### 数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

Definition: Suppose $b$ is an integer and $a$ is a non-zero integer. We say that $a$ divides $b$ if there is an integer $q$ so that $b=a q$. If there are such integers, we denote the fact that $a$ divides $b$ by using the notation $a \mid b$.

Be aware that the notation $a \mid b$ is a sentence with the verb being “divides.” Contrast this with the notation $\frac{a}{b}$, which is an element of the rational numbers $\mathbb{Q}$ (see Appendix $B$, not a sentence.

Example 1.1. Clearly $2 \mid 8$ since $8=2(4) ; 36 \mid 108$ since $108=$ $36(3) ; 3 \mid(-36)$ since $-36=3(-12)$; and for any integer $m, 3 \mid(15 m+$ 3) since $15 m+3=3(5 m+1)$. On the other hand, 3 does not divide 13 as there is no integer $q$ with $13=3 q$.

In the following lemma, we provide a few basic properties involving the divisibility of integers. (Note: A “lemma” is a “helping theorem,” i.e., an often easily proved result which is then used to establish bigger results.)
Lemma 1.1. Let $a, b, c, d$ be integers with $a>0$ and $d>0$.
(i) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b+c)$;
(ii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b-c)$;
(iii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(m b+n c)$ for any integers $m$ and $n$;
(iv) If $d \mid a$ and $a \mid b$, then $d \mid b$.
Proof. To prove Part (i), we may assume that $b=a q$ and $c=a s$ where $q$ and $s$ are integers. Then $b+c=a q+a s=a(q+s)$ so that $a$ divides $b+c$ (since $q+s$ is an integer). The proof of Part (ii) is similar and hence omitted. Proofs of the remaining parts are left to the reader in Supplementary Problem 1.14.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Division Algorithm

What if a positive integer $a$ does not divide an integer $b$ ? Here is where the seemingly simple but very important Division Algorithm comes into play when doing computations in $\mathbb{Z}$.

Theorem 1.2. (Division Algorithm) Let $a$ and $b$ be integers with $a>0$. Then there are integers $q$ and $r$ with $0 \leq r<a$ so that $b=a q+r$.

This is simply a formal statement of the long division process. The integer $b$ is often called the dividend, $a$ the divisor, $q$ the quotient, and $r$ the remainder. The key is that the remainder $r$ must be non-negative and must be less than the divisor $a$. It is clear that $a \mid b$ if and only if $r=0$.

Example 1.2. Given $b=436$ and $a=17$, we can compute by long division that $436=17(25)+11$. Note that, as required, the remainder 11 is greater than or equal to 0 and is less than the divisor 17. Given $b=-67$ and $a=12$, we get $-67=12(-6)+5$, so in this case the quotient $-6$ is negative, but again the remainder 5 must be non-negative and below the divisor 12 .

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

(一) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(b+c)$ ；
(ii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(b-c)$;
(iii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ，然后 $a \mid(m b+n c)$ 对于任何整数 $m$ 和 $n$;
(iv) 如果 $d \mid a$ 和 $a \mid b$ ，然后 $d \mid b$.

$b+c=a q+a s=a(q+s)$ 以便 $a$ 划分 $b+c$ (自从 $q+s$ 是一个整数)。(ii) 部分的证明类似，因此省略。其余 部分的证明留给读者在补充问题 $1.14$ 中。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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