分类：黎曼几何代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

We can now officially define the main object of study of this chapter, one-parameter semigroups on Riemann surfaces.

Definition 5.2.1. Let $X$ be a Riemann surface. A one-parameter semigroup of holomorphic maps (briefly, a one-parameter semigroup) on $X$ is a continuous semigroup homomorphism $\Phi$ from $\mathbb{R}^{+}$to $\operatorname{Hol}(X, X)$ endowed with the composition. A one-parameter group of holomorphic maps on $X$ is a continuous group homomorphism from $(\mathbb{R},+)$ to $\operatorname{Hol}(X, X)$. When $t \in \mathbb{R}^{+}$and $z \in X$, we shall often write $\Phi_t(z)$ or $\Phi(t, z)$ instead of $\Phi(t)(z)$. The trivial one-parameter semigroup is the trivial homomorphism $\Phi_t \equiv \operatorname{id}_X$ for all $t \in \mathbb{R}^{+}$. Finally, we shall say that a nontrivial one-parameter semigroup is periodic if there exists $t_0>0$ such that $\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}_X$.

Remark 5.2.2. The definition of one-parameter semigroup as a continuous map $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$ has as an immediate consequence the fact that also the map, still denoted by $\Phi$, from $\mathbb{R}^{+} \times X$ to $X$ sending $(t, z)$ in $\Phi_t(z)$ is continuous.

Remark 5.2.3. If $\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}X$, then $\Phi{k t_0} \equiv \mathrm{id}X$ for all $k \in \mathbb{N}$. Furthermore, if $t>t_0$, writing $t=s+k t_0$ with $k=\left\lfloor t / t_0\right\rfloor \in \mathbb{N}$ and $s \in\left[0, t_0\right)$ we see that $\Phi_t \equiv \Phi_s$, and hence $\Phi$ is completely determined by $\Phi{\left[0, t_0\right]}$.

Our first result shows that not every function can be imbedded in a one-parameter semigroup

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups on Riemann surfaces

The aim of this section is to thoroughly investigate one-parameter semigroups on Riemann surfaces different from the unit disk, postponing the study of one-parameter semigroups on $\mathbb{D}$ to the remaining sections of this chapter.
Our task is made possible by the following.
Proposition 5.3.1. Let $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$ be a one-parameter semigroup on a Riemann surface $X$ with non-Abelian fundamental group. Then $\Phi$ is trivial.
Proof. By Theorem 2.6.2, we should have $\Phi_t \equiv \mathrm{id}_X$ for small $t$, and hence for all $t$.
So, we are left with just a few cases to investigate; let us start with the Riemann sphere.

Proposition 5.3.2. Let $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(\widehat{\mathbb{C}}, \widehat{\mathbb{C}})$ be a nontrivial one-parameter semigroup on the Riemann sphere $\widehat{\mathbb{C}}$. Then $\Phi$ extends to a one-parameter group, still denoted by $\Phi$, and there is $\gamma \in \operatorname{Aut}(\widehat{\mathbb{C}})$ such that either:
(i) $y^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=z+$ at for some $a \in \mathbb{C}^$, or (ii) $\gamma^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=e^{-b t} z$ for some $b \in \mathbb{C}^$.
In case (i), $\Phi$ has a unique fixed point with spectral value 0 and it is never periodic. In case (ii), $\Phi$ has two distinct fixed points with spectral value respectively $\pm b$; moreover, $\Phi$ is periodic if and only if $b \in \mathbb{R}^* i$ and then it has period $2 \pi /|b|$.

Proof. By Propositions 5.2.4 and 5.2.5, $\Phi$ extends to a one-parameter group, because the compactness of $\widehat{\mathbb{C}}$ implies that any injective holomorphic self-map of $\widehat{\mathbb{C}}$ is also surjective, and hence an automorphism.

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

现在我们可以正式定义本章的主要研究对象，黎曼曲面上的单参数半群。

5.2.1.定义设$X$为黎曼曲面。在$X$上的全纯映射的单参数半群(简称为单参数半群)是一个从$\mathbb{R}^{+}$到$\operatorname{Hol}(X, X)$的具有复合的连续半群同态$\Phi$。$X$上全纯映射的单参数群是从$(\mathbb{R},+)$到$\operatorname{Hol}(X, X)$的连续群同态。当$t \in \mathbb{R}^{+}$和$z \in X$时，我们经常写$\Phi_t(z)$或$\Phi(t, z)$而不是$\Phi(t)(z)$。平凡单参数半群是所有$t \in \mathbb{R}^{+}$的平凡同态$\Phi_t \equiv \operatorname{id}X$。最后，我们将说一个非平凡单参数半群是周期的，如果存在$t_0>0$使得$\Phi{t_0} \equiv \mathrm{id}_X$。

5.2.2.将单参数半群定义为连续映射$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$的直接结果是，在$\Phi_t(z)$中发送$(t, z)$的从$\mathbb{R}^{+} \times X$到$X$的映射(仍然表示为$\Phi$)也是连续的。

5.2.3.如果是$\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}X$，那么所有的$k \in \mathbb{N}$都是$\Phi{k t_0} \equiv \mathrm{id}X$。此外，如果$t>t_0$，用$k=\left\lfloor t / t_0\right\rfloor \in \mathbb{N}$和$s \in\left[0, t_0\right)$写$t=s+k t_0$，我们看到$\Phi_t \equiv \Phi_s$，因此$\Phi$完全由$\Phi{\left[0, t_0\right]}$决定。

我们的第一个结果表明，不是每个函数都可以嵌入到单参数半群中

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups on Riemann surfaces

本节的目的是深入研究不同于单位盘的黎曼曲面上的单参数半群，将$\mathbb{D}$上的单参数半群的研究推迟到本章的其余部分。
我们的任务是通过以下方式实现的。
提案5.3.1。设$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$为黎曼曲面$X$上具有非阿贝尔基群的单参数半群。那么$\Phi$是微不足道的。
证明。根据定理2.6.2，对于小的$t$，我们应该有$\Phi_t \equiv \mathrm{id}_X$，因此对于所有的$t$。
所以，我们只剩下几个案例需要调查;让我们从黎曼球开始。

提案5.3.2。设$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(\widehat{\mathbb{C}}, \widehat{\mathbb{C}})$为黎曼球$\widehat{\mathbb{C}}$上的非平凡单参数半群。然后$\Phi$扩展为一个单参数组，仍然用$\Phi$表示，并且$\gamma \in \operatorname{Aut}(\widehat{\mathbb{C}})$使得:
(i) $y^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=z+$ at对于一些$a \in \mathbb{C}^$，或(ii) $\gamma^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=e^{-b t} z$对于一些$b \in \mathbb{C}^$。
在(i)情况下，$\Phi$有一个唯一的不动点，其谱值为0，且不具有周期性。在情形(ii)中，$\Phi$有两个不同的不动点，其光谱值分别为$\pm b$;而且，$\Phi$是周期的当且仅当$b \in \mathbb{R}^* i$它的周期是$2 \pi /|b|$。

证明。通过命题5.2.4和5.2.5,$\Phi$推广到一个单参数群，因为$\widehat{\mathbb{C}}$的紧性意味着$\widehat{\mathbb{C}}$的任何单射全纯自映射也是满射，因此是自同构。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Parabolic type and boundary smoothness

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Parabolic type and boundary smoothness

In the last section, we saw that parabolic self-maps of $\mathbb{D}$ fall in two categories having different dynamical behavior: positive hyperbolic step and zero hyperbolic step. So it is interesting to have some procedure to decide to which category a given parabolic self-map belongs.

In this section, we collect a few results of this kind, assuming a bit of regularity at the Wolff point. The main technical step is the following.

Proposition 4.7.1. Let $F \in \operatorname{Hol}\left(\mathrm{H}^{+}, \mathbb{H}^{+}\right)$be of the form $F(w)=w+i \alpha+\eta(w)$ with $\alpha \in \mathbb{C}$ and
$$
\lim _{w \rightarrow \infty} \eta(w)=0
$$
Then:
(i) F is parabolic with Wolff point at infinity;
(ii) $\frac{1}{v} F^v\left(w_0\right) \rightarrow$ i $\alpha$ as $v \rightarrow+\infty$ for every $w_0 \in \mathbb{H}^{+}$;
(iii) $\operatorname{Re} \alpha \geq 0$;
(iv) for each $w_0 \in \mathbb{H}^{+}$, the sequence $\left{\operatorname{Im} F^v\right.$ ( $\left.\left.w_0\right)\right}$ is not decreasing;
(v) if $\alpha=0$, then $F$ has zero hyperbolic step;
(vi) $F$ has zero hyperbolic step if and only if $\operatorname{Im} F^v\left(w_0\right) \rightarrow+\infty$ for some (and hence all) $w_0 \in \mathbb{H}^{+}$;
(vii) if $\operatorname{Re} \alpha>0$, then $F$ has zero hyperbolic step;
(viii) if $\alpha \neq 0$, then the orbit $\left{F^v\left(w_0\right)\right}$ tends to $\infty$ nontangentially if and only if $\operatorname{Re} \alpha>0$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Boundary fixed points

Recall that a boundary fixed point of a $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is a point $\sigma \in \partial \mathbb{D}$ such that $f(\sigma)=\sigma$, where $f(\sigma)$ is the nontangential limit of $f$ at $\sigma$ (see Definition 2.3.14). In Remark 2.3.15, we saw that if $\sigma$ is a boundary fixed point then we can define the derivative $f^{\prime}(\sigma)$ of $f$ at $\sigma$ by setting $f^{\prime}(\sigma)=\beta_f(\sigma) \in(0,+\infty]$; in particular, $f^{\prime}(\sigma)$ is the nontangential limit of $f^{\prime}$ at $\sigma$ when $\beta_f(\sigma)<+\infty$.

Definition 4.8.1. Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be a holomorphic self-map of the unit disk. We say that $\sigma \in \partial \mathbb{D}$ is a boundary repelling fixed point if it is a boundary fixed point with $f^{\prime}(\sigma)>1$. Given $A>1$, we shall set
$$
\operatorname{Fix}_A(f)=\left{\sigma \in \partial \mathbb{D} \mid f(\sigma)=\sigma \text { and } f^{\prime}(\sigma) \leq A\right}
$$
Corollaries 2.3.16 and 2.5.5 say that if $f$ has a fixed point in $\mathbb{D}$, then all boundary fixed points are repelling, and that if $f$ has no fixed points in $\mathbb{D}$ then exactly one boundary fixed point is not repelling, the Wolff point of $f$. Furthermore, we have $f^{\prime}\left(\sigma_1\right) f^{\prime}\left(\sigma_2\right) \geq 1$ for all pairs of boundary fixed points (Theorem 2.3.13 contains a more precise estimate for boundary contact points).

In this section, we shall prove a precise quantitative generalization of these facts that we shall use in the next section to study the backward dynamics of a holomorphic self-map of $\mathbb{D}$.

We shall need two lemmas. The first one concerns Blaschke products (see Definition 1.5.5).

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Parabolic type and boundary smoothness

在上一节中，我们看到$\mathbb{D}$的抛物线自映射分为两类，它们具有不同的动力学行为:正双曲阶跃和零双曲阶跃。因此，用某种程序来决定给定的抛物型自映射属于哪一类是很有趣的。

在本节中，我们收集了一些这样的结果，假设在Wolff点上有一些规律性。主要的技术步骤如下。

提案4.7.1。让$F \in \operatorname{Hol}\left(\mathrm{H}^{+}, \mathbb{H}^{+}\right)$的形式为$F(w)=w+i \alpha+\eta(w)$，其中包含$\alpha \in \mathbb{C}$和
$$
\lim _{w \rightarrow \infty} \eta(w)=0
$$
然后:
(i) F在无穷远处具有Wolff点的抛物线;
(ii)对于每一个$w_0 \in \mathbb{H}^{+}$, $\frac{1}{v} F^v\left(w_0\right) \rightarrow$ I $\alpha$为$v \rightarrow+\infty$;
(iii) $\operatorname{Re} \alpha \geq 0$;
(iv)对于每个$w_0 \in \mathbb{H}^{+}$，顺序$\left{\operatorname{Im} F^v\right.$ ($\left.\left.w_0\right)\right}$)不递减;
(v)如果$\alpha=0$，则$F$的双曲步长为零;
(vi) $F$有零双曲阶跃当且仅当$\operatorname{Im} F^v\left(w_0\right) \rightarrow+\infty$对于一些(因此全部)$w_0 \in \mathbb{H}^{+}$;
(vii)若$\operatorname{Re} \alpha>0$，则$F$的双曲步长为零;
(viii)如果$\alpha \neq 0$，则轨道$\left{F^v\left(w_0\right)\right}$非切向$\infty$当且仅当$\operatorname{Re} \alpha>0$。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Boundary fixed points

回想一下，$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$的边界不动点是一个点$\sigma \in \partial \mathbb{D}$，使得$f(\sigma)=\sigma$，其中$f(\sigma)$是$f$在$\sigma$处的非切极限(参见定义2.3.14)。在2.3.15中，我们看到，如果$\sigma$是一个边界不动点，那么我们可以通过设置$f^{\prime}(\sigma)=\beta_f(\sigma) \in(0,+\infty]$来定义$f$在$\sigma$处的导数$f^{\prime}(\sigma)$;其中，$f^{\prime}(\sigma)$为$\beta_f(\sigma)<+\infty$时$f^{\prime}$在$\sigma$处的非切向极限。

4.8.1.定义设$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$为单位盘的全纯自映射。如果$\sigma \in \partial \mathbb{D}$与$f^{\prime}(\sigma)>1$为边界不动点，则称其为边界排斥不动点。给定$A>1$，我们将设置
$$
\operatorname{Fix}_A(f)=\left{\sigma \in \partial \mathbb{D} \mid f(\sigma)=\sigma \text { and } f^{\prime}(\sigma) \leq A\right}
$$
推论2.3.16和2.5.5说，如果$f$在$\mathbb{D}$中有一个不动点，那么所有的边界不动点都是排斥的，如果$f$在$\mathbb{D}$中没有不动点，那么只有一个边界不动点不排斥，即$f$的沃尔夫点。此外，对于所有对边界不动点，我们有$f^{\prime}\left(\sigma_1\right) f^{\prime}\left(\sigma_2\right) \geq 1$(定理2.3.13包含对边界接触点的更精确的估计)。

在本节中，我们将证明这些事实的一个精确的定量推广，我们将在下一节中使用这些事实来研究$\mathbb{D}$的全纯自映射的后向动力学。

我们需要两个引理。第一个涉及Blaschke产品(见定义1.5.5)。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Elliptic dynamics

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Elliptic dynamics

Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D}) \backslash\left{\mathrm{id}{\mathbb{D}}\right}$ with Wolff point $\tau_f \in \overline{\mathbb{D}}$. If $\tau_f \in \mathbb{D}$, the Schwarz-Pick lemma implies that $\left|f^{\prime}\left(\tau_f\right)\right| \leq 1$, with equality if and only if $f$ is an elliptic automorphism. On the other hand, if $\tau_f \in \partial \mathbb{D}$ then Corollary 2.5.5 implies that $0{\mathbb{D}}\right}$ with Wolff point $\tau_f \in \overline{\mathbb{D}}$. We say that $f$ is:

elliptic if $\tau_f \in \mathbb{D}$
hyperbolic if $\tau_f \in \partial \mathbb{D}$ and $0<f^{\prime}\left(\tau_f\right)<1$;
parabolic if $\tau_f \in \partial \mathbb{D}$ and $f^{\prime}\left(\tau_f\right)=1$.
Moreover, if $f$ is elliptic we shall say that it is attracting if $0<\left|f^{\prime}\left(\tau_f\right)\right|<1$ and that it is superattracting if $f^{\prime}\left(\tau_f\right)=0$.

We begin studying attracting elliptic functions, which is the easiest case. We shall see that the dynamics is modeled on the dynamics of the linear map $F(z)=f^{\prime}\left(\tau_f\right) z$; in particular, we shall obtain a model (in the sense of Definition 3.5.2) of the form $(\mathbb{C}, \psi, F)$ and we shall show that the orbits approach the Wolff point in a way comparable to the way the orbits of $F$ approach the origin. This is the content of the Kœnigs theorem.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Superattracting dynamics

The superattracting elliptic case has slightly different features, mainly because the function $f$ is never injective in a neighborhood of its Wolff point, and thus it cannot have a model in the sense of Theorem 3.5.10. However, we shall still be able to change variables so that in the new coordinates $f$ will be expressed in a simple form; but in general it will not be possible to extend the coordinate map to the whole of $\mathbb{D}$. To express our results, we need a couple of definitions.
Definition 4.2.1. Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ and let
$$
f(z)=a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2+\cdots
$$
be the power series expansion of $f$ at a point $z_0 \in \mathbb{D}$. The multiplicity $m_f^1\left(z_0\right)$ of $f$ at $z_0$ is given by $m_f^1\left(z_0\right)=\min \left{k \mid a_k \neq 0\right}$. More generally, given $v \geq 1$ the $v$-multiplicity $m_f^v\left(z_0\right)$ of $f$ at $z_0$ is the multiplicity of $f^v$ at $z_0$, i. e., $m_f^v\left(z_0\right)=m_{f^v}^1\left(z_0\right)$.

Clearly, we have $f(0)=0$ if and only if $m_f^1(0) \geq 1$ and 0 is superattracting if and only if $m_f^1(0) \geq 2$.

We shall now prove the superattracting version of Theorem 4.1.2, the Böttcher theorem.

Theorem 4.2.2 (Böttcher, 1904). Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be superattracting elliptic. Let $\tau_f \in \mathbb{D}$ be its Wolff point, and $m \geq 2$ the multiplicity of $f-\tau_f$ at $\tau_f$. Then:
(i) there exists a simply connected $f$-absorbing domain $A \subset \mathbb{D}$ containing $\tau_f$ and $a$ never vanishing holomorphic function $\psi \in \operatorname{Hol}(A, \mathbb{C})$ with $\psi\left(\tau_f\right)=1$ such that the function $\varphi(z)=z \psi(z)$ is the unique solution of the functional equation
$$
\varphi \circ f(z)=\varphi(z)^m
$$
satisfying $\varphi\left(\tau_f\right)=0$ and $\varphi^{\prime}\left(\tau_f\right)=1$;
(ii) for every $z \in A \backslash\left{\tau_f\right}$, we have
$$
\lim _{v \rightarrow+\infty}\left[\frac{f^{v+1}(z)-\tau_f}{f^v(z)-\tau_f}\right]^{1 / m^v}=\varphi(z)^{m-1} .
$$
Proof. As we have seen in the proof of Theorem 4.1.2, recalling in particular (4.4), without loss of generality we can assume that $\tau_f=0$.

黎曼曲面代考

写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Elliptic dynamics

让$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D}) \backslash\left{\mathrm{id}{\mathbb{D}}\right}$与沃尔夫点$\tau_f \in \overline{\mathbb{D}}$。当$\tau_f \in \mathbb{D}$, Schwarz-Pick引理表明$\left|f^{\prime}\left(\tau_f\right)\right| \leq 1$，当且仅当$f$是椭圆自同构。另一方面，如果$\tau_f \in \partial \mathbb{D}$则推论2.5.5意味着$0{\mathbb{D}}\right}$与沃尔夫点$\tau_f \in \overline{\mathbb{D}}$。我们说$f$是:

椭圆if $\tau_f \in \mathbb{D}$

双曲if $\tau_f \in \partial \mathbb{D}$和$0<f^{\prime}\left(\tau_f\right)<1$;

抛物线是$\tau_f \in \partial \mathbb{D}$和$f^{\prime}\left(\tau_f\right)=1$。
而且，如果$f$是椭圆的，我们就说它吸引$0<\left|f^{\prime}\left(\tau_f\right)\right|<1$，超吸引$f^{\prime}\left(\tau_f\right)=0$。

我们开始研究吸引椭圆函数，这是最简单的情况。我们将看到动力学是基于线性图的动力学建模$F(z)=f^{\prime}\left(\tau_f\right) z$;特别地，我们将得到一个形式为$(\mathbb{C}, \psi, F)$的模型(在定义3.5.2的意义上)，我们将表明轨道接近沃尔夫点的方式与$F$的轨道接近原点的方式相当。这就是Kœnigs定理的内容。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Superattracting dynamics

超吸引椭圆情况的特征略有不同，主要是因为函数$f$在其Wolff点的邻域内从不内射，因此它不可能具有定理3.5.10意义上的模型。但是，我们仍然可以改变变量，以便在新的坐标中$f$将以简单的形式表示;但一般来说，不可能将坐标图扩展到整个$\mathbb{D}$。为了表达我们的结果，我们需要几个定义。
4.2.1.定义让$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$和让
$$
f(z)=a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2+\cdots
$$
是$f$在$z_0 \in \mathbb{D}$点的幂级数展开式。$f$在$z_0$的多重性$m_f^1\left(z_0\right)$由$m_f^1\left(z_0\right)=\min \left{k \mid a_k \neq 0\right}$给出。更一般地说，给定$v \geq 1$, $f$ at $z_0$的$v$ -多重性$m_f^v\left(z_0\right)$就是$f^v$ at $z_0$的多重性，即$m_f^v\left(z_0\right)=m_{f^v}^1\left(z_0\right)$。

显然，我们有$f(0)=0$当且仅当$m_f^1(0) \geq 1$并且0是超吸引的当且仅当$m_f^1(0) \geq 2$。

现在我们要证明定理4.1.2的超吸引版本，Böttcher定理。

定理4.2.2 (Böttcher, 1904)。设$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$为超吸引椭圆。设$\tau_f \in \mathbb{D}$为其沃尔夫点，$m \geq 2$为$f-\tau_f$在$\tau_f$处的多重数。然后:
(1)存在一个含有$\tau_f$和$a$不灭全纯函数$\psi \in \operatorname{Hol}(A, \mathbb{C})$与$\psi\left(\tau_f\right)=1$的单连通$f$吸收域$A \subset \mathbb{D}$，使得函数$\varphi(z)=z \psi(z)$是泛函方程的唯一解
$$
\varphi \circ f(z)=\varphi(z)^m
$$
满足$\varphi\left(\tau_f\right)=0$和$\varphi^{\prime}\left(\tau_f\right)=1$;
(ii)对于每一个$z \in A \backslash\left{\tau_f\right}$，我们有
$$
\lim _{v \rightarrow+\infty}\left[\frac{f^{v+1}(z)-\tau_f}{f^v(z)-\tau_f}\right]^{1 / m^v}=\varphi(z)^{m-1} .
$$
证明。正如我们在定理4.1.2的证明中所看到的，特别回顾(4.4)，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设$\tau_f=0$。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Burns-Krantz theorem

Posted on 2023年5月20日2023年5月20日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Burns-Krantz theorem

In Example 2.5.7, we noticed that we can find a function $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D}) \backslash \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ such that $f(1)=1$ and $f^{\prime}(1)=1$. This in sharp contrast with the uniqueness part of the Schwarz lemma, which says that if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is such that $f(0)=0$ and $f^{\prime}(0)=1$ then $f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$. This section is devoted to finding a satisfying boundary version of the uniqueness part of the Schwarz lemma.

A possible reformulation of the uniqueness part of the Schwarz lemma is the following: if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is such that $f(z)=z+o(|z|)$, then $f \equiv \mathrm{id}{\mathbb{D}}$. To get a boundary version of this statement, one might look for $c>0$ such that if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is such that $f(z)=z+o\left(|\sigma-z|^c\right)$ as $z \rightarrow \sigma \in \partial \mathbb{D}$ then $f \equiv \mathrm{id}{\mathbb{D}}$. Example 2.5.7 (see also Example 2.7.5 below) shows that $c$ must be necessarily at least 3 ; indeed, we shall prove (Theorem 2.7.4) that the best value of $c$ is exactly 3. To do so, we shall start from the (more invariant) uniqueness part of the Schwarz-Pick lemma Corollary 1.1.16 that can be stated as follows: if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is such that
$$
\left|f^h(z)\right|=\left|f^{\prime}(z)\right| \frac{1-|z|^2}{1-|f(z)|^2}=1+o(1)
$$
as $z \rightarrow z_0 \in \mathbb{D}$ then $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$. In Theorem 2.7.2, we shall show that if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is such that
$$
\left|f^h(z)\right|=1+o\left(|\sigma-z|^2\right)
$$
as $z \rightarrow \sigma \in \partial \mathbb{D}$ then $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, and the exponent 2 is optimal. From this, it will not be too difficult to deduce Theorem 2.7.4.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Discrete dynamics on Riemann surfaces

In this chapter, we begin to deal with the main argument of this book: holomorphic dynamics. As anticipated in the Introduction (and in the title of the book), we shall mainly deal with hyperbolic Riemann surfaces, where the whole strength of the Montel theorem is available. The idea is that if $X$ is a hyperbolic Riemann surface and $f \in \operatorname{Hol}(X, X)$ then the sequence of iterates of $f$ is a normal family and so its behavior cannot be chaotic. For this reason, holomorphic dynamics on hyperbolic Riemann surfaces is completely different from holomorphic dynamics on elliptic Riemann surfaces (i. e., $\widehat{\mathbb{C}}$ ) or parabolic Riemann surfaces (e. g., $\mathbb{C}$ ), where a large part of the theory is devoted to studying the chaotic part of the dynamics, concentrated on the so-called Julia set. On hyperbolic Riemann surfaces, the Julia set is empty: indeed, we shall be able to prove that (with a few exceptions completely classified in the case of automorphisms) the sequence of iterates of a holomorphic self-map of a hyperbolic Riemann surface either is compactly divergent or converges, uniformly on compact sets, to a constant.

This is the best result of this kind for a generic hyperbolic Riemann surface. But if $D \subset \widehat{X}$ is a hyperbolic domain then we can say something more. In this case, in fact, $\operatorname{Hol}(D, D)$ is contained in $\operatorname{Hol}(D, \widehat{X})$, a space without compactly divergent sequences; therefore, the sequence of iterates of a function $f \in \operatorname{Hol}(D, D)$ is relatively compact in $\operatorname{Hol}(D, \widehat{X})$ and so it always has converging subsequences, converging possibly to a point of $\partial D$

This observation (already somewhat anticipated in Proposition 1.7.20) leads to the core of this chapter: the Heins theorem, stating that if $D \subset \widehat{X}$ is a hyperbolic domain of regular type and $f \in \operatorname{Hol}(D, D)$ is not an automorphism then the sequence of iterates of $f$ converges, uniformly on compact sets, to a constant $\tau \in \bar{D}$, the Wolff point of $f$.

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Burns-Krantz theorem

在例2.5.7中，我们注意到我们可以找到一个函数$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D}) \backslash \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$，这样$f(1)=1$和$f^{\prime}(1)=1$。这与施瓦茨引理的唯一性部分形成鲜明对比，该引理说，如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$是这样的，$f(0)=0$和$f^{\prime}(0)=1$那么$f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$。本节致力于寻找Schwarz引理唯一性部分的令人满意的边界版本。

施瓦茨引理唯一性部分的一个可能的重新表述如下:如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$满足$f(z)=z+o(|z|)$，那么$f \equiv \mathrm{id}{\mathbb{D}}$。要得到这个语句的边界版本，可以查找$c>0$，如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$是这样的，那么$f(z)=z+o\left(|\sigma-z|^c\right)$就是$z \rightarrow \sigma \in \partial \mathbb{D}$，那么$f \equiv \mathrm{id}{\mathbb{D}}$。例2.5.7(参见下面的例2.7.5)表明$c$必须至少为3;事实上，我们将证明(定理2.7.4)$c$的最佳值正好是3。为此，我们将从Schwarz-Pick引理推论1.1.16的(更不变的)唯一性部分开始，可以这样表述:如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$是这样的
$$
\left|f^h(z)\right|=\left|f^{\prime}(z)\right| \frac{1-|z|^2}{1-|f(z)|^2}=1+o(1)
$$
如$z \rightarrow z_0 \in \mathbb{D}$，然后$f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$。在定理2.7.2中，我们将证明如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$满足
$$
\left|f^h(z)\right|=1+o\left(|\sigma-z|^2\right)
$$
如$z \rightarrow \sigma \in \partial \mathbb{D}$，则$f \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$，且指数2为最优。由此，推导定理2.7.4并不太难。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Discrete dynamics on Riemann surfaces

在本章中，我们开始讨论本书的主要论点:全纯动力学。正如引言(以及本书的标题)中所预期的那样，我们将主要处理双曲黎曼曲面，在那里可以得到蒙特尔定理的全部力量。这个想法是，如果$X$是一个双曲黎曼曲面和$f \in \operatorname{Hol}(X, X)$，那么$f$的迭代序列是一个正常族，因此它的行为不可能是混沌的。因此，双曲黎曼曲面上的全纯动力学与椭圆黎曼曲面(如$\widehat{\mathbb{C}}$)或抛物线黎曼曲面(如$\mathbb{C}$)上的全纯动力学完全不同，后者的大部分理论都致力于研究动力学的混沌部分，集中在所谓的Julia集合上。在双曲黎曼曲面上，Julia集合是空的:事实上，我们将能够证明(除了在自同构的情况下完全分类的少数例外)双曲黎曼曲面的全纯自映射的迭代序列要么紧发散，要么在紧集合上一致收敛于一个常数。

这是对一般双曲黎曼曲面的最佳结果。但是如果$D \subset \widehat{X}$是一个双曲域，那么我们可以做更多。在这种情况下，$\operatorname{Hol}(D, D)$实际上被包含在$\operatorname{Hol}(D, \widehat{X})$这个没有紧发散序列的空间中;因此，一个函数$f \in \operatorname{Hol}(D, D)$的迭代序列在$\operatorname{Hol}(D, \widehat{X})$中是相对紧凑的，因此它总是有收敛的子序列，可能收敛到点 $\partial D$

这个观察(在命题1.7.20中已经有所预测)引出了本章的核心:海因斯定理，说明如果$D \subset \widehat{X}$是正则型双曲域，而$f \in \operatorname{Hol}(D, D)$不是自同态，那么$f$的迭代序列在紧集合上一致地收敛于常数$\tau \in \bar{D}$，即$f$的Wolff点。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Julia lemma

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Julia lemma

In this section, we shall introduce the horocycles, a sort of boundary Poincaré balls. Using them we shall state, prove, and discuss the Julia lemma and, in the next sections, its consequences concerning angular derivatives.

Fix $\tau \in \partial \mathbb{D}$. From a geometrical point of view, the limit of Poincaré balls of constant Euclidean radius and center $z$ for $z \rightarrow \tau$ is an Euclidean disk tangent to the boundary of $\mathbb{D}$ in $\tau$. We are thus led to the following definition.

Definition 2.1.1. The horocycle $E(\tau, R) \subset \mathbb{D}$ of center $\tau \in \partial \mathbb{D}$ and radius $R>0$ is the Euclidean disk of radius $R /(R+1)$ tangent to $\partial \mathbb{D}$ in $\tau$; see Figure 2.1. Analytically, it is easy to see that the horocycle $E(\tau, R)$ is given by
$$
E(\tau, R)=\left{z \in \mathbb{D} \mid \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2}<R\right}
$$
Remark 2.1.2. A formula that sometimes will be useful and that relates the horocycles with the generalized Cayley transform introduced in Definition 1.3.5 is the following:
$$
\frac{1-|z|^2}{|\tau-z|^2}=\operatorname{Re}\left(\frac{\tau+z}{\tau-z}\right)=\operatorname{Im} \Psi_\tau(z)
$$
valid for all $\tau \in \partial \mathbb{D}$ and $z \in \mathbb{D}$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Stolz regions and nontangential limits

In this section, we want to study more accurately the boundary behavior of the universal covering map of a particular kind of multiply connected hyperbolic domains.
Definition 1.8.1. A (always noncompact) domain $D$ of a compact Riemann surface $\widehat{X}$ is of regular type if
(a) every connected component of $\partial D$ is either a Jordan curve (i. e., a closed simple continuous curve) or an isolated point;
(b) every connected component $\Sigma$ of $\partial D$ has a neighborhood $V$ in $\widehat{X}$ such that $V \cap \partial D=\Sigma$
(c) if $\Sigma$ is an isolated point, we can take $V$ to be simply connected; if $\Sigma$ is a Jordan curve, we require that $V$ is doubly connected and is such that $V \backslash \Sigma$ has exactly two connected components, both simply connected, one contained in $D$, and the other one contained in $\widehat{X} \backslash \bar{D}$.

If $\Sigma$ is a connected component of $\partial D$, we shall say that $\Sigma$ is a point component if it is an isolated point and that it is a Jordan component otherwise. Furthermore, to every component $\Sigma$ of $\partial D$ we associate the element $\left[\sigma_{\Sigma}\right]$ in $\pi_1(D)$ represented by any simple loop $\sigma_{\Sigma}$ in $D \cap V$ separating $\Sigma$ from $\partial D \backslash \Sigma$ and leaving $\Sigma$ on its left side; two such loops are homotopic in $D \cap V$. We say that $\Sigma$ is irrelevant if $\sigma_{\Sigma}$ is null-homotopic in $D$; it is relevant otherwise. Finally, if $\pi_D: \widetilde{X} \rightarrow D$ is the universal covering map of $D$ and $\Gamma_D \subset \operatorname{Aut}(\widetilde{X})$ is the automorphism group of the covering, we set $\gamma_{\Sigma}=\mu\left[\sigma_{\Sigma}\right] \in \Gamma_D$, where $\mu_{:} \pi_1(D) \rightarrow \Gamma_D$ is the isomorphism introduced in Proposition 1.6.9 (see also Remark 1.6.10).

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Julia lemma

在本节中，我们将介绍环，一种边界球。利用它们，我们将陈述、证明和讨论茱莉亚引理，并在下一节中讨论它关于角导数的结果。

修复$\tau \in \partial \mathbb{D}$。从几何角度看，对于$z \rightarrow \tau$，具有恒定欧氏半径和中心$z$的庞加莱球的极限是一个与$\tau$中$\mathbb{D}$的边界相切的欧氏圆盘。因此，我们得出以下定义。

2.1.1.定义旋风 $E(\tau, R) \subset \mathbb{D}$ 中心的 $\tau \in \partial \mathbb{D}$ 半径 $R>0$ 欧几里得圆盘的半径是多少 $R /(R+1)$ 正切 $\partial \mathbb{D}$ 在 $\tau$;见图2.1。从分析的角度来看，很容易看出 $E(\tau, R)$ 是由
$$
E(\tau, R)=\left{z \in \mathbb{D} \mid \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2}<R\right}
$$
2.1.2.备注下面的公式有时会很有用，它将环与定义1.3.5中引入的广义Cayley变换联系起来:
$$
\frac{1-|z|^2}{|\tau-z|^2}=\operatorname{Re}\left(\frac{\tau+z}{\tau-z}\right)=\operatorname{Im} \Psi_\tau(z)
$$
对所有人都有效 $\tau \in \partial \mathbb{D}$ 和 $z \in \mathbb{D}$．

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Stolz regions and nontangential limits

在这一节中，我们想要更精确地研究一类特殊的多重连通双曲域的通用覆盖映射的边界行为。
1.8.1.定义紧致黎曼曲面$\widehat{X}$的一个(总是非紧致的)定义域$D$是正则型if
(a) $\partial D$的每个连通分量要么是一条约旦曲线(即一条封闭的简单连续曲线)，要么是一个孤立点;
(b) $\partial D$的每个连接组件$\Sigma$在$\widehat{X}$中都有一个邻域$V$，使得$V \cap \partial D=\Sigma$
(c)如果$\Sigma$是孤立点，我们可以取$V$为单连通;如果$\Sigma$是约旦曲线，我们要求$V$是双连接的，并且要求$V \backslash \Sigma$恰好有两个连接的组件，都是单连接的，一个包含在$D$中，另一个包含在$\widehat{X} \backslash \bar{D}$中。

如果$\Sigma$是$\partial D$的连通分量，那么如果$\Sigma$是一个孤立的点，我们就说它是一个点分量，否则就说它是一个Jordan分量。此外，对于$\partial D$的每个组件$\Sigma$，我们将$\pi_1(D)$中的元素$\left[\sigma_{\Sigma}\right]$关联为$D \cap V$中的任何简单循环$\sigma_{\Sigma}$，将$\Sigma$与$\partial D \backslash \Sigma$分开，并将$\Sigma$留在其左侧;两个这样的循环在$D \cap V$中是同伦的。如果$\sigma_{\Sigma}$是$D$的零同伦，我们说$\Sigma$是无关的;这是相关的。最后，如果$\pi_D: \widetilde{X} \rightarrow D$是$D$的泛覆盖映射，$\Gamma_D \subset \operatorname{Aut}(\widetilde{X})$是覆盖的自同构群，则设$\gamma_{\Sigma}=\mu\left[\sigma_{\Sigma}\right] \in \Gamma_D$，其中$\mu_{:} \pi_1(D) \rightarrow \Gamma_D$为命题1.6.9中引入的同构(参见备注1.6.10)。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Hyperbolic Riemann surfaces and the Montel theorem

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Hyperbolic Riemann surfaces and the Montel theorem

In this section, we shall use the geometrical structure induced by the Poincare distance on any hyperbolic Riemann surface to derive a direct proof of the Montel theorem. The significance of this approach is twofold. On one side, it is a beautiful example of the correlation between geometrical and functional aspects of the theory of holomorphic functions. On the other side, the constructions involved here will be fundamental for the rest of the book.

Our first aim is to transfer the Poincaré distance from $\mathbb{D}$ to any hyperbolic Riemann surface.

Definition 1.7.1. Let $X$ be a hyperbolic Riemann surface and denote by $\pi_X: \mathbb{D} \rightarrow X$ its universal covering map. Then the Poincaré distance $\omega_X: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^{+}$on $X$ is given for all $z, w \in X$ by
$$
\omega_X(z, w)=\inf \left{\omega(\tilde{z}, \tilde{w}) \mid \tilde{z} \in \pi_X^{-1}(z), \tilde{w} \in \pi_X^{-1}(w)\right}
$$
We shall denote by $B_X(z, r)$ the Poincaré ball of center $z \in X$ and radius $r>0$ for $\omega_X$. A geodesic for $\omega_X$ is a continuous curve $\sigma: I \rightarrow X$, where $I \subseteq \mathbb{R}$ is a (possibly infinite) interval, such that for each $t_0 \in I$ there exists $\delta>0$ such that $\omega_X(\sigma(s), \sigma(t))=|s-t|$ for all $\mathrm{s}, t \in\left(t_0-\delta, t_0+\delta\right)$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Boundary behavior of the universal covering map

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Hyperbolic Riemann surfaces and the Montel theorem

在这一节中，我们将利用任何双曲黎曼曲面上庞加莱距离引起的几何结构来推导蒙特尔定理的直接证明。这种方法的意义是双重的。一方面，它是全纯函数理论的几何方面和泛函方面之间联系的一个很好的例子。另一方面，这里涉及的结构将是本书其余部分的基础。

我们的第一个目标是将从$\mathbb{D}$到任何双曲黎曼曲面的庞加莱距离转移。

1.7.1.定义设$X$为双曲黎曼曲面，用$\pi_X: \mathbb{D} \rightarrow X$表示它的泛覆盖图。然后给出$X$上所有$z, w \in X$的poincar距离$\omega_X: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^{+}$
$$
\omega_X(z, w)=\inf \left{\omega(\tilde{z}, \tilde{w}) \mid \tilde{z} \in \pi_X^{-1}(z), \tilde{w} \in \pi_X^{-1}(w)\right}
$$
我们用$B_X(z, r)$表示中心为$z \in X$的poincar球，用$r>0$表示$\omega_X$的半径。$\omega_X$的测地线是一条连续曲线$\sigma: I \rightarrow X$，其中$I \subseteq \mathbb{R}$是一个(可能是无限的)区间，因此对于每个$t_0 \in I$都存在$\delta>0$，因此对于所有$\mathrm{s}, t \in\left(t_0-\delta, t_0+\delta\right)$都存在$\omega_X(\sigma(s), \sigma(t))=|s-t|$。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MTH3022

Posted on 2023年2月1日2023年2月1日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写黎曼曲面Riemann surface这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

我们提供的黎曼曲面Riemann surface及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

In this section we will count the cells in the chains $\varphi, \tau$, and $\psi$ that were defined in the previous section. Note that
$$
\begin{gathered}
\varphi=\sum_r(A K)^r \eta \
\tau=\sum_r(-K A)^r H \varphi \
\psi=\sum_r(-K A)^r K \nu
\end{gathered}
$$
We will show that the number of nondegenerate cubical cells in one of these chains is bounded by $C^n$, by parametrizing the cells with trees.

Suppose $z$ is a point in $Z_I$, with $|I|=n$. Consider the chain $F(K A)^r z$. It is a sum of cells of the form
$$
F K_{k_r} \alpha_r \ldots K_{k_1} \alpha_1 z
$$
Each of these cells is an $r$-cube. Our main construction will be to describe the points in these cells using graphs (which are trees).

Fix a sequence $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$. In particular there is a sequence of indices $I=$ $I_0, I_1, \ldots, I_r$ such that $\alpha_j: I_{j-1} \rightarrow I_j$. We will associate a graph to this choice as follows. The vertices are arrayed in $r+1$ rows, with the top row having $n+2$ vertices and bottom row having $n+r+2$ vertices. The $j$ th row from the top has $n+j+2$ vertices. The vertices are numbered from right to left in each row, beginning with 0 , and we denote the $k$ th vertex in the $j$ th row by $v_{j k}$. The vertices at the ends of the rows, $v_{j 0}$ and $v_{j(n+j+1)}$, are called side vertices. The edges of the graph go from vertices in one row to vertices in the next. There is an edge connecting $v_{j-1 i}$ to $v_{j k}$ if and only if $\alpha_j^{+}(k)=i$. Thus in each row except the bottom one, there is exactly one vertex with two edges emanating from below, and all of the other vertices have one edge below. The edges, when drawn as straight lines, do not intersect, because the maps $\alpha^{+}$ are order preserving. The edges drawn from $v_{j 0}$ to $v_{j+10}$ and from $v_{j(n+j+1)}$ to $v_{(j+1)(n+j+2)}$ are called side edges.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

We can decompose the graph into strands, with the strands joining forks. The forks are the vertices which are connected to three edges (in other words the vertices $v_{j k}$ such that $\alpha_{j+1}^{+}(k)=\alpha_{j+1}^{+}(k+1)=k$ ), as well as, by convention, the top and bottom vertices. The strands are the unbroken sequences of edges joining forks, in other words the sequences of edges which meet at interior vertices with only two edges. Side strands are those consisting of side edges. The graph formed by the forks and strands considered as vertices and edges, is a union of binary trees. If a number is assigned to each non-side edge, then one obtains a number for each non-side strand as follows. Suppose $\sigma$ is a strand, composed of edges $e_1, \ldots, e_m$. Set
$$
t(\sigma)=\min \left(1, t\left(e_1\right)+\ldots+t\left(e_m\right)\right) .
$$
In the above construction, the point $u$ depends only on the numbers $t(\sigma)$ assigned to the strands. Here is another description of the construction of $u$. For each strand $\sigma$ there are indices $i(\sigma)$ and $j(\sigma)$, representing the indices corresponding to the left and right sides of the edges in the strand, respectively. If the strand $\sigma$ contains an edge ending in a vertex $v_{j k}$, then $i(\sigma)=i_{j, k-1}$ and $j(\sigma)=i_{j, k}$. (The notation $i(e)$ and $j(e)$ will also be used for an edge $e$.) Realize the tree geometrically, with a strand $\sigma$ represented by a line segment of length 1. Let $T$ denote the geometric realization of the tree. Then the function $t$ from the set of strands into $[0,1]$, and the initial point $z$, determine a map $\Psi_{z, t}: T \rightarrow Z$. Write $z=\left(z_1, \ldots, z_n\right)$. The top vertices of the tree go to the points $z_k \in Z$. The left and right side strands are mapped to $P$ and $Q$ respectively. If $\sigma$ is any strand, $\Psi_{z, t}$ maps the segment corresponding to $\sigma$ into $Z$ using the flow $f_{i(\sigma) j(\sigma)}$, beginning with the point corresponding to the fork $v$ at the top of $\sigma$, and moving at speed $t(\sigma)$. The beginning point $\Psi_{z, t}(v)$ has already been constructed inductively. If $p$ is a point on the segment $\sigma$, at distance $y$ below the fork $v, \Psi_{z, t}(p)=f_{i(\sigma) j(\sigma)}\left(\Psi_{z, t}(v), t(\sigma) y\right)$. Finally, the the values of $\Psi_{z, t}$ on the $n+r$ bottom vertices provide the points $u_1, \ldots, u_{n+r}$ to determine $u=u(z, t) \in Z_{I_r}$.

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

在本节中，我们将计算链中的单元格 $\varphi, \tau$ ，和 $\psi$ 在上一节中定义的。注意
$$
\varphi=\sum_r(A K)^r \eta \tau=\sum_r(-K A)^r H \varphi \psi=\sum_r(-K A)^r K \nu
$$
我们将证明这些链之一中非退化立方晶胞的数量受限于 $C^n$ ，通过用树参数化细胞。
认为 $z$ 是一个点 $Z_I$ ，和 $|I|=n$. 考虑链条 $F(K A)^r z$. 它是以下形式的单元格的总和
$$
F K_{k_r} \alpha_r \ldots K_{k_1} \alpha_1 z
$$
这些细胞中的每一个都是一个 $r$-立方体。我们的主要结构是使用图形 (树) 来描述这些单元格中的点。
修复序列 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$. 特别是有一系列指数 $I=I_0, I_1, \ldots, I_r$ 这样 $\alpha_j: I_{j-1} \rightarrow I_j$. 我们将如下所示将图表与该选择相关联。顶点排列在 $r+1$ 行，顶行有 $n+2$ 顶点和底行有 $n+r+2$ 顶点。这 $j$ 从上数第 th 排有 $n+j+2$ 顶点。顶点在每一行中从右到左编号，从 0 开始，我们表示 $k$ 中的第个顶点 $j$ 排在 $v_{j k}$. 行末尾的顶点， $v_{j 0}$ 和 $v_{j(n+j+1)}$ ，称为边顶点。图的边从一行中的顶点到下一行中的顶点。有边连接 $v_{j-1 i}$ 到 $v_{j k}$ 当且仅当 $\alpha_j^{+}(k)=i$. 因此，在每一行中，除了底部的一行，只有一个顶点有两条边从下面发出，而所有其他顶点都有一条边在下面。绘制为直线时，边缘不相交，因为地图 $\alpha^{+}$保持秩序。从绘制的边缘 $v_{j 0}$ 到 $v_{j+10}$ 从 $v_{j(n+j+1)}$ 到 $v_{(j+1)(n+j+2)}$ 称为侧边。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

我们可以将图分解成链，链连接叉。叉子是连接到三个边的顶点（换句话说，顶点 $v_{j k}$ 这样 $\alpha_{j+1}^{+}(k)=\alpha_{j+1}^{+}(k+1)=k$ ，以及按照惯例，顶部和底部顶点。链是连接叉的边的连续序列，换句话说，边的序列在只有两条边的内部顶点处相遇。侧股是由侧边组成的股。由被视为顶点和边的叉和链形成的图是二叉树的并集。如果为每个非侧边分配了一个数字，则如下所示为每个非侧边链获得一个数字。认为 $\sigma$ 是一条链，由边组成 $e_1, \ldots, e_m$. 放
$$
t(\sigma)=\min \left(1, t\left(e_1\right)+\ldots+t\left(e_m\right)\right) .
$$
在上面的构造中，要点 $u$ 只取决于数字 $t(\sigma)$ 分配给股。这是对构造的另一种描述 $u$. 对于每一股 $\sigma$ 有指数 $i(\sigma)$ 和 $j(\sigma)$ ，分别表示对应于链中边缘的左侧和右侧的索引。如果链 $\sigma$ 包含以顶点结束的边 $v_{j k}$ ，然后 $i(\sigma)=i_{j, k-1}$ 和 $j(\sigma)=i_{j, k}$. (符号 $i(e)$ 和 $j(e)$ 也将用于边缘 $e$.) 在几何上实现树，用一根线 $\sigma$ 由长度为 1 的线段表示。让 $T$ 表示树的几何实现。然后是函数 $t$ 从一组股到 $[0,1]$ ，和初始点 $z$ ，确定一张地图 $\Psi_{z, t}: T \rightarrow Z$. 写 $z=\left(z_1, \ldots, z_n\right)$. 树的顶部顶点去点 $z_k \in Z$. 左侧和右侧链映射到 $P$ 和 $Q$ 分别。如 $t(\sigma)$. 起点 $\Psi_{z, t}(v)$ 已经被归纳构造。如果 $p$ 是线段上的一个点 $\sigma$ ，在远处 $y$ 在叉子下面 $v, \Psi_{z, t}(p)=f_{i(\sigma) j(\sigma)}\left(\Psi_{z, t}(v), t(\sigma) y\right)$. 最后，价值 $\Psi_{z, t}$ 在 $n+r$ 底部顶点提供点 $u_1, \ldots, u_{n+r}$ 确定 $u=u(z, t) \in Z_{I_r}$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MATH3405

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

我们提供的黎曼曲面Riemann surface及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|CONSTRUCTION OF FLOWS

In this section we construct some flows on the one dimensional manifold $Z$. These will be used in following sections to move relative homology cycles. We will take some care in the construction of the flows, to obtain technically useful properties.

Suppose that $g$ is a holomorphic function on $Z$, such as one of the functions $g_{i j}(z)=g_i(z)-g_j(z)$. We want to construct a flow $f(z, t)$ with the property that $f(z, 0)=z$, and $g(f(z, t))$ is “downwind” of $g(z)$ in a certain desired direction. In other words, the time derivative of $g(f(z, t))$ is contained in an angular sector of the form
$$
S(\pm \delta) \stackrel{\text { def }}{=}\left{r e^{i \theta}: \theta \in[\pi-\delta, \pi+\delta]\right}
$$
so $g(f(z, t))$ is contained in an angular sector of the form
$$
S(g(z), \pm \delta) \stackrel{\text { def }}{=}\left{g(z)+r e^{i \theta}: \theta \in[\pi-\delta, \pi+\delta]\right} .
$$
We would also like to insure that at $t=1$, the flow has the effect of moving $g(f(z, t))$ a certain distance away from $g(z)$. This will be possible unless critical points of $g$ are encountered first. We require some special behaviour as the flow moves past critical points. There will be a one dimensional subset $\Lambda \subset \mathrm{C}$, the union of paths which are approximately paths of steepest descent leading away from critical points of $g$. The flow $f$ will have the effect of moving points to $\Lambda$, and then along $\Lambda$ away from the critical points.

Recall that we are admitting the possibility of rotating the $t$ or $\zeta$ planes. This is the same as multiplying the function $g$ by $e^{i \theta}$. After making such a rotation, we can assume that the desired direction of flow is in the negative real direction. Note that $g(P)=0$ for any of the functions $g_{i j}$ considered. Thus rotation preserves $g(P)$.

Our construction of flows will make reference to four numbers, a choice of angular error $\delta$, a choice of small number $\sigma$, a choice of number $L$, and a choice of radius $R$. The number $L$ represents the minimum amount by which the real part of $g$ should be decreased by the flow, unless a critical point is encountered. The angular error represents the maximum allowed deviation from the negative real direction, for the direction in which $g(z)$ moves when $z$ is moved by the flow. The $\sigma$ is a small number which indicates what happens when the flow goes past a critical point.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MOVING RELATIVE HOMOLOGY CHAINS

In this section we will describe a formalism for moving relative homology chains. We will form a double complex to calculate relative homology, and then consider homotopies in this complex. It will be done explicitly, so as to facilitate getting bounds.
$Z$ is a complex manifold of dimension one, the universal cover of the original Riemann surface $S$. We consider indices $I=\left(i_0, \ldots, i_n\right)$, saying $|I|=n$. For each such index let $Z_I$ be the space $Z^n$. Let
$$
Z_n=\coprod_{|I|=n} Z_I, \quad Z_*=\coprod_I Z_I .
$$
We will work with chains which are combinations of singular and de Rham chains. Our manifolds will have linear structures, in other words embeddings as open sets in vector spaces. By a $k$-chain on such a manifold $Y$ we will mean a linear functional on the space of $C^{\infty}$ differential $k$-forms on $Y$ which can be expressed as a sum of components of the following form $h(u * H)$. Here $H$ is a $k+l$ dimensional space, compact, with linear structure and algebraic boundary, together with $h: H \rightarrow Y$ a smooth algebraic map (in other words the map is given by coordinate functions which are algebraic over the ring of polynomial functions on $H$ ). It is contracted with a smooth differential $l$-form $u$ on $H$. Such a chain provides a linear functional on the space of $k$-forms $a$ by the rule
$$
\langle h(u * H), a\rangle=\int_H u \wedge h^*(a) .
$$
The reader may think primarily of singular chains (corresponding to the case when $u$ is just the function 1). The more general singular-de Rham chains arise because we use cutoff functions later in the argument. Still, we usually denote $\langle\eta, a\rangle$ by $\int_\eta a$.

These algebraic singular-de Rham chains are functorial with respect to continuous piecewise polynomial maps (even though more general types of currents are not). Suppose $f: Y \rightarrow Y^{\prime}$ is continuous and piecewise polynomial, and suppose $h(u * H)$ is a $k$-chain on $Y$. The composition $f h: H \rightarrow Y^{\prime}$ is continuous and piecewise polynomial. We may further subdivide $H$ into finitely many pieces $H_i$ (with algebraic boundaries) such that on each $H_i, f h$ is polynomial. Let $u_i$ be the restriction of $u$ to $H_i$. Then define
$$
f(h(u * H))=\sum(f h)\left(u_i * H_i\right)
$$

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|CONSTRUCTION OF FLOWS

在本节中，我们在一维流形上构造一些流 $Z$. 这些将在以下部分中用于移动相对同源循环。我们将在构建流程时注意一些，以获得技术上有用的属性。
假设 $g$ 是一个全纯函数 $Z$, 比如函数之一 $g_{i j}(z)=g_i(z)-g_j(z)$. 我们要构造一个流 $f(z, t)$ 与财产 $f(z, 0)=z$ ，和 $g(f(z, t))$ 是“顺风”的 $g(z)$ 朝着某个想要的方向。换句话说，时间导数 $g(f(z, t))$ 包含在表格的角扇区中
所以 $g(f(z, t))$ 包含在表格的角扇区中
我们还想确保在 $t=1$, 流动有移动的效果 $g(f(z, t))$ 距离一定距离 $g(z)$. 这将是可能的，除非关键点 $g$ 最先遇到。当流经过临界点时，我们需要一些特殊的行为。会有一个一维子集 $\Lambda \subset \mathrm{C}$ ，路径的并集，这些路径近似于远离临界点的最陡下降路径 $g$. 流量 $f$ 将具有移动点的效果 $\Lambda$, 然后沿着 $\Lambda$ 远离临界点。
回想一下，我们承认旋转的可能性 $t$ 或者 $\zeta$ 飞机。这与乘以函数相同 $g$ 经过 $e^{i \theta}$. 进行这样的旋转后，我们可以假设所需的流动方向为负实方向。注意 $g(P)=0$ 对于任何功能 $g_{i j}$ 经过考虑的。因此旋转保留 $g(P)$.
我们的流程建设将参考四个数字，角度误差的选择 $\delta$ ，小数的选择 $\sigma$ ，数的选择 $L$ ，以及半径的选择 $R$. 号码 $L$ 表示实部的最小量 $g$ 应该随流量减少，除非遇到临界点。角度误差表示与负实方向的最大允许偏差，对于其中的方向 $g(z)$ 移动时 $z$ 被流动所感动。这 $\sigma$ 是一个小数字，表示当流量超过临界点时会发生什么。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MOVING RELATIVE HOMOLOGY CHAINS

在本节中，我们将描述移动相对同源链的形式主义。我们将形成一个双复形来计算相对同源性，然后考虑这个复形中的同伦。它将明确地完成，以便于获得界限。
$Z$ 是一维复流形，原黎曼曲面的普覆盖 $S$. 我们考虑指数 $I=\left(i_0, \ldots, i_n\right)$ ，说 $|I|=n$. 对于每个这样的索引让 $Z_I$ 成为空间 $Z^n$. 让
$$
Z_n=\coprod_{|I|=n} Z_I, \quad Z_*=\coprod_I Z_I
$$
我们将使用由奇异链和 de Rham 链组合而成的链。我们的流形将具有线性结构，换句话说，嵌入作为向量空间中的开集。通过一个 $k$-链在这样的流形上 $Y$ 我们将表示空间上的线性泛函 $C^{\infty}$ 微分 $k$-表格 $Y$ 可以表示为以下形式的组件的总和 $h(u * H)$. 这里 $H$ 是一个 $k+l$ 维空间，紧凑，具有线性结构和代数边界，连同 $h: H \rightarrow Y$ 光滑的代数映射（换句话说，该映射由坐标函数给出，这些坐标函数是多项式函数环上的代数函数 $H)$. 它与光滑的微分收缩 $l$-形式 $u$ 在 $H$. 这样的链提供了空间上的线性泛函 $k$-形式 $a$ 按规定
$$
\langle h(u * H), a\rangle=\int_H u \wedge h^*(a) .
$$
读者可能主要想到单数链 (对应于以下情况 $u$ 只是函数 1)。更一般的奇异 de Rham 链的出现是因为我们在后面的论证中使用了截止函数。尽管如此，我们通常表示 $\langle\eta, a\rangle$ 经过 $\int_\eta a$.
这些代数奇异 de Rham 链是关于连续分段多项式映射的函子 (尽管更一般类型的电流不是)。认为 $f: Y \rightarrow Y^{\prime}$ 是连续的分段多项式，假设 $h(u * H)$ 是一个 $k$-连锁 $Y$. 组成 $f h: H \rightarrow Y^{\prime}$ 是连续的分段多项式。我们可以进一步细分 $H$ 分成有限多块 $H_i$ （具有代数边界) 使得在每个 $H_i, f h$ 是多项式。让 $u_i$ 是限制 $u$ 到 $H_i$. 然后定义
$$
f(h(u * H))=\sum(f h)\left(u_i * H_i\right)
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|KMA152

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

我们提供的黎曼曲面Riemann surface及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS ON A PdEMANN SURFACE

Let $S$ be a compact Riemann surface. We will consider systems of first order ordinary differential equations on $S$
$$
(d-t A-B) m=0
$$
where $A$ and $B$ are $k \times k$ matrices of holomorphic one-forms on $S, t$ is a complex parameter, and $m$ is a column vector or $k \times k$ matrix of functions. We make the following assumption:
$A$ is a diagonal matrix with one-forms $a_1, \ldots, a_k$ along the diagonal. The diagonal entries of $B$ are equal to zero.

The solutions of the system of differential equations are multivalued holomorphic functions on $S$, so it is more convenient to introduce the universal cover $Z=\tilde{S}$. This is complex analytically equivalent to a domain in the complex plane, and it is sometimes useful to keep such an embedding in mind.

Fix a base point $P$ in $Z$ (lying above a base point which we also denote by $P$ in $S$ ). There is a unique matrix valued solution $m(z)$ defined for $z \in Z$, specified by initial conditions $m(P)=I$. For any point $Q$ on $Z$, the value $m(Q)$ is well defined. It depends on the parameter $t$, so we obtain an entire matrix valued function $m(t)=m(Q, t)$ of the complex variable $t$.

Our aim is to investigate the behavior of $m(t)$ as $t \rightarrow \infty$. We can state a theorem which is essentially the main result. Restrict to positive real values of t. Recall that an asymptotic expansion for $m(t)$ is an expression
$$
m(t) \sim \sum_{i=1}^{\Gamma} \sum_{j=J}^{\infty} \sum_{k=0}^{K(j)} c_{i j k} e^{\lambda_i t} t^{-\frac{1}{N}}(\log t)^k
$$
where the real parts of the exponents are equal-say $\Re \lambda_i=\xi$ for all $i$, such that for each $M$ there is a $y(M)$ and a constant $C(M)$ such that for $t \geq y(M)$,
$$
\left|m(t)-\sum_{i=1}^r \sum_{j=J}^{N M} \sum_{k=0}^{K(j)} c_{i j k} e^{\lambda, t} t^{-\frac{1}{N}}(\log t)^k\right| \leq C(M) e^{\xi t} t^{-M} .
$$
Call the numbers $\lambda_i$ the complex exponents of the expansion, and the number $\xi$ the real exponent or just the exponent.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|LAPLACE TRANSFORM, ASYMPTOTIC EXPANSIONS

Classically, the method of the stationary phase (or steepest descent) provided asymptotic expansions for integrals such as
$$
\int f(z) e^{-t x^2} d z .
$$
In this paper we are interested in obtaining asymptotic expansions for more general integrals such as
$$
m(t)=\int_\eta b e^{t g},
$$
where $g$ is a holomorphic function on a complex manifold, $b$ is a holomorphic differential form of top degree, and $\eta$ is a cycle in homology or relative homology (of real dimension equal to the complex dimension of the manifold). Instead of applying the method of stationary phase directly to such an integral, it will be more useful to take the Laplace transform first. The Laplace transform keeps lower order information which is lost upon going to the asymptotic expansion. If several such integrals are added together and their asymptotic expansions cancel, then an asymptotic expansion at lower exponent can be recovered from the sum of the Laplace transforms.

Suppose that $m(t)$ is an entire holomorphic function of order $\leq 1$. This means that there is a bound
$$
|m(t)| \leq C e^{a|t|} .
$$
The Laplace transform of $m$ is defined to be the integral
$$
f(\zeta)=\int_0^{\infty} m(t) e^{-\zeta t} d t .
$$
The integration is taken along a direction in which the integrand is rapidly decreasing. $f(\zeta)$ is defined and holomorphic for $|\zeta|>a$, and it vanishes at $\infty$. Conversely the function $m(t)$ can be recovered as the inverse Laplace transform
$$
m(t)=\frac{1}{2 \pi i} \oint f(\zeta) e^{\zeta t} d \zeta .
$$
Here the path of integration is a large circle running once counterclockwise around the annulus $|\zeta|>a$.

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS ON A PdEMANN SURFACE

让 $S$ 是一个紧致的黎曼曲面。我们将考虑一阶常微分方程组 $S$
$$
(d-t A-B) m=0
$$
在哪里 $A$ 和 $B$ 是 $k \times k$ 上的全纯单形矩阵 $S, t$ 是一个复杂的参数，并且 $m$ 是列向量或 $k \times k$ 函数矩阵。我们做出以下假设:
$A$ 是具有一种形式的对角矩阵 $a_1, \ldots, a_k$ 沿着对角线。的对角线条目 $B$ 等于零。
微分方程组的解是上的多值全纯函数 $S$ ，所以引入万能盖更方便 $Z=\tilde{S}$. 这在复杂的分析上等同于复平面中的域，有时记住这样的嵌入是有用的。
确定一个基点 $P$ 在 $Z$ (位于一个基点之上，我们也用 $P$ 在 $S$ ). 存在唯一矩阵值解 $m(z)$ 定义为 $z \in Z$ ，由初始条件指定 $m(P)=I$. 对于任何一点 $Q$ 在 $Z$ ，价值 $m(Q)$ 定义明确。这取决于参数 $t$ ，所以我们得到一个完整的矩阵值函数 $m(t)=m(Q, t)$ 复杂变量的 $t$.
我们的目标是调查以下行为 $m(t)$ 作为 $t \rightarrow \infty$. 我们可以陈述一个本质上是主要结果的定理。限制为 $\mathrm{t}$ 的正实数值。回想一下渐近展开 $m(t)$ 是一个表达式
$$
m(t) \sim \sum_{i=1}^{\Gamma} \sum_{j=J}^{\infty} \sum_{k=0}^{K(j)} c_{i j k} e^{\lambda_i t} t^{-\frac{1}{N}}(\log t)^k
$$
指数的实部相等的地方 $\Re \lambda_i=\xi$ 对所有人 $i$ ，这样对于每个 $M$ 有一个 $y(M)$ 和一个常数 $C(M)$ 这样对于 $t \geq y(M)$
$$
\left|m(t)-\sum_{i=1}^r \sum_{j=J}^{N M} \sum_{k=0}^{K(j)} c_{i j k} e^{\lambda, t} t^{-\frac{1}{N}}(\log t)^k\right| \leq C(M) e^{\xi t} t^{-M}
$$
拨打号码 $\lambda_i$ 展开的复指数和数 $\xi$ 实指数或只是指数。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|LAPLACE TRANSFORM, ASYMPTOTIC EXPANSIONS

经典地，固定阶段（或最速下降) 的方法为积分提供了渐近展开，例如
$$
\int f(z) e^{-t x^2} d z
$$
在本文中，我们感兴趣的是获得更一般积分的渐近展开，例如
$$
m(t)=\int_\eta b e^{t g},
$$
在哪里 $g$ 是复流形上的全纯函数， $b$ 是最高阶的全纯微分形式，并且 $\eta$ 是同源或相对同源的循环（实维等于流形的复维)。与其将固定相法直接应用于此类积分，不如先进行拉普拉斯变换更有用。拉普拉斯变换保留了在进行渐近展开时丢失的低阶信息。如果将几个这样的积分加在一起并且它们的渐近展开抵消，则可以从拉普拉斯变换的和中恢复较低指数的渐近展开。
假设 $m(t)$ 是阶的整全纯函数 $\leq 1$. 这意味着有界
$$
|m(t)| \leq C e^{a|t|} .
$$
的拉普拉斯变换 $m$ 被定义为积分
$$
f(\zeta)=\int_0^{\infty} m(t) e^{-\zeta t} d t
$$
沿着被积函数快速减小的方向进行积分。 $f(\zeta)$ 被定义并且是全纯的 $|\zeta|>a$ ，它消失在 $\infty$. 函数反之 $m(t)$ 可以恢复为拉普拉斯逆变换
$$
m(t)=\frac{1}{2 \pi i} \oint f(\zeta) e^{\zeta t} d \zeta .
$$
这里积分的路径是一个大圆圈，绕着圆环逆时针方向运行一次 $|\zeta|>a$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|KMA152

Posted on 2022年8月16日2022年8月16日 by statistics-lab

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支，黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形，即在每一点的切线空间上有一个内积，从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Global Version

Now we state the global version of the Gauss-Bonnet theorem. In other words we want to generalize (1.33) to the case when $\Gamma$ is a region of $M$ that is not necessarily homeomorphic to a disk; see for instance Figure 1.4. As we will find, the result depends on the Euler characteristic $\chi(\Gamma)$ of this region.

In what follows, by a triangulation of $M$ we mean a decomposition of $M$ into curvilinear polygons (see Definition 1.31). Notice that every compact surface admits a triangulation. ${ }^{3}$

Definition $1.34$ Let $M \subset \mathbb{R}^{3}$ be a compact oriented surface with piecewise smooth boundary $\partial M$. Consider a triangulation of $M$. We define the Euler characteristic of $M$ as
$$
\chi(M):=n_{2}-n_{1}+n_{0},
$$
where $n_{i}$ is the number of $i$-dimensional faces in the triangulation.
The Euler characteristic can be defined for every region $\Gamma$ of $M$ in the same way. Here, by a region $\Gamma$ on a surface $M$ we mean a closed domain of the manifold with piecewise smooth boundary.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Consequences of the Gauss–Bonnet Theorems

Definition $1.39$ Let $M, M^{\prime}$ be two surfaces in $\mathbb{R}^{3}$. A smooth map $\phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow$ $\mathbb{R}^{3}$ is called a local isometry between $M$ and $M^{\prime}$ if $\phi(M)=M^{\prime}$ and for every $q \in M$ it satisfies
$$
\langle v \mid w\rangle=\left\langle D_{q} \phi(v) \mid D_{q} \phi(w)\right\rangle, \quad \forall v, w \in T_{q} M .
$$
If, moreover, the map $\phi$ is a bijection then $\phi$ is called a global isometry. Two surfaces $M$ and $M^{\prime}$ are said to be locally isometric (resp. globally isometric) if there exists a local isometry (resp. global isometry) between $M$ and $M^{\prime}$. Notice that the restriction $\phi$ of an isometry of $\mathbb{R}^{3}$ to a surface $M \subset \mathbb{R}^{3}$ always defines a global isometry between $M$ and $M^{\prime}=\phi(M)$.

Formula (1.52) says that a local isometry between two surfaces $M$ and $M^{\prime}$ preserves the angles between tangent vectors and, a fortiori, the lengths of curves and the distances between points.

By Corollary 1.33, thanks to the fact that the angles and the volumes are preserved by isometries, one obtains that the Gaussian curvature is invariant under local isometries, in the following sense.

Theorem $1.40$ (Gauss’ theorema egregium) Let $\phi$ be a local isometry between $M$ and $M^{\prime}$. Then for every $q \in M$ one has $\kappa(q)=\kappa^{\prime}(\phi(q))$, where $\kappa$ (resp. $\kappa^{\prime}$ ) is the Gaussian curvature of $M$ (resp. $M^{\prime}$ ).

This result says that the Gaussian curvature $\kappa$ depends only on the metric structure on $M$ and not on the specific fact that the surface is embedded in $\mathbb{R}^{3}$ with the induced inner product.

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Global Version

现在我们陈述高斯-博内定理的全局版本。换句话说，我们想将 (1.33) 推广到以下情况: $\Gamma$ 是一个地区 $M$ 这不一定与磁盘同胚；参见图 1.4。我们会发现，结果取决于欧拉特性 $\chi(\Gamma)$ 这个地区的。
接下来，通过三角剖分 $M$ 我们的意思是分解 $M$ 成曲线多边形（见定义 1.31) 。请注意，每个紧致曲面都允许进行三角剖分。
定义 $1.34$ i上 $M \subset \mathbb{R}^{3}$ 是具有分段光滑边界的紧致曲面 $\partial M$. 考虑三角剖分 $M$. 我们定义欧拉特征 $M$ 作为
$$
\chi(M):=n_{2}-n_{1}+n_{0}
$$
在哪里 $n_{i}$ 是数量 $i$ 三角剖分中的维面。
可以为每个区域定义欧拉特征 $\Gamma$ 的 $M$ 以同样的方式。这里，按地区 $\Gamma$ 在一个表面上 $M$ 我们指的是具有分段平滑边界的流形的封闭域。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Consequences of the Gauss–Bonnet Theorems

定义1.39让 $M, M^{\prime}$ 是两个曲面 $\mathbb{R}^{3}$. 平滑的地图 $\phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 称为局部等距 $M$ 和 $M^{\prime}$ 如果 $\phi(M)=M^{\prime}$ 并且对于每个 $q \in M$ 它满足
$$
\langle v \mid w\rangle=\left\langle D_{q} \phi(v) \mid D_{q} \phi(w)\right\rangle, \quad \forall v, w \in T_{q} M .
$$
此外，如果地图 $\phi$ 那么是双射 $\phi$ 称为全局等距。两个表面 $M$ 和 $M^{\prime}$ 如果在两者之间存在局部等距 (或全局等距)，则称其为局部等距（或全球等距) $M$ 和 $M^{\prime}$. 注意限制 $\phi$ 的等距 $\mathbb{R}^{3}$ 到一个表面 $M \subset \mathbb{R}^{3}$ 总是定义一个全局等距 $M$ 和 $M^{\prime}=\phi(M)$
公式 (1.52) 表示两个表面之间的同部等距 $M$ 和 $M^{\prime}$ 保留切向量之间的角度，更重要的是，保留曲线的长度和点之间的距离。
根据推论 1.33，由于等距保留了角度和体积这一事实，可以得出在局部等距下高斯曲率是不变的，在以下意义上。
定理1.40 (高斯极好的定理) 让 $\phi$ 是之间的局部等距 $M$ 和 $M^{\prime}$. 那么对于每一个 $q \in M$ 个个有 $\kappa(q)=\kappa^{\prime}(\phi(q))$ ，在哪里 $\kappa$ (分别。 $\kappa^{\prime}$ ) 是高斯曲率 $M$ (分别。 $M^{\prime}$ ).
这个结果表明高斯曲率 $\kappa$ 仅取决于度量结构 $M$ 而不是表面嵌入的具体事实 $\mathbb{R}^{3}$ 与诱导内积。

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