统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STA517

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广义线性模型(GLiM,或GLM)是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称,它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STA517

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|The Systematic Structure

Let us now turn our attention to the systematic part of the model. Suppose that we have data on $p$ predictors $x_1, \ldots, x_p$ which take values $x_{i 1}, \ldots, x_{i p}$ for the $i$-th unit. We will assume that the expected response depends on these predictors. Specifically, we will assume that $\mu_i$ is as linear function of the predictors
$$
\mu_i=\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\ldots+\beta_p x_{i p}
$$
for some unknown coefficients $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p$. The coefficients $\beta_j$ are called regression coefficients and we will devote considerable attention to their interpretation.

This equation may be written more compactly using matrix notation as
$$
\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta},
$$
where $\mathbf{x}_i^{\prime}$ is a row vector with the values of the $p$ predictors for the $i$-th unit and $\boldsymbol{\beta}$ is a column vector containing the $p$ regression coefficients. Even more compactly, we may form a column vector $\boldsymbol{\mu}$ with all the expected responses and then write
$$
\boldsymbol{\mu}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta},
$$
where $\mathbf{X}$ is an $n \times p$ matrix containing the values of the $p$ predictors for the $n$ units. The matrix $\mathbf{X}$ is usually called the model or design matrix. Matrix notation is not only more compact but, once you get used to it, it is also easier to read than formulas with lots of subscripts.

The expression $\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$ is called the linear predictor, and includes many special cases of interest. Later in this chapter we will show how it includes simple and multiple linear regression models, analysis of variance models and analysis of covariance models.

The simplest possible linear model assumes that every unit has the same expected value, so that $\mu_i=\mu$ for all $i$. This model is often called the null model, because it postulates no systematic differences between the units. The null model can be obtained as a special case of Equation $2.3$ by setting $p=1$ and $x_i=1$ for all $i$. In terms of our example, this model would expect fertility to decline by the same amount in all countries, and would attribute all observed differences between countries to random variation.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Estimation of the Parameters

The likelihood principle instructs us to pick the values of the parameters that maximize the likelihood, or equivalently, the logarithm of the likelihood function. If the observations are independent, then the likelihood function is a product of normal densities of the form given in Equation 2.1. Taking logarithms we obtain the normal log-likelihood
$$
\log L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2\right)=-\frac{n}{2} \log \left(2 \pi \sigma^2\right)-\frac{1}{2} \sum\left(y_i-\mu_i\right)^2 / \sigma^2,
$$
where $\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta}$. The most important thing to notice about this expression is that maximizing the log-likelihood with respect to the linear parameters $\boldsymbol{\beta}$ for a fixed value of $\sigma^2$ is exactly equivalent to minimizing the sum of squared differences between observed and expected values, or residual sum of squares
$$
\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})=\sum\left(y_i-\mu_i\right)^2=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \boldsymbol{\beta})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}) .
$$
In other words, we need to pick values of $\boldsymbol{\beta}$ that make the fitted values $\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta}$ as close as possible to the observed values $y_i$.

Taking derivatives of the residual sum of squares with respect to $\boldsymbol{\beta}$ and setting the derivative equal to zero leads to the so-called normal equations for the maximum-likelihood estimator $\hat{\boldsymbol{\beta}}$
$$
\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y} \text {. }
$$
If the model matrix $\mathbf{X}$ is of full column rank, so that no column is an exact linear combination of the others, then the matrix of cross-products $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}$ is of full rank and can be inverted to solve the normal equations. This gives an explicit formula for the ordinary least squares (OLS) or maximum likelihood estimator of the linear parameters.

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广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|The Systematic Structure

现在让我们把注意力转向模型的系统部分。假设我们有关于 $p$ 预测器 $x_1, \ldots, x_p$ 取值 $x_{i 1}, \ldots, x_{i p}$ 为了 $i$ th 单位。我们将假设预期响应取决于这些预测变量。具体来说,我们假设 $\mu_i$ 是预测变量的线性函数
$$
\mu_i=\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\ldots+\beta_p x_{i p}
$$
对于一些末知系数 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_p$. 系数 $\beta_j$ 称为回归系数,我们将相当关注它们的解释。
这个等式可以使用矩阵表示法更紧凑地写成
$$
\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta},
$$
在哪里 $\mathbf{x}_i^{\prime}$ 是具有值的行向量 $p$ 的预测因子 $i$-th 单位和 $\beta$ 是包含的列向量 $p$ 回归系数。更紧凑的是,我们可以 形成一个列向量 $\boldsymbol{\mu}$ 包含所有预期的响应,然后写
$$
\boldsymbol{\mu}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta},
$$
在哪里 $\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 包含值的矩阵 $p$ 的预测因子 $n$ 单位。矩阵 $\mathbf{X}$ 通常称为模型或设计矩阵。矩阵符号不仅 更紧凑,而且一旦你习惯了它,它也比有很多下标的公式更容易阅读。
表达方式 $\mathbf{X} \beta$ 称为线性预测器,包括许多感兴趣的特殊情况。在本章的后面,我们将展示它如何包括简单 和多元线性回归模型、方差模型分析和协方差模型分析。
最简单的线性模型假设每个单元都有相同的期望值,因此 $\mu_i=\mu$ 对所有人 $i$. 该模型通常称为零模型,因 为它假定单位之间没有系统差异。雩模型可以作为方程式的特例获得 $2.3$ 通过设置 $p=1$ 和 $x_i=1$ 对所有 人 $i$. 就我们的例子而言,该模型预计所有国家的生育率都会下降相同的量,并将所有观察到的国家间差异 归因于随机变化。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Estimation of the Parameters

似然原理指导我们选择使似然最大化的参数值,或者等效地,似然函数的对数。如果观察是独立的,则似 然函数是公式 $2.1$ 中给出的形式的正态密度的乘积。取对数我们得到正常的对数似然
$$
\log L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2\right)=-\frac{n}{2} \log \left(2 \pi \sigma^2\right)-\frac{1}{2} \sum\left(y_i-\mu_i\right)^2 / \sigma^2,
$$
在哪里 $\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \beta$. 关于这个表达式最重要的是要注意关于线性参数的对数似然最大化 $\beta$ 对于固定值 $\sigma^2$ 完全 等同于最小化观测值和期望值之间的差平方和,或残差平方和
$$
\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})=\sum\left(y_i-\mu_i\right)^2=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \boldsymbol{\beta})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}) .
$$
换句话说,我们需要选择值 $\boldsymbol{\beta}$ 使得拟合值 $\mu_i=\mathbf{x}_i^{\prime} \beta$ 尽可能接近观测值 $y_i$.
对残差平方和求导 $\boldsymbol{\beta}$ 并将导数设置为零导致所谓的最大似然估计器的正规方程 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$
$$
\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y}
$$
如果模型矩阵 $\mathbf{X}$ 是全列秩的,因此没有列是其他列的精确线性组合,则叉积矩阵 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}$ 是满秩的,可以倒 过来求解正规方程。这给出了线性参数的普通最小二乘法 $(O L S)$ 或最大似然估计量的明确公式。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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