### 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

Given two positive integers $a$ and $b$, how do we compute their greatest common divisor? If $a$ and $b$ are relatively small, one way (which we shall discuss in some detail in our next chapter) is to factor them both into their representation as a product of powers of prime numbers and observe what factors are in common. However, if at least one of the integers $a$ and $b$ is large, this method can be difficult and relatively inefficient. Euclid, in Book VII of his Elements, describes a very efficient procedure for computing greatest common divisors. Before stating his method, let us look at a couple of examples.

Example 1.4. (a) What is $\operatorname{gcd}(420,378)$ ? As suggested above, one way is to factor them both: $420=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ and $378=2 \cdot 3^{3} \cdot 7$. These factorizations have in common 2,3 and 7 , so $\operatorname{gcd}(420,378)=$ $2 \cdot 3 \cdot 7=42$.
(b) What is $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? We could factor again, but it does not look easy. We are seeing that the larger the numbers become, the more difficult the factorization method becomes. Here is a better method.

Theorem 1.3. (Euclidean Algorithm) Let a and b be positive integers. If $a$ divides $b$, then the $\operatorname{gcd}(a, b)=a$. Otherwise, repeatedly using the Division Algorithm, there exists a strictly decreasing sequence of positive integers $r_{1}, \ldots, r_{n}$ so that
\begin{aligned} b &=a q_{1}+r_{1} \ a &=r_{1} q_{2}+r_{2} \ r_{1} &=r_{2} q_{3}+r_{3} \ & \vdots \ r_{n-2} &=r_{n-1} q_{n}+r_{n} \ r_{n-1} &=r_{n} q_{n+1}+0 . \end{aligned}

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) Using the Division Algorithm, find the quotient $q$ and the remainder $r$ when $b=711$ is divided by $a=23$.
(b) Do the same as in Part (a) for dividing $b=-135$ by $a=31$.
Solution:
(a) $711=23(30)+21$, i.e., $q=30$ and $r=21$.
(b) $-135=31(-5)+20$, i.e., $q=-5$ and $r=20$.
1.5. In the Division Algorithm, suppose that the dividend $b=259$, the quotient $q=12$, and the remainder $r=7$. What is the divisor $a$ ?
Solution:
Since $259=12 a+7$, we get $a=252 / 12=21$.
Greatest Common Divisors
1.6. Find $\operatorname{gcd}(35,180)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, so $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. Find $\operatorname{gcd}(224,468)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$$221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13 \text {, so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1 \text {. }$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

(b) 什么是 $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? 我们可以再次考虑因素，但这看起来并不容易。我们看到数字越大，分解方法就越困 难。这里有一个更好的方法。

$$b=a q_{1}+r_{1} a \quad=r_{1} q_{2}+r_{2} r_{1}=r_{2} q_{3}+r_{3} \quad \vdots r_{n-2}=r_{n-1} q_{n}+r_{n} r_{n-1} \quad=r_{n} q_{n+1}+0 .$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) 使用除法算法，求商 $q$ 和其余的 $r$ 什么时候 $b=711$ 被除以 $a=23$.
(b) 做与 $(\mathrm{a})$ 部分相同的除法 $b=-135$ 经过 $a=31$.

(二) $-135=31(-5)+20$ ， 那是， $q=-5$ 和 $r=20$.
1.5。在除法算法中，假设被除数 $b=259$ ，商 $q=12$ ，和余数 $r=7$. 什么是除数 $a$ ?

1.6。寻找 $\operatorname{gcd}(35,180)$ 使用因式分解为素数的幂。

$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ，所以 $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. 寻找 $\operatorname{gcd}(224,468)$ 使用因式分解为素数的幂。

$$221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13, \text { so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1$$

## 有限元方法代写

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