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傅里叶分析是一种用三角函数s来定义周期性波形的方法。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Random translations
In particular, if $\mu(E) \sim 1 / N$, then we can find $N$ translates $g_1 E, \ldots, g_N E$ of $E$ whose union has measure $\sim 1$, thus these translates behave as if they are disjoint “up to constants”. We observe that the same claim also holds for any homogeneous space $G / H$ of a compact group $G$ (with the attendant Haar probability measure), simply by lifting subsets of that homogeneous space back up to $G$.
Lemma $5.1$ allows one in many cases to reduce the analysis of “small” subsets of a compact group $G$ (or a homogenous space $G / H$ of $G$ ) to the analysis of “large” sets, particularly if the problem in question enjoys some sort of translation symmetry with respect to the group $G$. This idea was for instance famously exploited by Stein [28] in his maximum principle equating almost everwhere convergence results for translation-invariant operators with weak-type $(p, p)$ maximal inequalities. In $[6, \S 6]$, Bourgain noted that these techniques could also be combined with the factorization theory of Pisier, Nikishin, and Maurey [24] (which Bourgain had previously used, for instance, in [13]), although it has subsequently been realized that the arguments can be formulated without explicit reference to that theory. Specifically, in the context of restriction estimates for the sphere, Bourgain observed
Proposition 5.2. Suppose that $d \geq 2$ and $1<p<2$ is such that one has the restriction estimate
$$
|\hat{f}|_{L^1\left(S^{d-1}, d \sigma\right)} \lesssim p p, a|f|_{L^p\left(\mathbb{K}^d\right)}
$$
for all Schwartz functions $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$, where $\sigma$ is normalized surface measure on the sphere $S^d 1$. Then ane ran automatirally improve this to the stmnger patimate
$$
|\hat{f}|_{L^{p, \infty}\left(S^{d-1}, d \sigma\right)} \lesssim p, d|f|_{L^p\left(\mathbb{R}^d\right)} .
$$
Proof (Sketch). We can normalize $|f|_{L^P\left(\mathbb{R}^d\right)}=1$. Let $\lambda>0$, and let $E \subset S^{d-1}$ denote the level set
$$
E:=\left{\omega \in S^{d-1}:|\hat{f}(\omega)| \geq \lambda\right}
$$
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Local Structure of Sets
A very common type of argument in Bourgain’s paper is the following. One has finite sets $A, B \subseteq \mathbb{Z}$, and a function $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ for which, say,
$$
\sum_{n \in A} f(n) \geq \eta|A| .
$$
One then wishes to conclude that there is some translate $B^{\prime}=B+m$ for which
$$
\sum_{n \in B^{\prime}} f(n) \geq(1-\epsilon) \eta|B|
$$
for some small $\epsilon$. This section is devoted to an exploration of situations under which such a principle holds. One feels that the principle is doomed to failure unless $B$ is much “smaller” than $A$ (unless $B$ equals $A$, of course). However one also needs $A$ to “look like $B$ locally” to avoid examples such as $A={0,5,10, \ldots, 5(n-1)}, B={0,1,2,3,4}$. In such an example the behaviour of $f$ on $A$ gives very little information on the behaviour of $f$ on translates of $B$.
After some thought the following definition seems natural.
Definition 1 Let
$$
Q(n)=|{m \in A \mid n \in B+m}|=|(n-B) \cap A| .
$$
Then we say that $A$ looks $\kappa$-locally like $B$ if
$$
\sum_n|Q(n)-A(n)| B | \leq \kappa|A||B| .
$$
To relate this to Bourgain’s paper, we note that if $\alpha$ and $\beta$ are the characteristic measures associated to the sets $A$ and $B$ then $A$ looks $\kappa$-locally like $B$ precisely when
$$
|\alpha * \beta-\alpha|_1 \leq \kappa .
$$
Let us now see how this definition relates to the type of averaging argument discussed above. Let $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ be a function with $|f|_{\infty} \leq 1$, and suppose that $A$ looks $\kappa$-locally like $B$. Then
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{m \in A} \sum_{n \in B+m} f(n)-\right| B\left|\sum_{n \in A} f(n)\right| & =\left|\sum_n(Q(n)-|B| A(n)) f(n)\right| \
& \leq \kappa|A||B| .
\end{aligned}
$$
Hence we have the following Lemma.
傅里叶分析代写
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特别是，如果 $\mu(E) \sim 1 / N$ ，那么我们可以找到 $N$ 翻译 $g_1 E, \ldots, g_N E$ 的 $E$ 谁的工会有措施 $\sim 1$ ，因此这 些翻译的行为就好像它们“直到常数”是不相交的。我们观察到同样的说法也适用于任何齐次空间 $G / H$ 一个 紧凑的群体 $G$ （使用伴随的 Haar 概率度量），只需将该齐次空间的子集提升回 $G$.
引理 5.1允许在许多情况下减少对紧凑组的“小”子集的分析 $G$ (或同质空间 $G / H$ 的 $G$ ) 对“大”集合的分析， 特别是如果所讨论的问题相对于该组具有某种平移对称性 $G$. 例如，Stein [28] 在他的最大原理中蓍名地利 用了这个想法，该原理等同于具有弱类型的平移不变算子的几乎所有收敛结果 $(p, p)$ 最大的不平等。在 [6, §6]，Bourgain 指出，这些技术也可以与 Pisier、Nikishin 和 Maurey [24] 的因式分解理论相结合 (Bourgain 之前曾在例如 [13] 中使用过)，尽管后来人们意识到这些论点可以在没有明确参考该理论的 情况下制定。具体来说，在球体的限制估计的背景下，Bourgain 观察到
提案 5.2。假设 $d \geq 2$ 和 $1{L^1\left(S^{d-1}, d \sigma\right)} \lesssim p p, a|f|{L^p\left(\mathbb{K}^d\right)} $$ 对于所有 Schwartz 函数 $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$ ， 在哪里 $\sigma$ 是球体上的归一化表面测量 $S^d 1$. 然后自动运行将其改进 为 stmnger patimate $$ |\hat{f}|{L^{p, \infty}\left(S^{d-1}, d \sigma\right)} \lesssim p, d|f|{L^p\left(\mathbb{R}^d\right)} . $$ 证明 (草图)。我们可以正常化 $|f|_{L^P\left(\mathbb{R}^d\right)}=1$. 让 $\lambda>0$ ，然后让 $E \subset S^{d-1}$ 表示水平集
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Bourgain 论文中一种非常常见的论证类型如下。一个有有限集 $A, B \subseteq \mathbb{Z}$, 和一个函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ 为此， 比如说，
$$
\sum_{n \in A} f(n) \geq \eta|A| .
$$
然后人们布望得出结论，有一些翻译 $B^{\prime}=B+m$ 为了哪个
$$
\sum_{n \in B^{\prime}} f(n) \geq(1-\epsilon) \eta|B|
$$
对于一些小 $\epsilon$. 本节专门探讨这种原则成立的情况。人们认为该原则注定要失败，除非 $B$ 比 $A$ (除非 $B$ 等于 $A$ ，当然）。然而也需要 $A$ 看起来像 $B$ 本地”以避免诸如 $A=0,5,10, \ldots, 5(n-1), B=0,1,2,3,4$ . 在这样的例子中的行为 $f$ 在 $A$ 很少提供关于行为的信息 $f$ 关于翻译 $B$. 经过一番思考，以下定义似乎很自然。 定义 1 让
$$
Q(n)=|m \in A| n \in B+m|=|(n-B) \cap A \mid .
$$
然后我们说 $A$ 看起来 $\kappa$-本地喜欢 $B$ 如果
$$
\sum_n|Q(n)-A(n)| B|\leq \kappa| A|| B \mid .
$$
为了将此与 Bourgain 的论文联系起来，我们注意到如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是与集合相关的特征度量 $A$ 和 $B$ 然后 $A$ 看起 来 $\kappa$-本地喜欢 $B$ 正是在什么时候
$$
|\alpha * \beta-\alpha|1 \leq \kappa . $$ 现在让我们看看这个定义如何与上面讨论的平均论证类型相关联。让 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数 $|f|{\infty} \leq 1$ ， 并假设 $A$ 看起来 $\kappa$-本地喜欢 $B$. 然后
$$
\left|\sum_{m \in A} \sum_{n \in B+m} f(n)-\right| B\left|\sum_{n \in A} f(n)\right|=\left|\sum_n(Q(n)-|B| A(n)) f(n)\right| \quad \leq \kappa|A||B| .
$$
因此我们有以下引理。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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