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傅里叶分析是一种用三角函数s来定义周期性波形的方法。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Quantitative formulation of qualitative problems
One can roughly divide analysis into “soft analysis”-the study of qualitative properties (continuity, measurability, integrability, etc.) of infinitary objects, and “hard analysis”-the study of quantitative estimation of finitary objects. Bourgain’s toolkit falls almost exclusively in the latter category, so when tackling a soft analysis problem, often the first step in one of Bourgain’s arguments is to locate a more quantitative hard analysis estimate that will imply the desired claim, removing almost all the appearances of limits or arbitrarily large and small scales, and instead working with a large but finite number of scales and focusing on estimates that are uniform with respect to several parameters.
For instance, consider the following result of Furstenberg, Katznelson, and Weiss [19]:
Theorem $3.1$ (Furstenberg-Katznelson-Weiss theorem, qualitative version). Let $A \subset \mathbb{R}^2$ be a measurable set whose upper density $\delta:=\limsup _{R \rightarrow \infty} \frac{|A \cap B(0, R)|}{|B(0, R)|}$ is positive. Then there exists $l_0$ such that for all $l \geq l_0$, there exist $x, y \in A$ with $|x-y|=l$.
Note that this theorem does not provide any quantitative bound for the length threshold $l_0$ in terms of the upper density $\delta$. Indeed, such a bound is not possible, since if one replaces $A$ by a rescaled version $\lambda \cdot A:={\lambda x: x \in A}$, then the length threshold $l_0$ will be replaced by $\lambda l_0$, while the upper density $\delta$ remains unchanged. As such, one may he tempter to conclude that Thenrem $3.1$ is irredeemably “qualitative” in nature. Nevertheless, in [2], Bourgain gave a new proof of this theorem (as well as several novel generalisations) by first establishing the following quantitative analogue.
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Dyadic pigeonholing
One of the oldest tricks in analysis is that of dyadic decomposition: when faced with a sum or integral over a parameter ranging over a wide range of scales, first control the contribution of an individual dyadie scale (such as when the magnitude of the parameter ranges between two fixed consecutive powers $2^k, 2^{k / 1}$ of two), and then sum over all dyadic scales. For instance, we have the Cauchy condensation test [15]: when asked to determine whether a series $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ is absolutely convergent,
where $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$is nonnegative and nonincreasing, one can break up the sum dyadically
$$
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)=\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{2^k \leq n<2^{k+1}} f(n)
$$
and then observe that each dyadic component can be easily bounded above and below
$$
2^k f\left(2^{k+1}\right) \leq \sum_{2^k \leq n<2^{k+1}} f(n) \leq 2^k f\left(2^k\right),
$$
at which point one easily sees that the original series $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ converges if and only if the condensed sum $\sum_{k=0}^{\infty} 2^k f\left(2^k\right)$ converges. While both sums are infinite, in practice the latter sum is significantly more tractable than the former; for instance any polynomial improvements $n^{-\varepsilon}$ to bounds for the original sequence $f(n)$ leads to exponential improvements $2^{-\varepsilon k}$ in the bounds for the new sequence $2^k f\left(2^k\right)$.
A surprisingly useful variant ôf this mēthōd was usēd rēpēāēdly by Bourgain in many problems, in which dyadic decomposition is combined with the pigeonhole principle to locate a single “good” scale in which to run additional arguments. We refer to this combination of dyadic decomposition and the pigeonhole principle as dyadic pigeonholing.
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Quantitative formulation of qualitative problems
分析大致可分为”软分析”一一研究无限对象的定性性质（连续性、可测性、可积性等) 和”硬分析”一一研究 有限对象的定量估计。Bourgain 的工具包几乎完全属于后一类，因此在处理软分析问题时，通常 Bourgain 的一个论点的第一步是找到一个更量化的硬分析估计，这将暗示所需的主张，消除几乎所有的限 制或任意大和小的尺度，而是使用大量但有限数量的尺度，并专注于关于几个参数的统一估计。
例如，考虑 Furstenberg、Katznelson 和 Weiss [19] 的以下结果:
定理3.1 (Furstenberg-Katznelson-Weiss 定理，定性版本) 。让 $A \subset \mathbb{R}^2$ 是一个可测集，其上密度 $\delta:=\limsup _{R \rightarrow \infty} \frac{|A \cap B(0, R)|}{|B(0, R)|}$ 是积极的。那么存在 $l_0$ 这样对于所有人 $l \geq l_0$ ，存在 $x, y \in A$ 和 $|x-y|=l$.
请注意，该定理没有为长度间值提供任何定量界限 $l_0$ 在上层密度方面 $\delta$. 实际上，这样的界限是不可能的， 因为如果替换 $A$ 通过重新缩放的版本 $\lambda \cdot A:=\lambda x: x \in A$ ，那么长度阈值 $l_0$ 将被取代 $\lambda l_0$ ，而上层密度 $\delta$ 保 持不变。因此，人们可能会想得出结论，Therenrem3.1本质上是无可挽回的“定性”。然而，在 [2] 中， Bourgain 通过首先建立以下定量类比给出了该定理的新证明（以及几个新颖的概括）。
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Dyadic pigeonholing
分析中最古老的技巧之一是二元分解：当面对范围广泛的参数的总和或积分时，首先控制单个二元尺度的 贡献（例如当参数的大小范围在两个固定的连续权力之间 $2^k, 2^{k / 1}$ 的两个），然后对所有二元尺度求和。 例如，我们有 Cauchy 凝聚检验 [15]: 当被要求确定一个序列是否 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 是绝对收敛的，
在哪里 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$是非负非增的，可以对和进行二进分解
$$
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)=\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{2^k \leq n<2^{k+1}} f(n)
$$
然后观察每个二元组件都可以很容易地在上方和下方有界
$$
2^k f\left(2^{k+1}\right) \leq \sum_{2^k \leq n<2^{k+1}} f(n) \leq 2^k f\left(2^k\right),
$$
在这一点上很容易看出原来的系列 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 收敛当且仅当压缩和 $\sum_{k=0}^{\infty} 2^k f\left(2^k\right)$ 收敛。虽然两者的和 都是无限的，但实际上后者的和比前者更容易处理；例如任何多项式改进 $n^{-\varepsilon}$ 到原始序列的边界 $f(n)$ 导致 指数级改进 $2^{-\varepsilon k}$ 在新序列的范围内 $2^k f\left(2^k\right)$.
Bourgain 在许多问题中使用了这种方法的一个非常有用的变体 ôd rēpēāēdly，其中二元分解与鸽巢原理 相结合，以找到一个单一的“好”尺度，在其中运行额外的论证。我们将这种二元分解和鸽巢原理的结合称 为二元鸽巢。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。