如果你也在 怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra是计划的局部研究中的主要技术工具。对不一定是换元的环的研究被称为非换元代数；它包括环理论、表示理论和巴拿赫代数的理论。
交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Free Submodules as Direct Summands (Splitting Off)
Let $k \in \mathbb{N}$. A free module of rank $k$ is by definition an $\mathbf{A}$-module isomorphic to $\mathbf{A}^k$. If $k$ is not specified, we will say free module of finite rank.
When $\mathbf{A}$ is a discrete field we speak of a finite dimensional vector space or a finite rank vector space interchangeably.
The modules whose structure is the simplest are the free modules of finite rank. We are thus interested in the possibility of constructing an arbitrary module $M$ in the form $L \oplus N$ where $L$ is a free module of finite rank. A (partial) answer to this question is given by the exterior algebra.
5.1 Proposition (Splitting Off) Let $a_1, \ldots, a_k$ be elements of an $\mathbf{A}$-module $M$, then the following properties are equivalent.
The submodule $L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$ of $M$ is free with basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ and is $a$ direct summand of $M$.
There exists a k-multilinear alternating form $\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$ which satisfies the equality $\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$.
D $1 \Rightarrow 2$. If $L \oplus N=M$, if $\pi: M \rightarrow L$ is the projection parallel to $N$, and if $\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$ is the $j$-th coordinate form for the basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$, we define
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) . $$ $2 \Rightarrow 1$. We define the linear map $\pi: M \rightarrow M$ as $$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$
We immediately have $\pi\left(a_i\right)=a_i$ and $\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$, thus $\pi^2=\pi$ and $\operatorname{Im} \pi=L$. Finally, if $x=\sum_j \lambda_j a_j=0$, then $\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ (with $x$ in position $j$ ).
Special case: for $k=1$ we say that the element $a_1$ of $M$ is unimodular when there exists a linear form $\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$ such that $\varphi\left(a_1\right)=1$. The vector $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$ $\mathbf{A}^n$ is unimodular if and only if the $b_i$ ‘s are comaximal. In this case we also say that the sequence $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is unimodular.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Rank of a Free Module
As we will see, the rank of a free module is a well-determined integer if the ring is nontrivial. In other words, two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \neq p$ can only be isomorphic if $1={ }_{\mathbf{A}} 0$.
We will use the notation $\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$ (or rk $(M)=k$ if $\mathbf{A}$ is clear from the context) to indicate that a (supposedly free) module has rank $k$.
A scholarly proof consists to say that, if $m>p$, the $m$-th exterior power of $P$ is ${0}$ whereas that of $M$ is isomorphic to $\mathbf{A}$ (this is essentially the proof for Corollary 5.23).
The same proof can be presented in a more elementary way as follows. First recall the basic Cramer formula. If $B$ is a square matrix of order $n$, we denote by $\widetilde{B}$ or $\operatorname{Adj} B$ the cotransposed matrix (sometimes called adjoint). The elementary form of Cramer’s identities is then expressed as:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
This formula, in combination with the product formula
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
has a couple of implications regarding square matrices. First, that a square matrix $A$ is invertible on one side if and only if $A$ is invertible if and only if its determinant is invertible. Second, that the inverse of $A$ is equal to $(\operatorname{det} A)^{-1} \operatorname{Adj} A$.
We now consider two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \geqslant p$ and a surjective linear map $\varphi: P \rightarrow M$. Therefore there exists a linear map $\psi: M \rightarrow P$ such that $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$. This corresponds to two matrices $A \in \mathbf{A}^{m \times p}$ and $B \in \mathbf{A}^{p \times m}$ with $A B=\mathrm{I}_m$. If $m=p$, the matrix $A$ is invertible with inverse $B$ and $\varphi$ and $\psi$ are reciprocal isomorphisms. If $m>p$, we have $A B=A_1 B_1$ with square $A_1$ and $B_1$ respectively obtained from $A$ and $B$ by filling in with zeros ( $m-p$ columns for $A_1$, $m-p$ rows for $B_1$ ).
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Free Submodules as Direct Summands (Splitting Off)
让$k \in \mathbb{N}$。根据定义，秩为$k$的自由模块是与$\mathbf{A}^k$同构的$\mathbf{A}$ -模块。如果没有指定$k$，我们将说有限秩的自由模块。
当$\mathbf{A}$是一个离散域时，我们可以交替地说有限维向量空间或有限秩向量空间。
结构最简单的模是有限秩的自由模。因此，我们对以$L \oplus N$的形式构造任意模块$M$的可能性感兴趣，其中$L$是有限秩的自由模块。外部代数给出了这个问题的(部分)答案。
5.1命题(分离)设$a_1, \ldots, a_k$为$\mathbf{A}$ -模块$M$的元素，则下列属性是等价的。
$M$的子模块$L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$与基础$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$是免费的，并且是$M$的直接求和$a$。
存在k-多线性交替形式$\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$满足等式$\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$。
D $1 \Rightarrow 2$。如果$L \oplus N=M$，如果$\pi: M \rightarrow L$是平行于$N$的投影，如果$\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的$j$ -坐标形式，我们定义
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) . $$$2 \Rightarrow 1$。我们将线性映射$\pi: M \rightarrow M$定义为 $$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$
我们马上得到$\pi\left(a_i\right)=a_i$和$\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$，也就是$\pi^2=\pi$和$\operatorname{Im} \pi=L$。最后，如果是$x=\sum_j \lambda_j a_j=0$，那么是$\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ ($x$的位置是$j$)。
特殊情况:对于$k=1$，我们说$M$的元素$a_1$是单模的，当存在一个线性形式$\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$，使得$\varphi\left(a_1\right)=1$。向量$b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$$\mathbf{A}^n$是单模的当且仅当$b_i$是最大的。在这种情况下，我们也说序列$\left(b_1, \ldots, b_n\right)$是单模的。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Rank of a Free Module
正如我们将看到的，如果环是非平凡的，则自由模的秩是一个确定的整数。换句话说，两个$\mathbf{A}$ -模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和$P \simeq \mathbf{A}^p$与$m \neq p$只能是同构的，如果$1={ }_{\mathbf{A}} 0$。
我们将使用表示法$\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$(如果上下文中明确表示$\mathbf{A}$，则使用rk $(M)=k$)来表示(假定为自由的)模块的等级为$k$。
一个学术证明包括说，如果$m>p$, $P$的$m$ -th外部幂是${0}$，而$M$的 -th外部幂是$\mathbf{A}$同构的(这实质上是推论5.23的证明)。
同样的证明可以用一种更基本的方式表示如下。首先回想一下克拉默的基本公式。如果$B$是一个阶为$n$的方阵，我们用$\widetilde{B}$或$\operatorname{Adj} B$表示协置矩阵(有时称为伴随矩阵)。Cramer恒等式的初等形式表示为:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
这个公式，结合乘积公式
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
有一些关于方阵的含义。首先，一个方阵$A$在一边可逆当且仅当$A$可逆当且仅当它的行列式可逆。第二，$A$的倒数等于$(\operatorname{det} A)^{-1} \operatorname{Adj} A$。
现在我们考虑两个$\mathbf{A}$ -模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和$P \simeq \mathbf{A}^p$，其中包含$m \geqslant p$和一个满射线性映射$\varphi: P \rightarrow M$。因此存在一个线性映射$\psi: M \rightarrow P$，使得$\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$。这对应于两个矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times p}$和$B \in \mathbf{A}^{p \times m}$和$A B=\mathrm{I}_m$。如果$m=p$，则矩阵$A$可逆且逆$B$，且$\varphi$和$\psi$是互易同构的。如果$m>p$，我们有$A B=A_1 B_1$与$A_1$和$B_1$分别从$A$和$B$通过填零得到($m-p$列为$A_1$, $m-p$行为$B_1$)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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