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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Complex Hilbert and Banach spaces

This section serves as a review of complex Hilbert and Banach spaces. Some of the frequently used theorems and/or propositions are stated without a proof.

Complex Hilbert spaces play an important role in the description of quantum systems. As mentioned in Chang [24], every quantum system is associated with an infinite-dimensional separable or a finite-dimensional complex Hilbert space, which consists of the states of the quantum system. In physics terminology, the Hilbert space is usually referred to as the space of (pure) states. Throughout this monograph, the mathematical description of a quantum system shall be based on a certain complex (separable) Hilbert space $\mathbb{H}$ and, therefore, the quantum system will simply be denoted by $\mathbb{H}$.

The quantum system $\mathbb{H}$ is said to be a finite-dimensional system if $\mathbb{H}$ is a finitedimensional complex Hilbert space. Otherwise, the quantum system $\mathbb{H}$ is said to be an infinite-dimensional system.
We first set some basic notation below.
Let $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ denote the field of real numbers and the field of complex numbers, respectively. If $z=x+i y \in \mathbb{C}$, where $x, y \in \mathbb{R}$, let $\bar{z}=x-i y \in \mathbb{C}$ and $|z|=\sqrt{x^2+y^2} \in$ $\mathbb{R}_{+}$denote the complex conjugate and the modulus of the complex number $z \in \mathbb{C}$, respectively. In this case, $x=\mathbb{R}(z)$ is the real part of $z$ and $y=J(z)$ is the imaginary part of $z$. Throughout the end, elements in $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ shall be denoted by lowercase letters such as $a, b$ or $c$ and sometimes lower case Greek alphabets such as $\lambda$ and $\alpha$.
We also use the following conventional notation throughout the book:

$\quad \mathbb{N}$ is the set of all natural numbers, positive integers, i. e., $\mathbb{N}={1,2, \cdots, n, \cdots}$.
$\mathbb{Z}$ is the set of all integers, i. e., $\mathbb{Z}={\cdots,-2,-1,0,1,2, \cdots}$.
$\mathbb{Z}{+}$is the set of nonnegative integers, i. e., $\mathbb{Z}{+}=\mathbb{N} \cup{0}$.
$-\mathbb{R}_{+}={c \in \mathbb{R} \mid c \geq 0}$.
For – $\infty a<b<+\infty$, we use the usual convention for closed, open and halfopen intervals on the real line $\mathbb{R}$ such as $[a, b],[a, b[] a, b],]-\infty, a],]-\infty, a[$, $[b,+\infty[$ and $] b, \infty[$, etc.

Let $\mathbb{H}$ be a (generic) Hilbert space over the field of complex numbers $\mathbb{C}$ and be referred to as a complex Hilbert space throughout the end.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Linear operators and their adjoints

Let $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ be two separable complex Banach spaces equipped with Banach norms $|\cdot|_{\mathrm{X}}$ and $|\cdot|_{\mathrm{Y}}$, respectively.
A map (or transformation) $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ is said to be linear if
$$
a \phi+b \psi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})
$$
and
$$
\mathbf{T}(a \phi+b \psi)=a \mathbf{T}(\phi)+b \mathbf{T}(\psi), \quad \forall a, b \in \mathbb{C} \text { and } \forall \phi, \psi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})
$$
where $\operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq \mathbf{X}$ is called the domain of $\mathbf{T}$. Note that dom $(\mathbf{T}) \neq \mathbf{X}$, in general. However, it is known that dom(T) is a dense subset of $X$.
The following are some known cases where $\operatorname{dom}(T)=X$ :
(i) $\mathbf{T}$ is a bounded linear operator (see the following subsection for the definition of a bounded linear operator);
(ii) $\mathbb{X}=\mathbb{H}$ is a Hilbert space and $\operatorname{dim}(\mathbb{H})<+\infty$, where $\operatorname{dim}(\mathbb{H})$ denotes the dimension of $\mathbb{H}$. In this case, every linear operator is a bounded linear operator (see (1.10) below for the definition of a bounded linear operator).

Assuming dom $(T)$ is dense in $\mathrm{X}$ or $\operatorname{dom}(T)=X$, the collection of such linear maps will be denoted by $\mathfrak{L}(X, \mathbb{Y})$. The linear map T will be called a linear operator if $\operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq$ $X=\mathbb{Y}$. The collection of linear operators will be denoted by $\mathcal{L}(X)$.

Throughout to the end, linear maps/operators on a complex Banach or Hilbert space will be denoted by boldfaced letters such as $\mathbf{S}, \mathbf{T}, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{X}, \mathbf{Y}$, etc., and a linear $\operatorname{map} T \in \mathfrak{L}(\mathbb{X}, \mathrm{Y})$ acting on a vector $\phi \in \mathbb{X}$ will be denoted by either $\mathbf{T} \phi$ or $\mathbf{T}(\phi)$.

Let $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \rightarrow \operatorname{range}(\mathbf{T})$ (where $\operatorname{range}(\mathbf{T}):={\mathbf{T} \phi \in \mathbb{Y} \mid \phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbf{X}}$ denotes the range of $\mathbf{T}$ ) be a bijective (one-to-one and onto) linear map. A linear map $\mathbf{S}:$ range(T) $\rightarrow \operatorname{dom}(\mathbf{S})$ is said to be the inverse of $\mathbf{T}$ if $\mathbf{S} \circ \mathbf{T}=\mathbf{I}{\mathbf{X}}$ and $\mathbf{T} \circ \mathbf{S}=\mathbf{I}{\mathbb{Y}}$, where $\mathbf{I}{\mathrm{X}}$ and $\mathbb{I}{\mathrm{Y}}$ are the identity operator on $\mathrm{X}$ and $\mathbb{Y}$, respectively. That is, $\mathbf{I}{\mathbf{X}}(x)=x$ for all $x \in \mathbb{X}$ and $\mathbf{I}{\mathrm{Y}}(y)=y$ for all $y \in \mathbb{Y}$. In this case, we write $\mathbf{S}=\mathbf{T}^{-1}$.

For a linear map $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{K}$, where $\mathbb{H}$ and $\mathbb{K}$ are complex Hilbert spaces, $\operatorname{ker}(\mathbf{T})$ (the kernel of $\mathbf{T}$ ), range(T) (the range of $\mathbf{T}$ ) and $\operatorname{supp}(\mathbf{T}$ ) (the support of T) are defined as:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ker}(\mathbf{T}) & ={\phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbb{H} \mid \mathbf{T} \phi=0} \
\operatorname{range}(\mathbf{T}) & ={\psi \in \mathbb{K} \mid \psi=\mathbf{T} \phi \text { for some } \phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbb{H}} \
\operatorname{supp}(\mathbf{T}) & =(\operatorname{ker}(\mathbf{T}))^{\perp}:=\left{\psi \in \mathbb{H} \mid\langle\psi, \phi\rangle_{\mathbf{H}}=0, \forall \phi \in \operatorname{ker}(\mathbf{T})\right}
\end{aligned}
$$
A linear map $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \rightarrow \mathbb{K}$ is said to be closed if its graph,
$$
\operatorname{graph}(\mathbf{T}):={(\phi, \mathbf{T}(\phi)) \in \mathbb{H} \times \mathbb{K} \mid \phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})}
$$
is a closed subset of $\mathbb{H} \times \mathbb{K}$.

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Complex Hilbert and Banach spaces

本节回顾复数 Hilbert 和 Banach 空间。一些常用的定理和/或命题在没有证明的情况下陈述。
复 Hilbert 空间在描述量子系统中起着重要作用。正如 Chang [24] 中提到的，每个量子系统都与一个无限维可分离或有限维复 Hilbert 空间相关联，该空间由量子系统的状态组成。在物理学术语中，希尔伯特空间通常被称为 (纯) 态空间。在本专着中，量子系统的数学描述应基于某个复杂的 (可分离的) 布尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 因此，量子系统将简单地表示为 $\mathbb{H}$.
量子系统 $\mathbb{H}$ 被称为有限维系统，如果 $\mathbb{H}$ 是一个有限维复 Hilbert 空间。否则，量子系统田被称为无限维系统。
我们首先在下面设置一些基本符号。
让 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 分别表示实数域和复数域。如果 $z=x+i y \in \mathbb{C}$ ，在哪里 $x, y \in \mathbb{R}$ ，让 $\bar{z}=x-i y \in \mathbb{C}$ 和 $|z|=\sqrt{x^2+y^2} \in \mathbb{R}_{+}$表示复共轭和复数的模 $z \in \mathbb{C}$ ，分别。在伩种情况下， $x=\mathbb{R}(z)$ 是的真实部分 $z$ 和 $y=J(z)$ 是的虚部 $z$. 在整个结尾，元素在 $\mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{C}$ 应由小写字母表示，例如 $a, b$ 或者 $c$ 有时是小写晞腊字母，例如 $\lambda$ 和 $\alpha$.
我们还在整本书中使用以下常规符号:

$\mathbb{N}$ 是所有自然数、正整数的集合，即 $\mathbb{N}=1,2, \cdots, n, \cdots$.
$\mathbb{Z}$ 是所有整数的集合，即 $\mathbb{Z}=\cdots,-2,-1,0,1,2, \cdots$.
$\mathbb{Z}+$ 是非负整数的集合，即 $\mathbb{Z}+=\mathbb{N} \cup 0$.
$-\mathbb{R}_{+}=c \in \mathbb{R} \mid c \geq 0$.
为了- $\infty a<b<+\infty$ ，我们对实线上的闭区间、开区间和半开区间使用通常的约定 $\mathbb{R}$ 例如 $[a, b],[a, b[] a, b],]-\infty, a],]-\infty, a[,[b,+\infty[$ 和 $] b, \infty[$, ETC。
让 $\mathbb{H}$ 是复数域上的 (通用) 桸尔伯特空间 $\mathbb{C}$ 并始终被称为复杂的希尔伯特空间。

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让 $\mathrm{X}$ 和 $Y$ 是配备 Banach 范数的两个可分离的复杂 Banach 空间 $|\cdot|{ }_X$ 和 $|\cdot|_Y$ ，分别。映射 (或转换) $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ 据说是线性的，如果
$$
a \phi+b \psi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})
$$
和
$$
\mathbf{T}(a \phi+b \psi)=a \mathbf{T}(\phi)+b \mathbf{T}(\psi), \quad \forall a, b \in \mathbb{C} \text { and } \forall \phi, \psi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})
$$
在哪里 $\operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq \mathbf{X}$ 被称为域 $\mathbf{T}$. 请注意， $\operatorname{dom}(\mathbf{T}) \neq \mathbf{X} ，一$ 般来说。然而，众所周知， $\operatorname{dom}(\mathrm{T})$ 是 $X$
以下是一些已知案例，其中 $\operatorname{dom}(T)=X: \quad($
一) $\mathbf{T}$ 是有界线性算子 (有关有界线性算子的定义，请参见以下小节)；
$($ 二) $\mathbb{X}=\mathbb{H}$ 是㹷尔伯特空间并且 $\operatorname{dim}(\mathbb{H})<+\infty$ ，在哪里 $\operatorname{dim}(\mathbb{H})$ 表示维度 $\mathbb{H}$. 在这种情况下，每个线性算子都是有界线性算子（有关有界线性算子的定义，请参见下面的 (1.10)）。
假设 $\operatorname{dom}(T)$ 密集在 $\mathrm{X}$ 或者 $\operatorname{dom}(T)=X$ ，此类线性映射的集合将表示为 $\mathfrak{L}(X, \mathbb{Y})$. 线性映射 $\mathrm{T}$ 将被称为线性算子，如果 $\operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subseteq X=\mathbb{Y}$. 线性算子的集合将表示为 $\mathcal{L}(X)$.
从始至终，复杂 Banach 或 Hilbert 空间上的线性映射/算子将用粗体字母表示，例如 $\mathbf{S}, \mathbf{T}, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{X}, \mathbf{Y}$ 等，以及一个线性 $\operatorname{map} T \in \mathfrak{L}(\mathbb{X}, \mathrm{Y})$ 作用于向量 $\phi \in \mathbb{X}$ 将被表示为 $\mathbf{T} \phi$ 或者 $\mathbf{T}(\phi)$.
让 $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \rightarrow \operatorname{range}(\mathbf{T})$ (在哪里range $(\mathbf{T}):=\mathbf{T} \phi \in \mathbb{Y} \mid \phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbf{X}$ 表示范围 $\mathbf{T})$ 是一个双射 (一对一和到) 线性映射。线性映射 $\mathbf{S}:$ :量程 $(T) \rightarrow \operatorname{dom}(\mathbf{S})$ 据说是的倒数 $\mathbf{T}$ 如果 $\mathbf{S} \circ \mathbf{T}=\mathbf{I X}$ 和 $\mathbf{T} \circ \mathbf{S}=\mathbf{I} Y$ ，在哪里 $\mathbf{I X}$ 和 IY 身份运算符在 $\mathrm{X}$ 和 $\mathbb{Y}$ ，分别。那是， $\mathbf{I X}(x)=x$ 对全部 $x \in \mathbb{X}$ 和 $\mathbf{I Y}(y)=y$ 对全部 $y \in \mathbb{Y}$. 在这种情况下，我们写 $\mathbf{S}=\mathbf{T}^{-1}$.
对于线性映射 $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \subset \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{K}$ ，在哪里 $\mathbb{H}$ 和 $\mathbb{K}$ 是复莃尔伯特空间， $\operatorname{ker}(\mathbf{T})$ (内核的 $\mathbf{T})$, 范围 (T) (范围 $\mathbf{T})$ 和 $\operatorname{supp}(\mathbf{T})$ ( $\mathrm{T}$ 的支持) 定义为:
\begin } { \text { aligned } } \text { loperatorname{ker } } ( \backslash m a t h b f { T } ) \& = { \backslash \text { phi } \backslash \text { in \operatorname } { \text { dom } } ( \backslash m a t h b f { T } ) \backslash \text { subset } \backslash m a t h b b }
线性映射 $\mathbf{T}: \operatorname{dom}(\mathbf{T}) \rightarrow \mathbb{K}$ 如果它的图是封闭的，
$$
\operatorname{graph}(\mathbf{T}):=(\phi, \mathbf{T}(\phi)) \in \mathbb{H} \times \mathbb{K} \mid \phi \in \operatorname{dom}(\mathbf{T})
$$
是的闭子集 $\mathbb{H} \times \mathbb{K}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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