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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Two-Stage Least Squares
What we have referred to as the IV estimator of $\boldsymbol{\beta}$ in the linear regression model (7.01), $\tilde{\boldsymbol{\beta}}$, is also widely known as the two-stage least squares, or 2SLS, estimator. It was originally proposed by Theil (1953) and, independently, Basmann (1957), in the context of the simultaneous equations model. The name “two-stage least squares” emphasizes a particular method by which this particular IV estimator may be computed, and this terminology is so widely used in econometrics that some discussion is in order. However, the basic idea behind IV estimation is much more general than the idea of 2SLS estimation. As we will show in the next section, for example, IV generalizes naturally to the case of nonlinear regression models, while 2SLS does not. Thus we prefer to emphasize the IV rather than the 2SLS interpretation of the estimator $\tilde{\boldsymbol{\beta}}$.
Two-stage least squares works as follows. In the first stage, all of the current endogenous explanatory variables of a system of simultaneous equations are regressed on the matrix of instruments $\boldsymbol{W}$. In the second stage, each equation is estimated by OLS after all of the endogenous variables that appear on the right-hand side have been replaced by the fitted values from the corresponding first-stage regressions. Thus, for each structural equation of the system, the left-hand side endogenous variable is regressed on a set of regressors that consists of the exogenous and predetermined variables that appear on the right-hand side of the equation, plus the fitted values from the first-stage regressions for the endogenous explanatory variables in that equation.
Let $\boldsymbol{y}$ denote one of the endogenous variables of the system, $\boldsymbol{X}$ the set of explanatory variables, endogenous or exogenous, that appear in the equation associated with $\boldsymbol{y}$, and $\boldsymbol{W}$ the set of all the exogenous and predetermined variables in the entire system. Then the second-stage regression for $\boldsymbol{y}$ can simply be written as
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\text { residuals. }
$$
The OLS estimator of $\boldsymbol{\beta}$ from this regression is just the IV estimator (7.17):
$$
\tilde{\boldsymbol{\beta}}=\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{y}
$$
Notice, however, that the OLS covariance matrix estimate from (7.28) is not the estimate we want. This estimate will be
$$
\frac{\left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X} \tilde{\boldsymbol{\beta}}\right|^2}{n-k}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1},
$$
while the estimate (7.24) that was derived earlier can be written as
$$
\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \tilde{\boldsymbol{\beta}}|^2}{n}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1}
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Instrumental Variables: The Nonlinear Case
It is easy to generalize the linear IV procedure discussed above to the case of nonlinear regression models. Suppose the model is
$$
y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_t, \quad u_t \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma^2\right),
$$
where the regression function $x_t(\boldsymbol{\beta})$ implicitly depends on current endogenous as well as exogenous and predetermined variables, and $\boldsymbol{\beta}$ is a $k$-vector as usual. Assuming that one has a matrix of valid instruments $\boldsymbol{W}$, with $l \geq k$ as before, the objective is to minimize only the portion of the distance between $\boldsymbol{y}$ and $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ that lies in $\mathcal{S}(\boldsymbol{W})$. This can be done by minimizing the criterion function
$$
\left|\boldsymbol{P}W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))\right|^2=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) . $$ This criterion function is the nonlinear equivalent of (7.15). The first-order conditions that characterize the IV estimates $\tilde{\boldsymbol{\beta}}$ are $$ \boldsymbol{X}^{\top}(\tilde{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\tilde{\boldsymbol{\beta}}))=\mathbf{0}, $$ where, as usual, the $n \times k$ matrix $\boldsymbol{X}(\boldsymbol{\beta})$ has typical element $$ X{t i}(\boldsymbol{\beta})=\frac{\partial x_t(\boldsymbol{\beta})}{\partial \beta_i} .
$$
Conditions (7.33) are evidently the nonlinear analogs of the first-order conditions (7.16) for the linear case. They say that the residuals $\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\tilde{\boldsymbol{\beta}})$ must be orthogonal to the matrix of derivatives $\boldsymbol{X}(\tilde{\boldsymbol{\beta}})$, after the latter have been projected onto $\mathcal{S}(\boldsymbol{W})$. As in the case of NLS, we cannot hope to solve for $\tilde{\boldsymbol{\beta}}$ analytically, although this may be possible in some special cases.
It is reasonably straightforward to prove, under suitable regularity conditions, that the nonlinear IV estimates $\tilde{\boldsymbol{\beta}}$ are consistent and asymptotically normal. The principal regularity conditions that are needed are those required for NLS to be consistent and asymptotically normal (see Sections $5.3$ and 5.4), with the assumption that the error terms are independent of the regression function and its derivatives being dropped and replaced by modified versions of assumptions (7.18a), (7.18b), and (7.18c). In the last of these, the matrix $\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$ replaces the matrix $\boldsymbol{X}$, where $\boldsymbol{\beta}_0$ as usual is the value of $\boldsymbol{\beta}$ under the DGP, which is assumed to be a special case of the model being estimated.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|两阶段最小二乘
我们在线性回归模型(7.01)中提到的$\boldsymbol{\beta}$的IV估计量$\tilde{\boldsymbol{\beta}}$，也被广泛称为两阶段最小二乘估计量，或2SLS。它最初是由Theil(1953)和Basmann(1957)在联立方程模型的背景下独立提出的。“两阶段最小二乘”这个名称强调了一种特殊的方法，通过这种方法可以计算出特定的IV估计量，这个术语在计量经济学中被广泛使用，因此有必要进行一些讨论。然而，IV估计背后的基本思想比2SLS估计的思想要普遍得多。例如，我们将在下一节中展示，IV自然地概括了非线性回归模型的情况，而2SLS则不然。因此，我们更倾向于强调IV而不是2SLS对估计量$\tilde{\boldsymbol{\beta}}$的解释。
两阶段最小二乘的工作原理如下。在第一阶段，将联立方程组的所有当前内生解释变量回归到工具矩阵$\boldsymbol{W}$上。在第二阶段，当出现在右侧的所有内生变量都被相应第一阶段回归的拟合值所替代后，每个方程由OLS估计。因此，对于系统的每个结构方程，左侧的内生变量在一组回归量上进行回归，该回归量由方程右侧的外生变量和预定变量组成，加上该方程中内生解释变量的第一阶段回归的拟合值。
设$\boldsymbol{y}$表示系统的一个内生变量，$\boldsymbol{X}$表示出现在与$\boldsymbol{y}$相关的方程中的解释变量集，内生或外生变量，$\boldsymbol{W}$表示整个系统中所有外生和预定变量的集合。然后对$\boldsymbol{y}$的第二阶段回归可以简单地写成
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\text { residuals. }
$$
$\boldsymbol{\beta}$的OLS估计量就是IV估计量(7.17):
$$
\tilde{\boldsymbol{\beta}}=\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{y}
$$
但是请注意，从(7.28)估计的OLS协方差矩阵并不是我们想要的估计。这个估计将是
$$
\frac{\left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X} \tilde{\boldsymbol{\beta}}\right|^2}{n-k}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1},
$$
，而之前推导出的估计(7.24)可以写成
$$
\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \tilde{\boldsymbol{\beta}}|^2}{n}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{P}_W \boldsymbol{X}\right)^{-1}
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|工具变量:非线性情况
很容易将上面讨论的线性IV过程推广到非线性回归模型的情况。假设模型为
$$
y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_t, \quad u_t \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma^2\right),
$$
，其中回归函数$x_t(\boldsymbol{\beta})$隐式地依赖于当前的内生变量、外生变量和预定变量，并且$\boldsymbol{\beta}$通常是$k$ -向量。假设我们有一个有效工具的矩阵$\boldsymbol{W}$，其中$l \geq k$和前面一样，目标是只最小化$\boldsymbol{y}$和$\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$之间位于$\mathcal{S}(\boldsymbol{W})$的距离部分。这可以通过最小化准则函数
$$
\left|\boldsymbol{P}W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))\right|^2=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) . $$来实现，该准则函数是(7.15)的非线性等价物。表征IV估计$\tilde{\boldsymbol{\beta}}$的一阶条件是$$ \boldsymbol{X}^{\top}(\tilde{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{P}_W(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\tilde{\boldsymbol{\beta}}))=\mathbf{0}, $$，其中通常，$n \times k$矩阵$\boldsymbol{X}(\boldsymbol{\beta})$具有典型元素$$ X{t i}(\boldsymbol{\beta})=\frac{\partial x_t(\boldsymbol{\beta})}{\partial \beta_i} .
$$
条件(7.33)显然是线性情况下一阶条件(7.16)的非线性类似物。他们说残差$\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\tilde{\boldsymbol{\beta}})$必须正交于导数$\boldsymbol{X}(\tilde{\boldsymbol{\beta}})$的矩阵，在后者被投影到$\mathcal{S}(\boldsymbol{W})$之后。就像NLS的情况一样，我们不希望解析地求解$\tilde{\boldsymbol{\beta}}$，尽管在某些特殊情况下这是可能的
在适当的规律性条件下，证明非线性IV估计$\tilde{\boldsymbol{\beta}}$是一致的和渐近正态的是相当直接的。所需要的主要正则性条件是NLS一致且渐近正态的条件(见$5.3$和5.4节)，假设误差项与回归函数及其导数无关，并被修改后的假设(7.18a)、(7.18b)和(7.18c)所取代。在最后一个矩阵中，矩阵$\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$取代了矩阵$\boldsymbol{X}$，其中$\boldsymbol{\beta}_0$一如既往地是DGP下$\boldsymbol{\beta}$的值，这被假设为被估计模型的一个特殊情况
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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