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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Finite Difference Approximations
Another approach to boundary value problems for ordinary differential equations, is to directly approximate the derivatives. This is particularly useful for second-order differential equations, such as the equations for diffusion (6.2.3). The basic idea is to approximate $d^2 y / d x^2$ with the finite difference approximation $(y(x+h)-2 y(x)+$ $y(x-h)) / h^2=d^2 y / d x^2(x)+\mathcal{O}\left(h^2\right)$. If we use equally spaced points $x_j=a+$ $j h, n h=L$, then (6.2.3)
$D \frac{d^2 c}{d x^2}=b c \quad$ becomes
We need boundary conditions for the two end points, and these are $c(L)=c_{\text {end }}$ and $d c / d x(0)=0$. Discretizing these in the obvious way, we get $c_n=c_{\text {end }}$ and $\left(c_1-c_0\right) / h=0$. Note that the second equation uses the one-sided difference approximation. Using the centered difference approximation is not useful here as that would require $c_{-1}$, which is not available. This gives a linear system
Multiplying the first row by $D / h$ gives a symmetric matrix $A_h$. Provided $D, b>0$, $-A_h$ is also positive definite. To see that $-A_h$ is positive definite, note that
$$
-\boldsymbol{c}^T A_h \boldsymbol{c}=\left(D / h^2\right)\left[\sum_{j=0}^{n-2}\left(c_{j+1}-c_j\right)^2+c_{n-1}^2\right]+b \sum_{j=1}^{n-1} c_j^2 .
$$
The condition number of $A_h$ is $\mathcal{O}\left(h^{-2}\right)$. There is also the bound $\left|A_h^{-1}\right|_2 \leq 4 L^2 /\left(\pi^2 D\right)$ for all $h$. Solving this linear system can be done using standard sparse matrix techniques.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Partial Differential Equations—Elliptic Problems
Partial differential equations come in a number of different essential types, which are best exemplified in two spatial dimensions below:
(6.3.1) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x, y) \quad$ (Poisson equation)
(6.3.2) $\frac{\partial u}{\partial t}=D\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (Diffusion equation)
(6.3.3) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (Wave equation)
The Poisson equation is an example of an elliptic partial differential equation; the diffusion (or heat) equation is an example of a parabolic partial differential equation; while the wave equation is an example of a hyperbolic partial differential equation.
To understand the difference between these different types, consider $u(x, y)=$ $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ for the Poisson equation, and $u(t, x, y)=\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+\right.\right.$ $\left.\left.k_y y\right)\right)$ for the diffusion and wave equations. The corresponding $f(x, y)$ and $f(t, x, y)$ that gives these solutions are
$f(x, y)=-\left(k_x^2+k_y^2\right) \exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ for Poisson equation,
$f(t, x, y)=\left(i k_t+D\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ for diffusion equation, and $f(t, x, y)=\left(-k_t^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ for the wave equation.
The wave equation is different from the others as if $k_t^2=c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)$ then $f(t, x, y)=$ 0 . This means that information can travel in the direction $k=\left(k_t, k_x, k_y\right)$ in the solution $u(t, x, y)$ even with $f(t, x, y)=0$ for all $(t, x, y)$.
For the diffusion equation, we get $k_t$ imaginary for $k_x$ and $k_y$ real: $k_t=i D\left(k_x^2+\right.$ $\left.k_y^2\right)$ so $\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)=\exp \left(-D\left(k_x^2+k_y^2\right) t+i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ which decays exponentially as $t$ increases. This means that high frequency components of $u(t, x, y)$ decay rapidly as $t$ increases. Flipping the sign of $\partial u / \partial t$ changes rapid exponential decay to rapid exponential growth, which is very undesirable. So the sign of $\partial u / \partial t$ is very important for diffusion equations.
For the Poisson equation, if $\boldsymbol{k}=\left(k_x, k_y\right) \neq \mathbf{0}$ a component of the solution $u(x, y)$ of the form $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ must be reflected in $f(x, y)$. Furthermore, the coefficient of $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ is $-1 /\left(k_x^2+k_y^2\right)$ times the coefficient of $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ in $f(x, y)$. So the coefficient of a high frequency component $\left(\left(k_x, k_y\right)\right.$ large $)$ in the solution is much less than the corresponding coefficient of $f(x, y)$. Thus the solution $u(x, y)$ is generally much smoother than $f(x, y)$.
数值分析代考
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解决常微分方程边值问题的另一种方法是直接逼近导数。这对于二阶微分方程特别有用，例如扩散方程 (6.2.3)。基本思想是近似 $d^2 y / d x^2$ 用有限差分近似 $(y(x+h)-2 y(x)+$ $y(x-h)) / h^2=d^2 y / d x^2(x)+\mathcal{O}\left(h^2\right)$. 如果我们使用等距点 $x_j=a+j h, n h=L$ ，那么 (6.2.3) $D \frac{d^2 c}{d x^2}=b c \quad$ 变成
我们需要两个端点的边界条件，这些是 $c(L)=c_{\text {end }}$ 和 $d c / d x(0)=0$. 以明显的方式将这些离散化，我 们得到 $c_n=c_{\text {end }}$ 和 $\left(c_1-c_0\right) / h=0$. 请注意，第二个方程使用单边差分近似。使用中心差分近似在 这里没有用，因为那需要 $c_{-1}$ ，这是不可用的。这给出了一个线性系统
将第一行乘以 $D / h$ 给出一个对称矩阵 $A_h$. 假如 $D, b>0,-A_h$ 也是正定的。看到那个 $-A_h$ 是正定的， 注意
$$
-\boldsymbol{c}^T A_h \boldsymbol{c}=\left(D / h^2\right)\left[\sum_{j=0}^{n-2}\left(c_{j+1}-c_j\right)^2+c_{n-1}^2\right]+b \sum_{j=1}^{n-1} c_j^2
$$
的条件数 $A_h$ 是 $\mathcal{O}\left(h^{-2}\right)$. 也有界 $\left|A_h^{-1}\right|_2 \leq 4 L^2 /\left(\pi^2 D\right)$ 对全部 $h$. 可以使用标准稀疏矩阵技术求解此线 性系统。
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偏微分方程有许多不同的基本类型，最好在下面的两个空间维度中举例说明:
(6.3.1) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x, y) \quad$ (泊松方程)
$(6.3 .2) \frac{\partial u}{\partial t}=D\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y)$
(扩散方程)
(6.3.3) $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (波动方程)
泊松方程是椭圆偏微分方程的一个例子；扩散（或热）方程是抛物线偏微分方程的一个例子；而波动方程 是双曲偏微分方程的一个例子。
要了解这些不同类型之间的区别，请考虑 $u(x, y)=\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于泊松方程，和 $u(t, x, y)=\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于扩散和波动方程。相应的 $f(x, y)$ 和 $f(t, x, y)$ 给出这些解 决方案的是
$f(x, y)=-\left(k_x^2+k_y^2\right) \exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于泊松方程，
$f(t, x, y)=\left(i k_t+D\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ 对于扩散方程，和
$f(t, x, y)=\left(-k_t^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于波动方程。
波动方程与其他的不同，好像 $k_t^2=c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 然后 $f(t, x, y)=0$ 。这意味着信息可以沿着 $k=\left(k_t, k_x, k_y\right)$ 在溶液中 $u(t, x, y)$ 即使 $f(t, x, y)=0$ 对全部 $(t, x, y)$.
对于扩散方程，我们得到 $k_t$ 假想的 $k_x$ 和 $k_y$ 真实的: $k_t=i D\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 所以
$\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)=\exp \left(-D\left(k_x^2+k_y^2\right) t+i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 呈指数衰减为 $t$ 增加。这意 味着高频分量 $u(t, x, y)$ 迅速衰减为 $t$ 增加。翻转标志 $\partial u / \partial t$ 将快速指数衰减变为快速指数增长，这是非 常不可取的。所以标志 $\partial u / \partial t$ 对于扩散方程非常重要。
对于泊松方程，如果 $\boldsymbol{k}=\left(k_x, k_y\right) \neq \mathbf{0}$ 解决方案的一个组成部分 $u(x, y)$ 形式的 $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 必须反映在 $f(x, y)$. 此外，系数 $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 是 $-1 /\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 乘以系数
$\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 在 $f(x, y)$. 所以高频分量的系数 $\left(\left(k_x, k_y\right)\right.$ 大的) 在解决方案中远小于相应的系数 $f(x, y)$. 因此解决方案 $u(x, y)$ 通常比 $f(x, y)$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。