数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|MATH4810

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数学逻辑是对数学中形式逻辑的研究。主要子领域包括模型理论、证明理论、集合理论和递归理论。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|MATH4810

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|An Example from Group Theory

In this and the next section we present two simple mathematical proofs. They illustrate some of the methods of proof used by mathematicians. Guided by these examples, we raise some questions which lead us to the main topics of the book.
We begin with the proof of a theorem from group theory. We therefore require the axioms of group theory, which we now state. We use o to denote the group multiplication and $e$ to denote the identity element. The axioms may then be formulated as follows:
(G1) For all $x, y, z: \quad(x \circ y) \circ z=x \circ(y \circ z)$.
(G2) For all $x: \quad x \circ e=x$.
(G3) For every $x$ there is a $y$ such that $x \circ y=e$.
A group is a triple $\left(G, \circ^G, e^G\right)$ which satisfies (G1)-(G3). Here $G$ is a set, $e^G$ is an element of $G$, and $\circ^G$ is a binary function on $G$, i.e., a function defined on all ordered pairs of elements from $G$, the values of which are also elements of $G$. The variables $x, y, z$ range over elements of $G, \circ$ refers to $\circ^G$, and $e$ refers to $e^G$.

As an example of a group we mention the additive group of the reals $(\mathbb{R},+, 0)$, where $\mathbb{R}$ is the set of real numbers, $+$ is the usual addition, and 0 is the real number zero. On the other hand, $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$ is not a group (where – is the usual multiplication). For example, the real number 0 violates axiom (G3): there is no real number $r$ such that $0 \cdot r=1$.

We call triples such as $(\mathbb{R},+, 0)$ or $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$ structures. In Chapter III we shall give an exact definition of the notion of “structure.”
Now we prove the following simple theorem from group theory:
1.1 Theorem on the Existence of a Left Inverse. For every $x$ there is a $y$ such that $y \circ x=e$.

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|An Example from the Theory of Equivalence Relations

The thenry of equivalence relations is hased on the following three axions ( $x k y$ is to be read as ” $x$ is equivalent to $y$ “);
(E1) For all $x: x R x$.
(E2) For all $x, y$ : If $x R y$, then $y R x$.
(E3) For all $x, y, z$ : If $x R y$ and $y R z$, then $x R z$.
Let $A$ be a nonempty set, and let $R^A$ be a binary relation on $A$, i.e., $R^A \subseteq A \times A$. For $(a, b) \in R^A$ we also write $a R^A b$. The pair $\left(A, R^A\right)$ is another example of a structure. We call $R^A$ an equivalence relation on $A$, and the structure $\left(A, R^A\right)$ an equivalence structure, if (E1), (E2), and (E3) are satisfied. For example, $\left(\mathbb{Z}, R_5\right)$ is an equivalence structure, where $\mathbb{Z}$ is the set of integers and
$$
R_5={(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z} \text { and } b-a \text { is divisible by } 5} .
$$
We now prove a simple theorem about equivalence relations.

2.1 Theorem. If $x$ and $y$ are both equivalent to a third element, they are equivalent to the same elements. More formally: For all $x$ and $y$, if there is a $u$ such that $x R u$ and $y R u$, then for all $z, x R z$ if and only if $y R z$.
Proof. Let $x$ and $y$ be given arbitrarily; suppose that for some $u$ $x R u$ and $y R u$.
From (E2) we then obtain $u R x$ and $u R y$.
From $x R u$ and $u R y$ we get, using (E3),
$$
x R y,
$$
and from $y R u$ and $u R x$ we likewise get (using (E3))
$$
y R x .
$$
Now let $z$ be chosen arbitrarily. If
$$
x R z \text {, }
$$
then, using (E3), we obtain from (4) and (5)
$$
y R z .
$$
On the other hand, if
$$
y R z \text {, }
$$
then, using (E3), we get from (3) and (6)
$$
x R z \text {. }
$$
Thus the claim is proved for all $z$.
As in the previous example, this proof shows that every structure (of the form $\left(A, R^A\right)$ ) which satisfies the axioms (E1), (E2), and (E3), also satisfies Theorem 2.1, i.e., that Theorem $2.1$ follows from (E1), (E2), and (E3).

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数理逻辑代写

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|An Example from Group Theory

在本节和下一节中,我们将提供两个简单的数学证明。它们举例说明了数学家使用的一些证明方法。在这 些例子的指导下,我们提出了一些问题,这些问题将我们引向了本书的主题。
我们从群论定理的证明开始。因此,我们需要我们现在陈述的群论公理。我们用 $\circ$ 表示群乘, $e$ 来表示标 识元素。然后公理可以表述如下:
(G1) 对于所有 $x, y, z:(x \circ y) \circ z=x \circ(y \circ z)$.
(G) 对所有人 $x: \quad x \circ e=x$.
(G3) 对于每个 $x$ 有一个 $y$ 这样 $x \circ y=e$.
一组是三元组 $\left(G, \circ^G, e^G\right)$ 满足 (G1)-(G3)。这里 $G$ 是一个集合, $e^G$ 是一个元素 $G$ ,和 $\circ^G$ 是一个二元函 数 $G$ ,即定义在所有有序元素对上的函数 $G$ ,其中的值也是元素 $G$. 变量 $x, y, z$ 元素范围 $G$, 。指的是 ${ }^{\circ} G$ , 和 $e$ 指的是 $e^G$.
作为群的例子,我们提到实数的加群 $(\mathbb{R},+, 0)$ ,在哪里 $\mathbb{R}$ 是实数集, +是通常的加法,0 是实数零。另 一方面, $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$ 不是一个群 (其中 – 是通常的乘法)。例如实数0违反公理 (G3) : 没有实数 $r$ 这样 $0 \cdot r=1$
我们称三元组为 $(\mathbb{R},+, 0)$ 要么 $(\mathbb{R}, \cdot, 1)$ 结构。在第三章中,我们将给出”结构”概念的确切定义。 现在我们从群论中证明如下简单的定理:
$1.1$ 左逆的存在性定理。对于每一个 $x$ 有一个 $y$ 这样 $y \circ x=e$.

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|An Example from the Theory of Equivalence Relations

(E1) 对于所有人 $x: x R x$.
(E2) 对于所有人 $x, y$ : 如果 $x R y$ ,然后 $y R x$.
(E3) 对于所有人 $x, y, z$ : 如果 $x R y$ 和 $y R z$ , 然后 $x R z$.
让 $A$ 是一个非空集,并且让 $R^A$ 是二元关系 $A$ ,那是, $R^A \subseteq A \times A$. 为了 $(a, b) \in R^A$ 我们也写 $a R^A b$
. 这对 $\left(A, R^A\right)$ 是结构的另一个例子。我们称之为 $R^A$ 上的等价关系 $A$, 和结构 $\left(A, R^A\right)$ 如果满足 (E1)、
(E2) 和 (E3),则为等价结构。例如, $\left(\mathbb{Z}, R_5\right)$ 是一个等价结构,其中 $\mathbb{Z}$ 是整数集,并且
$R_5=(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z}$ and $b-a$ is divisible by 5.
现在我们证明一个关于等价关系的简单定理。
$2.1$ 定理。如果 $x$ 和 $y$ 都等价于第三个元素,它们等价于相同的元素。更正式地说:对于所有人 $x$ 和 $y$ ,如果 有 $u$ 这样 $x R u$ 和 $y R u$ ,那么对于所有 $z, x R z$ 当且仅当 $y R z$.
证明。让 $x$ 和 $y$ 任意给予;假设对于一些 $u x R u$ 和 $y R u$.
然后从 (E2) 我们得到 $u R x$ 和 $u R y$.
从 $x R u$ 和 $u R y$ 我们得到,使用(E3),
$x R y$,
从 $y R u$ 和 $u R x$ 我们同样得到(使用(E3))
$y R x$
现在让 $z$ 被任意选择。如果
$$
x R z
$$
然后,使用(E3),我们从 (4) 和 (5) 获得
$$
y R z
$$
另一方面,如果
$$
y R z
$$
然后,使用 (E3),我们从 (3) 和 (6) 得到
$$
x R z
$$
因此,该主张对所有人都得到了证明 $z$.
与前面的例子一样,这个证明表明每个结构 (形式 $\left(A, R^A\right)$ ) 满足公理 (E1)、(E2) 和 (E3),也满足定理 2.1,即定理 2.1遵循 (E1)、(E2) 和 (E3)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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