1, \ldots, b_{52}$ the corresponding number is standard binary form is $(-1)^s \cdot 1 . b_1 \ldots b_{52} \times 2^{E-1023}$.
Example 2. Convert the base 10 number $d=11.5625$ to 64 bit double floating-point representation.

From a previous example, we know that $11.5625=(1011.1001)_{\text {base2 }}$, and so has standard binary representation of $1.0111001 \times 2^3$. Hence, we immediately know that
$$
\begin{aligned}
& \text { sign bit }=0 \
& \text { mantissa }=0111001000000000000000000000000000000000000000000000
\end{aligned}
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Adding large and small numbers is bad

As we saw in Example 1 in this chapter, if we add 1 to $10^{-16}$, it does not change the 1 at all. Additionally, the next computer representable number after 1 is $1+2^{-52}=$ $1+2.22 \times 10^{-16}$. Since $1+10^{-16}$ is closer to 1 than it is to $1+2.22 \times 10^{-16}$, it gets rounded to 1 , leaving the $10^{-16}$ to be lost forever.

We have seen this effect in the example at the beginning of this chapter when repeatedly adding $10^{-16}$ to 1 . Theoretically speaking, addition in floating-point computation is not associative, meaning $(A+B)+C=A+(B+C)$ may not hold, due to rounding.

One way to minimize this type of error when adding several numbers is to add from smallest to largest (if they all have the same sign) and to use factorizations that lessen the problem. There are other more complicated ways to deal with this kind of error that is out of the scope of this book, for example, the “Kahan Summation Formula.”

The issue here is that insignificant digits can become significant digits, and the problem is illustrated in Example 2, earlier in this chapter. Consider the following MATLAB command and output:
$$
\begin{aligned}
& \gg 1+1 e-15-1 \
& \text { ans }= \
& \text { 1. } 110223024625157 \mathrm{e}-15 \
&
\end{aligned}
$$
Clearly, the answer should be $10^{-15}$, but we do not get that, as we observe error in the second significant digit. It is true that the digits of accuracy in the subtraction operation is 16 , but there is a potential problem with the “garbage” digits 110223024625157 (these digits arise from rounding error). If we are calculating a limit, for example, they could play a role.

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数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|bit floating-point numbers

到目前为止,最常见的计算机数字表示系统是 64 位”双精度”浮点数系统。这是所有主要数学和计算软件 使用的默认值。在某些情况下,使用 32 位或 128 位数字系统是有意义的,但这是稍后的讨论(稍后,如 “不在本书中”),因为首先我们必须学习基础知识。计算机上的每个”位”都是 0 或 1 ,计算机上的每个数 字都由 640 和 1 表示。如果我们假设每个数字都是标准的二进制形式,那么每个数字的重要信息是 (i) 数 字的符号,(ii) 指数,以及 (iii) 小数点后的数字。请注意,数字 0 是一个例外,被视为数字系统的特例。 IEEE标准对64位的划分如下:

  • 1位符号: 0为正, 1 为负;
  • 11位指数: (标准二进制形式指数 $+1023$ ) 的2进制表示;
  • 52 位尾数:标准二进制形式的小数点后的前 52 位。
    指数中 1023 的”移位” (有时也称为偏差) 的原因是计算机不必为指数存储符号 (可以通过这种方式 存储更多数字) 。计算机内部知道数字被移动了,并且知道如何处理它。
    上面的位表示为符号 $s$ ,指数 $E$ ,和尾数 $b_1, \ldots, b_{52}$ 相应的数字是标准的二进制形式是 $(-1)^s \cdot 1 . b_1 \ldots b_{52} \times 2^{E-1023}$.
    示例 2. 转换以 10 为底的数字 $d=11.5625$ 到 64 位双浮点表示。
    从前面的例子我们知道 $11.5625=(1011.1001)_{\text {base22 }}$ ,所以有标准的二进制表示 $1.0111001 \times 2^3$. 因此,我们立即知道
    $$
    \text { sign bit }=0 \quad \text { mantissa }=011100100000000000000000000000000000000000000000
    $$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Adding large and small numbers is bad

正如我们在本章的示例 1 中看到的,如果我们将 1 添加到 $10^{-16}$ ,它根本不会改变 1 。此外,1之后的下 一个计算机可表示数是 $1+2^{-52}=1+2.22 \times 10^{-16}$. 自从 $1+10^{-16}$ 比它更接近 1 $1+2.22 \times 10^{-16}$ ,它四舍五入为 1 ,留下 $10^{-16}$ 永远失去。
我们已经在本章开头的例子中看到了重复添加时的这种效果 $10^{-16}$ 到 1 。从理论上讲,浮点计算中的加法 不是关联的,这意味着 $(A+B)+C=A+(B+C)$ 由于四舍五入,可能不成立。
将多个数字相加时最小化此类错误的一种方法是从最小到最大相加 (如果它们都具有相同的符号) 并使用 减少问题的因式分解。还有其他更复杂的方法可以处理超出本书范围的这种错误,例如“卡汉求和公式”。
这里的问题是无意义的数字可以变成有效的数字,这个问题在本章前面的示例 2 中得到了说明。考虑以 下 MATLAB 命令和输出:
$$
\gg 1+1 e-15-1 \quad \text { ans }=1.110223024625157 \mathrm{e}-15
$$
很明显,答案应该是 $10^{-15}$ ,但我们没有得到,因为我们观察到第二个有效数字的错误。减法运算的精度 位数确实是 16 位,但“垃圾”位 110223024625157 (这些位来自舍入误差) 存在潜在问题。例如,如果 我们正在计算一个限制,它们就可以发挥作用。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Examples of the effects of roundoff error

To motivate the need to study computer representation of numbers, let us consider first some examples taken from MATLAB-but we note that the same thing happens in C, Java, etc.:

  1. The order in which you add numbers on a computer makes a difference!
    $$
    \begin{aligned}
    & >1+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16 \
    & \text { ans }= \
    & \quad 1 \
    & >1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \
    & \text { ans }= \
    & 1.000000000000001
    \end{aligned}
    $$
    Note: AAAeBBB is a common notation for a floating-point number with the value $A A A \times$ $10^{B B B}$. So $1 \mathrm{e}-16=10^{-16}$.

As we will see later in this chapter, the computer stores about 16 base 10 digits for each number; this means we get 15 digits after the first nonzero digit of a number. Hence, if you try to add 1e-16 to 1, there is nowhere for the computer to store the 1e-16 since it is the 17 th digit of a number starting with 1 . It does not matter how many times you add 1e-16; it just gets lost in each intermediate step, since operations are always done from left to right. So even if we add $1 \mathrm{e}-16$ to 1,10 times in a row, we get back exactly 1 . However, if we first add the $1 \mathrm{e}-16$ ‘s together, then add the 1 , these small numbers get a chance to combine to become big enough not to be lost when added to 1 .

$$
f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}
$$
Suppose we wish to calculate
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x) .
$$
By L’Hopital’s theorem, we can easily determine the answer to be 2. However, how might one do this on a computer? A limit is an infinite process, and moreover, it requires some analysis to get an answer. Hence on a computer one is seemingly left with the option of choosing small $x$ ‘s and plugging them into $f$. Table $1.1$ shows what we get back from MATLAB by doing so.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Binary numbers

Computers and software allow us to work in base 10 , but behind the scenes everything is done in base 2. This is because numbers are stored in computer memory (essentially) as “voltage on” (1) or “voltage off” (0). Hence, it is natural to represent numbers in their base 2, or binary, representation. To explain this, let us start with base 10 , or decimal, number system. In base 10 , the number $12.625$ can be expanded into powers of 10 , each multiplied by a coefficient:
$$
12.625=1 \times 10^1+2 \times 10^0+6 \times 10^{-1}+2 \times 10^{-2}+5 \times 10^{-3} .
$$
It should be intuitive that the coefficients of the powers of 10 must be digits between 0 and 9. Also, the decimal point goes between the coefficients of $10^{\circ}$ and $10^{-1}$.

Base 2 numbers work in an analogous fashion. First, note that it only makes sense to have digits of 0 and 1 , for the same reason that digits in base 10 must be 0 through 9 . Also, the decimal point goes between the coefficients of $2^0$ and $2^{-1}$. Hence in base 2 we have, for example, that
$$
(11.001)_{\text {base } 2}=1 \times 2^1+1 \times 2^0+0 \times 2^{-1}+0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3}=2+1+\frac{1}{8}=3.125 .
$$
Converting a base 2 number to a base 10 number is nothing more than expanding it into powers of 2. To get an intuition for this, consider Table $1.3$ that converts the base 10 numbers 1 through 10.

The following algorithm will convert a base 10 number to a base 2 number. Note this is not the most efficient computational algorithm, but perhaps it is the easiest to understand for beginners.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Examples of the effects of roundoff error

为了激发研究数字的计算机表示的需要,让我们首先考虑从 MATLAB 中获取的一些例子一一但我们注意 到同样的事情发生在 C、Java 等中:

  1. 您在计算机上添加数字的顺序会有所不同!
    $$

1+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16+1 \mathrm{e}-16 \quad \text { ans }
$$
注意: $A A A e B B B$ 是浮点数的常用表示法,其值为 $A A A \times 10^{B B B}$. 所以 $1 \mathrm{e}-16=10^{-16}$.
正如我们将在本章后面看到的那样,计算机为每个数字存储了大约 16 个以 10 为基数的数字;这意味着 我们在数字的第一个非零数字之后得到 15 位数字。因此,如果您尝试将 $1 \mathrm{e}-16$ 添加到 1 ,则计算机无法 存储 1e-16,因为它是以 1 开头的数字的第 17 位。加 $1 \mathrm{e}-16$ 多少次并不重要;它只是在每个中间步骙中 至失,因为操作总是从左到右完成的。所以即使我们添加 $1 \mathrm{e}-16$ 连续 1,10 次,我们正好返回 1 。但 是,如果我们先添加 $1 \mathrm{e}-16$ 的在一起,然后加 1 ,这些小数字有机会结合起来变得足够大,不会在加到 1 时丟失。
$$
f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}
$$
假设我们想计算
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x) .
$$
根据 L’Hopital 定理,我们可以很容易地确定答案为 2。但是,如何在计算机上做到这一点呢? 极限是一 个无限的过程,而且,它需要一些分析才能得到答案。因此,在计算机上,人们似乎只能选择小 $x$ 的并将 它们揷入 $f$. 菒子 $1.1$ 展示了我们通过这样做从 MATLAB 得到的结果。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Binary numbers

计算机和软件允许我们以 10 为基数工作,但在幕后,一切都是以 2 为基数完成的。这是因为数字在计算 机内存中 (本质上) 存储为“电压开启”(1) 或“电压关闭”(0). 因此,以 2 为底或二进制表示形式来表示数字 是很自然的。为了解释这一点,让我们从基数 10 或十进制数字系统开始。以 10 为基数,数 $12.625$ 可以 展开为 10 的幂,每个乘以一个系数:
$$
12.625=1 \times 10^1+2 \times 10^0+6 \times 10^{-1}+2 \times 10^{-2}+5 \times 10^{-3} .
$$
应该很直观, 10 的幂的系数必须是 0 到 9 之间的数字。此外,小数点位于系数之间 $10^{\circ}$ 和 $10^{-1}$.
以 2 为基数的数字以类似的方式工作。首先,请注意只有数字 0 和 1 才有意义,原因与以 10 为底的数字 必须为 0 到 9 的原因相同。此外,小数点在系数之间 $2^0$ 和 $2^{-1}$. 因此,例如,在基数 2 中,我们有
$(11.001)_{\text {base } 2}=1 \times 2^1+1 \times 2^0+0 \times 2^{-1}+0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3}=2+1+\frac{1}{8}=3.125$.
将以 2 为底的数字转换为以 10 为底的数字无非是将其展开为 2 的幕。要对此有一个直觉,请考虑表 $1.3$ 将 10 进制数从 1 转换为 10 。
以下算法会将 10 进制数转换为 2 进制数。请注意,这不是最有效的计算算法,但对于初学者来说可能是 最容易理解的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving Fredholm Integral Equation via Tight Framelets

Many methods have been presented to find exact and approximate solutions of different integral equations. In this work, we introduce a new method for solving the above-mentioned class of equations. We use quasi-affine tight framelets systems generated by the UEP and OEP for solving some types of integral equations. Consider the second-kind linear Fredholm integral equation of the form:
$$
u(x)=f(x)+\lambda \int_a^b \mathcal{K}(x, t) u(t) d t,-\infty<a \leq x \leq b<\infty,
$$
where $\lambda$ is a real number, $f$ and $\mathcal{K}$ are given functions and $u$ is an unknown function to be determined. $\mathcal{K}$ is called the kernel of the integral Equation (10). A function $u(x)$ defined over $[a, b]$ can be expressed by quasi-affine tight framelets as Equation (5). To find an approximate solution $u_n$ of (10), we will truncate the quasi-affine framelet representation of $u$ as in Equation (6). Then,
$$
u(x) \approx u_n(x)=\sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \psi_{j, k}^{\ell}(x),
$$
where
$$
c_{j, k}^{\ell}=\int_{\mathbb{R}} u_n(x) \psi_{j, k}^{\ell}(x) d x .
$$
Substituting (11) into (10) yields
$$
\sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \psi_{j, k}^{\ell}(x)=f(x)+\lambda \sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \int_a^b \mathcal{K}(x, t) \psi_{j, k}^{\ell}(t) d t
$$
Multiply Equation (12) by $\sum_{s=1}^r \psi_{p, q}^s(x)$ and integrate both sides from $a$ to $b$. This can be a generalization of Galerkin method used in Reference [29,30]. Then, with a few algebra, Equation (12) can be simplified to a system of linear equations with the unknown coefficients $c_{j, k}^{\ell}$ (to be determined) given by
$$
\sum_{s, \ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} m_{j, k, p, q}^{\ell, s}=g_{p, q \prime} \quad p, q \in \mathbb{Z},
$$
where
$$
m_{j, k, p, q}^{\ell, s}=\int_a^b \psi_{j, k}^{\ell}(x) \psi_{p, q}^s(x) d x-\lambda \int_a^b \int_a^b \mathcal{K}(x, t) \psi_{j, k}^{\ell}(t) \psi_{p, q}^s(x) d x d t, \quad p, q \in \mathbb{Z}
$$
and
$$
g_{p, q}=\sum_{s=1}^r \int_a^b f(x) \psi_{p, q}^s(x) d x, \quad p, q \in \mathbb{Z} .
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error Analysis

In this section, we get an upper bound for the error of our method. Let $\phi$ be as in Equation (1) and $W_2^m(\mathbb{R})$ is the Sobolev space consists of all square integrable functions $f$ such that $\left{f^{(k)}\right}_{k=0}^m \in L^2(\mathbb{R})$. Then, $X^0(\Psi)$ provides approximation order $m$, if
$$
\left|f-S_n f\right|_2 \leq C 2^{-n m} \mid f^{(m)} |_2, \quad \forall f \in W_2^m(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N} .
$$
The approximation order of the truncated function $S_n$ was studied in References [20,31]. It is well known in the literature that the vanishing moments of the framelets can be determined by its low and high pass filters $\hat{h}_{\ell} \ell=0, \ldots, r$. Also, if the quasi-affine framelet system has vanishing moments of order say $m_1$ and the low pass filter of the system satisfy the following,
$$
1-\left|\hat{h}_0(\xi)\right|^2=\mathcal{O}\left(|\cdot|^{2 m}\right),
$$
at the origin, then the approximation order of $X^0(\Psi)$ is equal to $\min \left{m_1, m\right}$. Therefore, as the OEP increases the vanishing moments of the quasi-affine framelet system, the accuracy order of the truncated framelet representation, will increase as well.

As mentioned earlier, integral equations describe many different events in applications such as image processing and data reconstructions, for which the regularity of the function $f$ is low and does not meet the required order of smoothness. This makes the determination of the approximation order difficult from the functional analysis side. Instead, it is assumed that the solution function to satisfy a decay condition with a wavelet characterization of Besov space $B_{2,2}^s$. We refer the reader to Reference [32] for more details. Hence, we impose the following decay condition such that
$$
N_f=\sum_{\ell=1}^r \sum_{j \geq 0} \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{s j}\left|\left\langle f, \psi_{j, k}^{\ell}\right\rangle\right|<\infty,
$$
where $s \geq-1$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving Fredholm Integral Equation via Tight Framelets

已经提出了许多方法来寻找不同积分方程的精确解和近似解。在这项工作中,我们介绍了一种求解上述方 程组的新方法。我们使用由 UEP 和 OEP 生成的准仿射紧框架系统来求解某些类型的积分方程。考虑以下 形式的第二类线性 Fredholm 积分方程:
$$
u(x)=f(x)+\lambda \int_a^b \mathcal{K}(x, t) u(t) d t,-\infty<a \leq x \leq b<\infty,
$$
在哪里 $\lambda$ 是实数, $f$ 和 $\mathcal{K}$ 被赋予功能和 $u$ 是待定的末知函数。 $\mathcal{K}$ 被称为积分方程 (10) 的核。一个功能 $u(x)$ 定义超过 $[a, b]$ 可以用准仿射紧框架表示为等式 (5)。求一个近似解 $u_n$ 的 (10),我们将截断准仿 射框架表示 $u$ 如等式 (6) 所示。然后,
$$
u(x) \approx u_n(x)=\sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \psi_{j, k}^{\ell}(x),
$$
在哪里
$$
c_{j, k}^{\ell}=\int_{\mathbb{R}} u_n(x) \psi_{j, k}^{\ell}(x) d x .
$$
将 (11) 代入 (10) 得到
$$
\sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \psi_{j, k}^{\ell}(x)=f(x)+\lambda \sum_{\ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} \int_a^b \mathcal{K}(x, t) \psi_{j, k}^{\ell}(t) d t
$$
将等式 (12) 乘以 $\sum_{s=1}^r \psi_{p, q}^s(x)$ 并整合双方 $a$ 到 $b$. 这可以是参考文献 [29,30] 中使用的 Galerkin 方法的 推广。然后,用一些代数,方程 (12) 可以简化为具有末知系数的线性方程组 $c_{j, k}^{\ell}$ (待定) 由
$$
\sum_{s, \ell=1}^r \sum_{j<n} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{j, k}^{\ell} m_{j, k, p, q}^{\ell, s}=g_{p, q^{\prime}} \quad p, q \in \mathbb{Z},
$$
在哪里
$$
m_{j, k, p, q}^{\ell, s}=\int_a^b \psi_{j, k}^{\ell}(x) \psi_{p, q}^s(x) d x-\lambda \int_a^b \int_a^b \mathcal{K}(x, t) \psi_{j, k}^{\ell}(t) \psi_{p, q}^s(x) d x d t, \quad p, q \in \mathbb{Z}
$$
$$
g_{p, q}=\sum_{s=1}^r \int_a^b f(x) \psi_{p, q}^s(x) d x, \quad p, q \in \mathbb{Z}
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error Analysis

在本节中,我们获得了方法误差的上限。让 $\phi$ 如等式 (1) 和 $W_2^m(\mathbb{R})$ Sobolev 空间是否由所有平方可积 函数组成 $f$ 这样 $\backslash$ left $\left{f^{\wedge}{(k)} \backslash r i g h t\right}_{-}{k=0}^{\wedge} m \backslash i n L^{\wedge} 2(\backslash m a t h b b{R})$. 然后, $X^0(\Psi)$ 提供近似顺序 $m$ ,如果
$$
\left|f-S_n f\right|2 \leq C 2^{-n m}\left|f^{(m)}\right|_2, \quad \forall f \in W_2^m(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N} . $$ 截断函数的逼近阶数 $S_n$ 在参考文献 [20,31] 中进行了研究。在文献中众所周知,小框架的消失时刻可以通 过其低通和高通滤波器来确定 $\hat{h}{\ell} \ell=0, \ldots, r$. 此外,如果准仿射框架系统具有消失的秩序时刻说 $m_1$ 并 且系统的低通滤波器满足以下条件,
$$
1-\left|\hat{h}0(\xi)\right|^2=\mathcal{O}\left(|\cdot|^{2 m}\right), $$ 在原点,那么近似阶 $X^0(\Psi)$ 等于 \min \eft{m_1, m\right } } \text { . 因此,随着 OEP 增加准仿射小框架系统的消失 } 矩,截断小框架表示的精度阶数也将增加。 如前所述,积分方程描述了图像处理和数据重建等应用中的许多不同事件,其中函数的正则性 $f$ 低且不满 足所需的平滑度顺序。这使得从泛函分析方面难以确定近似阶数。相反,假设解函数满足具有 Besov 空 间小波特征的衰减条件 $B{2,2}^s$. 我们建议读者参阅参考文献 [32] 了解更多详细信息。因此,我们施加以下衰 减条件,使得
$$
N_f=\sum_{\ell=1}^r \sum_{j \geq 0} \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{s j}\left|\left\langle f, \psi_{j, k}^{\ell}\right\rangle\right|<\infty
$$
在哪里 $s \geq-1$.

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|COSC2500

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Preliminary Results

Frame theory is a relatively emerging area in pure as well as applied mathematics research and approximation. It has been applied in a wide range of applications in signal processing [13], image denoising [14], and computational physics and biology [15]. Interested readers should consult the references therein to get a complete picture.

The expansion of a function in general is not unique. So, we can have a redundancy for a given representation. This happens, for instance, in the expansion using tight frames. Frames were introduced in 1952 by Duffin and Schaeffer [8]. They used frames as a tool in their paper to study a certain class of non-harmonic Fourier series. Thirty years later, Young introduced a beautiful development for abstract frames and presented their applications to non-harmonic Fourier series [16]. Daubechies et al. constructed frames for $L^2(\mathbb{R})$ based on dilations and translation of functions [17]. These papers and others spurred a dramatic development of wavelet and framelet theory in the following years.
The space $L^2(\mathbb{R})$ is the set of all functions $f(x)$ such that
$$
|f|_{L^2(\mathbb{R})}=\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2\right)^{1 / 2}<\infty . $$ Definition 1. A sequence $\left{f_k\right}_{k=1}^{\infty}$ of elements in $L^2(\mathbb{R})$ is a frame for $L^2(\mathbb{R})$ if there exist constants $A, B>0$ such that
$$
A|f|^2 \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle f, f_k\right\rangle\right|^2 \leq B|f|^2, \forall f \in L^2(\mathbb{R}) .
$$
A frame is called tight if $A=B$.
Let $\ell_2(\mathbb{Z})$ be the set of all sequences of the form $h[k]$ defined on $\mathbb{Z}$, satisfying
$$
\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]|^2\right)^{1 / 2}<\infty .
$$
The Fourier transform of a function $f \in L^2(\mathbb{R})$ is defined by
$$
\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} f(t) \mathbf{e}^{-i \zeta \bar{t}} d t, \xi \in \mathbb{R},
$$
and its inverse is
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi) \mathbf{e}^{i \xi \bar{\zeta} x} d \xi, x \in \mathbb{R} .
$$
Similarly, we can define the Fourier series for a sequence $h \in \ell_2(\mathbb{Z})$ by
$$
\widehat{h}(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} h[k] \mathbf{e}^{-i \xi k}
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quasi-Affine B-Spline Tight Framelet Systems

There is an interesting family of refinable functions known as B-splines. It has an important role in applied mathematics, geometric modeling and many other areas [23,24]. An investigation of the frame set using a class of functions that called generalized $B$-spline and which includes the $B$-spline has been studied extensively in Reference [25].

In applications, the $B$-splines of order 2 and 4 are more popular than those of other orders. Also, it is preferred to have the $B$-splines to be centered at $x=0$. Therefore, we define the centered $B$-splines as follows:
Definition 3 ([26]). The B-spline $B_{m+1}$ is defined as follows by using the convolution
$$
B_{m+1}(x):=\left(B_m * B_1\right)(x), x \in \mathbb{R},
$$
where $B_1(x)$ is defined to be $\chi_{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)$, the characteristic function for the interval $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
Figure 1 shows the graphs of the first few $B$-splines.

One can easily show that the Fourier transform of the $B$-spline, $B_m$, of order $m$ is given by
$$
\widehat{B}m(\xi)=\mathrm{e}^{-i \xi \bar{\zeta} d}\left(\frac{\sin (\xi / 2)}{\xi / 2}\right)^m \text { and } \widehat{h}_0^m(\xi)=\mathrm{e}^{-i \xi d / 2} \cos ^m(\xi / 2) \text {, } $$ where $d=0$ if $m$ is even, and $d=1$ if $m$ is odd. We refer to [27] for more details. 3.1. Framelets by the UEP and Its Generalization The UEP is a method to construct tight framelets from a given refinable function. For a given refinable function and to construct tight framelets system, the function $\Theta$, which is non-negative, essentially bounded and continuous at the origin with $\Theta(0)=1$, should satisfy the following conditions $$ \left{\begin{array}{l} \Theta(2 \xi)\left|\widehat{h}_0(\xi)\right|^2+\sum{\ell=1}^r\left|\widehat{h}{\ell}(\xi)\right|^2=\Theta(\xi) ; \ \Theta(2 \xi) \widehat{h}_0(\xi) \widehat{h}_0(\xi+\pi)+\sum{\ell=1}^r \widehat{h}{\ell}(\xi) \widehat{h}{\ell}(\xi+\pi)=0 .
\end{array}\right.
$$
In applications, it is recommended to use tight framelet systems that are shift-invariant. The set of functions is said to be $\rho$-shift-invariant if for any $k \in \mathbb{Z}$ and $\psi \in \mathcal{S}$, we have $\psi(\cdot-\rho k) \in \mathcal{S}$. Hence, the quasi-affine system was introduced to convert the system $X(\Psi)$ (not shift-invariant) to a shift-invariant system. Next, we present a quasi-affine system that allows us to construct a quasi-affine tight framelet. This system is not an orthonormal basis [28].

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数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Preliminary Results

框架理论是纯数学和应用数学研究和近似中一个相对新兴的领域。它已广泛应用于信号处理[13]、图像去 橾[14]、计算物理和生物学[15]等领域。有兴趣的读者应该查阅其中的参考资料以获得完整的图片。
一般来说,函数的扩展不是唯一的。因此,我们可以为给定的表示提供冗余。例如,在使用紧框架的扩展 中会发生这种情况。Duffin 和 Schaeffer [8] 于 1952 年引入了框架。他们在论文中使用框架作为工具来 研究某一类非调和傅里叶级数。三十年后,Young 介绍了抽象框架的漂亮发展,并展示了它们在非谐波傅 里叶级数中的应用 [16]。Daubechies 等人。构造框架 $L^2(\mathbb{R})$ 基于函数的扩张和平移 [17]。这些论文和其 他论文在接下来的几年中刺激了小波和框架理论的显着发展。 空间 $L^2(\mathbb{R})$ 是所有函数的集合 $f(x)$ 这样
$$
|f|{L^2(\mathbb{R})}=\left(\int{\mathbb{R}}|f(x)|^2\right)^{1 / 2}<\infty .
$$
$$
A|f|^2 \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle f, f_k\right\rangle\right|^2 \leq B|f|^2, \forall f \in L^2(\mathbb{R})
$$
如果一个框架被称为紧框架 $A=B$.
让 $\ell_2(\mathbb{Z})$ 是形式的所有序列的集合 $h[k]$ 定义于 $\mathbb{Z}$ ,令人满意
$$
\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]|^2\right)^{1 / 2}<\infty
$$
函数的傅里叶变换 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 由定义
$$
\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} f(t) \mathbf{e}^{-i \zeta \bar{t}} d t, \xi \in \mathbb{R}
$$
它的倒数是
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi) \mathbf{e}^{i \xi \bar{\zeta} x} d \xi, x \in \mathbb{R}
$$
同样,我们可以为一个序列定义傅立叶级数 $h \in \ell_2(\mathbb{Z})$ 经过
$$
\widehat{h}(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} h[k] \mathbf{e}^{-i \xi k}
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quasi-Affine B-Spline Tight Framelet Systems

有一个有趣的可精炼函数族,称为 B 样条。它在应用数学、几何建模和许多其他领域具有重要作用 [23,24]。使用一类称为广义函数的框架集的调查 $B$-样条曲线,其中包括 $B$-spline 在参考文献 [25] 中得到 了广泛的研究。
在应用程序中, $B-2$ 阶和 4 阶样条曲线比其他阶样条曲线更受欢迎。此外,最好有 $B$ – 以样条为中心 $x=0$. 因此,我们定义居中 $B$-样条如下:
定义 3 ([26])。B样条 $B_{m+1}$ 使用卷积定义如下
$$
B_{m+1}(x):=\left(B_m * B_1\right)(x), x \in \mathbb{R},
$$
在哪里 $B_1(x)$ 被定义为 $\chi_{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)$ ,区间的特征函数 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. 图 1 显示了前几张图 $B$-样条。
可以很容易地证明, $B$-样条, $B_m$ ,按顺序 $m$ 是 (谁) 给的
$$
\widehat{B} m(\xi)=\mathrm{e}^{-i \xi \bar{\zeta} d}\left(\frac{\sin (\xi / 2)}{\xi / 2}\right)^m \text { and } \widehat{h}_0^m(\xi)=\mathrm{e}^{-i \xi d / 2} \cos ^m(\xi / 2),
$$
在哪里 $d=0$ 如果 $m$ 是偶数,并且 $d=1$ 如果 $m$ 很奇怪。我们参考 [27] 了解更多细节。3.1. UEP 的框架 及其推广 UEP 是一种从给定的可精炼函数构造紧密框架的方法。对于给定的可精炼函数并构建紧框架系 统,函数 $\Theta$ ,它是非负的,本质上是有界的并且在原点处是连续的 $\Theta(0)=1$ ,应满足以下条件 $\$ \$ \backslash e f t}$
$$
\Theta(2 \xi)\left|\widehat{h}_0(\xi)\right|^2+\sum \ell=1^r|\widehat{h} \ell(\xi)|^2=\Theta(\xi) ; \Theta(2 \xi) \widehat{h}_0(\xi) \widehat{h}_0(\xi+\pi)+\sum \ell=1^r \widehat{h} \ell(\xi) \widehat{h} \ell(\xi+\pi)
$$
、正确的。
$\$ \$$
在应用程序中,建议使用移位不变的紧框架系统。据说这组函数是 $\rho$-shift-invariant 如果对于任何 $k \in \mathbb{Z}$ 和 $\psi \in \mathcal{S}$ ,我们有 $\psi(\cdot-\rho k) \in \mathcal{S}$. 因此,引入准仿射系统来转换系统 $X(\Psi)$ (不是移位不变的) 到移位 不变的系统。接下来,我们提出了一个准仿射系统,它允许我们构建一个准仿射紧框架。该系统不是正交 基础。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

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  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Swift–Hohenberg Type of Equation on a Narrow Band Domain

The SH type of equation on a surface $\mathcal{S}$ is given by
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+\left(1+\Delta_{\mathcal{S}}\right)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \mathcal{S}, 0<t \leq T,
$$
where $\Delta_{\mathcal{S}}$ is the Laplace-Beltrami operator $[19,20]$. Next, let $\Omega_\delta={\mathbf{y} \mid \mathbf{x} \in \mathcal{S}, \mathbf{y}=\mathbf{x}+$ $\eta \mathbf{n}(\mathbf{x})$ for $|\eta|<\delta}$ be a $\delta$-neighborhood of $\mathcal{S}$, where $\mathbf{n}(\mathbf{x})$ is a unit normal vector at $\mathbf{x}$. Then, we extend the Equation (1) to the narrow band domain $\Omega_\delta$ :
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+\left(1+\Delta_{\mathcal{S}}\right)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \Omega_\delta, 0<t \leq T
$$
with the pseudo-Neumann boundary condition on $\partial \Omega_\delta$ :
$$
\phi(\mathbf{x}, t)=\phi(\mathrm{cp}(\mathbf{x}), t),
$$
where $\operatorname{cp}(\mathbf{x})$ is a point on $\mathcal{S}$, which is closest to $\mathbf{x} \in \partial \Omega_\delta$ [14]. For a sufficiently small $\delta, \phi$ is constant in the direction normal to the surface. Thus, the Laplace-Beltrami operator in $\Omega_\delta$ can be replaced by the standard Laplacian operator [14], i.e.,
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+(1+\Delta)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \Omega_\delta, 0<t \leq T
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Numerical Method

In this section, we propose an efficient linear second-order method for solving Equation (4) with the boundary condition (3). We discretize Equation (4) in $\Omega=\left[-L_x / 2, L_x / 2\right] \times\left[-L_y / 2, L_y / 2\right] \times$ $\left[-L_z / 2, L_z / 2\right]$ that includes $\Omega_\delta$. Let $h=L_x / N_x=L_y / N_y=L_z / N_z$ be the uniform grid size, where $N_x$, $N_y$, and $N_z$ are positive integers. Let $\Omega^h=\left{\mathbf{x}{i j k}=\left(x_i, y_j, z_k\right) \mid x_i=-L_x / 2+i h, y_j=-L_y / 2+\right.$ $j h, z_k=-L_z / 2+k h$ for $\left.0 \leq i \leq N_x, 0 \leq j \leq N_y, 0 \leq k \leq N_z\right}$ be a discrete domain. Let $\phi{i j k}^n$ be an approximation of $\phi\left(\mathbf{x}{i j k}, n \Delta t\right)$, where $\Delta t$ is the time step. Let $\Omega\delta^h=\left{\mathbf{x}{i j k}|| \psi{i j k} \mid<\delta\right}$ be a discrete narrow band domain, where $\psi$ is a signed distance function for the surface $\mathcal{S}$, and $\partial \Omega_\delta^h=\left{\mathbf{x}{i j k}\left|I{i j k}\right| \nabla_h I_{i j k} \mid \neq\right.$ $0}$ are discrete domain boundary points, where $\nabla_h I_{i j k}=\left(I_{i+1, j, k}-I_{i-1, j, k}, I_{i, j+1, k}-I_{i, j-1, k}, I_{i, j, k+1}-\right.$ $\left.I_{i, j, k-1}\right) /(2 h)$. Here, $I_{i j k}=0$ if $\mathbf{x}{i j k} \in \Omega\delta^h$, and $I_{i j k}=1$, otherwise.
We here split Equation (4) into the following subequations:
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial \phi}{\partial t}=-\left(\phi^3-\epsilon \phi\right), \
& \frac{\partial \phi}{\partial t}=g \phi^2 \
& \frac{\partial \phi}{\partial t}=-(1+\Delta)^2 \phi .
\end{aligned}
$$
Equations (5) and (6) are solved analytically and the solutions $\phi_{i j k}^{n+1}$ are given as follows:
$$
\phi_{i j k}^{n+1}=\frac{\phi_{i j k}^n}{\sqrt{\left(\phi_{i j k}^n\right)^2 / \epsilon+\left(1-\left(\phi_{i j k}^n\right)^2 / \epsilon\right) e^{-2 \epsilon \Delta t}}} \text { and } \phi_{i j k}^{n+1}=\frac{\phi_{i j k}^n}{1-g \Delta t \phi_{i j k}^n}
$$

respectively. In addition, Equation (7) is solved using the Crank-Nicolson method:
$$
\frac{\phi_{i j k}^{n+1}-\phi_{i j k}^n}{\Delta t}=-\frac{\left(1+\Delta_h\right)^2}{2}\left(\phi_{i j k}^{n+1}+\phi_{i j k}^n\right)
$$
with the boundary condition on $\partial \Omega_\delta^h$ :
$$
\phi_{i j k}^n=\phi^n\left(\mathrm{cp}\left(\mathbf{x}_{i j k}\right)\right)
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Swift–Hohenberg Type of Equation on a Narrow Band Domain

曲面上的 SH 型方程 $\mathcal{S}$ 是 (谁) 给的
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+\left(1+\Delta_{\mathcal{S}}\right)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \mathcal{S}, 0<t \leq T
$$
在哪里 $\Delta_{\mathcal{S}}$ 是 Laplace-Beltrami 算子 $[19,20]$. 接下来,让 $\Omega_\delta=\mathbf{y} \mid \mathbf{x} \in \mathcal{S}, \mathbf{y}=\mathbf{x}+\$ \$ \eta \mathbf{n}(\mathbf{x}) \$$ for $\$|\eta|<\delta$ 是一个 $\delta$-附近的 $\mathcal{S}$ ,在哪里 $\mathbf{n}(\mathbf{x})$ 是一个单位法向 量 $\mathbf{x}$. 然后,我们将等式 (1) 扩展到乍带域 $\Omega_\delta$ :
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+\left(1+\Delta_{\mathcal{S}}\right)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \Omega_\delta, 0<t \leq T
$$
伪诺依蔓边界条件 $\partial \Omega_\delta$ :
$$
\phi(\mathbf{x}, t)=\phi(\operatorname{cp}(\mathbf{x}), t)
$$
的。因此,Laplace-Beltrami 算子在 $\Omega_\delta$ 可以用标准的拉普拉斯算子[14]代替,即
$$
\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\left(\phi^3(\mathbf{x}, t)-g \phi^2(\mathbf{x}, t)+\left(-\epsilon+(1+\Delta)^2\right) \phi(\mathbf{x}, t)\right), \quad \mathbf{x} \in \Omega_\delta, 0<t \leq T
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Numerical Method

在本节中,我们提出了一种有效的线性二阶方法来求解具有边界条件 (3) 的方程 (4) 。我们将等式
(4) 离散化为 $\Omega=\left[-L_x / 2, L_x / 2\right] \times\left[-L_y / 2, L_y / 2\right] \times\left[-L_z / 2, L_z / 2\right]$ 那包括 $\Omega_\delta$. 让 $h=L_x / N_x=L_y / N_y=L_z / N_z$ 是统一的网格大小,其中 $N_x, N_y$ ,和 $N_z$ 是正整数。让 是一个离散域。让 $\phi i j k^n$ 是一个近似值 $\phi(\mathbf{x} i j k, n \Delta t)$ ,在哪里 $\Delta t$ 是时间步长。让 带符号距离函数 $\mathcal{S}$ ,和 域边界点,其中 $\nabla_h I_{i j k}=\left(I_{i+1, j, k}-I_{i-1, j, k}, I_{i, j+1, k}-I_{i, j-1, k}, I_{i, j, k+1}-I_{i, j, k-1}\right) /(2 h)$. 这里, $I_{i j k}=0$ 如果 $\mathbf{x} i j k \in \Omega \delta^h$ ,和 $I_{i j k}=1$ ,除此以外。 我们在这里将等式 (4) 分解为以下子等式:
$$
\frac{\partial \phi}{\partial t}=-\left(\phi^3-\epsilon \phi\right), \quad \frac{\partial \phi}{\partial t}=g \phi^2 \frac{\partial \phi}{\partial t}=-(1+\Delta)^2 \phi
$$
对方程 (5) 和 (6) 进行解析求解,得到解 $\phi_{i j k}^{n+1}$ 给出如下:
$$
\phi_{i j k}^{n+1}=\frac{\phi_{i j k}^n}{\sqrt{\left(\phi_{i j k}^n\right)^2 / \epsilon+\left(1-\left(\phi_{i j k}^n\right)^2 / \epsilon\right) e^{-2 \epsilon \Delta t}}} \text { and } \phi_{i j k}^{n+1}=\frac{\phi_{i j k}^n}{1-g \Delta t \phi_{i j k}^n}
$$
分别。另外,使用Crank-Nicolson方法求解方程(7):
$$
\frac{\phi_{i j k}^{n+1}-\phi_{i j k}^n}{\Delta t}=-\frac{\left(1+\Delta_h\right)^2}{2}\left(\phi_{i j k}^{n+1}+\phi_{i j k}^n\right)
$$
边界条件为 $\partial \Omega_\delta^h$ :
$$
\phi_{i j k}^n=\phi^n\left(\operatorname{cp}\left(\mathbf{x}_{i j k}\right)\right)
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

如果你也在 怎样代写数值分析numerical analysis这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数值分析numerical analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数值分析numerical analysis代写方面经验极为丰富,各种代写数值分析numerical analysis相关的作业也就用不着说。

我们提供的数值分析numerical analysis及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Two flavors of error

The approximation can be derived by using a Taylor series. Expand $f\left(x_0+h\right)$ around $x_0$ :
$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+h f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^3\right)
$$
where $O\left(h^3\right)$ denotes the $h^3$ and higher terms in the series. Now solve for $f^{\prime}\left(x_0\right)$ to obtain
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}-\frac{h}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^2\right) .
$$
We conclude that
$$
D(f, h)=f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2} h+\cdots .
$$
The terms to the right of $f^{\prime}$ are the truncation error – the part of the formula that is dropped to get the approximation. From the leading term of the error (the $h$-term) we see that
$$
\text { truncation error } \sim C h \text { as } h \rightarrow 0 .
$$
If $f$ were computed exactly, this would also be $E(h)$. But the function $f$, in practice, is not computed exactly (nor is the subtraction in the numerator) so our analysis must take into account such errors. Let’s assume that $f$ is simple and implemented to high accuracy on the computer. Then for any evaluation $\tilde{f}$ of the function,
$$
\tilde{f}=f+\delta, \quad|\delta|<\mathrm{u}_m .
$$
Then the computed value of $D$ is really
$$
\tilde{D}(f, h)=D(f, h)+\frac{\delta_1-\delta_0}{h}
$$
which introduces a ’rounding error’ (not part of the truncation error, only present in computation)
$$
\mid \text { ’rounding’ error } \mid \leq \frac{\mathrm{u}_m+\mathrm{u}_m}{h}=\frac{2 \mathrm{u}_m}{h} .
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Practical goals

The mathematical theory is motivated by a need to design good numerical methods. There is no perfect algorithm for a given (non-trivial) problem, so each property has a cost – gaining one typically means losing another.

Here are some of the main (overlapping) concerns. The meaning depends on context – different problems demand different properties, and the needs of the user (how accurate or fast does it need to be?) matter also.

  • Efficiency and accuracy tradeoffs:
  • Given a tolerance $\epsilon$, can the algorithm find a solution to within $\epsilon$ ?
  • How much time and memory (space) is required to solve the problem at a given accuracy?
  • How does the time/memory scale with problem complexity?
  • Can the correctness of the solution be verified (reliable error bounds)?
  • Robustness/scope
  • What is the scope of the algorithm – what problems can it solve? How general is it?
  • Can the algorithm adapt to deal with hard cases or does the user need to step in?
  • Does the user need to see the inner workings is it a ‘black box’?
  • Stability:
  • Does the algorithm keep rounding and other errors under control?
  • We’ll have much more to say about this later!

Example: Consider Newton’s method
$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, \quad x_0=?
$$
which finds a zero $x^$ of a function $f(x)$ (the sequence $x_n$, hopefully, converges to $x^$ ).
On efficiency/accuracy, we want to know whether $x_n$ converges to $x^$ as $n \rightarrow \infty$ and describe how fast the error $\left|x_n-x^\right|$ goes to zero. Given a maximum allowed error $\epsilon$, how many iterations are needed to make the error less than $\epsilon$ ? (answer: the error goes to zero ‘quadratically’; the number of significant digits doubles at each step if the function is nice).

On scope, we want to know for which functions $f(x)$ the algorithm works (answer: $f \in C^2$ or sometimes less, but $f$ must be at least differentiable; only fast when $x^*$ is a simple zero)

On stability, we want to know if an initial error in $x_0$ or errors in evaluating $f$ are amplified as the algorithm progresses. (answer: it works fine).

On robustness, we want to know if the algorithm may fail when given a not-good starting ‘guess’ $x_0$. (answer: not very robust; hard to know how close $x_0$ must be and diverges if too far from the root; requires some human attention).

In short, Newton’s method is extremely accurate/efficient when $x_0$ is chosen close to $x^*$ and the function is smooth and the zero is simple. However, it is not very robust unless coupled with a good scheme for choosing $x_0$ (which is hard to design).

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Two flavors of error

可以使用泰勒级数推导出近似值。扩张 $f\left(x_0+h\right)$ 大约 $x_0$ :
$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+h f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^3\right)
$$
在哪里 $O\left(h^3\right)$ 表示 $h^3$ 和系列中的更高条款。现在解决 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 获得
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}-\frac{h}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^2\right) .
$$
我们的结论是
$$
D(f, h)=f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2} h+\cdots
$$
右边的条款 $f^{\prime}$ 是截断误差一一为获得近似值而舍弃的公式部分。从错误的前导项 ( $h$-term) 我们看到 truncation error $\sim C h$ as $h \rightarrow 0$.
如果 $f$ 被精确计算,这也将是 $E(h)$. 但是函数 $f$ ,在实践中,不是精确计算的 (分子中的减法也不是) 所以 我们的分析必须考虑到这样的错误。让我们假设 $f$ 很简单,并在计算机上实现了高精度。然后进行任何评 价 $\tilde{f}$ 的功能,
$$
\tilde{f}=f+\delta, \quad|\delta|<\mathbf{u}_m .
$$
然后的计算值 $D$ 是真的
$$
\tilde{D}(f, h)=D(f, h)+\frac{\delta_1-\delta_0}{h}
$$
它引入了”舍入误差” (不是截断误差的一部分,仅存在于计算中)
$$
\mid \text { ’rounding’ error } \mid \leq \frac{\mathrm{u}_m+\mathrm{u}_m}{h}=\frac{2 \mathrm{u}_m}{h} \text {. }
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Practical goals

数学理论的动机是需要设计好的数值方法。对于给定的(非平凡的)问题没有完美的算法,因此每个属性 都有成本一一获得一个通常意味着失去另一个。
以下是一些主要 (重喤) 问题。含义取决于上下文一一不同的问题需要不同的属性,用户的需求(需要多 准确或多快?)也很重要。

  • 效率和准确性的权衡:
  • 给定公差 $\epsilon$, 算法能否在 $\epsilon$ ?
  • 以给定的精度解决问题需要多少时间和内存 (空间) ?
  • 时间/内存如何随着问题的复杂性扩展?
  • 能否验证解决方案的正确性 (可靠的误差范围) ?
  • 稳健性范围
  • 该算法的范围是什么一一它可以解决什么问题? 它有多普遍?
  • 该算法能否适应处理疑难案例或是否需要用户介入?
  • 用户是否需要查看内部工作原理? 它是一个”黑匣子”吗?
  • 稳定:
  • 算法是否控制舍入和其他错误?
  • 稍后我们将对此进行更多讨论!
    示例:考虑牛顿法
    $$
    x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, \quad x_0=?
    $$
    找到一个雿 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 个功能 $f(x)$ (序列 $x_n$ ,希望收敛到 $\mathrm{x}^{\wedge}$ ). 定最大允许误差 $\epsilon$ ,需要多少次迭代才能使误差小于 $\epsilon$ ? (答案: 错误“二次”地变为零; 如果函数很好,则 有效数字的数量在每一步都加倍)。
    在范围上,我们想知道哪些功能 $f(x)$ 该算法有效(答案: $f \in C^2$ 或有时更少,但是 $f$ 必须至少是可微 的;只有当 $x^$ 是一个简单的零) 关于稳定性,我们想知道初始错误是否在 $x_0$ 或评估错误 $f$ 随着算法的进行而被放大。(答案:它工作正 常)。 在鲁棒性方面,我们想知道当给定一个不好的开始”猜测”时算法是否会失败 $x_0$. (答案: 不是很稳健; 很难 知道有多接近 $x_0$ 必须是并且如果离根太远则发散;需要一些人为的关注)。 简而言之,牛顿法在以下情况下非常准确/高效 $x_0$ 被选择接近 $x^$ 且函数流畅,归零简单。然而,它不是很 健壮,除非加上一个好的选择方案 $x_0$ (这很难设计)。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|COSC2500

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|COSC2500

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Floating point arithmetic

A computer must store a finite amount of data – and as such, all numbers and arithmetic are done with some error. At times, this ‘finite precision’ issue is minor, and the theory can largely ignore it (accepting there will be error in the practical answer). We will typically develop theory without too much concern for rounding error unless it really matters.

It is important to be able to recognize rounding error and understand how it manifests (and have some intuition for when it is important – e.g. the catastrophic cancellation example above).

Let us define the set of machine numbers to be the number system used by a typical computer/language – that is, a ‘double precision’ number (a double in $\mathrm{C} / \mathrm{C++}$, and the default numeric type in python/matlab). ${ }^2$ Such a number is stored in memory in the ‘floating point’ form
$$
\text { (base 2) } \pm 1 . d_1 d_2 \cdots d_N \times 2^e=\left(1+\sum_{k=1}^n d_k 2^{-k}\right) 2^e, \quad m \leq e \leq M
$$
where the $d_i$ ‘s are binary digits (zero or one) and $N=52$ and $m, M$ are limits for the exponent. ${ }^3$

Further, let us define the ’rounding’ operation
$$
\mathrm{fl}(x)=\text { ‘nearest’ machine number (2) to } x \in \mathbb{R} \text {. }
$$
Because there are only $N$ binary digits in the machine number, the numbers are a finite sequence. Starting from 1, the first few values are
$$
\text { 1, 1. } \underbrace{00 \cdots 0}_{N-1 \text { zeros }} 1=1+2^{-N}, \quad \cdots
$$
The distance from 1 to the next largest number is important and has a special name:
$$
\text { machine epsilon }=\epsilon_m:=2^{-N} \quad\left(\approx 2.2 \times 10^{-16} \text { for a double }\right)
$$
The ’rounding error’ incurred by representing a real number $x$ by a machine number $\mathrm{fl}(x)$ is bounded above by half this distance, as the sketch below indicates.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Condition

Suppose we wish to solve a problem with an input $x$ and output $f(x)$. If the value of $x$ is changed by an amount $\delta x$ of size $|\delta x| \leq \epsilon$, then the output $f$ changes by an amount $\delta f=f(x+\delta x)-f(x)$.
Conditioning: A problem is called well-conditioned if small changes in the input lead to small changes in the output $(\delta x$ small implies $\delta f$ small, with ‘small’ in whatever sense is relevant).

If the problem is sensitive to small changes in $\delta x-$ to the point of computational difficulty – the problem is called ill-conditioned.
For each type of problem, there is a measure of condition – the condition number). Given $\delta x$ of this small size, we have that
$$
\text { relative sensitivity to } \delta x=\sup {|\delta x| \leq \epsilon}\left|\frac{\delta f / f}{\delta x / x}\right| \text {. } $$ Taking the limit as $\epsilon \rightarrow 0$ gives the desired measure of the system’s sensitivity: $$ \text { (relative) condition number }=\lim {\epsilon \backslash 0} \sup _{|\delta x| \leq \epsilon}\left|\frac{(f(x+\delta x)-f(x)) / f(x)}{\delta x / x}\right|
$$
The problem is ill-conditioned if this number is large, since then a small error made in the input can lead to a drastic difference in the output.

Key point (ill-conditioned problems): Unfortunately, the poor condition is inherent to the problem, so a correct algorithm would likely inherit the same sensitivity. For this reason, illconditioned problems are hard to solve numerically (and best avoided if possible!).
For example, consider the problem of evaluating
$$
f(x)=\tan x, \quad x \approx \pi / 2 .
$$
Suppose, say, we take $x_1=\pi / 2-0.001$ and $x_2=\pi / 2-0.002$. Then
$$
\left|x_1-x_2\right|=0.001, \quad\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=500
$$
so the small difference in the $x$-values leads to large differences in $f$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|COSC2500

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Floating point arithmetic

计算机必须存储有限数量的数据一一因此,所有数字和算术运算都会出现一些错误。有时,这个”有限精 度”问题很小,理论上可以在很大程度上忽略它(接受实际答案中会有错误)。我们通常会发展理论而不太 关心舍入误差,除非它真的很重要。
重要的是能够识别舍入误差并理解它是如何表现的(并且对它何时重要有一些直觉一一例如上面的灾难性 取消示例)。
让我们将机器数字集定义为典型计算机/语言使用的数字系统一一即“双精度”数字 (双精度 $\mathrm{C} / \mathrm{C}++$ ,以 及 python/matlab 中的默认数字类型) 。 ${ }^2$ 这样的数字以“浮点”形式存储在内存中
$$
\text { (base 2) } \pm 1 . d_1 d_2 \cdots d_N \times 2^e=\left(1+\sum_{k=1}^n d_k 2^{-k}\right) 2^e, \quad m \leq e \leq M
$$
在哪里 $d_i$ 是二进制数字 (䨒或一) 和 $N=52$ 和 $m, M$ 是指数的极限。 3
此外,让我们定义”舍入”操作
$$
\mathrm{fl}(x)=\text { ‘nearest’ machine number (2) to } x \in \mathbb{R} .
$$
因为只有 $N$ 机器号中的二进制数字,数字是一个有限序列。从1开始,前几个值是
$$
\text { 1, 1. } \underbrace{00 \cdots 0}_{N-1 \text { zeros }} 1=1+2^{-N}, \quad \cdots
$$
从 1 到下一个最大数字的距离很重要,并且有一个特殊的名称:
$$
\text { machine epsilon }=\epsilon_m:=2^{-N} \quad\left(\approx 2.2 \times 10^{-16} \text { for a double }\right)
$$
表示实数引起的”舍入误差” $x$ 按机器号fl $(x)$ 被限制在这个距离的一半之上,如下图所示。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Condition

假设我们布望解决一个输入问题 $x$ 和输出 $f(x)$. 如果值 $x$ 改变了一个数量 $\delta x$ 尺寸 $|\delta x| \leq \epsilon$ ,然后输出 $f$ 变化 量 $\delta f=f(x+\delta x)-f(x)$.
调节: 如果输入的微小变化导致输出的微小变化,则问题被称为良好条件 $(\delta x$ 小暗示 $\delta f$ 小,在任何意义上 都是相关的 ${ }^{\prime \prime}$ 小”)。
如果问题对小的变化很敏感 $\delta x$ 一到了计算困难的地步一一这个问题被称为病态的。
对于每种类型的问题,都有一个条件度量一一条件数)。鉴于 $\delta x$ 这么小的尺寸,我们有
$$
\text { relative sensitivity to } \delta x=\sup |\delta x| \leq \epsilon\left|\frac{\delta f / f}{\delta x / x}\right| \text {. }
$$
取极限为 $\epsilon \rightarrow 0$ 给出系统灵敏度的所需度量:
$$
\text { (relative) condition number }=\lim \epsilon \backslash 0 \sup _{|\delta x| \leq \epsilon}\left|\frac{(f(x+\delta x)-f(x)) / f(x)}{\delta x / x}\right|
$$
如果这个数字很大,问题就是病态的,因为输入中的一个小错误可能会导致输出中的巨大差异。
关键点(病态问题) : 不幸的是,不良条件是问题固有的,因此正确的算法可能会继承相同的敏感性。出 于这个原因,病态问题很难用数值求解(如果可能,最好避免!)。 例如,考虑评估问题
$$
f(x)=\tan x, \quad x \approx \pi / 2 .
$$
假设,说,我们采取 $x_1=\pi / 2-0.001$ 和 $x_2=\pi / 2-0.002$. 然后
$$
\left|x_1-x_2\right|=0.001, \quad\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=500
$$
所以差别很小 $x$-价值观导致很大的差异 $f$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|A quick note on error

Suppose $\tilde{x} \approx x$ is an approximation to $x$. There are two basic ‘measures’ of error in practice:
$$
\begin{aligned}
& \text { absolute error }=|\tilde{x}-x|, \
& \text { relative error }=\frac{|\tilde{x}-x|}{|x|} .
\end{aligned}
$$
Which error is appropriate depends on context – we’ll find throughout the course that both are useful, and some judgment is required to pick the right one. Many heuristics and theorems make statements about one or the other, and it is important to know the difference.

Scaling (in)variance: Note that in particular, since relative error is ‘relative’ to the base value, it is independent of a trivial scaling; i.e. if $\tilde{x}$ and $x$ are replaced by $a \tilde{x}$ and $a x$ then the relative error is the same, but the absolute error gets scaled by $a$.
Aside (Why not both at once?): A convenient trick is to use ‘combined’ measure
$$
\text { (unnamed) error }=\frac{|\tilde{x}-x|}{1+|x|} \approx\left{\begin{array}{ll}
\text { abs. error } & \text { if }|x| \ll 1 \
\text { rel. error } & \text { if }|x| \gg 1
\end{array} .\right.
$$
This measure can occasionally be used to write a desired error tolerance in terms of a single quantity instead of two separate conditions for the relative and absolute error.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Cancellation

There are operations that are dangerous when there is an associated error. This means that in designing algorithms, we will need to keep in mind what formulas are ‘good’ or ‘bad’ for computation, even when they are equivalent in theory.

One notable culprit is the dramatically named catastrophic cancellation. Suppose, for example, we are working with quantities known to three decimal digits and end up computing
$$
\frac{1.234 \cdots-1.230 \cdots}{1.001 \cdots-1.000 \cdots}=\frac{0.04 \cdots}{0.01 \cdots}=4 . \cdots
$$
The ellipses indicate ‘insignificant’ digits (the values are only known to be accurate to the first three). The result only has one digit of accuracy – a cause for concern. In general, we see that if $f$ is continuous then
$$
x \approx y \Longrightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \text { leads to loss of relative accuracy. }
$$
Unfortunately, such expressions are common – so one has to be careful. For example, consider the seemingly innocent quadratic formula when $a$ is small. Then
$$
r=\frac{-1+\sqrt{1-4 a c}}{2 a}=\frac{-1+(\approx 1)}{\text { small }}
$$
which leads to catastrophic cancellation.

However, a simple manipulation fixes this issue:
$$
r=\frac{-1+\sqrt{1-4 a c}}{2 a} \frac{-1-\sqrt{1-4 a c}}{-1-\sqrt{1-4 a c}}=\frac{4 a c}{-1-\sqrt{1-4 a c}} .
$$
The two formulas are theoretically equivalent, but computationally different!
The small correction rule: However, it is often true that a low-accuracy number is okay when it is a ‘small correction’ to the last few digits. An expression like the
$$
x_{n+1}=x_n+\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_n-x_{n-1}}
$$
(the secant method for root finding) is not problematic. This iteration (ideally) converges to a zero $x^$ of a function $f(x)$. Assuming that $x_n \rightarrow x^$ and that we are close to the zero (so $x_n \approx x^$ ), the difference quotient in (1) has cancellation since $x_n, x_{n-1} \approx x^$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|A quick note on error

认为 $\tilde{x} \approx x$ 是一个近似值 $x$. 在实践中有两种基本的错误”衡量标准” :
$$
\text { absolute error }=|\tilde{x}-x|, \quad \text { relative error }=\frac{|\tilde{x}-x|}{|x|} \text {. }
$$
哪种错误是合适的取决于上下文一一我们会在整个课程中发现两者都是有用的,并且需要一些判断来选择 正确的错误。许多启发式和定理都对其中之一做出陈述,了解其中的区别很重要。
缩放(in)方差:特别注意,由于相对误差与基值”相关”,因此它独立于微不足道的缩放;即如果 $\tilde{x}$ 和 $x$ 被 替换为 $a \tilde{x}$ 和 $a x$ 那么相对误差是相同的,但绝对误差按比例缩放 $a$.
擞开(为什么不同时使用两者? ) :一个方便的技巧是使用”组合”度量 $\$ \$$
Itext ${$ (unnamed) error $}=\mid$ frac ${\mid \backslash$ tilde ${x}-x \mid}{1+|x|} \backslash$ 大约 $\backslash$ 左 {
abs. error if $|x| \ll 1$ rel. error $\quad$ if $|x| \gg 1$

  • 【正确的。
    $\$ \$$
    此度量有时可用于根据单个数量而不是相对和绝对误差的两个单独条件来编写所需的误差容限。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Cancellation

当存在相关错误时,有些操作是危险的。这意味着在设计算法时,我们需要记住哪些公式对计算来说是 “好”或”坏”的,即使它们在理论上是等价的。
一个值得注意的罪魁祸首是戏剧性命名的灾难性取消。例如,假设我们正在处理小数点后三位已知的数 量,并最终计算
$$
\frac{1.234 \cdots-1.230 \cdots}{1.001 \cdots-1.000 \cdots}=\frac{0.04 \cdots}{0.01 \cdots}=4 . \cdots
$$
省略号表示”无关紧要”的数字 (已知这些值仅对前三个数字是准确的) 。结果只有一位数的准确性一一令 人担忧。一般来说,我们看到如果 $f$ 是连续的
$x \approx y \Longrightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ leads to loss of relative accuracy.
不幸的是,这样的表达很常见一一所以必须小心。例如,考虑当 $a$ 是小。然后
$$
r=\frac{-1+\sqrt{1-4 a c}}{2 a}=\frac{-1+(\approx 1)}{\text { small }}
$$
这会导致灾难性的取消。
然而,一个简单的操作解决了这个问题:
$$
r=\frac{-1+\sqrt{1-4 a c}}{2 a} \frac{-1-\sqrt{1-4 a c}}{-1-\sqrt{1-4 a c}}=\frac{4 a c}{-1-\sqrt{1-4 a c}} .
$$
这两个公式在理论上是等价的,但在计算上是不同的!
小修正规则:然而,当它是对最后几位数字的“小修正”时,低精度数字通常是可以接受的。像这样的表达
$$
x_{n+1}=x_n+\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}{x_n-x_{n-1}}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Existence and Uniqueness of the SVD

Let us now show that every matrix has an SVD.
Theorem $2.3$ (existence of SVD). Every malrix $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ has a simyuldr value decomposition. The singular values are unique and
$$
\left{\sigma_i^2\right}_{i=1}^p=\left{\begin{array}{lll}
\sigma\left(\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A}\right) & \text { if } & m \geq n, \
q\left(\mathrm{AA}^{\mathrm{H}}\right) & \text { ir } & I I I I,
\end{array}\right.
$$
where $p=\min (m, n)$. Recall that the symbol $\sigma(\mathrm{B})$ stands for the spectrum of the square matrix $\mathrm{B}$.
Proof. (existence) Let us set
$$
\sigma_1=|\mathbf{A}|_2=\sup {|\boldsymbol{x}|{\mathcal{R}^2\left(\mathbb{C}^n\right)}=1}|\mathbf{A} \boldsymbol{x}|_{\mathcal{Z}^2\left(\mathbb{C}^m\right)} .
$$
Arguing by compactness, and using I heorem B.47, there is a vector $v_1 \in \mathbb{C}^{\prime \prime}$ with $\left|\boldsymbol{v}1\right|{\ell^2\left(\mathbb{C}^n\right)}=1$ such that $\left.|\mathbf{A}|_2=\left|A \boldsymbol{v}1\right|{\ell^2} \mathbb{( C}^m\right)=\sigma_1$. Define $\boldsymbol{u}1=|\mathrm{A}|_2^{-1} \mathrm{~A} \boldsymbol{v}_1$. Then $$ \mathbf{A} \boldsymbol{v}_1=\sigma_1 \boldsymbol{u}_1, \quad\left|\boldsymbol{u}_1\right|{\ell^2\left(\mathbb{C}^m\right)}=1 .
$$
Using the Gram-Schmidt orthogonalization process described in Section A.5, we can extend $\left{\boldsymbol{v}_1\right}$ to an orthonormal basis of $\mathbb{C}^n$ and $\left{\boldsymbol{u}_1\right}$ to an orthonormal basis of $\mathbb{C}^m$. In doing so, we obtain matrices
$$
\mathrm{U}_1=\left[\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_m\right] \in \mathbb{C}^{m \times m}, \quad \mathbf{V}_1=\left[\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n\right] \in \mathbb{C}^{n \times n},
$$
which are unitary and, more importantly, satisfy
$$
\mathrm{AV}_1=\mathrm{U}_1\left[\begin{array}{cc}
\sigma_1 & \boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \
\mathbf{0} & \mathrm{B}
\end{array}\right]=\mathrm{U}_1 \mathrm{~S}
$$
for some $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^{n-1}$ and $\mathrm{B} \in \mathbb{C}^{(m-1) \times(n-1)}$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Further Properties of the SVD

The main motivation for the SVD was to try to construct an analogue of the spectral decomposition, which we know is only valid for square, nondefective matrices. Let us study now the relation between these two constructions, which in principle are not related to each other.

Theorem 2.6 (SVD and rank). Let $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$. Then $\operatorname{rank}(\mathrm{A})$ coincides with the number of nonzero singular values.

Proof. We write the SVD: $A=U \Sigma V^H$. Since $U$ and $V$ are unitary, they are full rank. By Theorem 1.16, $\operatorname{rank}(\mathrm{A})=\operatorname{rank}(\Sigma)$ and since $\Sigma$ is diagonal, the assertion follows.

Theorem $2.7$ (range and kernel through SVD). Let $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ with $\operatorname{rank}(\mathrm{A})=r$. Suppose that an SVD for $\mathrm{A}$ is given by $\mathrm{A}=\mathrm{U} \Sigma \mathrm{V}^{\mathrm{H}}$, where $\boldsymbol{u}1, \ldots, \boldsymbol{u}_m$ denote the columns of $\mathrm{U}$ and $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n$ denote the columns of $\mathrm{V}$. Then $$ \left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle=\operatorname{im}(\mathrm{A}) \text { and }\left\langle\boldsymbol{v}{r+1}, \ldots, \boldsymbol{v}n\right\rangle=\operatorname{ker}(\mathrm{A}) \text {. } $$ Proof. ( $\subseteq$ ) From the SVD one can easily write $\mathbf{A} \boldsymbol{v}_i=\sigma_i \boldsymbol{u}_i$, for $i=1, \ldots, r$. This proves immediately that $\boldsymbol{u}_i \in \operatorname{im}(\mathrm{A})$, for $i=1, \ldots, r$. Since im $(\mathrm{A})$ is a subspace of $\mathbb{C}^m$, any linear combination of $\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r$ is in $\operatorname{im}(\mathrm{A})$. Hence, $\left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle \subseteq \operatorname{im}(\mathrm{A})$. (२) Let $\boldsymbol{y} \in \operatorname{im}(\mathrm{A})$. Then there exists $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n$ such that $\mathrm{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$. This implies that $\mathrm{U} \Sigma \mathrm{V}^H \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ for some $\boldsymbol{x}$. Let $\boldsymbol{x}^{\prime}=\mathrm{V}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}$. Then, for some $\boldsymbol{x}^{\prime} \in \mathbb{C}^n, \mathrm{U} \boldsymbol{\boldsymbol { x } ^ { \prime }}=\boldsymbol{y}$. Set $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\Sigma \boldsymbol{x}^{\prime}$. Note that $\boldsymbol{x}^{\prime \prime} \in \mathbb{C}^m$ and $x{r+1}^{\prime \prime}=\cdots=x_m^{\prime \prime}=0$. Hence, for some $\boldsymbol{x}^{\prime \prime} \in \mathbb{C}^m$, $U \boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\boldsymbol{y}$. Now we write
$$
\boldsymbol{y}=\mathbf{U} \boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^m x_j^{\prime \prime} \boldsymbol{u}j=\sum{j=1}^r x_j^{\prime \prime} \boldsymbol{u}j \in\left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle $$ This proves that $\left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle \supseteq \mathrm{im}(\mathrm{A})$, and we are done. ( $\subseteq$ ) From the SVD one can easily write $\mathbf{A} \boldsymbol{v}_i=\mathbf{0}$, for $i=r+1, \ldots, n$. This proves immediately that $v_i \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$, for $i=r+1, n$ Since ker $(\mathrm{A})$ is subepare of $\mathbb{C}^n$, any linear combination of $\boldsymbol{v}{r+1}, \ldots, \boldsymbol{v}n$ is in $\operatorname{ker}(\mathrm{A})$. Hence, $\left\langle\boldsymbol{v}{r+1}, \ldots, \boldsymbol{v}_n\right\rangle \subseteq$ $\operatorname{ker}(\mathrm{A})$

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数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Existence and Uniqueness of the SVD

现在让我们证明每个矩阵都有一个 SVD。
定理2.3 (SVD 的存在)。每一个恶意 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 具有 simyuldr 值分解。奇异值是唯一的并且 $\$ \$$
Veft{\sigma_i^2\right } } _ { – } { i = 1 } ^ { \wedge p } = \backslash l \text { eft } {
$\sigma\left(\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A}\right) \quad$ if $\quad m \geq n, q\left(\mathrm{AA}^{\mathrm{H}}\right) \quad$ ir $\quad I I I I$
正确的。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Further Properties of the SVD

SVD 的主要动机是尝试构建谱分解的模拟,我们知道它仅对方阵、无缺陷矩阵有效。现在让我们研究这两 个结构之间的关系,这两个结构原则上彼此无关。
定理 $2.6$ (SVD 和秩)。让 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$. 然后 $r a n k(\mathrm{~A})$ 与非零奇异值的数量一致。
证明。我们编写 SVD: $A=U \Sigma V^H$. 自从 $U$ 和 $V$ 是么正的,它们是满秩的。根据定理 1.16, $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\Sigma)$ 从那以后 $\Sigma$ 是对角线的,断言如下。
定理2.7 (范围和内核通过 SVD) 。让 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 和 $\operatorname{rank}(\mathrm{A})=r$. 假设 SVD 对于 $\mathrm{A}$ 是(谁) 给的 $\mathrm{A}=\mathrm{U} \Sigma \mathrm{V}^{\mathrm{H}}$ , 在哪里 $\boldsymbol{u} 1, \ldots, \boldsymbol{u}m$ 表示列 $\mathrm{U}$ 和 $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n$ 表示列V. 然后 $$ \left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle=\operatorname{im}(\mathrm{A}) \text { and }\langle\boldsymbol{v} r+1, \ldots, \boldsymbol{v} n\rangle=\operatorname{ker}(\mathrm{A}) . $$ 证明。( $\subseteq$ ) 从 SVD 可以很容易地写出 $\mathbf{A} \boldsymbol{v}_i=\sigma_i \boldsymbol{u}_i$ ,为了 $i=1, \ldots, r$. 这立即证明 $\boldsymbol{u}_i \in \operatorname{im}(\mathrm{A})$ , 为 了 $i=1, \ldots, r$. 自从我 $(\mathrm{A})$ 是一个子空间 $\mathbb{C}^m$ ,的任何线性组合 $\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r$ 在im(A). 因此, $\left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle \subseteq \operatorname{im}(\mathrm{A})$. (२) 让 $\boldsymbol{y} \in \operatorname{im}(\mathrm{A})$. 那么存在 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n$ 这样 $\mathrm{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$. 这意味着 $\mathrm{U} \Sigma \mathrm{V}^H \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 对于一些 $\boldsymbol{x}$. 让 $\boldsymbol{x}^{\prime}=\mathrm{V}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}$. 那么,对于一些 $\boldsymbol{x}^{\prime} \in \mathbb{C}^n, \mathrm{U} \boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{y}$. 放 $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\Sigma \boldsymbol{x}^{\prime}$. 注意 $\boldsymbol{x}^{\prime \prime} \in \mathbb{C}^m$ 和 $x r+1^{\prime \prime}=\cdots=x_m^{\prime \prime}=0$. 因此,对于一些 $\boldsymbol{x}^{\prime \prime} \in \mathbb{C}^m , U \boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\boldsymbol{y}$. 现在我们写 $$ \boldsymbol{y}=\mathbf{U} \boldsymbol{x}^{\prime \prime}=\sum{j=1}^m x_j^{\prime \prime} \boldsymbol{u} j=\sum j=1^r x_j^{\prime \prime} \boldsymbol{u} j \in\left\langle\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_r\right\rangle
$$
$i=r+1, \ldots, n$. 这立即证明 $v_i \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$ ,为了 $i=r+1, n$ 由于 $\operatorname{ker}(\mathrm{A})$ 低于 $\mathbb{C}^n$ ,的任何线性组合 $\boldsymbol{v} r+1, \ldots, \boldsymbol{v} n$ 在 $\operatorname{ker}(\mathrm{A})$. 因此, $\left\langle\boldsymbol{v} r+1, \ldots, \boldsymbol{v}_n\right\rangle \subseteq \operatorname{ker}(\mathrm{A})$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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