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离散数学Discrete Mathematics在当今世界，分析性思维是任何扎实教育的关键部分。这种推理的一个重要部分是离散数学，它横跨许多学科。离散数学涉及计数、概率、(复杂形式的)加法和离散集上的极限过程。组合学、图论、函数思想、递归关系、置换和集合论都是离散数学的一部分。序列和级数是这些思想最重要的应用。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|A Word About Number Systems
From a mathematical point of view, the integers are more attractive than the natural numbers because they are closed under certain arithmetic operations-notably substraction. The expression $3-7$ makes good sense in the integers; it does not in the natural numbers. We denote the set of integers by $\mathbb{Z}$ (because ” $Z$ ” is the first letter of the German word Zahlen, meaning numbers).
While the integers are closed under addition, subtraction, and multiplication, they are not closed under division. As an example, 5/7 makes no sense in the integers. For this reason we create the number system known as the rational numbers. These are all fractions $p / q$, where $p$ and $q$ are integers and $q$ is not equal to zero (because of course we are never allowed to divide by 0 ). The rational numbers form an attractive number system because they are closed under all four arithmetic operations. We denote the rational numbers by $\mathbb{Q}$ (standing for “quotient”).
The most subtle and sophisticated number system, from our point of view, is the real number system. The real numbers consist of all decimal expansions, both terminating and nonterminating. All the rational numbers are also real numbers (and a rational number has a decimal expansion that is either terminating or repeating). But there are also decimal expansions that are both nonterminating and nonrepeating. These represent the irrational numbers-which are real numbers that are not rational. Most of modern science and engineering is done with the real number system. The real numbers are not only closed under the four basic arithmetic operations, but they are also closed under various limiting processes that are important for mathematical analysis. We denote the real number system by $\mathbb{R}$.
In closing, we shall briefly mention the complex number system. These are numbers of the form $x+i y$ where $x$ and $y$ are both real (and $i$ denotes the square root of -1 ). The complex numbers have an addition operation and a multiplication/division operation – and the number system is closed under both of these. The complex numbers were invented to be a number system in which every polynomial equation has a root. But complex numbers have proved to be important in physics and engineering and partial differential equations. They are fundamental to modern mathematics and science. However, we shall see little of the complex numbers in the present book. The complex number system is denoted by $\mathbb{C}$.
It is worth noting that we have presented the number systems in order of sophistication. Each new number system was created because of some lack in the preceding number system. For instance, the integers were created because the natural numbers were not closed under subtraction. The rational numbers were created because the integers are not closed under division. And so forth.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Relations and Functions
Let $S$ and $T$ be sets. A relation on $S$ and $T$ is a subset of $S \times T$. If $\mathcal{R}$ is a relation then we write either $(s, t) \in \mathcal{R}$ or sometimes $s \mathcal{R} t$ to indicate that $(s, t)$ is an element of the relation. We will also write $s \sim t$ when the relation being discussed is understood.
EXAMPLE 4.1
Let $S=\mathbb{N}$, the natural numbers (or positive, whole numbers); and let $T=\mathbb{R}$, the real numbers. Define a relation $\mathcal{R}$ by $(s, t) \in \mathcal{R}$ if $s<\sqrt{t}<s+1$. For instance, $(2,5) \in \mathcal{R}$ because $\sqrt{5}$ lies between 2 and 3 . Also $(4,17) \in \mathcal{R}$ because $\sqrt{17}$ lies between 4 and 5 . However, $(5,10)$ does not lie in $\mathcal{R}$ because $\sqrt{10}$ is not between 5 and $5+1=6$.
The domain of a relation $\mathcal{R}$ is the set of $s \in S$ such that there exists a $t \in T$ with $(s, t) \in \mathcal{R}$. The image of the relation is the set of $t \in T$ such that there exists an $s \in S$ with $(s, t) \in \mathcal{R}$. It is sometimes convenient to refer to the entire set $T$ as the range of the relation $\mathcal{R}$. Some sources use the word “codomain” rather than “range”. Clearly the range of a relation contains its image.
EXAMPLE 4.2
Let $S=\mathbb{N}$ and $T=\mathbb{N}$. Define a relation $\mathcal{R}$ on $S$ and $T$ by the condition $(s, t) \in \mathcal{R}$ if $s^2<t$. Observe that, for any element $s \in \mathbb{N}=S$, the number $t=s^2+1$ satisfies $s^2<t$. Therefore every $s \in S=\mathbb{N}$ is in the domain of the relation.
Now let us think about the image. The number $1 \in \mathbb{N}=T$ cannot be in the image since there is no element $s \in S=\mathbb{N}$ such that $s^2<1$. However, any element $t \in T$ that exceeds 1 satisfies $1^2<t$. So $(1, t) \in \mathcal{R}$. Thus the image of $\mathcal{R}$ is the set ${t \in \mathbb{N}: t \geq 2}$.
EXAMPLE 4.3
Let $S=\mathbb{N}$ and $T=\mathbb{N}$. Define a relation $\mathcal{R}$ on $S$ and $T$ by the condition $(s, t) \in \mathcal{R}$ if $s^2+t^2$ is itself a perfect square. Then, for instance, $(3,4) \in \mathcal{R},(4,3) \in \mathcal{R}$, $(12,5) \in \mathcal{R}$, and $(5,12) \in \mathcal{R}$. The number 1 is not in the domain of $\mathcal{R}$ since there is no natural number $t$ such that $1^2+t^2$ is a perfect square (if there were, this would mean that there are two perfect squares that differ by 1 , and that is not the case). The number 2 is not in the domain of $\mathcal{R}$ for a similar reason. Likewise, 1 and 2 are not in the image of $\mathcal{R}$.
In fact both the domain and image of $\mathcal{R}$ have infinitely many elements. This assertion will be explored in the exercises.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|A Word About Number Systems
从数学的角度来看，整数比自然数更有吸引力，因为它们在某些算术运算(特别是减法)下是封闭的。表达式$3-7$在整数中很有意义;在自然数中不存在。我们用$\mathbb{Z}$表示整数集(因为“$Z$”是德语单词Zahlen的第一个字母，意思是数字)。
虽然整数在加法、减法和乘法下是封闭的，但它们在除法下不是封闭的。例如，5/7在整数中没有意义。出于这个原因，我们创造了被称为有理数的数字系统。这些都是分数$p / q$，其中$p$和$q$是整数，$q$不等于零(因为我们当然不允许除以0)。有理数形成了一个有吸引力的数字系统，因为它们在所有四种算术运算下都是封闭的。我们用$\mathbb{Q}$(代表“商”)表示有理数。
从我们的角度来看，最微妙、最复杂的数字系统是实数系统。实数包括所有的十进制展开，包括终止和非终止。所有的有理数都是实数(有理数的十进制展开要么是终止的，要么是重复的)。但是也有一些十进制展开是不终止和不重复的。这些代表无理数，即非有理数的实数。大多数现代科学和工程都是用实数系统完成的。实数不仅在四种基本算术运算下是封闭的，而且在各种对数学分析很重要的极限过程下也是封闭的。我们用$\mathbb{R}$表示实数系。
最后，我们将简略地提一下复数系统。这些数字的形式为$x+i y$，其中$x$和$y$都是实数($i$表示-1的平方根)。复数有一个加法运算和一个乘法/除法运算——数字系统在这两个运算下是封闭的。复数是一种数字系统，其中每个多项式方程都有一个根。但复数已被证明在物理、工程和偏微分方程中很重要。它们是现代数学和科学的基础。然而，在本书中我们将很少看到复数。复数系统用$\mathbb{C}$表示。
值得注意的是，我们已经按照复杂程度的顺序列出了这些数字系统。每一个新的数字系统都是由于之前的数字系统的一些不足而产生的。例如，创建整数是因为自然数在减法下不闭合。有理数之所以产生，是因为整数在除法下不闭合。等等。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Relations and Functions
设$S$和$T$。$S$和$T$上的关系是$S \times T$的子集。如果$\mathcal{R}$是一个关系，那么我们写$(s, t) \in \mathcal{R}$或者$s \mathcal{R} t$来表示$(s, t)$是这个关系的一个元素。当我们理解了所讨论的关系时，我们也会写$s \sim t$。
例4.1
设$S=\mathbb{N}$为自然数(或正整数);让$T=\mathbb{R}$为实数。通过$(s, t) \in \mathcal{R}$ if $s<\sqrt{t}<s+1$定义一个关系$\mathcal{R}$。例如，$(2,5) \in \mathcal{R}$，因为$\sqrt{5}$在2和3之间。还有$(4,17) \in \mathcal{R}$，因为$\sqrt{17}$在4和5之间。但是，$(5,10)$并不在$\mathcal{R}$中，因为$\sqrt{10}$不在5和$5+1=6$之间。
关系$\mathcal{R}$的域是$s \in S$的集合，因此在$(s, t) \in \mathcal{R}$中存在一个$t \in T$。关系的映像是$t \in T$的集合，因此存在一个$s \in S$和$(s, t) \in \mathcal{R}$。有时方便的做法是将整个集合$T$称为关系$\mathcal{R}$的范围。一些来源使用“上域”这个词而不是“范围”。显然，关系的范围包含了它的象。
例4.2
让$S=\mathbb{N}$和$T=\mathbb{N}$。通过条件$(s, t) \in \mathcal{R}$ if $s^2<t$在$S$和$T$上定义关系$\mathcal{R}$。注意，对于任何元素$s \in \mathbb{N}=S$，数字$t=s^2+1$都满足$s^2<t$。因此，每个$s \in S=\mathbb{N}$都在关系的域中。
现在让我们考虑一下图像。数字$1 \in \mathbb{N}=T$不能出现在图像中，因为没有像$s^2<1$这样的元素$s \in S=\mathbb{N}$。但是，任何超过1的元素$t \in T$都满足$1^2<t$。所以$(1, t) \in \mathcal{R}$。因此，$\mathcal{R}$的图像就是集合${t \in \mathbb{N}: t \geq 2}$。
例4.3
让$S=\mathbb{N}$和$T=\mathbb{N}$。根据条件在$S$和$T$上定义关系$\mathcal{R}$
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。