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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Paths and Subgraphs

An important concept for describing the structure of a graph is the concept of a path.
Definition 5.5 Path, trail, walk and vertex sequence Let $G=(V, E, \varphi)$ be a graph. Let $e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}$ be a sequence of elements of $E$ (edges of $G$ ) for which there is a sequence $a_1, a_2, \ldots, a_n$ of distinct elements of $V$ (vertices of $G$ ) such that $\varphi\left(e_i\right)=\left{a_i, a_{i+1}\right}$ for $i=$ $1,2, \ldots, n-1$. The sequence of edges $e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}$ is called a path in $G$. The sequence of vertices $a_1, a_2, \ldots, a_n$ is called the vertex sequence of the path. (Note that since the vertices are distinct, so are the edges.) If we require that $e_1, \ldots, e_{n-1}$ be distinct, but not that $a_1, \ldots, a_n$ be distinct, the sequence of edges is called a trail. If we do not even require that the edges be distinct, it is called a walk.

Note that the definition of a path requires that it not intersect itself (i.e., have repeated vertices), while a trail may intersect itself. Although a trail may intersect itself, it may not have repeated edges, but a walk may. If $P=\left(e_1, \ldots, e_{n-1}\right)$ is a path in $G=(V, E, \varphi)$ with vertex sequence $a_1, \ldots, a_n$ then we say that $P$ is a path from $a_1$ to $a_n$. Similarly for a trail or a walk.

In the graph of Figure 5.2 (p. 123), the sequence $c, d, g$ is a path with vertex sequence $A, C, B, D$. If the graph is of the form $G=(V, E)$ with $E \subseteq \mathcal{P}_2(V)$, then the vertex sequence alone specifies the sequence of edges and hence the path. Thus, in Figure 5.1 (p. 122), the vertex sequence MN, SM, SE, TM specifies the path ${\mathrm{MN}, \mathrm{SM}},{\mathrm{SM}, \mathrm{SE}},{\mathrm{SE}, \mathrm{TM}}$.

Note that every path is a trail and every trail is a walk, but not conversely. However, we can show that, if there is a walk between two vertices, then there is a path. This rather obvious result can be useful in proving theorems, so we state it as a theorem.
Theorem 5.2 Suppose $u \neq v$ are vertices in $G=(V, E, \varphi)$. The following are equivalent:
(a) There is a walk from $u$ to $v$.
(b) There is a trail from $u$ to $v$.
(c) There is a path from $u$ to $v$.
Furthermore, given a walk from $u$ to $v$, there is a path from $u$ to $v$ all of whose edges are in the walk.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Trees

Trees play an important role in a variety of algorithms. We have already met decision trees in Chapter 3 . In this section, we define trees precisely and look at some of their properties. We study trees further in Section 6.1 and Chapter 9.

Definition 5.9 (Free) Tree If $G$ is a connected graph without any cycles then $G$ is called a tree. (If $|V|=1$, then $G$ is connected and hence is a tree.) A tree is also called a free tree.

The graph of Figure $5.2($ p. 123) is connected but is not a tree. The subgraph of this graph induced by the edges ${a, e, g}$ is a tree. If $G$ is a tree, then $\varphi$ is an injection since if $e_1 \neq e_2$ and $\varphi\left(e_1\right)=\varphi\left(e_2\right)$, then $\left{e_1, e_2\right}$ induces a cycle. Because of this, we can think of a tree as a simple graph when we are not interested in names of the edges.

It’s natural to ask how many trees can be formed using an $n$-set $V$ for the vertices. In Example 5.10 (p. 143), we’ll prove that the answer is $n^{n-2}$. Another proof is given in Exercise 5.4.12.
Since the notion of a tree is so important, it will be useful to have some equivalent definitions of a tree. We state them as a theorem

Theorem 5.4 Definitions of tree If $G$ is a connected graph, the following are equivalent.
(a) $G$ is a tree.
(b) $G$ has no cycles.
(c) For every pair of vertices $u \neq v$ in $G$, there is exactly one path from $u$ to $v$.
(d) Removing any edge from $G$ gives a graph which is not connected.
(e) The number of vertices of $G$ is one more than the number of edges of $G$.

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Paths and Subgraphs

描述图结构的一个重要概念是路径的概念。
定义5.5路径、轨迹、行走和顶点序列Let $G=(V, E, \varphi)$ 做一个图表。让 $e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}$ 的元素序列 $E$ 的边缘 $G$ )，其中有一个序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 的不同元素 $V$ 的顶点 $G$ )这样 $\varphi\left(e_i\right)=\left{a_i, a_{i+1}\right}$ 为了 $i=$ $1,2, \ldots, n-1$． 边的序列 $e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}$ 叫做路径 $G$． 顶点序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 称为路径的顶点序列。(注意，由于顶点是不同的，所以边也是不同的。)如果我们要求的话 $e_1, \ldots, e_{n-1}$ 要与众不同，但不是那样 $a_1, \ldots, a_n$ 为了区分，这些边的序列被称为一条轨迹。如果我们甚至不要求这些边是不同的，我们称之为行走。

请注意，路径的定义要求它不与自身相交(即有重复的顶点)，而轨迹可能与自身相交。虽然一条小径可能会交叉，但它可能不会有重复的边缘，但散步可能会。如果$P=\left(e_1, \ldots, e_{n-1}\right)$是$G=(V, E, \varphi)$中顶点序列为$a_1, \ldots, a_n$的路径，那么我们说$P$是从$a_1$到$a_n$的路径。同样地，用于小径或散步。

在图5.2(第123页)的图中，序列$c, d, g$是一个顶点序列$A, C, B, D$的路径。如果图的形式为$G=(V, E)$和$E \subseteq \mathcal{P}_2(V)$，则顶点序列单独指定了边的序列，从而指定了路径。因此，在图5.1 (p. 122)中，顶点序列MN, SM, SE, TM指定路径${\mathrm{MN}, \mathrm{SM}},{\mathrm{SM}, \mathrm{SE}},{\mathrm{SE}, \mathrm{TM}}$。

请注意，每条路径都是一条小径，每条小径都是一次行走，但并非相反。然而，我们可以证明，如果在两个顶点之间存在行走，那么就存在一条路径。这个相当明显的结果在证明定理时很有用，所以我们把它表述为定理。
定理5.2假设$u \neq v$为$G=(V, E, \varphi)$中的顶点。以下是等价的:
(a)从$u$步行到$v$。
(b)从$u$到$v$有一条线索。
(c)有一条从$u$到$v$的路径。
此外，给定一条从$u$到$v$的路径，存在一条从$u$到$v$的路径，其所有边都在该路径中。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Trees

树在各种算法中扮演着重要的角色。我们已经在第3章讨论过决策树。在本节中，我们将精确地定义树并查看它们的一些属性。我们将在第6.1节和第9章进一步研究树。

定义5.9(自由)树如果$G$是一个没有任何循环的连通图，那么$G$被称为树。(如果$|V|=1$，那么$G$是连接的，因此是一个树。)树也叫自由树。

图$5.2($ (p. 123)的图形是连通的，但不是树。这个图的子图由边${a, e, g}$引出是一个树。如果$G$是树，那么$\varphi$是注入，因为如果$e_1 \neq e_2$和$\varphi\left(e_1\right)=\varphi\left(e_2\right)$，那么$\left{e_1, e_2\right}$会引发一个循环。正因为如此，当我们对边的名字不感兴趣时，我们可以把树想象成一个简单的图。

很自然地要问，使用$n$ -set $V$的顶点可以形成多少棵树。在例5.10中，我们将证明答案是$n^{n-2}$。练习5.4.12给出了另一个证明。
既然树的概念如此重要，那么有一些等价的树的定义将是有用的。我们把它们写成定理

定理5.4树的定义如果$G$是连通图，则下列是等价的:
(a) $G$是一棵树。
(b) $G$没有周期。
(c)对于$G$中的每一对顶点$u \neq v$，从$u$到$v$都有一条路径。
(d)去掉$G$上的任何一条边，得到一个不连通的图。
(e) $G$的顶点数比$G$的边数多一个。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Backtracking

In many computer algorithms it is necessary to systematically inspect all the vertices of a decision tree. A procedure that systematically inspects all the vertices is called a traversal of the tree. How can we create such a procedure? One way to imagine doing this is to walk around the tree. An example is shown in Figure 9.2 (p. 249), where we study the subject in more depth. “Walking around the tree” is not a very good program description. We can describe our traversal more precisely by giving an algorithm. Here is one which traverses a tree whose leaves are associated with functions and lists the functions in the order of their rank.

Theorem 3.5 Systematic traversal algorithm The following procedure systematically visits the leaves in a tree from left to right by “walking” around the tree.

1. Start: Mark all edges as unused and position yourself at the root.
2. Leaf: If you are at a leaf, list the function.
3. Decide case: If there are no unused edges leading out from the vertex, go to Step 4; otherwise, go to Step 5.
4. Backtrack: If you are at the root, STOP; otherwise, return to the vertex just above this one and go to Step 3.
5. Decision: Select the leftmost unused edge out of this vertex, mark it used, follow it to a new vertex and go to Step 2 .

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Listing Gray coded subsets

Example 3.13 Listing Gray coded subsets In Example 3.12 we looked at a Gray code for listing all elements of an $n$ element set. Since there are only two decisions at each vertex, the entries in the decision sequence will be 0 or 1 (but they usually do not equal the entries in the Gray code). Here is the code with $s_i$ being the decision sequence and $g_i$ the Gray code.
Procedure GraySubsets $(n)$
$$
\text { For } \begin{aligned}
i & =1 \text { to } n: \quad / * \text { Set up first leaf } * / \
s_i & =0 \
g_i & =0
\end{aligned}
$$
End for
End for
Goto ENDCASE

End if
empty = TRUE
Label ENDCASE
End for
End while
End
The statement $g_i=1-g_i$ changes 0 to 1 and vice versa. Since the Gray code changes only one entry, we are able to move down without changing any of the $g_j$ values.

组合学代考

学代写|组合学代写Combinatorics代考|Backtracking

在许多计算机算法中，有必要系统地检查决策树的所有顶点。系统地检查所有顶点的过程称为树的遍历。我们如何创建这样一个过程?想象这样做的一种方式是绕着树走。图9.2给出了一个例子，我们在其中更深入地研究了这个主题。“绕着树散步”不是一个很好的节目描述。通过给出一个算法，我们可以更精确地描述遍历过程。这里有一个遍历树，树的叶子与函数相关联，并按照它们的秩列出函数。

定理3.5系统遍历算法下面的过程通过“遍历”树，从左到右系统地访问树中的叶子。

开始:将所有边缘标记为未使用，并将自己定位在根部。

叶子:如果你在叶子上，列出函数。

判断情况:如果没有未使用的边从顶点引出，转到步骤4;否则，请执行步骤5。

Backtrack:如果你在根，停止;否则，返回到这个顶点的上方，然后转到步骤3。

决定:选择这个顶点的最左边未使用的边，标记它已使用，跟随它到一个新的顶点，然后转到步骤2。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Listing Gray coded subsets

在例3.12中，我们看到了列出$n$元素集的所有元素的Gray代码。由于每个顶点只有两个决策，因此决策序列中的条目将是0或1(但它们通常不等于Gray代码中的条目)。下面是代码，$s_i$是决策序列，$g_i$是Gray代码。
GraySubsets $(n)$
$$
\text { For } \begin{aligned}
i & =1 \text { to } n: \quad / * \text { Set up first leaf } * / \
s_i & =0 \
g_i & =0
\end{aligned}
$$
End for
End for
转到ENDCASE

结束if
empty = TRUE
标签结束
End for
while结束
结束
语句$g_i=1-g_i$将0变为1，反之亦然。由于Gray代码只更改一个条目，因此我们能够在不更改$g_j$值的情况下向下移动。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Basic Concepts of Decision Trees

Decision trees provide a method for systematically listing a variety of functions. We’ll begin by looking at a couple of these. The simplest general class of functions to list is the entire set $\underline{k}$. We can create a typical element in the list by choosing an element of $n$ and writing it down, choosing another element (possibly the same as before) of $n$ and writing it down next, and so on until we have made $k$ decisions. This generates a function in one line form sequentially: First $f(1)$ is chosen, then $f(2)$ is chosen and so on. We can represent all possible decisions pictorially by writing down the decisions made so far and then some downward edges indicating the possible choices for the next decision.

The lefthand part of Figure 3.1 illustrates this way of generating a function in $2^3$ sequentially. It’s called the decision tree for generating the functions in $2^3$. Each line in the left hand figure is labeled with the choice of function value to which it corresponds. Note that the labeling does not completely describe the corresponding decision – we should have used something like “Choose 1 for the value of $f(2)$ ” instead of simply “1” on the line from 1 to 11 . At the end of each line is the function that has been built up so far. We’ve omitted commas, so 211 means $2,1,1$.

To the right of the figure for generating the functions is the same structure without any labels. The dots $(\bullet)$ are called nodes or vertices and the lines connecting them are called edges. Sometimes it is more convenient to specify an edge by giving its two end points; for example, the edge from 1 to 12 in the figure can be described uniquely as $(1,12)$. The nodes with no edges leading down are called the leaves. The entire branching structure is called a tree or, more properly, an ordered rooted tree. The topmost node is called the root.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Two hands of cards

Two hands of cards In Chapter 1 we studied various problems involving a hand of cards. Now we complicate matters by forming more than one hand on the same deal from the deck. How many ways can two 5 card hands be formed so that each hand contains 2 pairs (and a fifth card that has a different value)?

The problem can be solved by forming the first hand and then forming the second, since the number of choices for the second hand does not depend on what the first hand is as long as we know it is a hand with 2 pairs. We solved the two pair problem in Example 1.16 (p. 22), so we know that the first hand can be formed in 123,552 ways.

Forming the second hand is complicated by the fact that the first hand has used up some of the cards in the deck. As a result, we must consider different cases according to the amount of overlap between the first and second hands. We’ll organize the possibilities by using a decision tree. Let $P_i$ be the set of values of the pairs in the $i$ thhand; e.g., we might have $P_1={3, \mathrm{Q}}$ and $P_2={2,3}$, in which case the hands have one pair value in common. Our first decision will be the value of $\left|P_1 \cap P_2\right|$, which must be 0,1 or 2 . Our next decision will be based on whether or not the value of the unpaired card in the first hand is in $P_2$; i.e., whether or not a pair in the second hand has the same value as the nonpair card in the first hand. We’ll label the edges $\mathrm{Y}$ and $\mathrm{N}$ according as this is true or not. The decision tree is shown in Figure 3.4, where we’ve labeled the leaves $A-E$ for convenience.

We’ll prove that the number of hands that correspond to each of the leaves is
$$
\begin{aligned}
A & :\left(\begin{array}{l}
10 \
2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)^2(52-8-5)=63,180, \
B: & \left(\begin{array}{l}
3 \
2
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}
10 \
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)(52-8-4)=7,200, \
C: & 2 \times\left(\begin{array}{c}
10 \
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)(52-8-3)=4,920, \
D: & 2\left(\begin{array}{l}
3 \
2
\end{array}\right)(52-8-2)=252, \
E: & 52-8-1=43,
\end{aligned}
$$
giving a total of 75,595 choices for the second hand. Multiplying this by 123,552 (the number of ways of forming the first hand) we find that there are somewhat more than $9 \times 10^9$ possibilities for two hands. Of course, if the order of the hands is irrelevant, this must be divided by 2 .

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Basic Concepts of Decision Trees

决策树为系统地列出各种功能提供了一种方法。我们将从其中的几个开始。要列出的最简单的一般函数类是整个集合$\underline{k}$。我们可以在列表中创建一个典型的元素，方法是选择一个元素$n$并将其写下来，然后选择另一个元素$n$(可能与之前相同)并将其写下来，以此类推，直到我们做出$k$决定。这将按顺序以一行形式生成一个函数:首先选择$f(1)$，然后选择$f(2)$，依此类推。我们可以用图形表示所有可能的决策，写下迄今为止做出的决策，然后用一些向下的边表示下一个决策的可能选择。

图3.1的左侧部分演示了顺序地在$2^3$中生成函数的方法。它被称为决策树，用于生成$2^3$中的函数。左图中的每一行都标有它所对应的函数值的选择。注意，标签并没有完全描述相应的决策—我们应该使用类似于“为$f(2)$的值选择1”的内容，而不是在1到11的行中简单地使用“1”。每行的末尾是迄今为止构建的函数。我们省略了逗号，所以211表示$2,1,1$。

在图的右侧，用于生成函数的是相同的结构，没有任何标签。点$(\bullet)$称为节点或顶点，连接它们的线称为边。有时通过给出两个端点来指定一条边更方便;例如，图中从1到12的边可以唯一地描述为$(1,12)$。没有边向下延伸的节点称为叶节点。整个分支结构称为树，或者更确切地说，有序根树。最上面的节点称为根节点。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Two hands of cards

两副牌在第一章中，我们研究了与一副牌有关的各种问题。现在，我们把问题复杂化了，从牌堆中取出同一张牌，形成多手牌。有多少种方法可以组成两张5张牌的手牌，使每手牌包含2对(第五张牌有不同的值)?

这个问题可以通过先形成第一只手再形成第二只手来解决，因为第二只手的选择数量并不取决于第一只手是什么，只要我们知道它是有2对的手。我们在例1.16(第22页)中解决了两对问题，因此我们知道第一手牌可以有123,552种形成方式。

由于一手牌已经用尽了牌组中的一些牌，形成第二手牌的过程变得复杂起来。因此，我们必须根据第一和第二指针之间的重叠量来考虑不同的情况。我们将使用决策树来组织这些可能性。设$P_i$为$i$中对的值的集合;例如，我们可能有$P_1={3, \mathrm{Q}}$和$P_2={2,3}$，在这种情况下，手有一对共同的值。我们的第一个决定将是$\left|P_1 \cap P_2\right|$的值，它必须是0、1或2。我们的下一个决定将基于第一手未配对的牌的值是否在$P_2$;即，第二手牌中的一对牌是否与一手牌中的非对牌具有相同的值。我们将标记边$\mathrm{Y}$和$\mathrm{N}$，根据这是真的还是假的。决策树如图3.4所示，为方便起见，我们将叶子标记为$A-E$。

我们要证明每个叶子对应的手的数量是
$$
\begin{aligned}
A & :\left(\begin{array}{l}
10 \
2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)^2(52-8-5)=63,180, \
B: & \left(\begin{array}{l}
3 \
2
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}
10 \
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)(52-8-4)=7,200, \
C: & 2 \times\left(\begin{array}{c}
10 \
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \
2
\end{array}\right)(52-8-3)=4,920, \
D: & 2\left(\begin{array}{l}
3 \
2
\end{array}\right)(52-8-2)=252, \
E: & 52-8-1=43,
\end{aligned}
$$
总共有75,595个秒针可供选择。将其乘以123,552(形成一手的方法的数量)，我们发现有超过$9 \times 10^9$种可能的两只手。当然，如果手牌的顺序无关紧要，这个必须除以2。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Terminology for Sets

Except for the real numbers $(\mathbb{R})$, rational numbers $(\mathbb{Q})$ and integers $(\mathbb{Z})$, our sets are normally finite. The set of the first $n$ positive integers, ${1,2, \ldots, n}$ will be denoted by $n$.

Recall that $|A|$ is the number of elements in the set $A$. When it is convenient to do so, we’ll assume that the elements of a set $A$ have been linearly ordered and denote the ordering by $a_1, a_2, \ldots, a_{|A|}$. Unless clearly stated otherwise, the ordering on a set of numbers is the numerical ordering. For example, the ordering on $n$ is $1,2,3, \ldots, n$.
If $A$ and $B$ are sets, we write $A-B$ for the set of elements in $A$ that are not in $B$ :
$$
A-B={x \mid x \in A \text { and } x \notin B} .
$$
(This is also written $A \backslash B$.)
If $A$ and $B$ are sets, recall from the previous chapter that the Cartesian product $A \times B$ is the set of all ordered pairs built from $A$ and $B$ :
$$
A \times B={(a, b) \mid a \in A \text { and } b \in B}
$$
We also call $A \times B$ the direct product of $A$ and $B$.
If $A=B=\mathbb{R}$, the real numbers, then $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, written $\mathbb{R}^2$ is frequently interpreted as coordinates of points in the plane. Two points are the same if and only if they have the same coordinates, which says the same thing as our definition of $(a, b)=\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$. Recall that the direct product can be extended to any number of sets. How can $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^3$ be interpreted?

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|What are Functions?

Definition 2.1 Function If $A$ and $B$ are sets, a function from $A$ to $B$ is a rule that tells us how to find a unique $b \in B$ for each $a \in A$. We write $f: A \rightarrow B$ to indicate that $f$ is a function from $A$ to $B$. We call the set $A$ the domain of $f$ and the set $B$ the codomain of $f$. To specify a function completely you must give its domain, codomain and rule. The set of all functions from $A$ to $B$ is written $B^A$, for a reason we will soon explain. Thus $f: A \rightarrow B$ and $f \in B^A$ say the same thing.

In calculus you dealt with functions whose codomains were $\mathbb{R}$ and whose domains were contained in $\mathbb{R}$; for example, $f(x)=1 /\left(x^2-1\right)$ is a function from $\mathbb{R}-{-1,1}$ to $\mathbb{R}$. You also studied functions of functions! The derivative is a function whose domain is all differentiable functions and whose codomain is all functions. If we wanted to use functional notation we could write $D(f)$ to indicate the function that the derivative associates with $f$. Can you see how to think of the integral as a function? This is a bit tricky because of the constant of integration. We won’t pursue it.

Definition 2.2 One-line notation When $A$ is ordered, a function can be written in oneline notation as $\left(f\left(a_1\right), f\left(a_2\right), \ldots, f\left(a_{|A|}\right)\right)$. Thus we can think of function as an element of $B \times B \times \ldots \times B$, where there are $|A|$ copies of $B$. Instead of writing $B^{|A|}$ to indicate the set of all functions, we write $B^A$. Writing $B^{|A|}$ is incomplete because the domain is not specified. Instead, only its size is given.

Example 2.1 Using the notation To get a feeling for the notation used to specify a function, it may be helpful to imagine that you have an envelope or box that contains a function. In other words, this envelope contains all the information needed to completely describe the function. Think about what you’re going to see when you open the envelope.
You might see
$$
P={a, b, c}, \quad g: P \rightarrow 4, \quad g(a)=3, \quad g(b)=1 \quad \text { and } \quad g(c)=4 .
$$
This tells you that the name of the function is $g$, the domain of $g$ is $P$, which is ${a, b, c}$, and the codomain of $g$ is $4={1,2,3,4}$. It also tells you the values in $4$ that $g$ assigns to each of the values in its domain. Someone else may have put
$$
g:{a, b, c} \rightarrow 4, \quad \text { ordering: } a, b, c, \quad g=(3,1,4) .
$$

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Terminology for Sets

除了实数$(\mathbb{R})$，有理数$(\mathbb{Q})$和整数$(\mathbb{Z})$，我们的集合通常是有限的。第一个$n$正整数的集合${1,2, \ldots, n}$用$n$表示。

回想一下，$|A|$是集合$A$中的元素个数。如果方便的话，我们假设集合$A$中的元素是线性有序的，并用$a_1, a_2, \ldots, a_{|A|}$表示这种顺序。除非另有明确说明，否则一组数字上的排序为数值排序。例如，$n$上的订单是$1,2,3, \ldots, n$。
如果$A$和$B$是集合，我们将$A-B$写为$A$中不在$B$中的元素集合:
$$
A-B={x \mid x \in A \text { and } x \notin B} .
$$
(这也写在$A \backslash B$。)
如果$A$和$B$是集合，回想一下上一章，笛卡尔积$A \times B$是由$A$和$B$构建的所有有序对的集合:
$$
A \times B={(a, b) \mid a \in A \text { and } b \in B}
$$
我们也称$A \times B$为$A$和$B$的直接乘积。
如果$A=B=\mathbb{R}$是实数，那么$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$，写为$\mathbb{R}^2$通常被解释为平面上点的坐标。两点相等当且仅当它们有相同的坐标，这和$(a, b)=\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$的定义是一样的。回想一下，直积可以推广到任意数量的集合。如何解释$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^3$ ?

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|What are Functions?

定义2.1函数如果设置了$A$和$B$，那么从$A$到$B$的函数是一个规则，它告诉我们如何为每个$a \in A$找到唯一的$b \in B$。我们写$f: A \rightarrow B$表示$f$是一个从$A$到$B$的函数。我们称集合$A$为$f$的定义域，称集合$B$为$f$的上域。要完整地指定一个函数，你必须给出它的定义域、上域和定则。从$A$到$B$的所有函数的集合写成$B^A$，其原因我们将很快解释。因此$f: A \rightarrow B$和$f \in B^A$表达的是同一件事。

在微积分中，我们处理的函数上域是$\mathbb{R}$定义域包含在$\mathbb{R}$中;例如，$f(x)=1 /\left(x^2-1\right)$是一个从$\mathbb{R}-{-1,1}$到$\mathbb{R}$的函数。你们也学过函数的函数!导数是一个定义域都是可微函数上域都是函数的函数。如果我们想用函数符号我们可以写$D(f)$来表示与$f$相关的导数函数。你们知道如何把积分看作一个函数吗?这有点棘手，因为积分是常数。我们不会追究它。

定义2.2单行表示法当顺序为$A$时，函数可以写成$\left(f\left(a_1\right), f\left(a_2\right), \ldots, f\left(a_{|A|}\right)\right)$。因此，我们可以将function视为$B \times B \times \ldots \times B$的一个元素，其中$B$有$|A|$个副本。我们不写$B^{|A|}$来表示所有函数的集合，而是写$B^A$。因为没有指定域，所以写$B^{|A|}$不完整。相反，只给出了它的大小。

为了了解用来指定函数的符号，想象你有一个信封或盒子，里面装着一个函数，这可能会有所帮助。换句话说，这个包络包含了完整描述函数所需的所有信息。想想你打开信封时会看到什么。
你可能会看到
$$
P={a, b, c}, \quad g: P \rightarrow 4, \quad g(a)=3, \quad g(b)=1 \quad \text { and } \quad g(c)=4 .
$$
这告诉您函数的名称是$g$, $g$的域是$P$，也就是${a, b, c}$, $g$的上域是$4={1,2,3,4}$。它还告诉您$g$为其域中的每个值分配的$4$中的值。别人可能把
$$
g:{a, b, c} \rightarrow 4, \quad \text { ordering: } a, b, c, \quad g=(3,1,4) .
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Ascents, descents, and runs

Definition 6.3.1. Let a permutation
$$
\pi=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \
i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right)
$$
be given. The position $j$ in (the bottom line of) $\pi$ is called ascent if $i_ji_{j+1}$ we say that the position $j$ is a descent.
For example, in
$$
\left(\begin{array}{llllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \
3 & 1 & 4 & 6 & 2 & 5
\end{array}\right)
$$
the positions $2,3,5$ are ascents, while 1,4 are descents.
The following definition is strongly related.
Definition 6.3.2. The consecutive maximal increasing subsequences of permutations are called runs.
In the above example, there are three runs: $3 ; 1,4,6 ;$ and 2,5 .
Next we study how the ascents, descents and runs are related. If we want to count the ascents and descents in a permutation, we go from left to the right and compare two consecutive elements: the first with the second, then the second with the third, and so on, and finally we compare the penultimate with the last element. Altogether, we have $n-1$ comparisons and in each position we have two alternatives: we can have an ascent or a descent. Hence,
$$
\text { ascents }+ \text { descents }=n-1
$$
On the other hand, a permutation always begins with a run and this run ends at the first descent. Then a new run follows until the next descent, and so on. This means that two neighboring runs are separated by a descent, so
$$
\text { runs }=\text { descents }+1 .
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The definition of the Eulerian numbers

Definition 6.3.3. The number of $n$-permutations which contain exactly $k$ ascents is given by the Eulerian number with parameters $n$ and $k$, and it is denoted by $\left\langle\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right\rangle^5$.

There is a table for the first Eulerian numbers at the end of the book. For now, let us see a simple example. All the permutations on the 3-set ${1,2,3}$ are listed here:
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
1 & 2 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
2 & 1 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
3 & 1 & 2
\end{array}\right), \
& \left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
1 & 3 & 2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
2 & 3 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
3 & 2 & 1
\end{array}\right) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$
As it is easy to see, the numbers of ascents in these permutations are $2,1,1,1,1,0$, respectively. Therefore
$$
\left\langle\begin{array}{l}
3 \
0
\end{array}\right\rangle=1, \quad\left\langle\begin{array}{l}
3 \
1
\end{array}\right\rangle=4, \quad\left\langle\begin{array}{l}
3 \
2
\end{array}\right\rangle=1 .
$$
(The numbers of runs are $1,2,2,2,2,3$, respectively, while the numbers of descents are $0,1,1,1,1,2$.)
If a permutation
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \
i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right)
$$
contains $k$ ascents, then its reverse
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \
i_n & i_{n-1} & i_{n-2} & \cdots & i_1
\end{array}\right)
$$
contains $n-k-1$ ascents, so
$$
\left\langle\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rangle=\left\langle\begin{array}{c}
n \
n-k-1
\end{array}\right\rangle
$$
holds, which is similar to the symmetry of the binomial coefficients.

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Ascents, descents, and runs

定义 6.3.1。让一个排列
$$
\pi=\left(\begin{array}{lllllllll}
1 & 2 & 3 & \cdots & n i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right)
$$
被给予。职位 $j$ 在 (的底线) $\pi$ 称为上升如果 $i_j i_{j+1}$ 我们说这个位置 $j$ 是血统。 例如，在
$$
\left(\begin{array}{lllllllllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 63 & 1 & 4 & 6 & 2 & 5
\end{array}\right)
$$
职位 $2,3,5$ 是上升，而 1,4 是下降。
以下定义是强相关的。
定义 6.3.2。排列的连续最大递增子序列称为运行。
在上面的例子中，有三个运行： $3 ; 1,4,6$;和 2,5 。
接下来我们研究上升、下降和跑步之间的关系。如果我们想计算一个排列中的上升和下降，我们从左到 右比较两个连续的元素：第一个和第二个，然后第二个和第三个，依此类推，最后我们比较倒数第二个 和最后一个元素。总而言之，我们有 $n-1$ 比较，在每个位置我们都有两种选择：我们可以上升或下降。 因此，
$$
\text { ascents }+ \text { descents }=n-1
$$
另一方面，排列总是从一次运行开始，而这次运行在第一次下降时结束。然后进行新的跑步直到下一次 下降，依此类推。这意味着两个相邻的运行被下降分开，所以
$$
\text { runs }=\text { descents }+1 .
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The definition of the Eulerian numbers

定义 6.3.3。的数量 $n$-恰好包含的排列 $k$ ascents 由带参数的欧拉数给出 $n$ 和 $k$ ， 它表示为 $\langle n k\rangle^5$.
书末附有第一个欧拉数表。现在，让我们看一个简单的例子。3 集上的所有排列 $1,2,3$ 列在这里:
很容易看出，这些排列中的上升次数是 $2,1,1,1,1,0$ ，分别。所以
$$
\langle 30\rangle=1, \quad\langle 31\rangle=4, \quad\langle 32\rangle=1
$$
(运行次数为 $1,2,2,2,2,3$ ，分别是，而下降的数量是 $0,1,1,1,1,2$.) 如果一个排列
$$
\left(\begin{array}{lllllllll}
1 & 2 & 3 & \cdots & n i_1 & i_2 & i_3 & \cdots & i_n
\end{array}\right)
$$
包含 $k$ 上升，然后反转
$$
\left(\begin{array}{lllllllll}
1 & 2 & 3 & \cdots & n i_n & i_{n-1} & i_{n-2} & \cdots & i_1
\end{array}\right)
$$
包含 $n-k-1$ 上升，所以
$$
\langle n k\rangle=\langle n n-k-1\rangle
$$
成立，这类似于二项式系数的对称性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Hankel determinants of the Fubini numbers

To determine the Hankel determinants of the Fubini numbers, we use the just proven ordered Dobiński formula and the orthogonal polynomial theory tool we got to know in Subsection 2.10.3.

We are looking for an orthogonal polynomial sequence such that the attached functional $L$ is such that
$$
L\left(x^n\right)=F_n
$$
The Meixner polynomials are the corresponding polynomials we are looking for. In Section 1.9 of [338], we see that for the $M_n(x ; \beta, c)$ polynomials
$$
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\beta)x}{x !} c^x M_n(x ; \beta, c) M_m(x ; \beta, c)=\frac{c^{-n} n !}{(\beta)_n(1-c)^\beta} \delta{n m}
$$ for $\beta>0$ and $0<c<1$. Here
$$
\delta_{n m}= \begin{cases}1, & \text { if } n=m \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
$$
is the Kronecker delta symbol.
We read out the functional $L$ which is ${ }^3$
$$
L(f(x))=\sum_{t=0}^{\infty} \frac{(\beta)t}{t !} c^t f(t) . $$ Setting $\beta=1$ and $c=\frac{1}{2}$ we have that $$ L\left(x^n\right)=\sum{t=0}^{\infty} \frac{1}{2^t} t^n=2 F_n,
$$
by the ordered Dobiński formula. The factor two is irrelevant here because it can be incorporated into $L$ and the orthogonality relation. The (1.9.4) recurrence in [338] for the normalized Meixner polynomials
$$
p_n(x)=\left(\frac{c}{c-1}\right)^n(\beta)n M_n(x ; \beta, c) $$ is, in our particular choice of parameters, $$ p{n+1}(x)=(x-(3 n+1)) p_n(x)-2 n^2 p_{n-1}(x),
$$
meaning that
$$
a_n=-(3 n+1), \quad \text { and } \quad b_n=2 n^2 \text {. }
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Fubini polynomials

It is worth it to introduce the Fubini polynomials because they will have interesting connections to permutations. The Fubini polynomials are defined as
$$
F_n(x)=\sum_{k=0}^n k !\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right} x^k
$$
for all $n \geq 0$.
The fourth Fubini polynomial, for instance, is
$$
F_4(x)=24 x^4+36 x^3+14 x^2+x
$$
In this section we study the main properties of these polynomials. First, we note that the exponential generating function of $F_n(x)$ can be deduced similarly as we did for $(6.5)$ :
$$
\sum_{n=0}^{\infty} F_n(y) \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{1-y\left(e^x-1\right)}
$$

The $F_n(x)$ polynomials satisfy a recurrence that can be proven by the recursion of the Stirling numbers (similarly as we did with the Bell polynomials). Since
$$
\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}=k\left{\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right}+\left{\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right}
$$
we have that
$$
F_n(x)=\sum_{k=1}^n k ! k\left{\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right} x^k+\sum_{k=1}^n k !\left{\begin{array}{c}
n-1 \
k-1
\end{array}\right} x^k
$$
For the first sum
$$
\sum_{k=1}^n k ! k\left{\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right} x^k=x\left(\sum_{k=1}^n k !\left{\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right} x^k\right)^{\prime}=x F_{n-1}^{\prime}(x),
$$
while for the second
$$
\begin{gathered}
\sum_{k=1}^n k !\left{\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right} x^k=x\left(\sum_{k=1}^n(k-1) !\left{\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right} x^k\right)^{\prime}=x\left(x F_{n-1}(x)\right)^{\prime}= \
x F_{n-1}(x)+x^2 F_{n-1}^{\prime}(x) .
\end{gathered}
$$
Finally,
$$
F_n(x)=x\left[F_{n-1}(x)+(1+x) F_{n-1}^{\prime}(x)\right] .
$$
Note that this yields the relation
$$
F_n(x)=x\left((1+x) F_{n-1}(x)\right)^{\prime} .
$$

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Hankel determinants of the Fubini numbers

为了确定 Fubini 数的 Hankel 行列式，我们使用刚刚证明的有序 Dobiński 公式和我们在 2.10 .3 小节中了 解的正交多项式理论工具。
我们正在寻找一个正交多项式序列，使得附加的泛函 $L$ 是这样的
$$
L\left(x^n\right)=F_n
$$
Meixner 多项式就是我们正在寻找的相应多项式。在 [338] 的第 1.9 节中，我们看到对于 $M_n(x ; \beta, c)$ 多 项式
$$
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\beta) x}{x !} c^x M_n(x ; \beta, c) M_m(x ; \beta, c)=\frac{c^{-n} n !}{(\beta)n(1-c)^\beta} \delta n m $$ 为了 $\beta>0$ 和 $0{n m}={1, \quad \text { if } n=m 0, \quad \text { otherwise }
$$
是 Kronecker delta 符号。
我们读出功能 $L$ 这是 ${ }^3$
$$
L(f(x))=\sum_{t=0}^{\infty} \frac{(\beta) t}{t !} c^t f(t)
$$
环境 $\beta=1$ 和 $c=\frac{1}{2}$ 我们有那个
$$
L\left(x^n\right)=\sum t=0^{\infty} \frac{1}{2^t} t^n=2 F_n,
$$
通过有序的 Dobiński 公式。因素二在这里无关紧要，因为它可以合并到 $L$ 和正交关系。[338] 中归一化 Meixner 多项式的 (1.9.4) 递归
$$
p_n(x)=\left(\frac{c}{c-1}\right)^n(\beta) n M_n(x ; \beta, c)
$$
是，在我们特定的参数选择中，
$$
p n+1(x)=(x-(3 n+1)) p_n(x)-2 n^2 p_{n-1}(x),
$$
意思是
$$
a_n=-(3 n+1), \quad \text { and } \quad b_n=2 n^2 \text {. }
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Fubini polynomials

值得介绍 Fubini 多项式，因为它们与排列有有趣的联系。富比尼多项式定义为
$F _n(x)=\backslash$ sum_ ${k=0}^{\wedge} n k ! \backslash$ left ${\backslash$ begin ${$ array $}{\mid} n \backslash k \backslash$ end ${$ array $} \backslash r i g h t} x^{\wedge} k$
对全部 $n \geq 0$.
例如，第四个富比尼多项式是
$$
F_4(x)=24 x^4+36 x^3+14 x^2+x
$$
在本节中，我们研究这些多项式的主要性质。首先，我们注意到指数生成函数 $F_n(x)$ 可以像我们所做的那 样推导出 $(6.5)$ :
$$
\sum_{n=0}^{\infty} F_n(y) \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{1-y\left(e^x-1\right)}
$$
这 $F_n(x)$ 多项式满足可以通过斯特林数的递归证明的递归（类似于我们对贝尔多项式所做的）。自从
我们有那个
对于第一笔款项
而对于第二个
最后，$$
F_n(x)=x\left[F_{n-1}(x)+(1+x) F_{n-1}^{\prime}(x)\right] .
$$
请注意，这会产生关系
$$
F_n(x)=x\left((1+x) F_{n-1}(x)\right)^{\prime}
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-convexity of the Bell numbers

It was observed by K. Engel that the Bell numbers satisfy the reverse of the log-concavity inequality [216].
Definition 4.5.1. The sequence $a_0, a_1, \ldots$ is log-convex if for all $k \geq 1$
$$
a_k^2 \leq a_{k-1} a_{k+1} .
$$
Engel’s observation can therefore be phrased as follows: the Bell number sequence forms a log-convex sequence:
$$
B_n^2 \leq B_{n-1} B_{n+1} \quad(n \geq 1)
$$
See also [116]. The proof of Engel depends on some probabilistic results due to Harper [279].
The proof of log-convexity of $B_n$
The proof we are going to show is due to Spivey [532].
The total number of blocks in all the partitions of an $n$-element set is
$$
\sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right} .
$$
In Exercise 3 of Chapter 3, the reader was asked to prove that
$$
S_n:=\sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}=B_{n+1}-B_n .
$$

To show this, separate the partitions counted by $B_{n+1}$ into (1) those which have a set consisting of the single element $n+1$ and (2) those which do not. It should be clear that there are $B_n$ of the former. Also, there are $S_n$ of the latter because each partition in group (2) is formed by adding $n+1$ to a set in a partition of ${1,2, \ldots, n}$. Thus, $B_{n+1}=B_n+S_n$.

The average number of blocks is the total number of blocks divided by the number of partitions. Hence, this average (for a fixed $n$ ) is equal
$$
A_n=\frac{1}{B_n} \sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}=\frac{B_{n+1}}{B_n}-1 .
$$
Clearly, it is enough to show that $A_n$ is an increasing sequence ${ }^7$. Each partition of ${1,2, \ldots, n+1}$ can be associated with a partition of ${1,2, \ldots, n}$ by removing the element $n+1$ from the set containing it. Under the inverse of this mapping, each partition of ${1,2, \ldots, n}$ consisting of $k$ sets maps to $k$ partitions consisting of $k$ sets (if $n+1$ is placed in an already-existing set) and one partition consisting of $k+1$ sets (if $n+1$ is placed in a set by itself) out of the partitions of ${1,2, \ldots, n+1}$. Thus, partitions of ${1,2, \ldots, n}$ with more sets map to more partitions of ${1,2, \ldots, n+1}$ containing the same number of sets as well as one partition with one more set. This raises the average number of sets as we move from $n$ elements to $n+1$ elements, and thus $A_n$ is increasing. The proof is therefore done.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Bender-Canfield theorem

There is a condition for real sequences which is often useful to prove logconvexity or log-concavity. The statement is the following. Let $1, t_1, t_2, \ldots$ be a log-concave sequence of real numbers, and define $a_n$ via the generating function
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\exp \left(\frac{t_1}{1} x^1+\frac{t_2}{2} x^2+\frac{t_3}{3} x^3+\cdots\right) .
$$
Then $a_n$ is log-concave and $n ! a_n$ is log-convex.
This theorem was proved in [59] by E. A. Bender and R. Canfield. Let us see how to use it.

For instance, let us re-prove the log-convexity of the Bell numbers. Knowing that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n !} u^n=\exp (\exp x-1)=\exp \left(\frac{1}{1 !} x^1+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\cdots\right) .
$$
Thus, we choose $t_i=\frac{1}{(i-1) !}$ for all $i \geq 1$. Since
$$
\frac{1}{(i-2) !} \frac{1}{i !} \leq \frac{1}{(i-1) !}
$$
the sequence $t_i$ is log-concave. Then the Bender-Canfield theorem results that $B_n / n !$ is log-concave, and $n ! B_n / n !=B_n$ is log-convex.

We met the sequence $I_n$ counting involutions in Section 3.4. We saw that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} I_n \frac{x^n}{n !}=e^{x+\frac{x^2}{2}} .
$$
Putting $x_1=x_2=1$, and $x_i=0$ for $i>2$ in (4.11), we see that we just get the result for the involutions. Since this $x_i$ sequence is log-concave, $I_n$ is log-convex, while $I_n / n$ ! is log-concave.

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-convexity of the Bell numbers

K. Engel 观察到 Bell 数满足对数凹性不等式的倒转 [216]。
定义 4.5.1。序列 $a_0, a_1, \ldots$ 是对数凸的，如果对所有 $k \geq 1$
$$
a_k^2 \leq a_{k-1} a_{k+1}
$$
因此，恩格尔的观察可以表述如下：贝尔数列形成一个对数凸数列:
$$
B_n^2 \leq B_{n-1} B_{n+1} \quad(n \geq 1)
$$
另见 [116]。Engel 的证明取决于 Harper [279] 的一些概率结果。
对数凸性的证明 $B_n$
我们要展示的证明来自 Spivey [532]。
一个分区的所有分区中的块总数 $n$ – 元素集是
在第 3 章的练习 3 中，要求读者证明
为了显示这一点，将由计数的分区分开 $B_{n+1}$ 到 (1) 那些有一个由单个元素组成的集合 $n+1(2)$ 没有的。 应该清楚的是，有 $B_n$ 前者。此外，还有 $S_n$ 后者是因为组 (2) 中的每个分区都是通过添加 $n+1$ 到一个分 区中的一个集合 $1,2, \ldots, n$. 因此， $B_{n+1}=B_n+S_n$.
平均块数是块总数除以分区数。因此，这个平均值（对于固定的 $n$ ) 是平等的
显然，足以证明 $A_n$ 是递增序列 ${ }^7$. 每个分区的 $1,2, \ldots, n+1$ 可以与分区相关联 $1,2, \ldots, n$ 通过删除元 素 $n+1$ 来自包含它的集合。在此映射的逆向下，每个分区 $1,2, \ldots, n$ 包含由…组成 $k$ 将地图设置为 $k$ 分 区组成 $k$ 集（如果 $n+1$ 被放置在一个已经存在的集合中）和一个分区由 $k+1$ 集 (如果 $n+1$ 被单独放 置在一个集合中）在分区之外 $1,2, \ldots, n+1$. 因此，分区 $1,2, \ldots, n$ 有更多的集合映射到更多的分区 $1,2, \ldots, n+1$ 包含相同数量的集合以及一个分区和另一个集合。当我们从 $n$ 元素到 $n+1$ 元素，因此 $A_n$ 在增加。因此证明成立。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Bender-Canfield theorem

实数序列有一个条件，通常可用于证明对数凸性或对数凹性。声明如下。让 $1, t_1, t_2, \ldots$ 是实数的对数凹 序列，并定义 $a_n$ 通过生成函数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\exp \left(\frac{t_1}{1} x^1+\frac{t_2}{2} x^2+\frac{t_3}{3} x^3+\cdots\right)
$$
然后 $a_n$ 是对数凹的并且 $n ! a_n$ 是对数凸的。
EA Bender 和 R. Canfield 在 [59] 中证明了这个定理。让我们看看如何使用它。
例如，让我们重新证明贝尔数的对数凸性。知道
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n !} u^n=\exp (\exp x-1)=\exp \left(\frac{1}{1 !} x^1+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\cdots\right) .
$$
因此，我们选择 $t_i=\frac{1}{(i-1) !}$ 对全部 $i \geq 1$. 自从
$$
\frac{1}{(i-2) !} \frac{1}{i !} \leq \frac{1}{(i-1) !}
$$
序列 $t_i$ 是对数凹的。然后 Bender-Canfield 定理的结果是 $B_n / n !$ 是对数凹的，并且 $n ! B_n / n !=B_n$ 是对 数凸的。
我们遇到了序列 $I_n$ 计算第 3.4 节中的对合。我们看到了
$$
\sum_{n=0}^{\infty} I_n \frac{x^n}{n !}=e^{x+\frac{x^2}{2}}
$$
推杆 $x_1=x_2=1$ ，和 $x_i=0$ 为了 $i>2$ 在 (4.11) 中，我们看到我们刚刚得到了对合的结果。从此 $x_i$ 序 列是对数凹的， $I_n$ 是对数凸的，而 $I_n / n !$ 是对数凹的。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-concavity of the Lah numbers

Thanks to the simple formula
$$
\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor=\frac{n !}{k !}\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$
given for the Lah numbers, it costs nothing to show that these numbers are strictly log-concave, i.e.,
$$
\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k-1
\end{array}\right\rfloor\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k+1
\end{array}\right\rfloor<\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor^2
$$
By (4.8), this inequality holds if and only if
$$
k(k-1)(n-k)<(k+1) k(n-k+1) .
$$

And this inequality is clearly true.
We now locate the maxima of the Lah numbers. The relations
$$
\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k-1
\end{array}\right\rfloor \leqq\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor
$$
are equivalent to
$$
k^2 \leqq n+1
$$
i.e., $k=\sqrt{n+1}$. Consequently, if $n+1$ is a square number, then there are two maximizing indices (the Lah numbers have a plateau)
$$
K_{n, 1}=\sqrt{n+1}-1, \quad \text { and } K_{n, 2}=\sqrt{n+1} .
$$
If, in turn, $n+1$ is not a square, then the maximizing index is unique (we have a peak), and
$$
K_n=\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor \text {. }
$$
These results are valid for all $n \geq 1$.
The above statements can be found in [456] where the results are given in a more general form (with respect to the $r$-Lah numbers).

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The zeros of the Lah polynomials

We have learned that the real zero property of a polynomial with positive coefficients implies the log-concavity of the coefficient sequence. Although we have just seen the strict log-concavity of $\left\lfloor\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right\rfloor$, it is not without interest to know that the Lah polynomials
$$
L_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor x^k
$$
have the real zero property (note also that log-concavity does not imply the real zero property, as one of the exercises shows).

Our approach is similar to what we have done for the Bell polynomials. Remembering (2.54) we can easily give a recursive formula for the Lah polynomials:
$$
L_{n+1}(x)=n L_n(x)+x L_n(x)+x L_n^{\prime}(x)
$$
This is equivalent to
$$
L_{n+1}(x)=\frac{e^{-x}}{x^{n-1}}\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}
$$
(Just perform the derivation and simplify.)
We show that all the polynomials $L_n(x)$ have only real zeros; they have $n-1$ negative zeros and one zero at $x=0$. This statement is true for $n \geq 1$.We proceed by induction. The $L_1(x)=x$ and $L_2(x)=x^2+2 x$ polynomials certainly satisfy the statement. Let us suppose that we have proven the statement up to a given $n$. Now invoke (4.9). By our assumption, the function $x^n e^x L_n(x)$ has a zero at $x=0$ of multiplicity $n+1$, and it has $n-1$ negative zeros as well. By Rolle’s theorem, we infer that $\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}$ has zeros among the zeros of $L_n(x)$ (there are $n-2$ ), it has a zero between the rightmost negative zero of $L_n(x)$ and $x=0$. And, because $e^x$ tends to zero as $x \rightarrow-\infty$, there must be another extremum of $x^n e^x L_n(x)$ somewhere on the left-hand side of the leftmost zero of $L_n(x)$. This gives that the derivative has a zero in this place. These are $n$ negative real zeros. That $L_{n+1}$ has a zero at $x=0$ also can be seen: the already mentioned zero of multiplicity $n+1$ of $x^n e^x L_n(x)$ at $x=0$ reduces to a zero of multiplicity $n$ after taking the derivative, and the $x^{n-1}$ in the denominator cancels out all of these except one. This will be the zero of $L_{n+1}(x)$ at $x=0$. The proof is complete.

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-concavity of the Lah numbers

多亏了简单的公式
$$
\lfloor n k\rfloor=\frac{n !}{k !}(n-1 k-1)
$$
对于 Lah 数，证明这些数是严格对数凹的不需要任何成本，即
$$
\lfloor n k-1\rfloor\lfloor n k+1\rfloor<\lfloor n k\rfloor^2
$$
根据 (4.8)，此不等式成立当且仅当
$$
k(k-1)(n-k)<(k+1) k(n-k+1) .
$$
这种不平等显然是真实的。
我们现在找到 Lah 数的最大值。关系
$$
\lfloor n k-1\rfloor \leqq\lfloor n k\rfloor
$$
相当于
$$
k^2 \leqq n+1
$$
$\mathrm{IE} 。 k=\sqrt{n+1}$. 因此，如果 $n+1$ 是一个平方数，那么有两个最大化指标（Lah 数有一个平台)
$$
K_{n, 1}=\sqrt{n+1}-1, \quad \text { and } K_{n, 2}=\sqrt{n+1} .
$$
如果反过来， $n+1$ 不是正方形，则最大化索引是唯一的 (我们有一个峰值)，并且
$$
K_n=\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor
$$
这些结果对所有人都有效 $n \geq 1$.
上述陈述可以在 [456] 中找到，其中结果以更一般的形式给出（相对于 $r$-Lah 数字）。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The zeros of the Lah polynomials

我们已经了解到，具有正系数的多项式的实零性质意味着系数序列的对数凹性。虽然我们刚刚看到了严格 的对数凹性 $\lfloor n k\rfloor$ ，并非没有兴趣知道 Lah 多项式
$$
L_n(x)=\sum_{k=0}^n\lfloor n k\rfloor x^k
$$
具有实零属性（另请注意，对数凹性并不意味着实零属性，如其中一个练习所示）。
我们的方法类似于我们对贝尔多项式所做的。记住 (2.54) 我们可以很容易地给出 Lah 多项式的递归公 式:
$$
L_{n+1}(x)=n L_n(x)+x L_n(x)+x L_n^{\prime}(x)
$$
这相当于
$$
L_{n+1}(x)=\frac{e^{-x}}{x^{n-1}}\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}
$$
(只需执行推导和简化。)
我们证明所有多项式 $L_n(x)$ 只有实零；他们有 $n-1$ 负零和一个零在 $x=0$. 此声明适用于 $n \geq 1$. 我们通 过归纳法进行。这 $L_1(x)=x$ 和 $L_2(x)=x^2+2 x$ 多项式当然满足这个陈述。让我们假设我们已经证 明了给定的陈述 $n$. 现在调用 (4.9)。根据我们的假设，函数 $x^n e^x L_n(x)$ 有一个零 $x=0$ 多重性 $n+1$ ，它 有 $n-1$ 负零也是如此。根据罗尔定理，我们推断 $\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}$ 在的零点之间有零点 $L_n(x) \quad($ 有 $n-2$ ） 它在最右边的负零之间有一个零 $L_n(x)$ 和 $x=0$. 而且，因为 $e^x$ 趋于零作为 $x \rightarrow-\infty$, 必须有另一个极 值 $x^n e^x L_n(x)$ 在最左边的零的左边某处 $L_n(x)$. 这给出导数在这个地方有一个零。这些都是 $n$ 负实零 点。那 $L_{n+1}$ 有一个零 $x=0$ 还可以看出：已经提到的多重性零 $n+1$ 的 $x^n e^x L_n(x)$ 在 $x=0$ 减少到零 的多重性 $n$ 取导数后， $x^{n-1}$ 在分母中抵消所有这些，除了一个。这将是零 $L_{n+1}(x)$ 在 $x=0$. 证明完成。

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