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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria
Two famous propositions are contained in the following theorem.
Theorem Let $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ be a linear map with matrix $A$.
The map $\varphi$ is surjective if and only if $\varphi$ is of rank $m$, i.e. here $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$ (we then say that $A$ is unimodular).
(McCoy’s theorem) The map $\varphi$ is injective if and only if $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is faithful, i.e. if the annihilator of $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is reduced to ${0}$.
D 1. If $\varphi$ is surjective, it admits a right inverse $\psi$, and Fact 5.6 gives $\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$ $\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$, so $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$. Conversely, if $A$ is of rank $m$, Eq. (18) shows that $A$ admits a right inverse, and $\varphi$ is surjective.
Assume that $\mathcal{D}n(A)$ is faithful. By equality (16), if $A V=0$, then $\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$ for all the generators $\mu_{\alpha, 1 . . n}$ of $\mathcal{D}n(A)$, and so $V=0$. For the converse, we will prove by induction on $k$ the following property: if $k$ column vectors $x_1, \ldots, x_k$ are linearly independent, then the annihilator of the vector $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ is reduced to 0 . For $k=1$ it is trivial. To pass from $k$ to $k+1$ we proceed as follows. Let $z$ be a scalar that annihilates $x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$. For $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$, we denote by $d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$ the minor extracted on the index rows of $\alpha$ for the column vectors $y_1, \ldots, y_k$ of $\mathbf{A}^m$. Since $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$, and by the Cramer formulas, we have the equality
$$
z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0
$$
so $z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$
As this is true for any $\alpha$, this gives $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$, and by the induction hypothesis, $z=0$.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Characterization of Locally Simple Maps
The following lemma places a bijective correspondence between the fundamental systems of orthogonal idempotents and the non-decreasing sequences of idempotents for divisibility.
5.25 Lemma Let $\left(e_{q+1}=0, e_q, \ldots, e_1, e_0=1\right)$ be a list of idempotents such that $e_i$ divides $e_{i+1}$ for $i=0, \ldots$, . Then, the elements $r_i:=e_i-e_{i+1}$, for $i \in \llbracket 0 . . q \rrbracket$, form a fundamental system of orthogonal idempotents. Conversely, every fundamental system of orthogonal idempotents $\left(r_0, \ldots, r_q\right)$ defines such a list of idempotents by letting
$$
e_j=\sum_{k \geqslant j} r_k \text { for } j \in \llbracket 0 . . q+1 \rrbracket
$$
D It is clear that $\sum_i r_i=1$. For $0 \leqslant ii$.
We denote by $\operatorname{Diag}\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ the diagonal matrix of order $n$ whose coefficient in position $(i, i)$ is the element $a_i$.
In the following theorem some of the idempotents $r_i$ in the fundamental system of orthogonal idempotents can very well be equal to zero. For example if the ring is connected and nontrivial, all but one are equal to zero.
5.26 Theorem (Locally simple matrix) Let $G \in \mathbf{A}^{m \times n}$ be the matrix of $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ and $q=\inf (m, n)$.
The following properties are equivalent.
- The linear map $\varphi$ is locally simple.
- The submodule $\operatorname{Im} \varphi$ is a direct summand of $\mathbf{A}^m$.
- $\operatorname{Im} \varphi$ is a direct summand of $\mathbf{A}^m$ and $\operatorname{Ker} \varphi$ is a direct summand of $\mathbf{A}^n$.
- There exists a linear map $\varphi^{\bullet}: \mathbf{A}^m \rightarrow \mathbf{A}^n$ with $\mathbf{A}^n=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \varphi^{\bullet}$ and $\mathbf{A}^m=\operatorname{Ker} \varphi^{\bullet} \oplus \operatorname{Im} \varphi$.
- Each determinantal ideal $\mathcal{D}_k(\varphi)$ is idempotent.
- There exists a (unique) fundamental system of orthogonal idempotents $\left(r_0, r_1\right.$, $\ldots, r_q$ ) such that on each localized ring $\mathbf{A}\left[1 / r_k\right]$ the map $\varphi$ is of rank $k$.
- Each determinantal ideal $\mathcal{D}k(\varphi)$ is generated by an idempotent $e_k$. Then let $r_k=e_k-e{k+1}$. The $r_k$ ‘s form a fundamental system of orthogonal idempotents. For every minor $\mu$ of order $k$ of $G$, on the localized ring $\mathbf{A}\left[1 /\left(r_k \mu\right)\right]$ the linear map $\varphi$ becomes simple of rank $k$.
- The linear map $\varphi$ becomes simple after localization at suitable comaximal elements.
- Each determinantal ideal $\mathcal{D}_k(\varphi)$ is generated by an idempotent $e_k$ and the matrix of $\varphi$ becomes equivalent to the matrix $\operatorname{Diag}\left(e_1, e_2, \ldots, e_q\right)$, eventually filled-in with zeros (for both rows and columns), after localization at suitable comaximal elements.
- ${ }^{\star}$ The linear map $\varphi$ becomes simple after localization at any arbitrary maximal ideal.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria
下面的定理包含了两个著名的命题。
设$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$为矩阵$A$的线性映射。
映射$\varphi$是满射的当且仅当$\varphi$的秩为$m$，即这里为$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$(然后我们说$A$是单模的)。
(McCoy定理)当且仅当$\mathcal{D}_n(\varphi)$是忠实的，即$\mathcal{D}_n(\varphi)$的湮灭子约化为${0}$，映射$\varphi$是内射的。
解析:选D。如果$\varphi$是满射，它就有一个右逆$\psi$，而事实5.6给出$\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$$\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$，所以$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$。反之，如果$A$的秩为$m$，则Eq.(18)表明$A$存在右逆，$\varphi$是满射。
假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。通过等式(16)，如果$A V=0$，那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$为$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$，因此$V=0$。反之，我们将通过归纳法在$k$上证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的，则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子约为0。对于$k=1$来说，这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$，我们进行如下操作。假设$z$是一个能湮灭$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$，我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上为$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$提取的次要值。因为$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$，通过克莱默公式，我们得到了等式
$$
z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0
$$
所以$z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$
因为这对任何$\alpha$都成立，所以得到$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$，根据归纳假设，得到$z=0$。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Characterization of Locally Simple Maps
下面的引理在正交幂等元的基本系统和幂等元的可整除的非递减序列之间建立了双射对应关系。
5.25引理设$\left(e_{q+1}=0, e_q, \ldots, e_1, e_0=1\right)$是一个幂等函数列表，使得$e_i$除$e_{i+1}$等于$i=0, \ldots$，。然后，对于$i \in \llbracket 0 . . q \rrbracket$，元素$r_i:=e_i-e_{i+1}$形成一个正交幂等元的基本系统。相反，每一个正交幂等元的基本系统$\left(r_0, \ldots, r_q\right)$定义了这样一个幂等元列表，让
$$
e_j=\sum_{k \geqslant j} r_k \text { for } j \in \llbracket 0 . . q+1 \rrbracket
$$
很明显，$\sum_i r_i=1$。浏览$0 \leqslant ii$。
我们用$\operatorname{Diag}\left(a_1, \ldots, a_n\right)$表示阶为$n$的对角矩阵，其位置$(i, i)$的系数为元素$a_i$。
在下面的定理中，正交幂等元的基本体系中的一些幂等元$r_i$可以很好地等于零。例如，如果环是连通且非平凡的，则除一个环外其他环都等于零。
5.26定理(局部简单矩阵)设$G \in \mathbf{A}^{m \times n}$为$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$和$q=\inf (m, n)$的矩阵。
以下属性是等价的。
线性地图$\varphi$是局部简单的。
子模块$\operatorname{Im} \varphi$是$\mathbf{A}^m$的直接和。
$\operatorname{Im} \varphi$ 是$\mathbf{A}^m$的直接和，$\operatorname{Ker} \varphi$是$\mathbf{A}^n$的直接和。
存在一个线性映射$\varphi^{\bullet}: \mathbf{A}^m \rightarrow \mathbf{A}^n$与$\mathbf{A}^n=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \varphi^{\bullet}$和$\mathbf{A}^m=\operatorname{Ker} \varphi^{\bullet} \oplus \operatorname{Im} \varphi$。
每个行列式理想$\mathcal{D}_k(\varphi)$都是幂等的。
存在一个(唯一的)正交幂等元的基本系统$\left(r_0, r_1\right.$, $\ldots, r_q$)，使得在每个定域环$\mathbf{A}\left[1 / r_k\right]$上映射$\varphi$的秩为$k$。
每个行列式理想$\mathcal{D}k(\varphi)$都是由一个幂等的$e_k$生成的。然后让$r_k=e_k-e{k+1}$。$r_k$形成了一个正交幂等函数的基本体系。对于$G$阶为$k$的每一个次次$\mu$，在定域环$\mathbf{A}\left[1 /\left(r_k \mu\right)\right]$上，线性映射$\varphi$的阶为$k$。
线性图$\varphi$在合适的最大元素处定位后变得简单。
每个行列式理想$\mathcal{D}_k(\varphi)$都是由一个幂等的$e_k$生成的，而$\varphi$的矩阵就等于矩阵$\operatorname{Diag}\left(e_1, e_2, \ldots, e_q\right)$，在适当的极大值元素处定位后，最终用零填充(对于行和列)。
${ }^{\star}$ 线性图$\varphi$在任意最大理想定位后变得简单。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。