金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985
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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考| A Binomial Tree for the Ho–Lee Model
The IIo-Lee model was first presented with a binomial tree. For a Gaussian short-rate model with mean and variance of change over $(t, t+\Delta t)$ given by
$$
\begin{aligned}
E^{\mathbb{Q}}\left[\Delta r_t\right] &=\theta_t \Delta t \
\operatorname{VaR}\left(\Delta r_t\right) &=\sigma^2 \Delta t
\end{aligned}
$$
we consider a rather natural binomial tree approximation as illustrated in Figure 5.1, where, without loss of generality, the branching probabilities are uniformly one half.
For notational efficiency, we let
$$
r_{i, n}=r_{0,0}+\Delta t \sum_{k=1}^{n-1} \theta_k+(2 i-n) \sigma \sqrt{\Delta t}, \quad i=0,1, \ldots, n
$$
Then we have a multi-period tree as shown in Figure 5.2.
Before being applied to derivatives pricing, such a tree must first be calibrated to the current term structure of the interest rate. For the Ho-Lee model, we need to determine the drift, $\theta_t$, by reproducing the prices of zero-coupon bonds of all maturities. This task can be efficiently achieved with the help of the so-called Arrow-Debreu prices.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Arrow–Debreu Prices
An Arrow-Debreu (1954) security is a canonical asset that has a cash flow of $\$ 1$ if a particular state (of interest rate) is realized, or nothing otherwise. The pattern of payment is shown in Figure $5.3$, where we let $Q_{i, j}$ denote the price of the security at time 0 that would pay $\$ 1$ at time $j$ if the state $i$ is realized, or nothing if otherwise.
Note that a zero-coupon bond can be regarded as a portfolio of ArrowDebreu securities. By linearity, the price of the zero-coupon bond maturing in time $j$ is equal to
$$
P(0, j)=\sum_{i=0}^j Q_{i, j} .
$$
Given an interest-rate tree as in Figure 5.2, we can construct the ArrowDebreu tree through a forward induction process. We begin with
$$
Q_{0,0}=1 .
$$
The calculations of $Q_{1,1}$ and $Q_{0,1}$ are done by “expectation pricing” using the trees in Figure $5.4$, where $r_{0,0}$ is the discount rate at node $(0,0)$. Intuitively, the prices of the two Arrow-Debreu securities are given by
$$
Q_{1,1}=Q_{0,1}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-r_{0,0} \Delta t}
$$
利率建模代考
金融代写|利率建模代写利率建模代考| Ho-Lee模型的二叉树
IIo-Lee模型首先用二叉树表示。对于均值和方差大于$(t, t+\Delta t)$的高斯短期速率模型(
$$
\begin{aligned}
E^{\mathbb{Q}}\left[\Delta r_t\right] &=\theta_t \Delta t \
\operatorname{VaR}\left(\Delta r_t\right) &=\sigma^2 \Delta t
\end{aligned}
$$
)，我们考虑一种相当自然的二叉树近似，如图5.1所示，在不丧失一般性的情况下，分支概率一致为1 / 2。
为了符号效率，我们让
$$
r_{i, n}=r_{0,0}+\Delta t \sum_{k=1}^{n-1} \theta_k+(2 i-n) \sigma \sqrt{\Delta t}, \quad i=0,1, \ldots, n
$$
然后我们就有了一个如图5.2所示的多周期树。在应用于衍生品定价之前，这种树必须首先根据当前利率的期限结构进行校准。对于Ho-Lee模型，我们需要通过再现所有期限的零息债券的价格来确定漂移$\theta_t$。在所谓的阿罗-德布鲁价格的帮助下，这一任务可以有效地完成
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考| 阿罗-德布鲁·普莱斯
a Arrow-Debreu(1954)证券是一种典型资产，如果实现了特定的(利率)状态，或者其他什么都没有，那么它的现金流为$\$ 1$。支付模式如图$5.3$所示，其中我们让$Q_{i, j}$表示时间0时的证券价格，如果状态$i$实现，则在时间$j$时支付$\$ 1$，否则则不支付
请注意，零息债券可以被视为ArrowDebreu证券的投资组合。通过线性关系，及时$j$到期的零息债券价格等于
$$
P(0, j)=\sum_{i=0}^j Q_{i, j} .
$$
给定如图5.2所示的利率树，我们可以通过正向归纳过程构建ArrowDebreu树。我们从
$$
Q_{0,0}=1 .
$$
开始，$Q_{1,1}$和$Q_{0,1}$的计算通过使用图$5.4$中的树的“期望定价”来完成，其中$r_{0,0}$是节点$(0,0)$上的贴现率。直观地看，这两种Arrow-Debreu证券的价格由
$$
Q_{1,1}=Q_{0,1}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-r_{0,0} \Delta t}
$$ 给出
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
