如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SIMPLE EXTENSIONS. DEGREE

We begin by looking at how to construct field extensions that solve a particular kind of problem, namely that of providing roots for polynomials; the extension of $\mathbb{R}$ to $\mathbb{C}$ to obtain a root for $1+x^2$ (Section 32) is a special case.

Let $E$ be an extension field of a field $F$; for convenience, assume $F \subseteq E$. Also let $S$ be a subset of $E$. There is at least one subfield of $E$ containing both $F$ and $S$, namely $E$ itself. The intersection of all the subfields of $E$ that contain both $F$ and $S$ is a subfield of $E$ (Problem $42.1)$; it will be denoted $F(S)$. If $S \subseteq F$, then $F(S)=F$. If $S=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right}$, then $F(S)$ will be denoted $F\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$. For example, $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$. The field $F(S)$ consists of all the elements of $E$ that can be obtained from $F$ and $S$ by repeated applications of the operations of $E$-addition, multiplication, and the taking of additive and multiplicative inverses (Problem 42.3).

If $E=F(a)$ for some $a \in E$, then $E$ is said to be a simple extension of $F$. We can classify the simple extensions of $F$ by making use of $F[x]$, the ring of polynomials in the indeterminate $x$ over $F$, and
$$
F[a]=\left{a_0+a_1 a+\cdots+a_n a^n: a_0, a_1, \ldots, a_n \in F\right},
$$
the ring of all polynomials in $a$. The difference between $F[x]$ and $F[a]$ is that two polynomials in $F[x]$ are equal only if the coefficients on like powers of $x$ are equal, whereas if $a$ is algebraic over $F$ (Section 32), then two polynomials in $F[a]$ can be equal without the coefficients on like powers of $a$ being equal. For example,
$$
1+3 \sqrt{2}=-1+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}^2 \text { in } \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
$$
but
$$
1+3 x \neq-1+3 x+x^2 \quad \text { in } \mathbb{Q}[x]
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ROOTS OF POLYNOMIALS

By definition, an element $c$ of a field $F$ is a root of a polynomial $f(x) \in F[x]$ if $f(c)=0$. By the Factor Theorem (Section 35), $f(c)=0$ iff $x-c$ is a factor of $f(x)$. If $(x-c)^m$ divides $f(x)$, but no higher power of $x-c$ divides $f(x)$, then $c$ is called a root of multiplicity $m$. When we count the number of roots of a polynomial, each root of multiplicity $m$ is counted $m$ times. For example, $x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$ has 1 as a root of multiplicity two, and -1 as a root of multiplicity one; it has no other root. Thus we say that this polynomial has three roots.

In this section we shall first prove that a polynomial of degree $n$ has at most $n$ roots (Theorem 43.1). We’ll then see that any polynomial of degree $n$ over the field $\mathbb{C}$ of complex numbers has exactly $n$ roots in $\mathbb{C}$ (Theorem 43.2). Polynomials of degree $n$ over other fields may have fewer than $n$ roots in that field; however, a polynomial will have $n$ roots in an appropriately constructed extension field. (See the remarks following Example 43.2.)
Theorem 43.1. A polynomial $f(x)$ of degree $n \geq 1$ over a field $F$ has at most $n$ roots in $F$.
PROOF. The proof will be by induction on $n$. If $n=1$, then $f(x)=a_0+a_1 x$ with $a_1 \neq 0$, and the only root is $-a_1^{-1} a_0$. Thus assume that $n>1$, and assume the theorem true for polynomials of degree less than $n$. If $f(x)$ has no root, we are through. If $c$ is a root, then by the Factor Theorem $f(x)=(x-c) f_1(x)$ for some $f_1(x) \in F[x]$, and $\operatorname{deg} f_1(x)=$ $n-1$. By the induction hypothesis $f_1(x)$ has at most $n-1$ roots in $F$. It will follow that $f(x)$ has at most $n$ roots in $F$ if $f(x)$ has no roots in $F$ except $c$ and the roots of $f_1(x)$. But this is so because if $a \in F$, then $f(a)=(a-c) f_1(a)$, so that $f(a)=0$ only if $a-c=0$ or $f_1(a)=0$ (because $F$ has no divisors of zero). Thus $f(a)=0$ only if $a=c$ or $a$ is a root of $f_1(x)$.

We have seen that a polynomial over a field may have no roots in that field. For example, $x^2-2$ and $x^2+1$ have no roots in the field of rationals. However, the Fundamental Theorem of Algebra (Section 32) ensures that each polynomial over the complex numbers has at least one complex root. In fact, we can prove more, as in the following theorem.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|SIMPLE EXTENSIONS. DEGREE

我们首先看一下如何构造域扩展来解决一类特殊的问题，即多项式的根;将$\mathbb{R}$扩展到$\mathbb{C}$以获得$1+x^2$的根(第32节)是一种特殊情况。

设$E$为字段$F$的扩展字段;为方便起见，假设$F \subseteq E$。也让$S$是$E$的一个子集。$E$至少有一个子字段同时包含$F$和$S$，即$E$本身。包含$F$和$S$的所有$E$子字段的交集是$E$的子字段(问题$42.1)$;记为$F(S)$。如果是$S \subseteq F$，那么就是$F(S)=F$。如果是$S=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right}$，那么$F(S)$将表示为$F\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$。例如:$\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$。字段$F(S)$由$E$的所有元素组成，这些元素可以通过重复应用$E$的运算——加法、乘法以及加法和乘法的逆运算——从$F$和$S$中得到(问题42.3)。

如果将$E=F(a)$表示为$a \in E$，那么$E$就是$F$的简单扩展。我们可以利用$F[x]$，不确定的$x$ / $F$中的多项式环，和对$F$的简单扩展进行分类
$$
F[a]=\left{a_0+a_1 a+\cdots+a_n a^n: a_0, a_1, \ldots, a_n \in F\right},
$$
$a$中所有多项式的环。$F[x]$和$F[a]$之间的区别在于，$F[x]$中的两个多项式只有在$x$的类似幂次上的系数相等时才相等，而如果$a$是$F$上的代数(第32节)，那么$F[a]$中的两个多项式可以相等，而$a$的类似幂次上的系数不相等。例如，
$$
1+3 \sqrt{2}=-1+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}^2 \text { in } \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
$$
但是
$$
1+3 x \neq-1+3 x+x^2 \quad \text { in } \mathbb{Q}[x]
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ROOTS OF POLYNOMIALS

根据定义，字段$F$的元素$c$是多项式$f(x) \in F[x]$(如果$f(c)=0$)的根。根据因子定理(第35节)，$f(c)=0$假设$x-c$是$f(x)$的因子。如果$(x-c)^m$除$f(x)$，但没有更高次幂的$x-c$除$f(x)$，则$c$称为多重根$m$。当我们计算多项式的根的个数时，每个重性$m$的根被计算$m$次。例如，$x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)$将1作为多重性2的根，将-1作为多重性1的根;它没有其他的根。因此我们说这个多项式有三个根。

在本节中，我们将首先证明次为$n$的多项式最多有$n$个根(定理43.1)。然后我们将看到，在复数域$\mathbb{C}$上，任何次为$n$的多项式在$\mathbb{C}$中都有$n$根(定理43.2)。在其他字段上的次多项式$n$在该字段中的根可能少于$n$;但是，多项式在适当构造的扩展域中将具有$n$根。(参见例43.2后面的注释。)
定理43.1。域$F$上的次为$n \geq 1$的多项式$f(x)$在$F$中最多有$n$个根。
证明。我们将通过归纳法在$n$上进行证明。如果是$n=1$，那么是$f(x)=a_0+a_1 x$和$a_1 \neq 0$，唯一的根是$-a_1^{-1} a_0$。因此，假设$n>1$，并假设定理对次数小于$n$的多项式成立。如果$f(x)$没有根，我们就完了。如果$c$是根，那么根据因子定理$f(x)=(x-c) f_1(x)$对于某些$f_1(x) \in F[x]$，和$\operatorname{deg} f_1(x)=$$n-1$。通过归纳法假设$f_1(x)$在$F$中最多有$n-1$根。如果$f(x)$除了$c$和$f_1(x)$的根之外在$F$中没有根，那么$f(x)$在$F$中最多有$n$根。但这是因为如果$a \in F$，那么$f(a)=(a-c) f_1(a)$，所以$f(a)=0$只当$a-c=0$或$f_1(a)=0$(因为$F$没有零因子)。因此，只有当$a=c$或$a$是$f_1(x)$的根时，才能使用$f(a)=0$。

我们已经知道，一个域上的多项式可能在该域中没有根。例如，$x^2-2$和$x^2+1$在理性领域没有根基。然而，代数基本定理(第32节)保证了复数上的每个多项式至少有一个复根。事实上，我们可以证明更多，如下面的定理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|DEFINITION AND ELEMENTARY PROPERTIES

If $R$ is a commutative ring and $a_0, a_1, \ldots, a_n \in R$, then an expression of the form
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n
$$
is called a polynomial in $x$ : it is a finite sum of terms, each of which is some element of $R$ times a nonnegative integral power of $x$. We become acquainted with such expressions, and how to add and multiply them, in elementary algebra. Here we want to consider polynomials in the context of commutative rings.

Our first problem is that if $x$ is not an element of $R$, then terms such as $a_1 x$ and $a_n x^n$, as well as “sums” of such terms, may not have a predetermined meaning. One way around this is to consider not $(34.1)$, but rather the sequence $\left(a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, \ldots\right)$ of elements of $R$ arising from (34.1), and to define appropriate ring operations on the set all these sequences. This procedure is outlined in the appendix to this section. It has the advantage that it avoids questions about the precise meaning of expressions such as that in (34.1), but it is not the way polynomials are handled in practice. For most purposes the discussion that follows will be more satisfactory.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE DIVISION ALGORITHM

In the next two sections we concentrate on rings of polynomials over fields, proving divisibility and factorization theorems for these rings that are analogous to the divisibility and factorization theorems that were proved in Sections 12 and 13 for the ring of integers. We use deg $f(x)$ to denote the degree of a polynomial $f(x)$.

Division Algorithm. If $f(x)$ and $g(x)$ are polynomials over a field $F$, with $g(x) \neq 0$, then there exist unique polynomials $q(x)$ and $r(x)$ over $F$ such that
$$
f(x)=g(x) q(x)+r(x), \quad \text { with } \quad r(x)=0 \quad \text { or } \quad \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x) .
$$
The polynomials $q(x)$ and $r(x)$ are called, respectively, the quotient and remainder in the division of $f(x)$ by $g(x)$. The following example illustrates how they can be computed. The same idea is used in the proof that follows the example.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|DEFINITION AND ELEMENTARY PROPERTIES

如果$R$是交换环，并且$a_0, a_1, \ldots, a_n \in R$，则表达式的形式为
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n
$$
在$x$中称为多项式:它是有限项的和，每项是$R$的某个元素乘以$x$的非负积分幂。在初等代数中，我们熟悉了这样的表达式，以及如何进行加法和乘法。这里我们要考虑可交换环中的多项式。

我们的第一个问题是，如果$x$不是$R$的元素，那么诸如$a_1 x$和$a_n x^n$之类的术语以及这些术语的“和”可能没有预先确定的含义。解决这个问题的一种方法是不考虑$(34.1)$，而是考虑由(34.1)产生的$R$的元素序列$\left(a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, \ldots\right)$，并在所有这些序列的集合上定义适当的环操作。本节的附录中概述了这个过程。它的优点是避免了关于表达式的精确含义的问题，如(34.1)，但它不是在实践中处理多项式的方式。就大多数目的而言，下面的讨论将更令人满意。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE DIVISION ALGORITHM

在接下来的两节中，我们将集中讨论域上的多项式环，证明这些环的可整除性和可分解性定理，这些定理类似于在第12节和第13节中证明的整数环的可整除性和可分解性定理。我们用deg $f(x)$表示多项式的次$f(x)$。

除法算法。如果$f(x)$和$g(x)$是域$F$和$g(x) \neq 0$上的多项式，那么存在唯一的多项式$q(x)$和$r(x)$在$F$上使得
$$
f(x)=g(x) q(x)+r(x), \quad \text { with } \quad r(x)=0 \quad \text { or } \quad \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x) .
$$
在$f(x)$除以$g(x)$时，多项式$q(x)$和$r(x)$分别被称为商和余数。下面的示例说明了如何计算它们。这个例子后面的证明也使用了同样的思想。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ORDERED INTEGRAL DOMA INS

In this section and the one that follows we take the first steps in characterizing the ring of integers. The first definition given, that of an ordered integral domain, applies to the integers as well as to many other integral domains. It will lead to the ideas of positive, negative, greater than, and less than. To read the definition with the integers in mind as an example, think of $D^p$ as being the set of positive integers.

Definition. An integral domain $D$ is said to be ordered if there is a subset $D^p$ of $D$ such that:
closure under addition
if $a, b \in D^p$, then $a+b \in D^p$,
closure under multiplication
if $a, b \in D^p, \quad$ then $a b \in D^p$,
law of trichotomy
if $a \in D$, then exactly one of the following is true:
$$
a=0, \quad a \in D^p, \quad \text { or } \quad-a \in D^p
$$
The elements of $D^p$ are called the positive elements of $D$. Elements that are neither zero nor positive are said to be negative.

Besides the integers, other ordered integral domains include the rational numbers and the real numbers, with the set of positive elements being the set of positive numbers in each case. We shall see that the integral domains $\mathbb{Z}_p$ are not ordered (regardless of what one tries to use for the set of positive elements). Assume in the remainder of this section that $D$ is an ordered integral domain with unity $e$.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE INTEGERS

Definition. An element $a$ in a subset $S$ of an ordered integral domain $D$ is a least element of $S$ if $x>a$ for each $x \in S$ such that $x \neq a$.

Definition. An ordered integral domain $D$ is well ordered if every nonempty subset of $D^p$ has a least element.

The Least Integer Principle (Section 10) states that the integral domain of integers is well ordered. (What we have called the Least Integer Principle is sometimes even called the Well-Ordering Principle.) The integral domain of rational numbers is not well ordered, because the set of positive rational numbers has no least element (Problem 29.1). In fact, the integers form the “only” well-ordered integral domain. The following theorem makes this precise.

Theorem 29.1. If $D$ is a well-ordered integral domain, then $D$ is isomorphic to the ring of integers.

The proof of the theorem will be easier to grasp if the following fact is proved separately.
Lemma 29.1. If $D$ is a well-ordered integral domain with unity $e$, then e is the least element of $D^p$.

PROOF. Because $D$ is well ordered, $D^p$ must have a least element; assume it to be $a \neq e$ (this will lead to a contradiction). Since $e \in D^P$ by the corollary of Lemma 28.1, and $a$ is the least element of $D^p$ by our assumption, we must have $e>a$. Now $e>a$ and $a>0$ imply $a>a^2$, by Theorem 28.2(e). However, $a^2 \in D^p$ by Lemma 28.1. Thus we have $a^2 \in D^p$, and $a>a^2$, which contradicts the assumption that $a$ is the least element of $D^p$. Thus the least element of $D^p$ must be $e$.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ORDERED INTEGRAL DOMA INS

在本节和下一节中，我们将采取表征整数环的第一步。给出的第一个定义，即有序积分域的定义，既适用于整数，也适用于许多其他的积分域。它会导致积极，消极，大于和小于的想法。要以整数为例阅读定义，请将$D^p$视为正整数的集合。

定义。一个积分域$D$是有序的，如果$D$的子集$D^p$满足:
加法闭合
如果$a, b \in D^p$，那么$a+b \in D^p$，
乘法闭包
如果$a, b \in D^p, \quad$那么$a b \in D^p$，
三分法
如果$a \in D$，那么以下选项中只有一个是正确的:
$$
a=0, \quad a \in D^p, \quad \text { or } \quad-a \in D^p
$$
$D^p$的元素称为$D$的正元素。既不为零也不为正的元素称为负元素。

除整数外，其他有序积分域还包括有理数和实数，其中正元素集是每种情况下的正数集。我们将看到积分域$\mathbb{Z}_p$不是有序的(不管人们试图用什么来表示正元素的集合)。在本节的其余部分中，假设$D$是一个统一的有序积分域$e$。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE INTEGERS

定义。有序积分域$D$的子集$S$中的元素$a$对于每个$x \in S$来说是$S$如果$x>a$的最小元素，使得$x \neq a$。

定义。如果一个有序积分域$D^p$的每个非空子集都有一个最小元素，那么这个域$D$就是有序的。

最小整数原理(第10节)指出整数的整域是有序的。(我们所说的最小整数原理有时甚至被称为良序原理。)有理数的积分定义域不是有序的，因为正有理数集合没有最小元素(问题29.1)。事实上，整数形成了“唯一”良序积分域。下面的定理使其精确。

定理29.1。如果$D$是良序整域，则$D$同构于整数环。

如果单独证明以下事实，这个定理的证明将更容易理解。
引理29.1。如果$D$是一个单位为$e$的良序积分域，则e是$D^p$的最小元素。

证明。因为$D$是有序的，所以$D^p$必须有一个最小元素;假设它是$a \neq e$(这将导致矛盾)。因为根据引理28.1的推论$e \in D^P$，并且根据我们的假设$a$是$D^p$的最小元素，所以我们必须有$e>a$。通过定理28.2(e) $e>a$和$a>0$可以推导出$a>a^2$。但是，根据引理28.1 $a^2 \in D^p$。因此，我们有$a^2 \in D^p$和$a>a^2$，这与$a$是$D^p$的最小元素的假设相矛盾。因此，$D^p$的最小元素一定是$e$。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|QUOTIENT GROUPS

It may not be obvious at the outset, but quotient groups, which we introduce in this section, are essentially the same as homomorphic images. The proof that they are essentially the same comes with Theorem 22.2 and the Fundamental Homomorphism Theorem (in Section 23).

Each group $\mathbb{Z}_n$ is constructed in a simple way from the group of integers. The set all multiples of the integer $n$ forms a subgroup, $\langle n\rangle$, of $\mathbb{Z}$, and the elements of $\mathbb{Z}_n$ are the right cosets of that subgroup (Section 16). Moreover, the operation $\oplus$ of $\mathbb{Z}_n$ depends in a natural way on the operation + of the integers: $[a] \oplus[b]=[a+b]$. We shall now see how this idea can be used to construct new groups in much more general circumstances. Indeed, the following theorem shows that $\mathbb{Z}$ can be replaced by any group $G=$ and $\langle n\rangle$ by any normal subgroup $N$ of $G$. (Notice that $\langle n\rangle \triangleleft \mathbb{Z}$ because $\mathbb{Z}$ is Abelian.) It man y help to review Section 16, especially Theorem 16.1 and Lemma 16.1, before reading this section. We continue to use juxtaposition to denote unspecified group operations.

Theorem 22.1. Let $N$ be a normal subgroup of $G$, and let $G / N$ clenote the set of all right cosets of $N$ in $G$. For
$$
N a \in G / N \text { and } N b \in G / N \text {, let }(N a)(N b)=N(a b) .
$$
With this operation $G / N$ is a group called the quotient group (or factor group) of $G$ by $N$.
Remark. Figure 22.1 represents the idea behind Theorem 22.1 . Each horizontal section represents a coset of $N$. For example, $N a$ is the coset to which $a$ belongs. The cosets are the elements of $G / N$. The “product” of the cosets $N a$ and $N b$ is $N(a b)$, the coset to which $a b$ belongs. The first part of the following proof shows that if $N \triangleleft G$, then it does not matter which element is chosen from the coset $N a$ and which is chosen from the coset $N b$; their “product” will be in the coset $N(a b)$.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE FUNDAMENTAL HOMOMORPHISM THEOREM

The natural homomorphism $\eta: G \rightarrow G / N$ shows that each quotient group of a group $G$ is a homomorphic image of $G$ (Theorem 22.2). The next theorem shows that the converse is also true: each homomorphic image of $G$ is (isomorphic to) a quotient group of $G$. Thus the claim made at the beginning of Section 22 is justified: quotient groups are essentially the same as homomorphic images.

Theorem 23.I (F undamental Homomorphism Theorem). Let $G$ and $H$ be groups, and let $\theta: G \rightarrow H$ be a homomorphism from $G$ onto $H$ with $\operatorname{Ker} \theta=K$. Then the mapping $\phi: G / K \rightarrow H$ defined by
$\phi(K a)=\theta(a)$ for each $K a \in G / K$

is an isomorphism of $G / K$ onto $H$. Therefore
$$
G / K \approx H
$$
PROoF. We must first verify that $\phi$ is well defined. If $K a_1=K a_2$, then $k a_1=a_2$ for some $k \in K=\operatorname{Ker} \theta$, so $\theta\left(k a_1\right)=\theta\left(a_2\right)$. But $\theta\left(k a_1\right)=\theta(k) \theta\left(a_1\right)=e \theta\left(a_1\right)=\theta\left(a_1\right)$, so that $\theta\left(a_1\right)=\theta\left(a_2\right)$. Therefore, $\theta(a)$ is determined solely by the coset of $K$ to which $a$ belongs, so $\phi$ is well defined.

To prove that $\phi$ preserves the operation, assume that $K a \in G / K$ and $K b \in G / K$. Then $\phi((K a)(K b))=\phi(K(a b))=\theta(a b)=\theta(a) \theta(b)=\phi(K a) \phi(K b)$, as required. Clearly $\phi$ is onto, because $\theta$ is onto. It remains only to prove that $\phi$ is one-to-one, or equivalently, by Theorem 21.1 , that $\operatorname{Ker} \phi$ contains only the identity element, $K e$, of $G / K$. This is true because if $K a \in \operatorname{Ker} \phi$, then $\theta(a)=\phi(K a)=e$, and therefore $a \in \operatorname{Ker} \theta=K$, so $K a=K e$.

If a homomorphism $\theta: G \rightarrow H$ is not onto, then $H$ should be replaced by $\theta(G)$ in the last two sentences of the theorem. Then the last statement of the theorem becomes $G / K \approx \theta(G)$. In any case, with $\theta, \phi$, and $K$ as in the theorem, and $\eta: G \rightarrow G / K$ the natural homomorphism, it can be verified that $\phi \circ \eta=\theta$. Schematically, the two ways $(\theta$ and $\phi \circ \eta)$ of getting from $G$ to $H$ in Figure 23.1 give the same result for every element of $G$ (Problem 23.7). This is described by saying the diagram commutes.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|QUOTIENT GROUPS

一开始可能不是很明显，但我们在本节中介绍的商群本质上与同态象相同。它们本质上相同的证明来自定理22.2和基本同态定理(见第23节)。

每个组$\mathbb{Z}_n$都是以一种简单的方式从整数组中构造出来的。整数$n$的所有倍数的集合形成了$\mathbb{Z}$的子组$\langle n\rangle$，而$\mathbb{Z}_n$的元素是该子组的右集(第16节)。此外，$\mathbb{Z}_n$的运算$\oplus$自然依赖于整数的运算+:$[a] \oplus[b]=[a+b]$。现在我们将看到，在更一般的情况下，如何利用这一思想来建立新的群体。的确，下面的定理表明$\mathbb{Z}$可以被任意群$G=$代替，$\langle n\rangle$可以被$G$的任意正规子群$N$代替。(注意$\langle n\rangle \triangleleft \mathbb{Z}$，因为$\mathbb{Z}$是阿贝尔的。)在阅读本节之前，复习第16节，特别是定理16.1和引理16.1，会有所帮助。我们继续使用并置来表示未指定的组操作。

定理22.1。设$N$为$G$的正子群，设$G / N$为$G$中$N$的所有右集集合。对于
$$
N a \in G / N \text { and } N b \in G / N \text {, let }(N a)(N b)=N(a b) .
$$
通过这个操作，$G / N$是一个称为$G$除以$N$的商组(或因子组)的组。
备注:图22.1表示定理22.1背后的思想。每个水平截面代表$N$的一个协集。例如，$N a$是$a$所属的coset。辅助集是$G / N$的元素。协集$N a$和$N b$的“乘积”是$N(a b)$，即$a b$所属的协集。以下证明的第一部分表明，如果$N \triangleleft G$，那么从协集$N a$中选择哪个元素和从协集$N b$中选择哪个元素都无关紧要;他们的“产品”将出现在coset $N(a b)$中。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE FUNDAMENTAL HOMOMORPHISM THEOREM

自然同态$\eta: G \rightarrow G / N$表明群$G$的每一个商群都是$G$的同态象(定理22.2)。下一个定理证明逆命题也是成立的:$G$的每一个同态象都是$G$的一个商群(同构)。因此，在第22节开头提出的主张是合理的:商群本质上与同态象相同。

定理23。I(基本同态定理)设$G$和$H$为组，并设$\theta: G \rightarrow H$为从$G$到$H$与$\operatorname{Ker} \theta=K$的同态。定义的映射$\phi: G / K \rightarrow H$
分别为$\phi(K a)=\theta(a)$$K a \in G / K$

是$G / K$到$H$的同构。因此
$$
G / K \approx H
$$
证明。我们必须首先验证$\phi$是定义良好的。如果是$K a_1=K a_2$，那么对于一些$k \in K=\operatorname{Ker} \theta$，则是$k a_1=a_2$，所以是$\theta\left(k a_1\right)=\theta\left(a_2\right)$。但是$\theta\left(k a_1\right)=\theta(k) \theta\left(a_1\right)=e \theta\left(a_1\right)=\theta\left(a_1\right)$，所以$\theta\left(a_1\right)=\theta\left(a_2\right)$。因此，$\theta(a)$仅由$a$所属的$K$的余集决定，因此$\phi$定义得很好。

为了证明$\phi$保留了这个操作，假设$K a \in G / K$和$K b \in G / K$。然后$\phi((K a)(K b))=\phi(K(a b))=\theta(a b)=\theta(a) \theta(b)=\phi(K a) \phi(K b)$，根据需要。显然$\phi$是on，因为$\theta$是on。只需要证明$\phi$是一对一的，或者等价地，根据定理21.1,$\operatorname{Ker} \phi$只包含$G / K$的单位元$K e$。这是真的，因为如果$K a \in \operatorname{Ker} \phi$，那么$\theta(a)=\phi(K a)=e$，因此$a \in \operatorname{Ker} \theta=K$，所以$K a=K e$。

如果一个同态$\theta: G \rightarrow H$不是映上的，那么在定理的最后两句中$H$应该被$\theta(G)$代替。那么定理的最后一个表述就是$G / K \approx \theta(G)$。在任何情况下，利用定理中的$\theta, \phi$和$K$，以及$\eta: G \rightarrow G / K$的自然同态，可以验证$\phi \circ \eta=\theta$。从示意图上看，图23.1中从$G$到$H$的两种方式$(\theta$和$\phi \circ \eta)$对于$G$的每个元素都给出了相同的结果(问题23.7)。这是通过说图的通勤来描述的。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|INTEGERS MODULO n

We have seen that if $n$ is a positive integer, then there are $n$ congruence classes modulo $n$. With $n$ fixed and $k$ an integer, let [ $k]$ denote the congruence class to which $k$ belongs $(\bmod n)$. With $n=5$, for example,
$$
[2]=[7]=[-33]={\ldots,-8,-3,2,7,12, \ldots} .^{\dagger}
$$
By Theorem $10.2,{[0],[1], \ldots,[n-1]}$ is a complete set of congruence classes modulo $n$, in the sense that each integer is in precisely one of these classes. Let $\mathbb{Z}_n$ denote the set ${[0],[1], \ldots,[n-1]}$. We shall show that there is a natural operation on this set that makes it a group.

Definition. For $[a] \in \mathbb{Z}_n$ and $[b] \in \mathbb{Z}_n$, define $[a] \oplus[b]$ by
$$
[a] \oplus[b]=[a+b]
$$
Example 11.1. Choose $n=5$. Then $[3] \oplus[4]=[3+4]=[7]=[2]$, and $[-29] \oplus[7]=$ $[-22]=[3]$

There is a question about the definition of $\oplus:$ Is it really an operation on $\mathbb{Z}_n$ ? Or, as it is sometimes expressed, is $\oplus$ well defined? Notice that $[a] \oplus[b]$ has been defined in terms of $a+b$. What if representatives other than $a$ and $b$ are chosen from $[a]$ and $[b]$ ? For example, with $n=5$ again, [3] $[18]$ and [4] $[-1]$; therefore, it should be true that $[3] \oplus[4]=[18] \oplus[-1]$. Is that true? Yes, because $[3] \oplus[4]=[7]=[2]$ and $[18] \oplus[-1]=[17]=[2]$. The following lemma settles the question in general.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|GREATEST COMMON DIVISORS.THE EUCLIDEAN ALGORITHM

There is a close relationship between divisibility properties of the integers and some of the elementary properties of groups. In this section and the next we consider properties of divisibility that will be useful when we return to groups in the next chapter.

Theorem 12.1. If $a$ and $b$ are integers, not both zero, then there is a unique positive integer d such that
(a) $d \mid a$ and $d \mid b$, and
(b) if $c$ is an integer such that $c \mid a$ and $c \mid b$, then $c \mid d$.
Property (a) states that $d$ is a common divisor of $a$ and $b$; property (b) ensures that $d$ is the greatest such divisor. Therefore, the integer $d$ in the theorem is called the greatest common divisor of $a$ and $b$. It is denoted $(a, b)$. (The context will usually make it clear whether this or some other interpretation of the ordered pair notation is intended.) Examples are $(4,-6)=2,(-7,0)=7$, and $(25,33)=1$.

The following proof of Theorem 12.1 shows how to compute $(a, b)$ by a systematic procedure known as the Euclidean Algorithm. Another proof, which shows the existence of $(a, b)$, but not how to compute it, is outlined in Problem 12.24.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|INTEGERS MODULO n

我们已经知道，如果$n$是一个正整数，那么就有以$n$为模的$n$同余类。将$n$固定，$k$为整数，设[$k]$]表示$k$所属的同余类$(\bmod n)$。以$n=5$为例，
$$
[2]=[7]=[-33]={\ldots,-8,-3,2,7,12, \ldots} .^{\dagger}
$$
根据定理$10.2,{[0],[1], \ldots,[n-1]}$是以$n$为模的同余类的完备集合，因为每一个整数都恰好属于这些类中的一个。设$\mathbb{Z}_n$表示集合${[0],[1], \ldots,[n-1]}$。我们将证明在这个集合上存在一个自然运算，使它成为一个群。

定义。对于$[a] \in \mathbb{Z}_n$和$[b] \in \mathbb{Z}_n$，通过定义$[a] \oplus[b]$
$$
[a] \oplus[b]=[a+b]
$$
例11.1。选择$n=5$。然后$[3] \oplus[4]=[3+4]=[7]=[2]$，和 $[-29] \oplus[7]=$ $[-22]=[3]$

关于$\oplus:$的定义有一个问题，它真的是$\mathbb{Z}_n$上的一个操作吗?或者，正如有时表达的那样，$\oplus$定义良好吗?注意，$[a] \oplus[b]$是根据$a+b$定义的。如果从$[a]$和$[b]$中选出$a$和$b$以外的代表呢?例如，再次输入$n=5$， [3] $[18]$和[4]$[-1]$;因此，$[3] \oplus[4]=[18] \oplus[-1]$。这是真的吗?是的，因为$[3] \oplus[4]=[7]=[2]$和$[18] \oplus[-1]=[17]=[2]$。下面的引理一般地解决了这个问题。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|GREATEST COMMON DIVISORS.THE EUCLIDEAN ALGORITHM

整数的可整除性与群的一些初等性质有密切的关系。在这一节和下一节中，我们将考虑可除性的性质，这些性质在我们在下一章回到群的时候会很有用。

定理12.1。如果$a$和$b$都是整数，不都是零，那么存在一个唯一的正整数d
(a) $d \mid a$和$d \mid b$
(b)如果$c$是一个整数，使得$c \mid a$和$c \mid b$，则$c \mid d$。
性质(a)表明$d$是$a$和$b$的公约数;性质(b)确保$d$是最大的此类除数。因此，定理中的整数$d$称为$a$和$b$的最大公约数。记为$(a, b)$。(上下文通常会清楚地说明是使用这种方式还是使用其他对有序对符号的解释。)例如$(4,-6)=2,(-7,0)=7$和$(25,33)=1$。

下面定理12.1的证明展示了如何通过称为欧几里得算法的系统过程来计算$(a, b)$。问题12.24给出了另一个证明，它证明了$(a, b)$的存在性，但没有说明如何计算它。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|COMPOSITION AS AN OPERATION

In Example 3.3 we saw that if $S$ is any nonempty set, then composition is an operation on $M(S)$, the set of all mappings from $S$ to $S$. It is worthwhile to look more closely at this operation, for its importance is matched only by that of addition and the other operations on the familiar number systems. The most general properties are summarized in the following theorem.
Theorem 4.1. Let $S$ denote any nonempty set.
(a) Composition is an associative operation on $M(S)$, with identity element $\iota_S$.
(b) Composition is an associative operation on the set of all invertible mappings in $M(S)$, with identity $\iota s$.

PROOF. Associativity means that $\gamma \circ(\beta \circ \alpha)=(\gamma \circ \beta) \circ \alpha$ for all $\alpha, \beta, \gamma \in M(S)$. By the definition of equality for mappings, this means that
$$
\gamma \circ(\beta \circ \alpha)=(\gamma \circ \beta) \circ \alpha
$$

for each $x \in S$. To verify this, we can write
$$
\begin{aligned}
{\gamma \circ(\beta \circ \alpha) } & =\gamma((\beta \circ \alpha)(x)) \
& =\gamma(\beta(\alpha(x))) \
& =(\gamma \circ \beta)(\alpha(x)) \
& =(\gamma \circ \beta) \circ \alpha .
\end{aligned}
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|DEFINITION AND EXAMPLES

It takes patience to appreciate the diverse ways in which groups arise, but one of these ways is so familiar that we can use it to ease our way into the basic definition. To this end, recall the following three things about the set of integers with respect to addition. First, addition is associative. Second, 0 is an identity element. And third, relative to 0 , each integer has an inverse (its negative). Much more can be said about the integers, of course, but these are the properties that are important at the moment; they show that the integers with addition form a group, in the sense of the following definition.

Definition. A group is a set $G$ together with an operation $*$ on $G$ such that each of the following axioms is satisfied:
Associativity
$$
a *(b * c)=(a * b) * c \quad \text { for all } a, b, c \in G
$$
Existence of an identity element
There is an element $e \in G$ such that $a * e=e * a=a$ for each $a \in G$.
Existence of inverse elements
For each $a \in G$ there is an element $b \in G$ such that $a * b=b * a=e$.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|COMPOSITION AS AN OPERATION

在例3.3中，我们看到，如果$S$是任何非空集合，则复合是对$M(S)$的操作，即从$S$到$S$的所有映射的集合。这个运算值得更仔细地研究，因为它的重要性只有加法和我们熟悉的数制上的其他运算才能与之媲美。最一般的性质可以用下面的定理来概括。
定理4.1。设$S$表示任意非空集合。
(a)复合是对$M(S)$的关联操作，具有单位元素$\iota_S$。
(b)复合是对$M(S)$中所有可逆映射集合的关联操作，其单位为$\iota s$。

证明。结合律意味着$\gamma \circ(\beta \circ \alpha)=(\gamma \circ \beta) \circ \alpha$对于所有$\alpha, \beta, \gamma \in M(S)$。根据映射相等性的定义，这意味着
$$
\gamma \circ(\beta \circ \alpha)=(\gamma \circ \beta) \circ \alpha
$$

对于每个$x \in S$。为了验证这一点，我们可以这样写
$$
\begin{aligned}
{\gamma \circ(\beta \circ \alpha) } & =\gamma((\beta \circ \alpha)(x)) \
& =\gamma(\beta(\alpha(x))) \
& =(\gamma \circ \beta)(\alpha(x)) \
& =(\gamma \circ \beta) \circ \alpha .
\end{aligned}
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|DEFINITION AND EXAMPLES

欣赏群体产生的不同方式需要耐心，但其中一种方式是如此熟悉，以至于我们可以用它来简化我们对基本定义的理解。为此，回想一下关于整数集的加法的以下三件事。首先，加法是结合法。其次，0是单位元素。第三，相对于0，每个整数都有一个倒数(它的负数)。当然，关于整数还有很多可说的，但这些是目前最重要的性质;它们表明，在下列定义的意义上，经过加法的整数构成一个群。

定义。群是一个集合$G$和$G$上的一个运算$*$，满足下列公理:
联想性
$$
a *(b * c)=(a * b) * c \quad \text { for all } a, b, c \in G
$$
单位元素的存在性
对于每个$a \in G$，都有一个元素$e \in G$表示$a * e=e * a=a$。
逆元的存在性
对于每个$a \in G$，都有一个元素$b \in G$，以便$a * b=b * a=e$。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

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广义线性模型代考

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时间序列分析代写

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R语言代写	问卷设计与分析代写
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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ORDER

The three basic kinds of systems we have discussed-groups, rings, and fields-are examples of what are known as algebraic structures. Each such structure involves one or more operations like addition or multiplication of numbers. Some algebraic structures also involve a notion of order, such as $\subseteq$ for sets and $\leq$ for numbers. For example, order must be taken into account in studying the familiar number systems. One formal idea that grew from questions about order is that of a lattice. Lattices can be represented by diagrams like those in Figure 6: the example on the left shows the subsets of ${x, y, z}$, with a sequence of segments connecting one set to another above it if the first set is contained in the second; the example on the right shows the positive factors of 30 , with a sequence of segments connecting one integer to another above it if the first integer is a factor of the second. The similarity of these two diagrams suggests one of the purposes of lattice theory, just as the similarity of certain symmetric figures suggests one of the purposes of group theory. Lattice theory is concerned with analyzing the notion of order (subject to some definite rules), and with describing in abstract terms just what is behind the similarity of diagrams like those in Figure 6. Of course, there is more to this study of order than diagrams. Lattices were first studied as natural generalizations of Boolean algebras, which were themselves introduced in the mid-nineteenth century by the British mathematician George Boole (1815-1864) for the purpose of giving an algebraic analysis of formal logic. The first significant use of lattices outside of this connection with logic was in ring theory and algebraic number theory; this interdependence of different branches of algebra is certainly not uncommon in modern mathematics-in fact, it is one of its characteristic features.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|COMPUTER-RELATED ALGEBRA

A number of applications of modern algebra have grown with the advent of electronic computers and communication systems. These applications make use of many of the general ideas first introduced to handle much older problems. For example, one such application involves the use of Boolean algebras to study the design of computers and switching circuits. Another application is to algebraic coding, which uses, among other things, finite fields; these are systems that have only finitely many elements but are otherwise much like the system of real numbers. Applications that use tools from modern algebra and combinatorics belong to the general area of discrete applied mathematics; this can be contrasted with classical applied mathematics, which uses tools from calculus and its extensions.
Each algebraic topic discussed in this section will be touched on in the book, but they cannot all be treated thoroughly. It would take more than one volume to do that, and in any event there is even more to algebra than the topics introduced in this section might suggest. A method once used by the American Mathematical Society to classify current research divided mathematics into eight broad areas: algebra and the theory of numbers, analysis, applied mathematics, geometry, logic and foundations, statistics and probability, topology, and miscellaneous. Although the major branches represented in such a list are in many ways interdependent, it is nonetheless true that each branch tends to have its own special outlook and its own special methods and techniques. The goal of this book is to go as far as possible in getting across the outlook and methods and techniques of algebra or, more precisely, that part of algebra devoted to the study of algebraic structures.

Most of the chapters end with notes that list other books, including some where more historical background can be found. Here are some general references that are concerned with history; the notes at the end of Chapter XI give a short list of more advanced general references on modern algebra.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|ORDER

我们讨论过的三种基本系统——群、环和场——都是代数结构的例子。每个这样的结构都包含一个或多个操作，如数字的加法或乘法。一些代数结构还涉及顺序的概念，例如集合的$\subseteq$和数的$\leq$。例如，在研究熟悉的数制时必须考虑顺序。一个从有序问题中衍生出来的正式概念是晶格。格可以用如图6所示的图来表示:左边的例子显示了${x, y, z}$的子集，如果第一个集合包含在第二个集合中，则用一系列片段将一个集合连接到另一个集合;右边的例子显示了30的正因子，如果第一个整数是第二个整数的因数，则有一系列片段将一个整数与上面的另一个整数连接起来。这两个图的相似性表明了点阵理论的目的之一，正如某些对称图形的相似性表明了群论的目的之一一样。点阵理论关注的是分析顺序的概念(服从一些明确的规则)，以及用抽象的术语描述图6中相似图背后的东西。当然，对于顺序的研究不仅仅是图表。格最初是作为布尔代数的自然推广来研究的，布尔代数本身是在19世纪中叶由英国数学家乔治·布尔(1815-1864)引入的，目的是对形式逻辑进行代数分析。除了与逻辑的联系之外，格的第一个重要应用是在环理论和代数数论中;代数不同分支之间的相互依赖在现代数学中当然并不罕见——事实上，这是它的特征之一。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|COMPUTER-RELATED ALGEBRA

现代代数的许多应用随着电子计算机和通信系统的出现而发展。这些应用程序利用了许多最初用来处理老问题的一般思想。例如，一个这样的应用涉及使用布尔代数来研究计算机和开关电路的设计。另一个应用是代数编码，它使用有限域;这些系统只有有限的元素，但在其他方面很像实数系统。使用现代代数和组合学工具的应用属于离散应用数学的一般领域;这可以与经典应用数学形成对比，后者使用微积分及其扩展的工具。
本节中讨论的每个代数主题都将在书中触及，但它们不可能全部被彻底处理。要做到这一点需要不止一卷的时间，而且在任何情况下，代数的内容都比本节介绍的主题要多。美国数学学会曾经使用一种方法对当前的研究进行分类，将数学分为八大领域:代数和数论、分析、应用数学、几何、逻辑和基础、统计和概率、拓扑学和杂项。尽管在这样一个清单中所代表的主要分支在许多方面是相互依存的，但事实是，每个分支往往都有自己的特殊观点和自己的特殊方法和技术。这本书的目标是尽可能地跨越代数的观点、方法和技术，或者更准确地说，代数的那一部分致力于代数结构的研究。

大多数章节的结尾都附有注释，列出了其他书籍，包括一些可以找到更多历史背景的书籍。这里有一些与历史有关的一般参考资料;第十一章末尾的注释提供了一份关于现代代数的更高级的一般参考资料的简短清单。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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现代代数是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Integers of a Quadratic Field

In this section, a theory of factorization of integers is developed that is analogous to that which we know to hold for the rational integers. This “natural” approach is then demonstrated to lead to undesirable consequences. In the previous chapter units were defined for $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$; they are now extended to quadratic domains in general.

A unit of $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (resp. $\mathbb{Z}$ ) is an element whose inverse is also in $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (resp. $\mathbb{Z}$ ).
Proposition 13.5 An integer is a unit if and only if its norm is 1.
Proof. It is clear that the units of $\mathbb{Z}$ are \pm 1 and hence the proposition holds for the units of the rational integers.

Turning to $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, let $u$ and $v$ both be units of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ such that $u v=1$. The multiplicity property of the norm then yields $\mathrm{N}(u) \mathrm{N}(v)=1$. Since the norm is a positive rational integer, it follows that $\mathrm{N}(u)=1$. If $d=-1$, then $u$ must be one of the four numbers $\pm 1, \pm \mathrm{i}$. If $d<-1$, then $\mathrm{N}(x+y \sqrt{d})=x^2-d y^2$ which can only be 1 if $x= \pm 1$ and $y=0$.

Conversely, \pm 1 are clearly units of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d=-1,-2,-3, \ldots$ and $\pm \mathrm{i}$ are additional units of $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$

Corollary 13.6 The units of $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ are \pm 1 and $\pm \mathrm{i}$ whereas those of all other $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ with negative $d$ are \pm 1 .

Let $\alpha$ and $\beta$ be two integers such that for some unit $u, \alpha=\beta u$. Then $\alpha$ and $\beta$ are said to be associates of each other. It follows from Corollary i 3.6 that $a+b \mathrm{i},-b+a \mathrm{i}$, $-a-b \mathrm{i}$, and $b-a \mathrm{i}$ are associates in $\mathscr{I}_{-1}$ and $\alpha,-\alpha$ are each other’s associates in $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ for any $d=-1,-2,-3, \ldots$.

An element $\alpha$ of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is irreducible if for any factorization $\alpha=\beta \gamma$ at least one of $\beta$ and $\gamma$ is necessarily a unit. The irreducible integers of $\mathbb{Z}$ are the associates of the classical primes, and those of $\mathbb{Z}[i]$ are the Gaussian primes.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Cancelation of Ideals

If $c \neq 0$ and $a$ and $b$ are all complex numbers, then it is well known that
$$
a c=b c \quad \Rightarrow \quad a=b
$$
This property is not to be taken for granted. For example, in $\mathbb{Z}6$ $$ 2 \cdot 3 \equiv 0 \equiv 4 \cdot 3 \text { but } 2 \not \equiv 4(\bmod 6) $$ An ideal $c$ of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is a cancelable ideal if for every two ideals $a$ and $\boldsymbol{b}$ $$ a c=b c \quad a=b $$ It is clear that $\langle 0\rangle$ is not cancelable since $\boldsymbol{a}\langle 0\rangle=\langle 0\rangle=\boldsymbol{b}\langle 0\rangle$ for any ideals $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$. Proposition 13.32 Nonzero principal ideals are cancelable. Proof. Let $\mathfrak{a}=\left\langle\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\right\rangle$ and $\boldsymbol{b}=\left\langle\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\right\rangle$ be ideals and let $\langle\gamma\rangle$ be a nonzero principal ideal such that $\mathfrak{a}\langle\gamma\rangle=\mathfrak{b}\langle\gamma\rangle$ and consequently $$ \left\langle\gamma \alpha_1, \gamma \alpha_2, \ldots, \gamma \alpha_m\right\rangle=\left\langle\gamma \beta_1, \gamma \beta_2, \ldots, \gamma \beta_n\right\rangle $$ This implies that every $\gamma \alpha_i$ is a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-linear combination of the $\gamma \beta_j$ ‘s, say $$ \gamma \alpha_i=\sum{j=1}^n \alpha_{i j} \gamma \beta_j
$$
Cancelation by the nonzero integer $\gamma$ displays $\alpha_i$ as a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-linear combination of the $\beta_j$ ‘s. Hence $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{b}$. The reverse containment is proved in a similar manner.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Integers of a Quadratic Field

在本节中，将开发一种整数因式分解理论，该理论类似于我们已知的有理整数。然后证明这种 “自然”方法会导致不良后果。在前面的章节中，单位被定义为Z和 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$; 它们现在一般扩展到二 次域。
一个单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (分别 $\mathbb{Z}$ ) 是一个元素，其逆元素也在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (分别 $\mathbb{Z}$ ).
命题 13.5 一个整数是一个单位当且仅当它的范数是 1 。 证明。很明显，单位 是 $I p m 1$ ，因此该命题适用于有理整数的单位。
转向 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ ，让 $u$ 和 $v$ 都是单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 这样 $u v=1$. 然后范数的多重性产生 $\mathrm{N}(u) \mathrm{N}(v)=1$. 由于范数是正有理整数，因此可以得出 $\mathrm{N}(u)=1$. 如果 $d=-1$ ，然后 $u$ 必须是四个数字之一 $\pm 1, \pm \mathrm{i}$. 如果 $d<-1$ ，然后 $\mathrm{N}(x+y \sqrt{d})=x^2-d y^2$ 这只能是 1 如果 $x= \pm 1$ 和 $y=0$.
相反， $\backslash \mathrm{pm} 1$ 显然是单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d=-1,-2,-3, \ldots$ 和 $\pm \mathrm{i}$ 是额外的单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$
推论 13.6 的单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 是 $\backslash \mathrm{pm} 1$ 和 $\pm \mathrm{i}$ 而所有其他的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 负 $d$ 是 $\backslash \mathrm{pm} 1$ 。
让 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个整数，使得对于某个单位 $u, \alpha=\beta u$. 然后 $\alpha$ 和 $\beta$ 据说是彼此的同事。从推论 $\mathrm{i}$ 3.6 可以得出 $a+b \mathrm{i},-b+a \mathrm{i},-a-b \mathrm{i}$ ，和 $b-a \mathrm{i}$ 是同事在 $\mathscr{I}_{-1}$ 和 $\alpha,-\alpha$ 是彼此的同事吗 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 对于任何 $d=-1,-2,-3, \ldots$
一个元素 $\alpha$ 的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 对于任何因式分解都是不可约的 $\alpha=\beta \gamma$ 至少其中之一 $\beta$ 和 $\gamma$ 必然是一个单 位。的不可约整数 $\mathbb{Z}$ 是经典素数的伙伴，而那些 $\mathbb{Z}[i]$ 是高斯素数。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Cancelation of Ideals

如果 $c \neq 0$ 和 $a$ 和 $b$ 都是复数，那么众所周知
$$
a c=b c \quad \Rightarrow \quad a=b
$$
此属性不应被视为理所当然。例如，在 $\mathbb{Z} 6$
$$
2 \cdot 3 \equiv 0 \equiv 4 \cdot 3 \text { but } 2 \not \equiv 4(\bmod 6)
$$
一个理想 $c$ 的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 是一个可取消的理想如果对于每两个理想 $a$ 和 $b$
$$
a c=b c \quad a=b
$$
很清楚 $\langle 0\rangle$ 不可取消，因为 $\boldsymbol{a}\langle 0\rangle=\langle 0\rangle=\boldsymbol{b}\langle 0\rangle$ 为了任何理想 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$. 命题 13.32 非零主理想是 可取消的。证明。让 $\mathfrak{a}=\left\langle\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\right\rangle$ 和 $\boldsymbol{b}=\left\langle\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\right\rangle$ 成为理想，让 $\langle\gamma\rangle$ 是一 个非零主理想使得 $\mathfrak{a}\langle\gamma\rangle=\mathfrak{b}\langle\gamma\rangle$ 因此
$$
\left\langle\gamma \alpha_1, \gamma \alpha_2, \ldots, \gamma \alpha_m\right\rangle=\left\langle\gamma \beta_1, \gamma \beta_2, \ldots, \gamma \beta_n\right\rangle
$$
这意味着每 $\gamma \alpha_i$ 是一个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-的线性组合 $\gamma \beta_j$ 的，说
$$
\gamma \alpha_i=\sum j=1^n \alpha_{i j} \gamma \beta_j
$$
由非零整数取消 $\gamma$ 显示 $\alpha_i$ 作为一个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ – 的线性组合 $\beta_j$ 的。因此 $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{b}$. 反向包含以类似的方 式证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Eulerian Integers and Others

It stands to reason that the same technique that was used in the resolution of the preceding proposition could also be brought to bear on such a Diophantine equation as
$$
y^3=x^2+2
$$
In such a solution the right-hand side could be factored as
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
This requires a context for such expressions as $x \pm \sqrt{-2}$, one which is easily provided by defining the Eulerian integers as
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]={u+v \sqrt{-2} \mid u, v \in \mathbb{Z}}
$$
It is easily verified (Exercise I 2.5.I) that this set is closed with respect to addition, subtraction, and multiplication. See Table $\mathrm{I} 2.4$ for a list of small primes of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.

Let us assume for the moment that $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ has unique prime factorization and see whether or not the uniqueness of such a factorization would lead to the solution. Here
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
and we must show that the two factors on the right are relatively prime in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
Suppose, by way of contradiction that $\delta$ is a prime in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ that divides both factors. Then $\delta \mid 2 \sqrt{-2}$. Since $2 \sqrt{-2}=-\sqrt{-2}^3$ is a prime power, $\delta$ must be $\pm \sqrt{-2}$. Consequently $\sqrt{-2} \mid y^3$ and hence $\sqrt{-2} \mid y$. Taking norms we conclude that $2 \mid y$. This, however, implies that $x^2 \equiv 2(\bmod 4)$, which is impossible.
Finally let us solve the equation
$$
x+\sqrt{-2}=(u+v \sqrt{-2})^3=u^3+3 u^2 v \sqrt{-2}+3 u v^2(-2)+v^3(-2) \sqrt{-2}
$$
Separation of real and imaginary parts yields $x=u\left(u^2-6 v^2\right)$ and $1=v\left(3 u^2-2 v^2\right)$. The second equation implies that $v= \pm 1$ and $u= \pm 1$. This gives $x=5$ and $y= \pm 3$ as the only solutions of Equation I 2.52 .

Of course, it is still necessary to prove that $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ does possess the unique prime factorization property, and we hasten to do so. Observe that the elements of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ form a rectangular lattice in which each cell is a rectangle of dimensions $1 \times \sqrt{2}$ (see Figure I 2.6)

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE ARITHMETIC OF IDEALS

It would be natural at this point to go on and generalize the number systems of the previous chapter to the general form
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]={x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}}
$$
where $d$ is a negative integer which is square-free. However, for pedagogical reasons, it is better to restrict attention to the systems in which $d \equiv 2,3(\bmod 4)$ and $d$ is square-free. The first seven such values of $d$ are $-1,-2,-5,-6,-10,-13$, and -14 . For these values of $d$ let
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]={x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}}
$$
For example, when $d=-1, \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ consists of all the Gaussian integers. The elements of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ are, of course, the Eulerian integers, e.g., $1-2 \sqrt{-2}$ and $3+5 \sqrt{-2}$. It is clear that for these $d$ ‘s that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subset \mathbb{C}$, that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \not \subset \mathbb{R}$, and that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is a subset of $\mathbb{C}$ that is closed with respect to the operations of addition, subtraction, and multiplication. The reason for excluding the case $d \equiv 0(\bmod 4)$ is that these numbers are divisible by 4 and hence are not square-free. The reason for the exclusion of numbers that are not square-free is that when $d$ is not square-free, say $d=a p^2$, then
$$
x+y \sqrt{d}=x+p y \sqrt{a} \in \mathbb{Z}[a]
$$ so that $\mathbb{Z}[d] \subset \mathbb{Z}[a]$. Finally, the restriction $d \not \equiv 1(\bmod 4)$ is there to simplify the arguments of the main theorems. Recall that if $\alpha=x+y \sqrt{d}$ is any element of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, then the conjugate of $\alpha$ is $\bar{\alpha}=x-y \sqrt{d}$.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Eulerian Integers and Others

理所当然的是，用于解决前面命题的相同技术也可以应用于这样的丢番图方程:
$$
y^3=x^2+2
$$
在这样的解决方案中，右侧可以分解为
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
这需要这样的表达式的上下文 $x \pm \sqrt{-2}$, 通过将欧拉整数定义为
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=u+v \sqrt{-2} \mid u, v \in \mathbb{Z}
$$
很容易验证 (练习|2.5.1) 这个集合在加法、减法和乘法方面是封闭的。见表I2.4对于小素数 的列表 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
让我们暂时假设 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 具有唯一的质因数分解，看看这种因式分解的唯一性是否会导致解决 方案。这里
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
我们必须证明右迦的两个因数互质 $[\sqrt{-2}]$.
$2 \sqrt{-2}=-\sqrt{-2}$ 是一个主要力量， $\delta$ 必须是 $\pm \sqrt{-2}$. 最后 $\sqrt{-2} \mid y^3$ 因此 $\sqrt{-2} \mid y$. 采取规 范我们得出结论 $2 \mid y$. 然而，这意味着 $x^2 \equiv 2(\bmod 4)$ ，这是不可能的。 最后让我们解方程
$$
x+\sqrt{-2}=(u+v \sqrt{-2})^3=u^3+3 u^2 v \sqrt{-2}+3 u v^2(-2)+v^3(-2) \sqrt{-2}
$$
分离实部和虚部得到 $x=u\left(u^2-6 v^2\right)$ 和 $1=v\left(3 u^2-2 v^2\right)$. 第二个等式意味着 $v= \pm 1$ 和 $u= \pm 1$. 这给 $x=5$ 和 $y= \pm 3$ 作为方程式 $\mid 2.52$ 的唯一解。
当然，还需要证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 确实具有独特的质因数分解性质，我们䞨紧这样做。观察到元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 形成一个矩形格子，其中每个单元格都是一个维度的矩形 $1 \times \sqrt{2}$ (见图一 2.6 )

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE ARITHMETIC OF IDEALS

在这一点上很自然地继续将前一章的数字系统嘅括为一般形式
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}
$$
在哪里 $d$ 是无平方的负整数。然而，出于教学原因，最好将注意力限制在系统中 $d \equiv 2,3(\bmod 4)$ 和 $d$ 是无方的。前七个这样的值 $d$ 是 $-1,-2,-5,-6,-10,-13$, 和 -14 。对于这些值 $d$ 让
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}
$$
例如，当 $d=-1, \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 由所有高斯整数组成。的元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 当然是欧拉整数，例如， $1-2 \sqrt{-2}$ 和 $3+5 \sqrt{-2}$. 很明显，对于这些 $d$ 就是那个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subset \mathbb{C}$ ，那 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \not \subset \mathbb{R}$ ，然 后 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 是一个子集 $C$ 相对于加法、减法和乘法运算是封闭的。案件排除原因
$d \equiv 0(\bmod 4)$ 是这些数字可以被 4 整除，因此不是无平方的。排除不是无平方数的数字的 原因是当 $d$ 不是无方的，比如说 $d=a p^2$ ，然后
$$
x+y \sqrt{d}=x+p y \sqrt{a} \in \mathbb{Z}[a]
$$
以便 $\mathbb{Z}[d] \subset \mathbb{Z}[a]$. 最后，限制 $d \neq 1(\bmod 4)$ 是为了简化主要定理的论证。回想一下，如果 $\alpha=x+y \sqrt{d}$ 是任何元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, 那么共轭的 $\alpha$ 是 $\bar{\alpha}=x-y \sqrt{d}$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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现代代数是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Galois Polynomial

The orders of the elements of Galois fields, defined in the previous section, possess the same properties as the orders of the complex and modular roots of unity, which are restated here for the sake of completeness. Since the proofs of Proposition 2.16, Corollary 2.17, and Propositions 5.19 and $5.20$ work in the new context verbatim, these properties are restated without proof.
Proposition 7.7 Let $\alpha$ and $\beta$ be any roots of unity in some field $F$. Then
(a) $\alpha^n=1$ if and only if $n$ is a multiple of o $(\alpha)$;
(b) $\alpha^a=\alpha^b$ if and only if $\mathrm{o}(\alpha)$ is a divisor of $a-b$ and so $1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{\mathrm{o}(\alpha)-1}$ are all distinct;
(c) if o $(\alpha)=n$, then $o\left(\alpha^k\right)=n /(k, n)$;
(d) $o(\alpha \beta)=o(\alpha) o(\beta)$ if $o(\alpha)$ and $o(\beta)$ are relatively prime.
If $\alpha$ is any element of order $k$, it must clearly be a zero of the polynomial $x^m-1$ whenever $m$ is a multiple of $k$. Hence, by the first part of the above proposition, if $e$ is the least common multiple of the orders of all the nonzero elements of the Galois field $\mathrm{GF}(p, P(x))$, then these elements are all zeroes of $x^e-1$. This number $e$ is, of course, of interest, and it will eventually be demonstrated (Theorem 7.17) that $e=p^\nu-1$, where $\nu$ is the degree of $P(x)$. We begin this process by picking up where the previous section’s quotation from Galois’s paper left off.
Of the expressions [in Expression A] we shall only take the $p^\nu-1$ values obtained when $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{y-1}$ are not all zero; let $\alpha$ be one of these expressions.

If $\alpha$ is successively raised to the second, third, … powers, a sequence of quantities all of which have the same form is obtained (since every function of $\mathrm{i}$ is reducible to the ( $\nu-1)$-th degree).
Hence it must be that $\alpha^n=1$ for some $n$; let $n$ be the smallest number such that $\alpha^n=1$. Then the numbers $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots, \alpha^{n-1}$ are all distinct. Next, multiply these $n$ numbers by another expression $C$ of the same form. We then obtain another new group of quantities all different from the first group as well as from each other. If the quantities of Form $7.2$ have not been exhausted yet, the powers of $\alpha$ can be multiplied by a new expression $\gamma$, and so on. Consequently the number $n$ necessarily divides the total number of quantities of Form $7.2$. Since this number is $p^v-1$, we see that $n$ divides $p^v-1$. From this it also follows that
$$
\alpha^{p^\nu-1}=1, \text { or } \quad \alpha^{p^\nu}=\alpha .
$$
Two sentences later we find the following statement:
We note here the remarkable result that all the algebraic quantities that arise in this theory are roots of equations of the form
$$
x^{P^\nu}=x .
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Primitive Element Theorem

Toward the end of his paper Galois lets on that his purpose in constructing these new number systems was to find new contexts within which primitive roots exist and to which Gauss’s techniques, which proved so effective for the algebraic resolution of the cyclotomic equation (see Section 2.4), could be applied to produce new algebraically resolvable equations. Galois does not prove the existence of these primitive elements, contenting himself with a comment to the effect that Gauss’s proof of the existence of primitive roots modulo $p$ carries over intact to this new setting. We will not follow Gauss’s proof here and give instead a more modern, and somewhat shorter, proof.
Lemma 7.16 If $F$ is a Galois field with $f$ elements, and if $q^m$ is the largest power of the prime number $q$ that divides $f-1$, then $F$ contains an element $a$ of order $q^m$.
Proof. The polynomial $x^{(f-1) / q}-1$ has degree $(f-1) / q<f-1$, and so it follows from Proposition $6.8$ that there is a nonzero element $b \in F$ which is not a zero of this polynomial, i.e., $b^{(f-1) / q} \neq 1$. Set $a=b^{(f-1) / q^m}$. Then,
$$
a^{q^{m-1}}=b^{(f-1) / q} \neq 1
$$
while, by Proposition $7.6$ and Theorem 7.I I,
$$
a^{q^m}=b^{(f-1)}=1 .
$$
Thus, $o(a)$ divides $q^m$ but not $q^{m-1}$, whence $o(a)=q^m$.
We are ready for this chapter’s main theorem:
Theorem $7.17$ (The Primitive Element Theorem-Galois) Every Galois field has a primitive element.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Galois Polynomial

上一节中定义的伽罗华域元素的阶数与复数和模单位根的阶数具有相同的性质，为了完整性起见，在此重 述。由于命题 2.16、推论 2.17、命题 $5.19$ 和 $5.20$ 在新的上下文中逐字工作，这些属性在没有证据的情 况下被重述。
提案 $7.7$ 让 $\alpha$ 和 $\beta$ 是某个领域的任何统一根源 $F$. 然后
（一） $\alpha^n=1$ 当且仅当 $n$ 是 0 的倍数 $(\alpha)$ ；
(二) $\alpha^a=\alpha^b$ 当且仅当 $\mathrm{o}(\alpha)$ 是除数 $a-b$ 所以 $1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{\mathrm{o}(\alpha)-1}$ 都是不同的；
(c) 如果 $(\alpha)=n$ ，然后 $o\left(\alpha^k\right)=n /(k, n)$;
(四) $o(\alpha \beta)=o(\alpha) o(\beta)$ 如果 $o(\alpha)$ 和 $o(\beta)$ 是相对质数。
如果 $\alpha$ 是任何顺序元素 $k$ ，它显然必须是多项式的零 $x^m-1$ 每当 $m$ 是的倍数 $k$. 因此，根据上述命题的第一 部分，如果 $e$ 是伽罗华域所有非零元素阶数的最小公倍数 $\mathrm{GF}(p, P(x))$ ，那么这些元素都是零 $x^e-1$. 这 个号码 $e$ 当然，这很有趣，最终将证明（定理 7.17) $e=p^\nu-1$ ， 在哪里 $\nu$ 是的程度 $P(x)$. 我们从上一 节引用伽罗瓦论文的地方开始这个过程。
在 [表达式 A] 的表达式中，我们将只取 $p^\nu-1$ 时获得的值 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{y-1}$ 不全为零；让 $\alpha$ 成为这些 表达之一。
如果 $\alpha$ 相继升至二、三、…..次方，得到所有具有相同形式的量的序列（因为每一个函数可以简化为（ $\nu-1)$-度）。
因此它必须是 $\alpha^n=1$ 对于一些 $n$; 让 $n$ 是最小的数字，使得 $\alpha^n=1$. 然后是数字 $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots, \alpha^{n-1}$ 都是不同的。接下来，乘以这些 $n$ 另一个表达式的数字 $C$ 相同的形式。然后，我们获得了另一组新的量， 这些量与第一组以及彼此都不同。如果表格的数量 $7.2$ 还没有用尽，力量 $\alpha$ 可以乘以一个新的表达式 $\gamma$ ， 等等。因此数 $n$ 必然除以 Form 的数量总数 $7.2$. 由于这个数字是 $p^v-1$, 我们看到 $n$ 分裂 $p^v-1$. 由此也 可知
$$
\alpha^{p^\nu-1}=1, \text { or } \quad \alpha^{p^\nu}=\alpha
$$
两句话后我们发现以下陈述:
我们注意到这里的显着结果，即该理论中出现的所有代数量都是以下形式的方程的根
$$
x^{P^\nu}=x
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Primitive Element Theorem

在他的论文末尾，Galois 表示他构建这些新数系的目的是找到原根存在的新环境以及高斯的技术，这被证 明对分圆方程的代数求解非常有效 (见第 $2.4$ 节) )，可用于产生新的代数可解方程。伽罗瓦没有证明这些 本原元素的存在，他满足于评论高斯对本原根模存在的证明 $p$ 完好无损地延续到这个新设置。我们不会在 这里遵循高斯的证明，而是给出一个更现代、更简短的证明。
引理 $7.16$ 如果 $F$ 是一个伽罗华域 $f$ 元素，如果 $q^m$ 是素数的最大幂 $q$ 那分开 $f-1$ ，然后 $F$ 包含一个元素 $a$ 秩序 $q^m$.
证明。多项式 $x^{(f-1) / q}-1$ 有学位 $(f-1) / q<f-1$, 所以它来自命题6.8有一个非零元素 $b \in F$ 这不 是这个多项式的零，即 $b^{(f-1) / q} \neq 1$. 放 $a=b^{(f-1) / q^m}$. 然后，
$$
a^{q^{m-1}}=b^{(f-1) / q} \neq 1
$$
同时，根据命题7.6和定理 7.II，
$$
a^{q^m}=b^{(f-1)}=1 .
$$
因此， $o(a)$ 分裂 $q^m$ 但不是 $q^{m-1}$ ，从那里 $o(a)=q^m$.
我们准备好本章的主要定理:
定理7.17(原元定理-伽罗瓦) 每个伽罗华域都有一个原元。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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