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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Bounded linear operators
Let $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ be complex Banach spaces (or Hilbert spaces) equipped with the norm $|\cdot|_{\mathrm{X}}$ and $|\cdot|_{\mathrm{Y}}$, respectively.
A linear map $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset X \rightarrow \mathbb{Y}$ is said to be a bounded linear map if $\mathbf{T}(B)$ is a bounded subset of $Y$ for every bounded $B \subset \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset X$. Equivalently, $T$ is a bounded linear map if there exists a constant $K>0$ (that depends on $\mathrm{T}$ only) such that
$$
|\mathrm{T} \psi|_{\mathrm{Y}} \leq K|\psi|_{\mathrm{X}}, \quad \forall \psi \in \operatorname{dom}(\mathrm{T}) \subset \mathrm{X}
$$
In this case, it can be proved (see, e. g., Reed and Simon [128] and Rudin [134]) that $\operatorname{dom}(\mathbf{T})=\mathbf{X}$. The collection of bounded linear maps from $\mathbb{X}$ to $\mathbb{Y}$ will be denoted by $\mathfrak{B}(\mathbb{X}, \mathbf{Y})$. If $\mathbb{X}=\mathbb{Y}$, then $\mathfrak{B}(\mathbb{X}, \mathbf{Y})$ can be written as $\mathfrak{B}(\mathbb{X})$ and $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{X})$ will be called a bounded linear operator.
The following is a Banach-Schauder theorem, which is also known as an open mapping theorem. A proof can be found in standard functional analysis texts such as Rudin [133] and is omitted here.
Theorem 1.2.1 (Banach-Schauder theorem). If $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ are complex Banach spaces or complex Hilbert spaces and $\mathbf{T}: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ is a surjective (or onto) bounded linear operator, then $\mathbf{T}$ is an open map (i.e., if $U$ is an open set in $\mathbf{X}$, then $\mathbf{T}(U)$ is open in $\mathbb{Y}$ ).
We have the following corollary.
Corollary 1.2.2. If $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ are complex Banach or Hilbert spaces and $\mathbf{T} \in \mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ is invertible (i.e., a bijective linear map), then the inverse map, $\mathbf{T}^{-1}$, is bounded, i. e., $\mathbf{T}^{-1} \in \mathfrak{B}(\mathbf{Y}, \mathbf{X})$. (Note that $\mathbf{T}^{-1}$ is automatically linear.)
If $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{X})$, we define the operator norm $|\mathbf{T}|_{\infty}$ of $\mathbf{T}$ as
$$
|\mathbf{T}|_{\infty}=\sup {\phi \neq 0} \frac{|\mathbf{T} \phi|{\mathrm{X}}}{|\phi|_{\mathrm{X}}}=\sup {|\phi|{\mathrm{X}}=1}|\mathbf{T} \phi|_{\mathrm{X}}
$$
There are two trivial bounded linear operators $\mathbf{0}{\mathbf{X}}$ (the zero operator) and $\mathbf{I}{\mathbf{X}}$ (the identity operator) that will appear often throughout the book. The zero operator $\mathbf{0}{\mathrm{X}}$ is the operator that maps every vector $\phi \in \mathbb{X}$ to the zero vector $\mathbf{0}$ in X (i. e., $\mathbf{0}{\mathrm{X}} \phi=\mathbf{0}$ for all $\phi \in \mathbb{X})$ and the identity operator $\mathbf{I}{\mathrm{H}}$ is the operator that maps every vector $\phi \in \mathbb{X}$ to itself (i. e., $\mathbf{I}{\mathbf{X}} \phi=\phi$ for all $\phi \in \mathrm{X}$.)
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Positive operators
A linear (but not necessary bounded) operator $\mathbf{T} \in \mathfrak{L}(\mathbb{H})$ on a complex Hilbert space $\mathbb{H}$ is said to be positive and to be denoted by $\mathbf{T} \geq \mathbf{0}$ if $\langle\mathbf{T} \varphi, \varphi\rangle_{\mathbf{H}} \geq 0$ for all $\varphi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})$.
Let $\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2 \in \mathfrak{L}(\mathbb{H})$. We say that $\mathbf{T}_1 \geq \mathbf{T}_2$ if $\mathbf{T}_1-\mathbf{T}_2:=\mathbf{T}_1+\left(-\mathbf{T}_2\right) \geq \mathbf{0}$, where $-\mathbf{T}$ is the linear operator such that $\mathbf{T}+(-\mathbf{T})=\mathbf{0}$.
The set of all positive linear operators (resp., positive bounded linear operators) on $\mathbb{H}$ will be denoted by $\mathfrak{L}{+}(\mathbb{H})$ (resp., $\mathfrak{B}{+}(\mathbb{H})$ ). Both $\mathfrak{L}{+}(\mathbb{H})$ and $\mathfrak{B}{+}(\mathbb{H})$ are positive cones in the sense that $\mathbf{T} \in \mathfrak{L}{+}(\mathbb{H})$ (resp., $\mathfrak{B}{+}(\mathbb{H})$ ) and $c>0$ imply that $c \mathbf{T} \in \mathfrak{L}{+}(\mathbb{H})$ (resp., $\left.\mathfrak{B}{+}(\mathbb{H})\right)$
A sequence of bounded linear operators $\left(\mathbf{A}n\right){n=1}^{+\infty} \subset \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ is said to converge strongly to $\mathbf{A} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ if
$$
\lim {n \rightarrow+\infty}\left|\mathbf{A}_n \phi-\mathbf{A} \phi\right|{\mathrm{H}}=0, \quad \forall \phi \in \mathbb{H}
$$
We will use the following monotone convergence theorem of a sequence of nondecreasing positive bounded linear operators.
Theorem 1.3.1 (Monotone convergence theorem for operators). Let $\quad\left(\mathbf{A}n\right){n=1}^{+\infty}$ be $a$ bounded monotone sequence of bounded linear operators on $\mathbb{H}$. Then the sequence $\left(\mathbf{A}n\right){n=1}^{+\infty}$ is strongly convergent.
Proof. Assume, for example, that $\left(\mathbf{A}n\right){n=1}^{+\infty}$ is such that
$$
\mathbf{A}1 \leq \mathbf{A}_2 \leq \cdots \leq \mathbf{A}_n \leq \cdots \leq \mathbf{M} $$ for some $\mathbf{M} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$. Since $\sup _n\left|\mathbf{A}_n\right|{\infty} \leq|\mathbf{M}|_{\infty}<+\infty$, we obtain that for any $\phi \in \mathbb{H}$ the sequence $\left\langle\mathbf{A}n \phi, \phi\right\rangle{\mathbb{H}}$ is convergent. Therefore, due to “polarization” (1.13),
$$
\begin{aligned}
\left\langle\mathbf{A}n \phi, \psi\right\rangle & =\frac{1}{4}\left{\left\langle\mathbf{A}_n(\phi+\psi), \phi+\psi\right\rangle{\mathbb{H}}-\left\langle\mathbf{A}n(\phi-\psi), \phi-\psi\right\rangle{\mathbb{H}}\right. \
& \left.+\iota\left[\left\langle\mathbf{A}n(\phi+\imath \psi), \phi+\imath \psi\right\rangle{\mathbb{H}}-\left\langle\mathbf{A}n(\phi-\imath \psi), \phi-\imath \psi\right\rangle{\mathbf{H}}\right]\right} .
\end{aligned}
$$
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Bounded linear operators
让 $X$ 和 $Y$ 是配备规范的复杂 Banach 空间 (或 Hilbert 空间) $|\cdot|{ }X$ 和 $|\cdot|_Y$ ，分别。 线性映射 $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset X \rightarrow \mathbb{Y}$ 被称为有界线性映射如果 $\mathbf{T}(B)$ 是的有界子集 $Y$ 对于每一个有界 $B \subset \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset X$. 等价地， $T$ 是有界线性映射，如果存在常数 $K>0$ (这取决于 $\mathrm{T}$ 仅) 这样 $$ |\mathrm{T} \psi|{\mathrm{Y}} \leq K|\psi|{\mathrm{X}}, \quad \forall \psi \in \operatorname{dom}(\mathrm{T}) \subset \mathrm{X} $$ 在这种情况下，可以证明（参见 Reed 和 Simon [128] 以及 Rudin [134]) $\operatorname{dom}(\mathbf{T})=\mathbf{X}$. 有界线性映射 的集合来自 $\mathbb{X}$ 到 $\mathbb{Y}$ 将被表示为 $\mathfrak{B}(\mathbb{X}, \mathbf{Y})$. 如果 $\mathbb{X}=\mathbb{Y}$ ，然后 $\mathfrak{B}(\mathbb{X}, \mathbf{Y})$ 可以写成 $\mathfrak{B}(\mathbb{X})$ 和 $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{X})$ 将 被称为有界线性算子。 以下是 Banach-Schauder 定理，也称为开映射定理。可以在 Rudin [133] 等标准功能分析文本中找到证 明，此处省略。 定理 1.2.1 (Banach-Schauder 定理) 。如果X和 $Y$ 是复 Banach 空间或复 Hilbert 空间和 $\mathbf{T}: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ 是 满射 (或满射) 有界线性算子，则 $\mathbf{T}$ 是一个开放映射 (即，如果 $U$ 是一个开集 $\mathbf{X}$ ，然后 $\mathbf{T}(U)$ 打开于 $\mathbb{Y}$ ). 我们有以下推论。 推论 1.2.2。如果 $X$ 和 $Y$ 是复 Banach 或 Hilbert 空间和 $\mathbf{T} \in \mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ 是可逆的（即双射线生映射)，那 么逆映射， $\mathbf{T}^{-1}$ ，是有界的，即 $\mathbf{T}^{-1} \in \mathfrak{B}(\mathbf{Y}, \mathbf{X})$. (注意 $\mathbf{T}^{-1}$ 是自动线性的。) 如果 $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{X})$ ，我们定义算子范数 $|\mathbf{T}|{\infty}$ 的 $\mathbf{T}$ 作为
$$
|\mathbf{T}|{\infty}=\sup \phi \neq 0 \frac{|\mathbf{T} \phi| \mathrm{X}}{|\phi|{\mathrm{X}}}=\sup |\phi| \mathrm{X}=1|\mathbf{T} \phi|_{\mathrm{X}}
$$
有两个平凡的有界线生算子 $\mathbf{0 X}$ (零运算符) 和IX (身份运算符) 将在整本书中经常出现。零运算符 $\mathbf{O X}$ 是映射每个向量的运算符 $\phi \in \mathbb{X}$ 到零向量 0 在 X (即 $0 \mathrm{X} \phi=\mathbf{0}$ 对全部 $\phi \in \mathbb{X}$ )和身份运营商IH是映射每 个向量的运算符 $\phi \in \mathbb{X}$ 对自己 (即IXX $\phi=\phi$ 对全部 $\phi \in \mathbf{X}$.)
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Positive operators
线性 (但不一定有界) 运算符 $\mathbf{T} \in \mathfrak{L}(\mathbb{H})$ 在复杂的 Hilbert 空间上 $\mathbb{H}$ 据说是积极的，并表示为 $\mathbf{T} \geq \mathbf{0}$ 如 果 $\langle\mathbf{T} \varphi, \varphi\rangle_{\mathbf{H}} \geq 0$ 对全部 $\varphi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})$.
让 $\mathbf{T}1, \mathbf{T}_2 \in \mathfrak{L}(\mathbb{H})$. 我们说 $\mathbf{T}_1 \geq \mathbf{T}_2$ 如果 $\mathbf{T}_1-\mathbf{T}_2:=\mathbf{T}_1+\left(-\mathbf{T}_2\right) \geq \mathbf{0}$ ， 在哪里 $-\mathbf{T}$ 是这样的线 性算子 $\mathbf{T}+(-\mathbf{T})=\mathbf{0}$ 上所有正线性算子 (分别为正有界线性算子) 的集合茑将被表示为 $\mathfrak{L}+(\mathbb{H})$ (分别， $\mathfrak{B}+(\mathbb{H})$ ). 两个都 $\mathfrak{L}+(\mathbb{H})$ 和 $\mathfrak{B}+(\mathbb{H})$ 在某种意义上是正锥 $\mathbf{T} \in \mathfrak{L}+(\mathbb{H})$ (分别， $\mathfrak{B}+(\mathbb{H})$ ) 和 $c>0$ 暗示 $c \mathbf{T} \in \mathfrak{L}+(\mathbb{H})$ $($ 分别， $\mathfrak{B}+(\mathbb{H}))$ 有界线性算子序列 $(\mathbf{A} n) n=1^{+\infty} \subset \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 据说强烈收敛到 $\mathbf{A} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 如果 $$ \lim n \rightarrow+\infty\left|\mathbf{A}_n \phi-\mathbf{A} \phi\right| \mathrm{H}=0, \quad \forall \phi \in \mathbb{H} $$ 我们将使用以下一系列非递减正有界线性算子的单调收敛定理。 定理 1.3.1 (算子的单调收敛定理) 。让 $(\mathbf{A} n) n=1^{+\infty}$ 是 $a$ 有界线性算子的有界单调序列 $\mathbb{H}$. 然后顺 序 $(\mathbf{A} n) n=1^{+\infty}$ 是强收敛的。 证明。例如，假设 $(\mathbf{A} n) n=1^{+\infty}$ 是这样的 $$ \mathbf{A} 1 \leq \mathbf{A}_2 \leq \cdots \leq \mathbf{A}_n \leq \cdots \leq \mathbf{M} $$ 对于一些 $\mathbf{M} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$. 自从 $\sup _n\left|\mathbf{A}_n\right| \infty \leq|\mathbf{M}|{\infty}<+\infty$ ，我们得到任何 $\phi \in \mathbb{H}$ 序列 $\langle\mathbf{A} n \phi, \phi\rangle \mathbb{H}$ 是收敛的。因此，由于”极化” (1.13)，
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。