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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Nonhomogeneous Recurrence Relations
A linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficients is in the following form:
$$
a_n=c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+\ldots+c_k a_{k-n}+f(n),
$$
where $c_1, c_2, \ldots, c_k$ are real numbers, $c_k \neq 0$, and $f(n)$ is a function of the variable $n$ only. The recurrence relation
$$
a_n=c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+\ldots+c_k a_{k-n}
$$ which is known in this context as the associated homogeneous recurrence relation with constant coefficients, provides a solution, denoted by $a_n^{(h)}$, to the linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficients. The general solution of the linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficients is then given by
$$
a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}
$$
where $a_n^{(p)}$ is called a particular solution. There is no general method to find a particular solution for every function $f(n)$. However, when $f(n)$ is a polynomial in $n$ and the power of a constant, a particular solution can be rather easily found. Suppose $f(n)$ is as follows:
$$
f(n)=\left(b_t n^t+b_{t-1} n^{t-1}+\ldots+b_1 n+b_0\right) \alpha^n
$$
where $b_0, b_1, \ldots, b_t$ and $\alpha$ are real numbers. Then a particular solution has the following form:
$$
a_n^{(p)}=g(n)\left(e_t n^t+e_{t-1} n^{t-1}+\ldots+e_1 n+e_0\right) \alpha^n
$$
where $e_0, e_1, \ldots, e_t$ are some constants to be determined using the initial conditions. If $\alpha$ is not a root of the characteristic equation of the associated linear nonhomogeneous recurrence relation with constant coefficient, then $g(n)=1$. If $\alpha$ is a root of this characteristic equation and its multiplicity is $m$, then $g(n)=n^m$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Recurrence Relations Using Generating Functions
Generating functions is a powerful and efficient tool to solve many types of problems, such as advanced counting, calculating the probability of discrete random variables, and solving recurrence relations. The solution to a recurrence relation with its initial conditions can be found when an explicit formula for the associated generating function is determined.
Generating functions can translate the terms of a sequence as coefficients of powers of a variable $z$ in a formal power series. The generating function for the sequence $a_0, a_1, a_2, \ldots$ of real numbers is the following infinite series:
$$
G(z) \triangleq a_0+a_1 z+a_2 z^2+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n
$$
Note that two generating functions can be added and multiplied as follows:
$$
\left{\begin{array} { l }
{ G ( z ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } z + a _ { 2 } z ^ { 2 } + \ldots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } z ^ { n } } \
{ F ( z ) = b _ { 0 } + b _ { 1 } z + b _ { 2 } z ^ { 2 } + \ldots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } z ^ { n } }
\end{array} \rightarrow \left{\begin{array}{l}
G(z)+F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) z^n \
F(z) G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^n b_j a_{n-j}\right) z^n
\end{array}\right.\right.
$$
Table 14.2 presents some useful generating functions. In addition, the following highlights shifting a generating function and differentiating a generating function as two important mathematical operations that can help solve recurrence relations:
$$
z^m G(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^{n+m}=\sum_{n=m}^{\infty} a_{n-m} z^n
$$
and
$$
G^{\prime}(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1}
$$
It is imperative to highlight that the goal is to use the generating function and its properties to a recurrence relation in order to find $G(z)$ in the form of a single summation, of course after some mathematical manipulation, and then to determine the sequence $\left{a_n\right}$ by using the definition of the generating function.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Nonhomogeneous Recurrence Relations
具有常系数的线性非齐次递推关系具有以下形式:
$$
a_n=c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+\ldots+c_k a_{k-n}+f(n)
$$
在哪里 $c_1, c_2, \ldots, c_k$ 是实数， $c_k \neq 0$ ，和 $f(n)$ 是变量的函数 $n$ 仅有的。递归关系
$$
a_n=c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+\ldots+c_k a_{k-n}
$$
在这种情况下被称为具有常数系数的相关齐次递归关系，提供了一个解决方案，表示为 $a_n^{(h)}$ ，到具有常系 数的线性非齐次递归关系。常系数线性非齐次递归关系的通解由下式给出
$$
a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}
$$
在哪里 $a_n^{(p)}$ 称为特解。没有通用的方法可以为每个功能找到特定的解决方案 $f(n)$. 然而，当 $f(n)$ 是一个 多项式 $n$ 和常数的力量，可以很容易地找到特定的解决方案。认为 $f(n)$ 如下:
$$
f(n)=\left(b_t n^t+b_{t-1} n^{t-1}+\ldots+b_1 n+b_0\right) \alpha^n
$$
在哪里 $b_0, b_1, \ldots, b_t$ 和 $\alpha$ 是实数。那么一个特定的解决方案具有以下形式:
$$
a_n^{(p)}=g(n)\left(e_t n^t+e_{t-1} n^{t-1}+\ldots+e_1 n+e_0\right) \alpha^n
$$
在哪里 $e_0, e_1, \ldots, e_t$ 是一些要使用初始条件确定的常数。如果 $\alpha$ 不是关联的常系数线性非齐次递推关系 的特征方程的根，则 $g(n)=1$. 如果 $\alpha$ 是这个特征方程的根，它的重数是 $m$ ，然后 $g(n)=n^m$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Recurrence Relations Using Generating Functions
生成函数是解决许多类型问题的强大而有效的工具，例如高级计数、计算离散随机变量的概率以及求解 递归关系。当确定相关生成函数的显式公式时，可以找到具有初始条件的递归关系的解。
生成函数可以将序列的项转换为变量的幂系数 $z$ 在一个正式的幂级数中。序列的生成函数 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ 实数的无穷级数如下:
$$
G(z) \triangleq a_0+a_1 z+a_2 z^2+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n
$$
请注意，两个生成函数可以按如下方式相加和相乘:
$\$ \$$
Veft {
$$
G(z)=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n F(z)=b_0+b_1 z+b_2 z^2+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n
$$
右箭头 $\backslash$ 左 {
$$
G(z)+F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) z^n F(z) G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^n b_j a_{n-j}\right) z^n
$$
是的是的。
Table14.2presentssomeuse fulgenerating functions. Inaddition, the followinghighligh
$z^{\wedge} m \mathrm{G}(z)=\backslash$ sum_{n=0 $\left{\wedge{\right.$ infty $}$ a_n $z^{\wedge}{n+m}=\mid$ sum_${n=m} \wedge{$ linfty $}$ a_ ${n m} z^{\wedge} n$
and
$G^{\wedge}{\backslash \operatorname{prime}}(z)=\backslash$ sum_{n=1}^{linfty} $n$ a_n $z^{\wedge}{n-1} \$ \$$ 必须强调的是，目标是使用生成函数
及其
性质到递归关系，以便找到 $G(z)$ 以单个求和的形式，当然是经过一些数学运算，然后确定序列
$\backslash$ 左 ${$ a_n\右 $}$ 通过使用生成函数的定义。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。